2.3.3直線與圓的位置關(guān)系（4知識點7題型鞏固訓練）

直線與圓的位置關(guān)系課程標準學習目標1.理解直線與圓的三種位置關(guān)系:2.能根據(jù)方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;3.掌握判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法，體驗數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的應用。1.重點:①能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線和圓的位置關(guān)系、②能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。2.難點:數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活應用直線和圓的三種位置關(guān)系的性質(zhì)與判定的應用。知識點01直線與圓的位置關(guān)系直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0圖形【即學即練1】（2223高二上·新疆喀什·期末）直線y=x+1與圓xA．相切 B．相交但直線過圓心C．相交但直線不過圓心 D．相離【答案】C【分析】利用圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓x2+y2=1故圓心到直線y=x+1的距離為1所以直線y=x+1與圓故選：C.【即學即練2】(多選)（2223高二上·甘肅金昌·期末）下列直線中，與圓x2+yA．x+y=2 B．3x+y【答案】BC【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系對選項一一驗證即可.【詳解】圓x2+y2=4對于選項A，圓心到直線的距離d=對于選項B，圓心到直線的距離d=對于選項C，圓心到直線的距離d=對于選項D，圓心到直線的距離d=故選：BC.知識點02圓的切線1.過圓上一點的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.=3\*GB3③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.過圓外一點的圓的切線過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.【即學即練3】（2324高三上·湖北武漢·期末）若點A0,1在圓C:x-1【答案】y【分析】利用垂直直線的斜率關(guān)系和直線方程相關(guān)概念直接求解.【詳解】因為點A0,1在圓C所以過A的圓的切線方程和AC垂直，因為A0,1，C1,0，所以kAC所以切線方程為y=1×x-故答案為：y【即學即練4】（2324高三上·浙江·階段練習）過圓x2+y2=1上點【答案】y【分析】由圓的切線性質(zhì)求出切線斜率，利用點斜式方程即可得.【詳解】由題知，kOP=-1，則切線斜率所以切線方程為y-22故答案為：y知識點03切線長1.從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).2.兩切點弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與兩切點弦長b的積，即b＝eq\f(2ar,d).【即學即練5】（2223高二上·重慶北碚·階段練習）過點A2,3作圓M:x2+y2A．3 B．23 C．7 D．【答案】B【分析】先求得圓M的圓心坐標和半徑，再利用切線長定理即可求得AB的值.【詳解】因為圓M:所以圓M的圓心為M(0,0)，半徑為r因為AB與圓M相切，切點為B，所以AB⊥BM，則因為AM=所以AB=故選：B.【即學即練6】（2425高二上·全國·課前預習）如圖，直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值=．【答案】d知識點04圓的弦長直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：(1)幾何法：因為半弦長eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.【即學即練7】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知圓C:x-22+y【答案】14【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用點到直線的距離公式和弦長公式求解.【詳解】解：由題意可得，圓心為2,0，半徑r弦心距d=故直線l被C截得的弦長為2r故答案為：14【即學即練8】（2223高二上·河北保定·期末）直線l:x-y+1=0與圓C:xA．3 B．2 C．22 D．【答案】B【分析】依題意，作出圖形，求出圓心坐標和半徑，過圓心C(1,0)作CD⊥AB于D，分別計算|CD|和【詳解】如圖，由圓C:x2+y2-2過點C(1,0)作CD⊥AB于D，由C(1,0)到直線則|AB故△AOB的面積為1故選：B.難點：最值問題示例1：（2425高二上·江蘇徐州·階段練習）已知曲線1-x=4-A．17＋2，17－2 B．17＋2，5C．37，17－2 D．37，5【答案】C【分析】由題意可得曲線1-x=4-y2表示的圖形為以A(1,0)為圓心，【詳解】由1-x=4-y2且有(x-1)2+B

又因為x2+(又因為|PA所以x2+(當動點與圖中C(1,-2)點重合時，x2+故選：C．【題型1：直線與圓有關(guān)的位置關(guān)系】例1．（2425高三上·四川成都·開學考試）在同一平面直角坐標系中，直線mx-y+1=0m∈A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓的位置和直線所過定點，判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓x2+y2=2直線mx-y+1=0m∈ABD選項都有可能，C選項不可能.故選：C.變式1．（2324高二下·云南曲靖·期末）已知圓C:(x-2)A．直線l恒過定點2,1 B．直線l與圓C相切C．直線l與圓C相交 D．直線l與圓C相離【答案】C【分析】求出圓C的圓心和半徑，直線l所過的定點，再由該定點與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置即可.【詳解】圓C:(x-2)直線l:m(x-3)+y因此點(3,1)在圓C內(nèi)，直線l與圓C相交，ABD錯誤，C正確.故選：C變式2．（2425高二上·上海·單元測試）直線x-3y=0繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得的直線l與圓A．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出直線l的方程，再根據(jù)圓心到直線l的距離與半徑的關(guān)系判斷作答.【詳解】直線x-3y=0過原點，斜率為依題意，直線l的傾斜角為60°，斜率為3，而l過原點，因此直線l的方程為：y=3x而圓(x-2)2+于是得圓心(2,0)到直線l的距離為23所以直線l與圓相切.故選：C變式3.（2324高三下·浙江金華·階段練習）設直線l:x-2y-a2=0A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能【答案】C【分析】求出圓心和半徑，求出圓心到直線l的距離，與半徑比較即可判斷求解．【詳解】圓C:(x-1)則圓心C到直線l的距離d=故直線l與圓C相離．故選：C．變式4．（2007高二·全國·競賽）直線y=33x繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后，所得直線與圓A．直線過圓心 B．直線與圓相交，但不過圓心C．直線與圓相切 D．直線與圓沒有公共點【答案】C【分析】先求出直線y=33x繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°【詳解】直線y=33直線y=33x繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y=則圓心2,0到直線的距離d=23∴直線與圓相切.故選：C.變式5.（1011高二上·湖南益陽·階段練習）如果直線ax+by-1=0與圓x2A．P在圓外 B．P在圓上C．P在圓內(nèi) D．P與圓的位置不確定【答案】A【分析】根據(jù)直線ax+by-1=0與圓x2+y2=1有兩個不同的交點，知道它們相交.【詳解】直線ax+by-1=0根據(jù)d=1a2+b2<1，得到a2故選：A.變式6.(多選)（2024·全國·模擬預測）已知直線l:mx+ny-r2=0A．若點P在圓C外，則直線l與圓C相離 B．若點P在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交C．若點P在圓C上，則直線l與圓C相切 D．若點P在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】AB【分析】根據(jù)直線和圓相切、相交、相離的等價條件進行求解即可.【詳解】對于A，因為點Pm,n在圓C則圓心C0,0到直線l的距離為d所以直線l與圓C相交，故命題A是假命題；對于B，因為點Pm,n在圓C則圓心C0,0到直線l的距離為d所以直線l與圓C相離，故命題B是假命題；對于C，因為點Pm,n在圓C則圓心C0,0到直線l的距離為d所以直線l與圓C相切，故命題C是真命題；對于D，因為點Pm,n在直線l上，所以m則圓心C0,0到直線l的距離為d所以直線l與圓C相切，故命題D是真命題；故選：AB.變式7．（2024·四川瀘州·三模）動直線l：mx+y-2m-1=0被圓【答案】8【分析】求出直線所過定點A，判斷定點A在圓內(nèi)，數(shù)形結(jié)合知直線l截圓C所得弦長最小時，弦心距最大，此時CA⊥l【詳解】直線l:mx+所以直線l過定點A2,1，又圓C:x所以點A在圓C內(nèi)部，AC=當CA垂直于直線l時，C到直線l的距離最大，此時弦長最小，所以直線l被圓C截得的弦長的最小值為226故答案為：8.【方法技巧與總結(jié)】一.直線與圓相交的性質(zhì)，如圖，直線l與圓C相交與A,B，半徑為r，弦AB的中點為D，則點C到直線l的距離d=|CD，稱為弦心距；CD⊥l;||AD二.直線與圓相切的性質(zhì)如圖，直線l與圓C相切，切點為P，半徑為r.則（1）CP⊥l；（2）點C到直線l的距離d=|CP|=r；（3）切點P在直線l上，也在圓上.【題型2：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)】例2．（2425高三上·江蘇蘇州·開學考試）已知直線l：xa+ya=1及圓C：x2+y2-6x-2y+2=0，則A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用直線與圓的位置關(guān)系，充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】圓C:(x-3)由直線l:x+y-a=0(a≠0)所以“a=8”是“直線l與圓C相切”的充要條件故選：C變式1．（2425高二上·江蘇徐州·階段練習）直線y=x+b與曲線x=A．-1<b≤1C．-2<b≤-1 D【答案】D【分析】畫出直線y=x+b【詳解】曲線x=1-y2，整理得x2當直線y=x+則圓心(0,0)到直線y=x+可得b=-當直線y=x+b過如圖，直線與曲線恰有1個交點，則-1<b≤1故選：D.變式2．（2024·全國·模擬預測）若直線mx+ny=1與圓xA．m2+nC．m2+n【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，進而可以列出不等式.【詳解】x2+y2=1圓心(0,0)到直線mx+ny-依題意，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，所以1m2+故選：A.變式3．（2324高二上·云南昆明·階段練習）已知直線y=k(x+2)與曲線yA．-33,C．-33,0【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到直線y=k(x+2)過定點【詳解】由直線y=k(又由曲線y=1-x作出曲線y=1-x因為直線y=k(又由2kk2若直線y=k(x+2)即實數(shù)k的取值范圍為0,3故選：B.變式4.（2223高二上·河北保定·期末）在直角坐標系xOy中，A2,0，B0,2，且圓M是以AB(1)求圓M的標準方程；(2)若直線y=kx+2與圓M相切，求實數(shù)【答案】(1)x(2)1【分析】（1）由AB為直徑，可知圓心M及半徑，進而可得圓的方程；（2）根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點到直線的距離可得解.【詳解】（1）由已知A2,0，B0,2，則半徑r=所以圓的方程為x-（2）由直線y=kx+2又直線與圓相切，可得d=k-變式5.（2025·江蘇蘇州·模擬預測）過原點的圓的圓心為-sin3,cos3，則原點處與圓相切的直線的傾斜角為（

A．3 B．π-3 C．3π-62 D．【答案】A【分析】設圓心為C-sin3,cos3，即可求出kOC，從而得到【詳解】設圓心為C-sin3,cos3，則依題意kl?k又π2<3<π，所以直線l的傾斜角為3故選：A變式6.（2324高二下·云南昆明·階段練習）過點P-2,4作圓O:(x-2)2+(y-1)A．4 B．2 C．85 D．【答案】A【分析】由點斜式求出直線l的方程，根據(jù)直線平行及兩平行直線間的距離公式可得結(jié)果.【詳解】由條件知點P-2,4在圓O上，所以直線OP的斜率為4-1-2-2=-即直線l方程為y-4=43x直線l平行，∴b=3,∴直線m方程為4x-3y=0故選：A．變式7.（2024高三·全國·專題練習）設過點P(0,-5)與圓C:x2+A．19 B．459 C．-【答案】A【分析】解法1：如圖，由題意確定圓心坐標和半徑，求出sin∠APC,cos∠APC，由二倍角的余弦公式求出cos∠APB即可求解；解法2：如圖，由題意確定圓心坐標和半徑，利用余弦定理求出cos∠APB即可求解；解法3：易知切線斜率存在，利用點到直線的距離公式和斜率的定義求出【詳解】解法1：如圖，圓x2+y則圓心C(2,0)，半徑r=5，過點P(0,-5)作圓因為PC=3，則PA=PB則cos∠APB=cos2∠所以cosα故選：A.解法2：如圖，圓x2+y2-4x過點P(0,-5)作圓C的切線，切點為A,B，連接AB.因為PA且∠ACB=π-∠APB即4-4cos∠APB=5-5cos∠ACB即∠APB為鈍角，且α為銳角，則cos故選：A.解法3：圓x2+y2-4x若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點的距離d若切線斜率存在，則設切線方程為y=kx-則圓心到切線的距離d=2k所以tanα=k由sin2α+故選：A.【題型3：圓的切線問題】例3．（2024高三·全國·專題練習）圓C:x-12【答案】x【分析】根據(jù)條件得到點P0,3在圓上，從而得到切線的斜率為3【詳解】因為圓C:x-12易知點P0,3在圓上，又kCP故切線方程為y-3=故答案為：x-變式1．（2024高三·全國·專題練習）已知圓C:x-12+y2=2外一點P2,2，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為【答案】x【分析】過圓x-a2+y-【詳解】由題意，切點弦AB所在直線的方程為2-1x-1故答案為：x變式2.（2425高三上·四川成都·開學考試）已知點P在圓(x-5)2+(y-【答案】3【分析】找到當∠PBA最小時P點所在的位置，再結(jié)合勾股定理可得結(jié)果【詳解】設圓(x-5)2+如圖所示：當∠PBA最小時，PB與圓M相切，連接MP則PM⊥PB，|BM由勾股定理得|PB所以當∠PBA最小時，|故答案為：32變式3.（2223高二上·四川成都·階段練習）已知圓C的方程為：(x(1)過點P(1,3)作圓的切線，求切線l的方程(2)已知圓C上有2個點到直線l：x+my+2=0的距離為1，求【答案】(1)5x-(2)?【分析】（1）先判斷點P(1,3)（2）先求臨界位置，即分別求圓上有1個點到l的距離為1，圓上有3個點到l的距離為1，時m的值，取中間范圍即圓上有2個點到l的距離為1.【詳解】（1）由題可知圓心C(-1,0),因為(1+1)2所以P在圓外，過圓外一點作圓的切線有2條.①當k存在時，設切線方程l：y-3=k則圓心C到l的距離d＝|-k-k此時切線l：5x②當k不存在時，過點P(1,3)的直線方程為x圓心C(-1,0)到直線x=1的距離為所以直線x=1與圓(此時切線方程l：x=1綜上：切線l的方程為：5x-（2）圓心C(-1,0)到l的距離d＝|-1+2|1當圓上有1個點到l的距離為1，則d當圓上有3個點到l的距離為1，則d=所以當圓上有2個點到l的距離為1，則|d所以1<d<3,即1<∴m的取值范圍為?變式4.（2324高二上·北京·期中）求滿足下列條件的曲線方程：(1)求過點A3,5且與圓O(2)求圓心在直線3x-y=0上，與x軸相切，且被直線x【答案】(1)x=3或(2)x2+2【分析】（1）先設出方程，然后將相切條件轉(zhuǎn)化為距離條件，再用距離公式求解；（2）先設出方程，然后將弦長條件轉(zhuǎn)化為距離條件，再用距離公式求解.【詳解】（1）據(jù)點A3,5可設直線方程為sin圓O的方程可化為x-12+y從而-2sin所以4=-得cost這就說明cost=0或tant=5（2）設所求圓的圓心坐標為Pt,3t，由于該圓與x所以該圓的方程是x-t2而該圓被直線x-y=0截得的弦長為27，故該圓圓心到直線所以-2t2故所求的圓的方程為x2+2x變式5.（2324高二上·貴州六盤水·期末）已知半徑為2的圓C的圓心在射線y=x(x>0)(1)求圓C的標準方程；(2)求過點B(-1,0)且與圓C【答案】(1)((2)x=-1或【分析】（1）設圓心坐標為m,mm>0，根據(jù)點（2）分斜率存在和不存在求解，當斜率存在時，設切線的方程為y=k【詳解】（1）由圓C的圓心在直線y=x上，可設圓心C的坐標為又圓C的半徑為2，點A(-1,1)在圓C上，有|解得m=-1（舍去）或m故圓C的標準方程為(x（2）①當切線的斜率不存在時，直線x=-1與圓C②當切線的斜率存在時，設切線的方程為y=k(由題知|2k-1|可得切線方程為-34x由①②知，過點B(-1,0)且與圓C相切的直線方程為x=-1或

變式6.（2324高二上·江蘇常州·階段練習）實數(shù)x,y滿足(x-1)A．-7,1 B．C．(-∞,-7]∪1,+∞ D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，把y+2x轉(zhuǎn)化為圓上的點P(x【詳解】由圓的方程(x-1)2+又由y+2x=y-(-2)x當過點A(0,-2)與圓C相切時，此時y設y+2x=t，可得整理得t2+6t-7=0結(jié)合圖象，可得y+2x的取值范圍是故選：C.變式7.(多選)（2324高二下·廣西桂林·期末）直線l：y=x+m，圓C：A．直線l的傾斜角為πB．圓C的圓心坐標為（1，0）C．當m=2-1時，直線D．當m∈(-2-1,2【答案】BCD【分析】根據(jù)直線l斜率和傾斜角的關(guān)系，即可判斷A選項；將圓心求出，即可判斷B選項；利用點到直線的距離公式求出d=r，即可得出直線l與圓C的位置關(guān)系，即可判斷C選項；利用點到直線的距離公式求出d<r，即可表示出直線l與圓C【詳解】直線l：y=x+m的斜率為1，所以直線l的傾斜角為而圓C：x2+y2-2x=0，即當m=2-1時，直線設圓心C1,0到直線l的距離為d，則d所以直線l與圓C相切，故C正確；對于D項，圓C：x2+y2-2x因為直線l:y=x+m與圓C交于兩點，所以圓心即d=1-0+m所以當m∈(-2-1,2-1)故選：BCD.【方法技巧與總結(jié)】1.過圓上一點的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.=3\*GB3③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.過圓外一點的圓的切線過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.【題型4：弦長問題】例4．（2425高三上·陜西·開學考試）由直線y=x+1上的一點向圓xA．3 B．22 C．7 D．【答案】C【分析】由圓的方程得圓心坐標和半徑，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求出切線長的最小值即可.【詳解】由圓的方程C:x-32如圖，切線長PA2=PC2-PC最小值為圓心C到直線y=x+1所以切線長PA的最小值22故選：C.

變式1．（2425高二上·江蘇徐州·階段練習）圓x2A．2 B．2 C．22 D．【答案】B【分析】利用配方法化簡圓的方程，結(jié)合垂徑定理與勾股定理，可得答案.【詳解】由x2+y圖中AB⊥MO，MB=3,MO=2，易知AB為所有經(jīng)過坐標原點的弦中最短弦，AB=2故選：B.變式2．（2425高二上·江蘇徐州·階段練習）圓x-22A．1 B．2 C．23 D．【答案】C【分析】代入弦長公式，即可求解.【詳解】圓心2,0到直線x-y-所以弦長l=2故選：C變式3．（2425高二上·陜西西安·開學考試）直線l過點2,1，且與圓C：x-22A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】判斷已知點與圓的位置關(guān)系，并確定過定點的直線與圓所成弦長的范圍，結(jié)合圓的對稱性確定弦的條數(shù).【詳解】由題設，圓C的圓心為(2,4)，且半徑r=而2-22+1-42=9<10當直線l與2,1、(2,4)的連線垂直時，弦長最短為2r而最長弦長為圓的直徑為210，故所有弦的弦長范圍為[2,2所以相交所形成的長度為整數(shù)的弦，弦長為2,3,4,5,6，根據(jù)圓的對稱性，弦長為3,4,5,6各有2條，弦長為2的只有1條，綜上，共9條.故選：D變式4．（2223高二下·北京延慶·期中）已知點P-13,23，圓C:A．3x-6y-5=0 B．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，由條件可得過點P且弦長最短的弦應是垂直于直線CP的弦，再由直線的點斜式方程，即可得到結(jié)果．【詳解】設經(jīng)過圓C內(nèi)一點P且被圓截得弦長最短的直線的斜率為k1，直線PC的斜率為k由題意得，k2因為k1?k所以圓C內(nèi)一點P且被圓截得弦長最短的直線的方程為y-23故選：B．變式5．（2324高二下·甘肅白銀·期末）已知直線l:ax+y-a+2=0與圓C:(A．3x+y+1=0 B．x+2y【答案】D【分析】直線l恒過定點D1,-2，可得D點在圓C內(nèi)，可得當DC⊥l時弦AB最短【詳解】l:ax-1+y因為1-22+-2+12所以當DC⊥l時，弦AB設直線l的斜率為k，則k=-所以直線l的方程為y+2=-x-故選：D.變式6．（2122高二下·全國·期末）設M是圓C：x+22+y2=16上的動點，MN是圓的切線，且MN=2A．4 B．5 C．6 D．16【答案】A【分析】根據(jù)切線性質(zhì)可得點N的軌跡方程為圓，再根據(jù)圓上的點到定點距離的最值方法求解即可.【詳解】由題意得，圓心C-2,0，半徑為又MN=25，∴即點N的軌跡方程為x+2∴點N到點4,8距離的最小值為4+22故選：A.變式7.（2324高二下·北京海淀·期末）已知直線l:y=kx+1與⊙C:x-12+y2=4A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用三角形的面積公式可得，當∠ACB=90°時，△ABC再由點到直線的距離公式求出k的值，最后結(jié)合充要條件的定義進行判斷即可.【詳解】由⊙C:x-1又S△當且僅當∠ACB此時AB=由等面積可得點C到直線l的距離d=又點C到直線l的距離d=解得，k=±1因此“k=±1”是“△ABC的面積取得最大值”故選：C.【方法技巧與總結(jié)】解決有關(guān)弦長問題的常用方法及結(jié)論幾何法如圖所示，設直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代數(shù)法若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點，則|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當k＝0時，|AB|＝|xA－xB|；當斜率不存在時，|AB|＝|yA－yB|，當直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形，在解題時，要注意把它和點到直線的距離公式結(jié)合起來使用【題型5：與圓有關(guān)的對稱問題】例5．（2425高三上·貴州·開學考試）已知圓C:x2+y2-A．2 B．3 C．6 D．4【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化為直線l過圓心即2a+3【詳解】因為圓C:x-所以直線l過圓心2,3，即2a則1因為ab>0，且2a+3所以12當且僅當3b2a則12a故選：D.變式1．（2324高二上·福建廈門·期中）若圓x2+y2-ax+2y+1=0與圓x2+y2A．x2+4xC．y2-2【答案】D【分析】由圓與圓的對稱性可得a，再利用幾何關(guān)系，求點P的軌跡方程.【詳解】圓x2+y2-ax+2圓x2+y2=1由圓x2+y2-可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點在直線y=x-1上，所以經(jīng)檢驗，a=2滿足題意，則點C的坐標為-設圓心P為坐標為x,y，則(x即圓心P的軌跡方程為y2故選：D.變式2．（2324高三下·重慶·階段練習）過直線y=2x-1上的一點P作圓C:(x+2)2+(A．22 B．23 C．4 D【答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合對稱性，即可確定點P的位置，即可求解.【詳解】若直線l1,l2關(guān)于直線y=2則PC與y=2x-1垂直，所以PC等于圓心即PC=故選：D變式3．（2324高二下·云南昆明·期中）已知圓x2+y2+2x-A．-3 B．1 C．-1 D【答案】D【分析】求出圓心并將其代入直線x-y【詳解】由x2+y則圓心坐標為-1,2，又因為圓x2+故由圓的對稱性可知：圓心-1,2在直線x則t=故選：D.變式4．（2324高三下·浙江寧波·階段練習）過直線y=3x上的點P作圓C:(x+2)2+(y-A．35,95 B．65,【答案】C【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點等知識求得正確答案.【詳解】圓C:(x直線l1,l2關(guān)于直線y=3所以直線CP的方程為y-由x+3y-10=0y故選：C.變式5.（2324高二上·貴州銅仁·期中）已知圓x2-4x+y2-2y=5關(guān)于直線2ax+【答案】92【分析】空1：由題意得直線2ax+y+b-3=0過圓心，從而得到4a【詳解】圓x2-4x+由題意得：直線2ax+y所以4a+b=2，又所以1a+1b=1a+1b此時直線方程為23x+故答案為：92；2變式6.（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知圓x2+y2+2x①圓x2+y2+2x-4y+1=0的圓心是-1,2；②圓x【答案】①②③④【分析】根據(jù)圓的一般方程化為標準方程得出圓心和半徑判斷①②，再根據(jù)直線過圓心得出③，再結(jié)合換元應用二次函數(shù)值域判斷④即可.【詳解】對于①②，將圓的方程化為標準方程可得(x+1)2+(y-對于③，由已知可得，直線2ax-by+2=0經(jīng)過圓心，所以2a對于④，由③知b=1-a，所以ab=a1-a=-a故答案為：①②③④變式7.（2324高二下·上?！て谥校┮阎本€l:2x+(1)求直線l與圓C相交所得的弦長；(2)求圓C關(guān)于直線l對稱所得的圓的方程．【答案】(1)8(2)x【分析】（1）根據(jù)題意，由點到直線的距離公式結(jié)合勾股定理代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由點關(guān)于直線對稱，即可得到圓心M的坐標，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設直線l:2x+y-因為圓C:(x-1)則圓心到直線l的距離為d=則AB=2所以直線l與圓C相交所得的弦長為85（2）設圓C關(guān)于直線l對稱所得的圓為圓M，由題意可得圓心C與圓心M關(guān)于直線l對稱，設圓心Mm,n，則n則M-35,6【題型6：點與圓有關(guān)的最值問題】例6．（2324高二上·遼寧鞍山·期中）若點Px,y在圓x2+【答案】8-2【分析】利用(x-1)2+y2表示點(x,y【詳解】因為x2+y圓心為(0,2)，半徑為3，又(x-1)2+圓心(0,2)與點(1,0)的距離為5，所以點(x,y)與點故(x-1)故答案為：8-215變式1.（2324高三上·河南駐馬店·期末）若點Px,y是圓C:x2+y2A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)圓外一定點到圓上一點距離的平方的幾何意義進行求解即可.【詳解】圓C:x2+x2+y2表示點P因為CO=所以x2+y故選：B.變式2.（2324高二上·山東泰安·期中）已知曲線x-1=4-y2A．17+2，17-2 B．C．37，17-2 D．37【答案】B【分析】首先化簡題給條件x-1=4-y2，得到其為以A(1,0)【詳解】由x-1=4-此方程表示的曲線為以A(1,0)為圓心半徑為2則x2+y其最大值為PA+2，最小值為PB又B(1,2)，PB=1+4則x2+y-4故選：B變式3.（2024·山東棗莊·一模）在平面直角坐標系xOy中，已知A-3,0,B1,0,PA．34 B．40 C．44 D．48【答案】B【分析】借助點到直線的距離公式與圓上的點到定點距離的最值計算即可得.【詳解】設Px,=2x即PA2+PB2等價于點又PQ≥即PA2故選：B.變式4.（2324高二上·山東菏澤·階段練習）在Rt△AOB中，∠BOA=90°，OA=8，OB=6，點P為它的內(nèi)切圓C上任一點，求點P到頂點A【答案】8872【分析】如圖所示，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系xOy，然后表示出三角形內(nèi)切圓的方程，設Px,y為圓C上任一點，表示出點P到頂點A，B，O的距離的平方和為【詳解】如圖所示，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系xOy，則A8,0，B0,6，內(nèi)切C的半徑

∴圓心坐標為2,2．∴內(nèi)切圓C的方程為x-設Px,y為圓C上任一點，點P到頂點A，B，O則d=3x∵點Px,y在圓上，∴d=3×4-4∵點Px,y是圓C上的任意點，∴當x=0時，dmax=88；當x故答案為：88，72變式5.（2223高二上·重慶·期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過點A1,1和B2,-2，且圓心C在直線(1)求圓心為C的圓的一般方程；(2)已知P2,1，Q為圓C上的點，求PQ【答案】(1)x(2)最大值為34+5，最小值為【分析】（1）直接設圓心坐標并建立CA=（2）利用圓的性質(zhì)及兩點坐標公式計算即可.【詳解】（1）∵圓心C在直線l:x-y+1=0則CA2∴圓心C坐標為C-3,-2，則圓C的方程為其一般方程為x2（2）由（1）知圓C的方程為x+3∴PC2=2+32+1+2∴PQ的最大值為PC+r=變式6.（2023高二上·全國·專題練習）已知實數(shù)x，y滿足方程x-22【答案】最大值為7+43，最小值為【分析】根據(jù)方程x-22+y2=3表示以（2，【詳解】方程x-22+y2=3x2又圓心到原點的距離為2-02所以x2+y2的最大值為即x2+y2的最大值為變式7.（2324高二上·福建龍巖·期中）已知圓C的半徑為2，且圓心在直線y=x上，點A2,4在圓C上，點B0,2(1)求圓C的圓心坐標；(2)若點D在圓C上，求BD的最大值與最小值.【答案】(1)4,4(2)最大值為25+2，最小值為【分析】（1）設出圓的標準方程：(x（2）先求圓外B點到圓心的距離d，則可知：d-【詳解】（1）設圓的標準方程為：C:由題意得：b=a(2-即：圓C的圓心坐標：4,4.（2）由題意得:BC=所以：BC-所以：BD最大值為：：25+2，最小值為：【方法技巧與總結(jié)】圓上的點到直接距離最值:1.把圓化成圓的標準方程找出圓心和半徑r2.利用點到直線到距離公式求圓心到直線的距離3.判斷位置關(guān)系【題型7：直線與圓有關(guān)的最值問題】例7．（2324高二下·山西呂梁·階段練習）已知P是圓O:x2+y2=1A．0,22-1C．0,22+1 D【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到l過定點Q2,-2，得到點P在圓O上，且OQ=2【詳解】因為直線(2+λ)x由2x-y-6=0x-又因為點P在圓O上，且OQ=2又由圓O:x2+y當OQ⊥l時，點P到l的距離最大，最大距離為22所以直線l的斜率為1，此時2+λ=1+λ無解，故直線l當直線l與圓O相交時，點P到l的距離最小，最小距離為0，故點P到l的距離的取值范圍為0,22故選：D.變式1．（2024·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標系中，記d為點Pcosθ，sinθ到直線kx-y-3k+4=0A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】由直線方程得到其過定點A(3,4)，而Pcosθ，sinθ可看成單位圓上的一點，故可將求點P【詳解】由直線l:kx-y-而由Pcosθ，sinθ于是求點Pcosθ，sinθ到直線

如圖知當直線l與圓相交時，Pcosθ，sinθ到直線要使點P到直線l距離最大，需使圓心O(0,0)到直線l又因直線l過定點A(3,4)，故當且僅當l⊥OA時距離最大，（若直線l與OA不垂直，則過點O作直線l此時|OA|=5，故點P到直線l距離的最大值為dmax=|OA故選：D.變式2.（2324高二上·江蘇南京·開學考試）已知圓C：x-32+y-42=1，直線2x-y-12=0上點P，過點P作圓【答案】19【分析】根據(jù)勾股定理可得PBmin=【詳解】四邊形PACB的面積S=當CP與直線垂直時，此時CP取最小值，故最小值為6-4-124+1又半徑r=1，所以PBmin=20-1=故答案為：19變式3．（2324高二上·江蘇南京·開學考試）設圓C1：x2+y2-10x+4y+25=0與圓C2：x2+y2-A．22+3 B．3-22 C．6【答案】C【分析】分析發(fā)現(xiàn)兩圓心C1和C2的連線恰好垂直于直線y=x+1，從而得出當M與C1【詳解】因為圓C1：x2+圓C2：x2所以C1和C2的圓心坐標分別為5,-2、3,0，半徑r1所以直線C1C2的斜率k=所以直線C1C2所以當M與C1和C2共線時最小，此時又此時MC1=所以MA+MB最小值為故選：C變式4．（多選）（2324高二上·江蘇南京·開學考試）已知圓O:x2+y2=4A．直線l1，lB．直線l1與圓OC．直線l2與圓O截得弦長為D．l【答案】ACD【分析】根據(jù)l1∥l2?A1【詳解】A．由-cos2θ-sin2θB．圓O:x2+y2=4的圓心為0,0，半徑為2，所以圓心到直線l1的距離為C．直線l2到圓心的距離為0+0-1所以直線l2與圓O截得弦長為24-1=2D．∵sinθcosθ-cos故選：ACD．變式5．（2425高三上·河北邢臺·開學考試）已知實數(shù)a,b滿足a2+b【答案】7【分析】依題意可得a-12+b+12=2，從而得到點a,b在圓x【詳解】因為a2+b所以點a,b在圓x-12又3-ba+1=-b-3又-1-12+由圖可知，當直線與圓相切時，b-3a--1取得最值，設過點即kx-y+k+3=0，則d即b-3a--所以3-ba+1故答案為：7變式6．（2023·江西上饒·模擬預測）直線2x?sinθ+y=0【答案】2【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用垂徑定理與勾股定理建立關(guān)系即可得到答案.【詳解】由已知，圓的標準方程為x2+(y-圓心到直線2x?sinθ+所以弦長為2r2-所以1≤54sin當4sin2θ+1=5即故答案為：22變式7．（2425高三上·北京·開學考試）已知直線x-y+m=0與圓C:x2+y2+4x-【答案】0（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，利用直線與圓的位置關(guān)系和圓的弦長公式，列出不等式，求得實數(shù)m取值范圍，進而得到答案.【詳解】由圓C:x2+y因為直線x-y+m=0解得3-10又由“直線x-y+m=0截圓可得“直線x-y+m=0截圓則滿足2r2-d2可得d=-2-1+m1綜上可得，3-10<m即實數(shù)m的取值范圍為3-10所以一個實數(shù)m的為可以為0.故答案為：0（答案不唯一）.一、單選題1．（2324高二下·湖北武漢·期中）若圓C的圓心為1,2，且被x軸截得弦長為4，則圓C的方程為（

）A．x2+yC．x2+y【答案】A【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用垂徑定理可求得BD，繼而求出圓的半徑，寫出圓的方程.【詳解】

如圖，過點C作CD⊥AB于D，依題意，BD=12AB=2從而，圓的半徑為：BC=故所求圓的方程為：(x-1)故選：A.2．（2425高三上·江蘇南通·階段練習）已知直線ax+by+1=0與圓x+12A．與a有關(guān)，與b有關(guān) B．與a有關(guān)，與b無關(guān)C．與a無關(guān)，與b有關(guān) D．與a無關(guān)，與b無關(guān)【答案】D【分析】先求得圓的圓心坐標為(-1,0)和半徑為1，結(jié)合題意圓心到直線的距離等于半徑，即-a+1【詳解】圓x+12+y2因為直線ax+by+1=0則圓心到直線的距離等于半徑，即-a化簡得a2-2故選：D.3．（2324高二下·河南·階段練習）若直線x+y+2=0與圓M:xA．2 B．4 C．22 D．【答案】C【分析】由圓心到直線的距離等于半徑列方程即可得解.【詳解】依題意，a+a+22=22故選:C.4．（2024·遼寧丹東·二模）過坐標原點O作圓C:x2+y2-4x-4y+4=0A．2 B．2 C．22 D．【答案】C【分析】由圓的標準方程作出圓的圖形，易得切點坐標，利用兩點之間距離公式計算即得.【詳解】

如圖，由圓C:x-22+y所以切點為A2,0，B0,2，故故選：C.5．（2024·河南南陽·模擬預測）若圓C:(x-a)2A．12 B．1 C．32 D【答案】D【分析】由題設，將圓心坐標代入直線方程即可求解.【詳解】由題意得圓心a,4a在直線則3a-4故選：D.6．（2324高三上·浙江嘉興·期末）已知直線l:3x+y-1=0與圓O：x2+A．π2 B．2π3 C．3π4【答案】B【分析】求得圓心為O到直線l:3【詳解】因為圓心為O到直線l:3x所以AB=2r所以∠OAB=∠OBA=π6故選：B7．（2324高二上·廣東深圳·期末）若直線l:mx+ny-1=0圓x2A．3 B．2 C．22 D．【答案】B【分析】原點O在圓上，到切線的最大距離等于圓的直徑.【詳解】圓x2+y2+2x=0直線l:mx+原點O在圓上，所以原點O到直線l距離的最大值為1+1=2.故選：B8．（2324高二上·上?！て谀┮阎獔AC:x2+y2-2x-1=0，當圓心A．-13 B．13 C．－3【答案】B【分析】圓心C(1,0)，半徑r=2，直線l恒過定點P(0,3)，當直線l與PC垂直時，圓心C到直線l【詳解】因為圓C的方程為：x2+y所以圓心為C(1,0)，半徑r直線l:y=kx當直線l與PC垂直時，圓心C到直線l的距離最大，由斜率公式得直線PC的斜率為：3-00-1由垂直關(guān)系的斜率公式得：k?(-3)=-1，解得故選：B．二、多選題9．（2425高二上·廣西·開學考試）對于直線l:m-2xA．l過定點(2,3)B．C的半徑為9C．l與C可能相切D．l被C截得的弦長最小值為2【答案】BC【分析】根據(jù)含參直線方程求定點坐標判斷A；把圓的方程化為標準方程求得圓的半徑判斷B；判斷直線過的定點在圓內(nèi)判斷C；當l與點2,3和圓心3,2的連線垂直時，l被C截得的弦長最小，計算可求弦長的最小值判斷D.【詳解】m-2x由x-2=0-2x+y+1=0，得圓C:x2+y2-由(2-3)2+(3-2)2=2<9所以l與C相交，不會相切，故C不正確；當l與點2,3和圓心3,2的連線垂直時，l被C截得的弦長最小.因為點2,3和圓心3,2連線的斜率為3-22-3=-1，所以-m此時l的方程為x-y+1=0，因為圓心3,2到直線l所以弦長為29-(2)故選：BC.10．（2324高二下·福建廈門·期末）已知直線x+y-4=0與圓O：x2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【分析】根據(jù)直線與圓相交或相切，則圓心到直線的距離d≤r【詳解】圓x2+y2=由于直線x+y-則-42≤由于32>8=22故選：CD.11．（2324高二下·安徽蕪湖·期末）已知直線l:y=kx-A．直線l過定點1,0B．直線l與圓C恒相交C．直線l被圓C截得的弦長最短為4D．若直線l被圓C截得的弦長為14，則k【答案】ABD【分析】利用直線的點斜式方程可判斷A；利用定點與圓的位置關(guān)系可判斷B；根據(jù)定點為弦的中點時，直線l被圓C截得的弦長最短可判斷C；利用弦長公式可判斷D.【詳解】對于A，直線l:y=kx-k，即對于B，因為12+02=1<4，所以定點1,0在圓C:x對于C，直線l與x軸垂直時，直線l被圓C截得的弦長最短，此時l:直線l被圓C截得的弦長為24-12對于D，直線l:kx-y-k=0得k=±1，故D正確故選：ABD三、填空題12．（2425高二上·全國·單元測試）已知圓C與直線y=-x及x+y-4=0相切，圓心在直線【答案】x【分析】假設圓心的坐標，根據(jù)相切，列出方程求解即可得到圓心，進而可以求出半徑.【詳解】根據(jù)題意設圓心坐標為a,∵圓C與直線y=-x及∴圓心到兩直線y=-x及即2a2=∴圓心坐標為1,1，R=∴圓C的標準方程為x-故答案為：x-（2324高二下·河南南陽·期末）已知點Px,y在圓x2【答案】-【分析】確定圓心和圓的半徑，再根據(jù)xy的幾何意義數(shù)形結(jié)合即可得到xy【詳解】由x2+y故圓的圓心為1,-2，半徑為1，當P0,-2時，x當Px,y如圖可知kOP<0，故此時xy的最小值是直線OP令y=kx，即kx-兩邊平方整理得4k+3=0，解得k=-34又-43<0，故x故答案為：-414．（2324高二上·浙