第十二章全等三角形單元過關檢測02

2022—2023學年八年級上學期第一單元過關檢測（2）一、選擇題（本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應題目答案標號涂黑）1．（4分）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（）A． B． C． D．【分析】由全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形可得答案．【解答】解：根據(jù)全等圖形的定義可得C是全等圖形，故選：C．2．（4分）下列說法正確的是（）A．面積相等的兩個圖形是全等圖形 B．全等三角形的周長相等 C．所有正方形都是全等圖形 D．全等三角形的邊相等【分析】全等圖形指的是完全重合的圖形，包括邊長、角度、面積、周長等，但面積、周長相等的圖形不一定全等，要具體進行驗證分析．【解答】解：A、面積相等，但圖形不一定能完全重合，錯不符合題意；B、全等三角形的周長相等，正確符合題意；C、正方形的面積不相等，也不是全等形，錯不符合題意；D、全等三角形的對應邊相等，錯不符合題意．故選：B．3．（4分）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，△ABC≌△DEF，BC＝8，BF＝11.5，則EC的長為（）A．5 B．4.5 C．4 D．3.5【分析】根據(jù)全等三角形的性質求出EF，結合圖形計算，得到答案．【解答】解：∵BC＝8，BF＝11.5，∴CF＝BF﹣BC＝3.5，∵△ABC≌△DEF，BC＝8，∴EF＝BC＝8，∴EC＝EF﹣CF＝8﹣3.5＝4.5，故選：B．4．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝32°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．18° B．30° C．32° D．38°【分析】根據(jù)三角形的內角定理可得∠BAC的度數(shù)，進一步可得∠BAD的度數(shù)，根據(jù)全等三角形的性質可得∠EAC＝∠BAD，即可確定∠EAC的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝70°，∵∠DAC＝32°，∴∠BAD＝38°，∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠EAC＝∠BAD＝38°，故選：D．5．（4分）如圖，已知線段AB＝40米，MA⊥AB于點A，MA＝20米，射線BD⊥AB于B，P點從B點向A運動，每秒走1米，Q點從B點向D運動，每秒走3米，P、Q同時從B出發(fā)，則出發(fā)x秒后，在線段MA上有一點C，使△CAP與△PBQ全等，則x的值為（）A．8 B．8或10 C．10 D．6或10【分析】分兩種情況考慮：當△APC≌△BQP時與當△APC≌△BPQ時，根據(jù)全等三角形的性質即可確定出時間．【解答】解：當△APC≌△BQP時，AP＝BQ，即40﹣x＝3x，解得：x＝10；當△APC≌△BPQ時，AP＝BP＝AB＝20米，此時所用時間x為20，AC＝BQ＝60米，不合題意，舍去；綜上，出發(fā)20后，在線段MA上有一點C，使△CAP與△PBQ全等．故選：C．6．（4分）工人師傅常常利用角尺構造全等三角形的方法來平分一個角．如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別在取OC＝OD，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點C、D重合，這時過角尺頂點M的射線OM就是∠AOB的平分線，這里構造全等三角形的依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【分析】根據(jù)題目中的條件，可以得到OC＝OD，MC＝MD，再根據(jù)OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并寫出依據(jù)即可．【解答】解：由題意可得，OC＝OD，MC＝MD，又∵OM＝OM，∴△OMC≌△OMD（SSS），故選：A．7．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，則下列結論正確的是（）A．2α+∠A＝180° B．α+∠A＝90° C．2α+∠A＝90° D．α+∠A＝180°【分析】先證明△BDF≌△CED，得∠BFD＝∠CDE，即可推導出α＝∠B＝∠C，由三角形內角和定理得∠B+∠C+∠A＝180°，所以2α+∠A＝180°，可判斷A正確；由2α+∠A＝180°可推出α+∠A＝90°，得α+∠A≠90°，可判斷B錯誤；由2α+∠A＝180°可得2α+∠A≠90°，可判斷C錯誤；若α+∠A＝180°，則∠C+∠B+∠A＞180°，與三角形的內角和等于180°相矛盾，可見α+∠A≠180°，可判斷D錯誤．【解答】解：在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∴α＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠BDF＝∠B＝∠C，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∴2α+∠A＝180°，故A正確；由2α+∠A＝180°得α+∠A＝90°，∴α+∠A≠90°，故B錯誤；∵2α+∠A＝180°，∴2α+∠A≠90°，故C錯誤；若α+∠A＝180°，由∠B+∠A＝180°，∴∠C+∠B+∠A＞180°，與三角形內角和定理相矛盾，α+∠A≠180°，故D錯誤，故選：A．8．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分線交于點O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面積為18cm2，則△BOC的面積為（）cm2．A．27 B．54 C． D．108【分析】過O點作OD⊥AB于D點，OE⊥BC于E點，如圖，根據(jù)角平分線的性質得到OD＝OE，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△BOC：S△AOB＝BC：AB．【解答】解：過O點作OD⊥AB于D點，OE⊥BC于E點，如圖，∵OB平分∠ABC，∴OD＝OE，∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB，∴S△BOC＝×18＝27（cm2）．故選：A．9．（4分）如圖：已知∠ABC＝∠ACB＝50°，BD、CD、BE分別平分△ABC的內角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，其中點D、C、E在同一條直線上，以下結論：錯誤的是（）A．∠DCP＝65° B．∠BDC＝40° C．∠DBE＝85° D．∠E＝50°【分析】利用鄰補角的定義得到∠ACP＝130°，則根據(jù)角平分線的定義得到∠DCP＝65°，則可對A選項進行判斷；根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC＝25°，然后利用三角形外角性質可計算出∠BDC＝40°，則可對B選項進行判斷；先利用鄰補角的定義和角平分線的定義得到∠CBE＝65°，于是可計算出∠DBE＝90°，則可對C選項進行判斷；利用三角形內角和計算出∠E的度數(shù)，從而可對D選項進行判斷．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠ACP＝180°﹣∠ACB＝130°，∵CD平分∠ACP，∴∠DCP＝∠ACP＝×130°＝65°，所以A選項不符合題意；∵∠ABC＝50°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝×50°＝25°，∵∠DCP＝∠BDC+∠DBC，∴∠BDC＝∠DCP﹣∠DBC＝65°﹣25°＝40°，所以B選項不符合題意；∵∠CBM+∠ABC＝180°，∴∠CBM＝180°﹣50°＝130°，∵BE平分∠MBC，∴∠CBE＝∠CBM＝65°，∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝25°+65°＝90°，所以C選項符合題意；∵∠BCE＝∠DCP＝65°，∴∠E＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，所以D選項不符合題意．故選：C．10．（4分）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點三角形（即頂點恰好是網(wǎng)格線的交點），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點三角形的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)全等三角形的定義畫出圖形，即可判斷．【解答】解：如圖，觀察圖象可知滿足條件的三角形有4個．故選：A．11．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進而可確定當MH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進而可求解．【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中點，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，故選：B．12．（4分）已知：如圖，△ABC中，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上的一點，BE＝BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結論：①△ABD≌△EBC；②∠BDC＝∠AED；③AE＝AD＝EC；④S四邊形ABCE＝BF×EF．其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)由SAS可證△ABD≌△EBC，可判斷①選項；由三角形的內角和定理以及角平分線的定義可判斷②選項；根據(jù)全等三角形的性質可判斷③選項；通過證明Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），可得S△BEF＝S△BEG，S△AEF＝S△CEG，可判斷④選項．【解答】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），故①選項正確；②∵BE＝BA，∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABE），∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣∠CBD），∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBD，∴∠BDC＝BEA，即∠BDC＝∠AED，故②選項正確；③∵∠BDC＝∠AED，∠BDC＝∠ADE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AE＝AD＝EC，故③選項正確；④過點E作EG⊥BC于點G，如圖所示：∵E是∠ABC的角平分線BD上的點，EF⊥AB，∴EF＝EG，∵∠BFE＝∠BGE＝90°，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，S△BEF＝S△BEG，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴S△AEF＝S△CEG，∴S四邊形ABCE＝2S△BEF＝2×BF×EF＝BF×EF，故④選項正確，綜上所述，正確的選項有4個，故選：D．二、填空題（本題共4個小題，每小題4分，共16分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應的位置上）13．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊AC、AB于點M、N，分別以點M、N為圓心，以大于MN為半徑作弧，兩弧交于點P，射線AP交BC于點D，若CD＝2，AB＝5，則△ABD的面積為．【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質得到DE＝DC＝2，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本作圖可知，AP平分∠CAB，∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝2，∴△ABD的面積＝×AB×DE＝×5×2＝5，故答案為：5．14．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在x軸上，頂點D在y軸上，若點B的坐標為（3，1），則點D的坐標為．【分析】過點B作BE⊥x軸于點E，證明△ODA≌△EAB（AAS），可得OA＝BE＝1，OD＝AE，進而可以解決問題．【解答】解：如圖，過點B作BE⊥x軸于點E，∵B的坐標為（3，1），∴OE＝3，BE＝1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠BEA＝90°．∵OA⊥OD，∴∠AOD＝∠BEA＝90°．∠DAO+∠ODA＝∠BAE+∠DAO＝90°，∴∠ODA＝∠BAE，在△ODA和△EAB中，，∴△ODA≌△EAB（AAS），∴OA＝BE＝1，OD＝AE，∴OD＝AE＝OE﹣OA＝3﹣1＝2，∴點D的坐標為（0，2）．故答案為：（0，2）．15．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝110°，延長BC至點D使CD＝AB，過點C作CE∥AB且使CE＝BC，連接DE并延長DE交AC于點F，交AB于點H．若∠D＝20°，則∠CFE的度數(shù)為度．【分析】證明△ABC≌△DCE，可得∠A＝∠D＝20°，然后利用三角形內角和可得∠DEC＝∠ACB＝50°，進而可以解決問題．【解答】解：∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△ABC與△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D＝20°，∵∠B＝110°，∴∠ACB＝180°﹣∠B+∠A＝50°，∴∠DEC＝∠ACB＝50°，∵CE∥AB，∴∠BHF＝∠DEC＝50°，∴∠CFE＝∠AFH＝∠BHF﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．故答案為：30．16．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，D為△ABC邊AC上一點，BC＝CD，點M在BC的延長線上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．連接BE交AC于F，G為邊CE上一點，滿足CG＝CF，連接DG交BE于H．以下結論：①△ABC≌△EDC；②∠DHF＝60°；③若∠A＝60°，則AB∥CE；④若BE平分∠ABC中，則EB平分∠DEC．正確的有．（只填序號）【分析】利用全等三角形的判定定理和性質定理，三角形的內角和定理以及平行線的判定定理對每個選項進行逐一判斷即可．【解答】解：∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝180°﹣∠ACB＝120°，∵CE平分∠ACM，∴∠ACE＝∠MCE＝∠ACM＝60°，∴∠ACB＝∠ACE．在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．∴①的結論正確；在△BCF和△DCG中，，∴△BCF≌△DCG（SAS）．∴∠CBF＝∠CDG．∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∴∠CDG+∠CEB＝60°．∵∠DCE+∠CDE+∠CED＝180°，∠DCE＝60°，∴∠CDE+∠CED＝120°，∴∠HDE+∠HED＝60°，∴∠DHF＝∠HDE+∠HED＝60°．∴②的結論正確；∵∠A＝60°，∠ACE＝60°，∴∠A＝∠ACE，∴AB∥CE，∴③的結論正確；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵△BCF≌△DCG，∴∠CBE＝∠CDG．∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE．∵△ABC≌△EDC，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE＝∠EDG．∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∠DHF＝∠EDG+∠DEB＝60°，∴∠CBF+∠BEC＝∠EDG+∠DEB，∴∠BEC＝∠DEB．即EB平分∠DEC．∴④的結論正確．綜上，正確的結論有：①②③④，故答案為：①②③④．三、解答題（本題共8個小題，共86分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應的位置上，解答時應寫出必要的文字說明、證明步驟或演算步驟.）17．（8分）如圖，C、E分別在AB、DF上，O是CF的中點，EO＝BO，求證：∠ACE+∠DEC＝180°．證明：∵O是CF的中點，∴＝，在△COB和△FOE中，．∴△COB≌△FOE（），∴∠＝∠，（）．∴AB∥DF，（）．∴∠ACE+∠DEC＝180°．（）．【分析】先通過證明△COB≌△FOE，利用全等三角形的性質得出∠OBC＝∠OEF，再根據(jù)內錯角相等，兩直線平行得出AB∥DF，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補得出結論．【解答】證明：∵O是CF的中點，∴CO＝FO，在△COB和△FOE中，，∴△COB≌△FOE（SAS），∴∠OBC＝∠OEF（全等三角形對應角相等），∴AB∥DF（內錯角相等，兩直線平行），∴∠ACE+∠DEC＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）．故答案為：CO；FO；SAS；OBC；OEF；全等三角形對應角相等；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．18．（8分）如圖，小明和小華住在同一個小區(qū)不同單元樓，他們想要測量小明家所在單元樓AB的高度，首先他們在兩棟單元樓之間選定一點E，然后小華在自己家陽臺C處測得E處的俯角為∠1，小明站在E處測得眼睛F到AB樓端點A的仰角為∠2，發(fā)現(xiàn)∠1與∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，試求單元樓AB的高．【分析】過F作FG⊥AB于G，則四邊形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論．【解答】解：過F作FG⊥AB于G，則四邊形BEFG是矩形，∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，在△AFG與△ECD中，，∴△AFG≌△ECD（ASA），∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），答：單元樓AB的高為39米．19．（10分）如圖所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，點E，F(xiàn)在BC上且BE＝CF．（1）求證：∠E＝∠F；（2）若PO平分∠EPF，則PO與線段BC有什么關系？為什么？【分析】（1）根據(jù)已知條件證明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）即可得出結論；（2）根據(jù)Rt△ABF≌Rt△DCE可得出∠E＝∠F，即△PEF為等腰三角形，又因為PO平分∠EPF，根據(jù)三線合一可知PO垂直平分EF，從而得出PO垂直平分BC．【解答】（1）證明：∵BE＝CF，BC＝CB，∴BF＝CE，在Rt△ABF與Rt△DCE中，∵，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴∠E＝∠F；（2）解：PO垂直平分BC，∵Rt△ABF≌Rt△DCE，∴∠E＝∠F，∴△PEF為等腰三角形，又∵PO平分∠EPF，∴PO⊥BC（三線合一），EO＝FO（三線合一），又∵EB＝FC，∴BO＝CO，∴PO垂直平分BC．20．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE⊥AB于E，點F在AC上，且DF＝BD．（1）求證：BE＝CF；（2）若AB＝20，AF＝8，求BE的長．【分析】（1）由角平分線的性質得出DC＝DE，再由HL證明Rt△DCF≌Rt△DEB即可得證；（2）由HL證明Rt△ADC≌Rt△ADE，得出AC＝AE，結合（1）中CF＝BE進而得出AB＝AF+BE+BE，即可求解．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，∴DC＝DE，又∵DF＝BD，∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），∴BE＝CF；（2）解：在Rt△ADC與Rt△ADE中，∵DE＝CD，AD＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∵AB＝AE+BE＝AC+BE，AC＝AF+CF，由（1）知，CF＝BE，∴AB＝AF+BE+BE，即20＝8+2BE，∴BE＝6．21．（12分）在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如圖①，求證：∠ABC＝∠ADE；（2）如圖②，若AD平分∠CAE，∠DAE＝30°，點C在線段BE上，則∠D＝度．【分析】（1）由AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”即可證明△ABC≌△ADE，則∠ABC＝∠ADE；（2）由AC＝AE，AD平分∠CAE得AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，則∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，所以∠D＝∠ABC＝30°．【解答】（1）證明：如圖①，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ABC＝∠ADE．（2）解：如圖②，設AD與CE交于點F，∵AC＝AE，AD平分∠CAE，∴AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，∴∠ABC＝30°，由（1）得∠ABC＝∠D，∴∠D＝30°，故答案為：30．22．（12分）為了測量一池塘的兩端A，B之間的距離，同學們想出了如下的兩種方案：方案①如圖1，先在平地上取一個可直接到達A，B的點C，再連接AC，BC，并分別延長AC至點D，BC至點E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距離就是AB的長；方案②如圖2，過點B作AB的垂線BF，在BF上取C，D兩點，使BC＝CD，接著過D作BD的垂線DE，在垂線上選一點E，使A、C、E三點在一條直線上，則測出DE的長即是AB的距離．問：（1）方案①是否可行？請說明理由；（2）方案②是否可行？請說明理由；（3）小明說在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要就可以了，請把小明所說的條件補上．【分析】（1）根據(jù)SAS證明△DCE≌△ACB，根據(jù)全等三角形的性質即可得證；（2）根據(jù)ASA證明△ABC≌△EDC，進一步即可得證；（3）只需要AB∥DE，此時∠ABC＝∠EDC，證明△ABC≌△EDC（ASA）即可得證．【解答】解：（1）方案①可行，理由如下：在△DCE和△ACB中，，∴△DCE≌△ACB（SAS），∴DE＝AB，∴方案①可行；（2）方案②可行，理由如下：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB，故方案②可行；（3）只需要AB∥DE，此時∠ABC＝∠EDC，證明步驟同（2），故答案為：AB∥DE．23．（12分）問題情境：（1）如圖1，∠AOB＝90，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點E、F，過點P作PN⊥OA于點N，作PM⊥OB于點M，請寫出PE與PF的數(shù)量關系；變式拓展：（2）如圖2，已知OC平分∠AOB，P是OC上一點，過點P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，PE邊與OA邊相交于點E，PF邊與射線OB的反向延長線相交于點F，∠MPN＝∠EPF．試解決下列問題：①PE與PF之間的數(shù)量關系還成立嗎？為什么？②若OP＝2OM，試判斷OE、OF、OP三條線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】問題情境：（1）過點P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結論；變式拓展：（2）①過點P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結論；②結論：OE﹣OF＝OP．證明△POM≌△PON（AAS），推出OM＝ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM＝EN，可得結論．【解答】問題情境：證明：過點P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；變式拓展：①解：結論：PE＝PF．理由：過點P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∵∠PON＝60°，∴∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；②解：結論：OE﹣OF＝OP．理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，∴OE﹣OF＝EN+ON﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，，∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP．24．（14分）如圖1，射線OC在∠AOB的內部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角的度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“倍分線”．（1）如圖1，若∠AOB＝60°，射線OC繞點O從OB位置開始，以每秒15°的速度逆時針旋轉t秒，且0≤t≤12．①當t＝2秒時，OC∠AOB的“倍分線”；（填“