專題04雙曲線的概念與幾何性質(zhì)（考點(diǎn)清單知識(shí)導(dǎo)圖3考點(diǎn)清單10題型解讀）

專題04雙曲線的概念與幾何性質(zhì)【清單01】雙曲線的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程一.雙曲線的定義1.定義：在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.2.焦距：這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1.若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；4.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5.若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。二.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中【清單02】雙曲線的漸近線、離心率及幾何性質(zhì)匯總一.等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y＝±x，離心率為e＝eq\r(2).二.雙曲線與漸近線的關(guān)系3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，三.離心率1.定義：e＝c2.范圍：(1，＋∞)3.拓展：=1\*GB3①e2=c2a2=a2+b2a2=1+四.雙曲線的幾何性質(zhì)匯總標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(2a)；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(2b)；半實(shí)軸長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(a)，半虛軸長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(b)離心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x【清單03】直線與雙曲線的位置關(guān)系一．直線與雙曲線的位置關(guān)系把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2+bx+(1)?>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)(2)?=0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)切點(diǎn)(3)?<0時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)當(dāng)a=0時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)【特別注意】(1)直線與雙曲線的關(guān)系中:一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支(2)解決直線與雙曲線的公共點(diǎn)問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，直線與漸近線平行的特殊情況.(3)雙曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的題目，應(yīng)分兩種情況討論:直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行:(4)注意對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論二．弦長(zhǎng)公式①弦長(zhǎng)公式:直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d=1+k②處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時(shí),聯(lián)立曲線方程和直線方程,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式并結(jié)合韋達(dá)定理、點(diǎn)差法進(jìn)行求解③雙曲線的通徑:過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑,無論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于2【考點(diǎn)題型一】雙曲線的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程方法總結(jié)：文字語言平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|符號(hào)語言||PF焦點(diǎn)定點(diǎn)F焦距兩焦點(diǎn)間的距離【例1】（2324高二上·江蘇連云港·期中）方程x2+yA．x2+yC．y2+x【答案】D【分析】移項(xiàng)平方化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】由x2+y兩邊平方得2y-1=x2兩邊再平方得4y可化簡(jiǎn)為y2故選：D.【變式11】（2223高二上·江蘇鹽城·期中）已知P是圓F1:x+32+y2=16上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F23,0A．x25-C．x24-【答案】C【分析】由題意有QP=QF2，從而有QF1-Q【詳解】如圖所示：∵P是圓F1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為3,0，線段PF2的垂直平分線交直線∴QP=QF∵P是圓F1上一動(dòng)點(diǎn)，∴PF1=4∴F23,0，F(xiàn)1∴點(diǎn)Q的軌跡為以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線，且a=2，c=3，得∴點(diǎn)Q的軌跡方程為x2故選：C.【變式12】（2324高二上·江蘇常州·期中）若方程mx2+1-my2A．m<0 B．C．0<m<1 D．m【答案】A【分析】由焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程的結(jié)構(gòu)特征列出關(guān)于m的不等式組求解即得.【詳解】因方程mx2+則有1-m>0m所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m<0故選：A【變式13】（2324高二上·江蘇無錫·期中）已知雙曲線的方程為x2k+2+y【答案】-∞【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)求解即可.【詳解】∵x2∴k+23-k∴k的取值范圍是-∞,-2故答案為：-∞【變式14】（2122高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）動(dòng)圓M與圓C1：x+42+y2=1，圓C2：A．x215+C．x2-y【答案】D【分析】首先設(shè)Mx,y，半徑為r，根據(jù)動(dòng)圓M與圓C1，C2都外切得到MC2-【詳解】圓C1：x+42+y2圓C2：x2+y2-設(shè)Mx,y，半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C所以MC所以M的軌跡為以C1,C2所以a=1，c=4，解得即M的軌跡方程為：x2故選：D【考點(diǎn)題型二】雙曲線的離心率方法總結(jié)：求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=ca轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程【例2】（2324高二上·江蘇連云港·期中）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，漸近線方程為y=±2x，則C的離心率為（A．3 B．5C．3或62 D．5或【答案】D【分析】根據(jù)題意，分雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸和y軸上，兩種情況求得ba，進(jìn)而求得雙曲線的離心率的值，得到答案【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為y=±2當(dāng)雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可得ba=2，所以當(dāng)雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可得ba=1綜上可得，雙曲線C的離心率為5或52故選：D.【變式21】（2324高二上·江蘇常州·期中）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PA．25 B．C．22 D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線以及橢圓的定義，以及在焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用余弦定理建立關(guān)于雙曲線和橢圓離心率的方程解出即可.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：PFPF設(shè)F1則在△PF1即4化簡(jiǎn)得：a1所以1e又因?yàn)殡p曲線的離心率為e2所以橢圓的離心率為e1故選：B.【變式22】（2324高二上·江蘇鹽城·期中）已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右頂點(diǎn)分別為A、BA．2 B．2C．3 D．5【答案】C【分析】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，作出圖形，分析可知BM=AB=2a，利用正弦定理求出sin∠BAM的值，進(jìn)而可得出直線AM的斜率，求出直線AM的方程，結(jié)合二倍角的正切公式以及點(diǎn)斜式可得出直線BM的方程，可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線E的方程，求出【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，如下圖所示：由圖可知，AM>BM，且因?yàn)椤鰽BM為等腰三角形，則BM設(shè)△ABM的外接圓半徑為r，則πr2由正弦定理可得ABsin∠AMB=2r，則易知，∠BAM為銳角，則cos∠所以，tan∠BAMtan∠xBM所以，直線AM的方程為y=22x+聯(lián)立y=22x+將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線E的方程可得5a32因此，雙曲線E的離心率為e=故選：C.【變式23】（2324高二上·江蘇南通·期中）在△ABC中，AC⊥BC，sinA=35，以A，C為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)B的橢圓離心率記為e1，以B，C【答案】1【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義，再由離心率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可設(shè)BC=3,AC=4，AB=5，以A,C為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)B的橢圓為x2a由橢圓的定義可知，2a1=則e1由雙曲線的定義可知，2a2=則e2=2故答案為：1【變式24】（2324高二上·江蘇徐州·期中）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1:x2a12+y2b12A．52,6C．324,【答案】C【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可得，MF1=a1+a2MF【詳解】根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得MF所以MF在△MF1cos∠F1M整理可得，a1兩邊同時(shí)除以c2可得，a又e1=c所以有1e所以，1e因?yàn)閑1∈2所以43≤1e1所以，23則63故32故選：C.【考點(diǎn)題型三】雙曲線的漸近線方法總結(jié)：在雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線x2a2-y2b2=1(a【例3】（2324高二上·江蘇徐州·期中）已知以雙曲線C:x2a2-y2bA．x28-C．x22-【答案】B【分析】先根據(jù)題意，得到雙曲線的漸近線方程，推出a=b，再由以實(shí)軸、虛軸為兩條對(duì)角線的四邊形面積為8，求出a【詳解】因?yàn)殡p曲線x2所以漸近線方程為：y=±x，因此則實(shí)軸與虛軸相等，又以雙曲線C的實(shí)軸、虛軸為兩條對(duì)角線的四邊形的面積為8，則12×2a因此該雙曲線的方程為x2故選：B.

【變式31】（2223高二上·江蘇鹽城·期中）已知雙曲線C:x24-y2A．相同的焦點(diǎn) B．相同的實(shí)軸長(zhǎng)C．相同的離心率 D．相同的漸近線【答案】D【分析】分別求m>0與m<0時(shí)雙曲線的a【詳解】當(dāng)m>0時(shí)，方程x24∴a=2m，b=焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸，實(shí)軸長(zhǎng)為4m，離心率為72，漸近線為當(dāng)m<0時(shí)，方程x24∴a=-3m，焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2-3m，離心率為21所以這些雙曲線有相同的漸近線.故選：D.【變式32】(多選)（2324高二上·江蘇泰州·期中）已知曲線C：mx2+A．若n>m>0，則CB．若m=n>0，則C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若n=0，m>0，則【答案】CD【分析】根據(jù)n>m>0，將mx2結(jié)合圓的方程判斷B；討論m,n的正負(fù)，結(jié)合雙曲線方程以及漸近線方程可判斷n=0，m>0時(shí)，可得x【詳解】對(duì)于A，若n>m>0，則1m>故x21m+y對(duì)于B，若m=n>0，則m故C是圓，其半徑為1n，B對(duì)于C，若mn<0，則不妨設(shè)m>0,n<0，則曲線C此時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其漸近線方程為y=±當(dāng)m<0,n>0，則m曲線C此時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，其漸近線方程為y=±綜上，若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±-對(duì)于D，若n=0，m>0，則mx2+即則C是兩條直線，D正確，故選：CD【變式33】（多選）（2223高二上·江蘇淮安·期中）下列雙曲線中以y=±2x為漸近線的是（A．x24-C．y2-4【答案】BCD【分析】根據(jù)雙曲線方程與漸近線方程的關(guān)系，即可求漸近線方程.【詳解】A.由雙曲線方程得x24-B.由雙曲線方程得x24-C.由雙曲線方程得y2-4D.由雙曲線方程得y24-故選：BCD【變式34】（多選）（2122高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知雙曲線C：x24-A．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－13，0)，(13，0)B．雙曲線C與x2C．雙曲線C的焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為3D．直線y=【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，雙曲線方程為x2所以a=2,A選項(xiàng)，雙曲線焦點(diǎn)為±13,0，AB選項(xiàng)，雙曲線C與x24-yC選項(xiàng)，雙曲線x24-焦點(diǎn)13,0到漸近線3x-2y=0D選項(xiàng)，由于雙曲線x24-y29=1的漸近線為y=±故選：BC【考點(diǎn)題型四】焦點(diǎn)三角形方法總結(jié)：求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積④結(jié)論：S【例4】（2122高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)雙曲線x29-y216=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2【答案】0【分析】先由雙曲線的定義結(jié)合已知求得PF1⊥【詳解】由題意得，PF1?P因此PF1⊥故答案為：0.【變式41】（2122高二上·江蘇鹽城·期中）已知焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的雙曲線C的離心率為5，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且滿足2PF1=3PF2【答案】2【分析】由2PF1=3PF2和雙曲線定義可得PF1=6【詳解】由題意，2由雙曲線定義可知，P∴∴cos∠又e又∠S∴2a2故雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2故答案為：2.【變式42】（2122高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知F1,F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左右焦點(diǎn)，過F1【答案】12【分析】根據(jù)雙曲線定義得AF2，【詳解】因?yàn)锳F2-AF因?yàn)锽F1-B因?yàn)椤螰2A因此S故答案為：12【變式43】（2223高二上·江蘇鹽城·期中）經(jīng)過雙曲線x2-y23=1的左焦點(diǎn)(1)線段AB的長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)F2為右焦點(diǎn)，求△F【答案】(1)30(2)64【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，由弦長(zhǎng)公式求解，（2）由雙曲線的定義轉(zhuǎn)化后求解．【詳解】（1）由題意得直線AB的方程為y=2(代入雙曲線方程x2-y2設(shè)A(x1,即AB的長(zhǎng)為5（2）由雙曲線的定義得AF2-則△F2=4+2×30=64..【變式44】（多選）（2223高二上·江蘇泰州·期中）已知橢圓C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0與雙曲線C2A．PF1?PFC．若∠F1PF2【答案】ABD【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形與橢圓雙曲線的聯(lián)系，結(jié)合余弦定理，面積公式即可求解.【詳解】設(shè)∠F1PF2=即a1又∵PF1+PF∴PF1=∴PF1?cosθ=PS△F1當(dāng)∠F1PF2∴1e12+2設(shè)∠F1PF2記PF1=在△F1P∴(m又由橢圓定義有：m+∴2mn(1+cosθ)=4又∵S△∴S==b設(shè)∠F1PF2記PF1=在△F1P∴(m又由雙曲線定義有：m-∴2mn(1-cosθ)=4又∵S△∴S==b由S△PF1F故選:ABD．【考點(diǎn)題型五】直線與雙曲線的位置關(guān)系方法總結(jié)：直線與雙曲線的具有三種位置關(guān)系:相交:直線與雙曲線交于兩點(diǎn)或平行于漸近線交雙曲線于一點(diǎn);相切:不平行于漸近線且交于一點(diǎn);(3)相離;【例5】（2223高二上·黑龍江哈爾濱·期中）雙曲線x29-y2A．0 B．1C．0或1 D．0或1或2【答案】C【分析】根據(jù)已知直線和雙曲線的漸近線的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線x29-所以，當(dāng)m=0時(shí)，直線l:y當(dāng)m≠0時(shí)，直線l與漸近線平行，此時(shí)直線l與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)故選：C

【變式51】（2223高二上·江蘇鹽城·期中）若直線l:x+my-m-A．4條 B．3條C．2條 D．1條【答案】C【分析】利用雙曲線和雙曲線漸近線的圖像和性質(zhì)求解即可.【詳解】直線l:x+my-又雙曲線的漸近線方程為y=±則點(diǎn)2,1在其中一條漸近線y=又直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線l過點(diǎn)2,1且平行于y=-12即滿足條件的直線l有2條.故選：C【變式52】（2223高二上·江蘇徐州·期中）已知雙曲線x24-y2b2=1(b>0)的離心率為【答案】112/【分析】空1：根據(jù)雙曲線的方程和離心率列式求解即可；空2：聯(lián)立方程結(jié)合Δ判別式分析運(yùn)算，注意分1-4k2=0和【詳解】空1：由題意可得：a2=4c2=空2：∵雙曲線的方程為x2聯(lián)立方程y=kx+3x當(dāng)1-4k2=0，即k=±12時(shí)，則當(dāng)1-4k2≠0時(shí)，則Δ=綜上所述：k=±12，又k故答案為：1；12【變式53】（2324高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知直線l:y=kx+2(k∈R)(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若△OAB的面積為625（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此時(shí)直線l的斜率【答案】(1)3(2)k【分析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解；（2）通過△OAB面積求解出x1-x【詳解】（1）依題意，設(shè)Ax聯(lián)立方程組y=kx因?yàn)橹本€l:y=kx+2(所以1-3k2≠0△=361-（2）設(shè)點(diǎn)O到直線l:y=kx+S△又因?yàn)镾=6又因?yàn)閤1代入x1x2整理得36k4+k2此時(shí)直線l的斜率k的值為32【變式54】（2223高二上·江蘇泰州·期中）已知雙曲線C過點(diǎn)P62,1(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知A(3,4),過點(diǎn)13,0的直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N,設(shè)直線AM、AN的斜率分別為k1、k2,【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】(1)設(shè)雙曲線C的方程為mx2-ny2=1((2)由題意易得直線l的斜率存在,設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2,直線l的方程為y=【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的方程為mx將P62,1,Q(解得m=1∴雙曲線C的方程為x2（2）設(shè)Mx1,由題意易得直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx-118-9k∴x1+x2=-6k則k1+=2k+=2k+8故k1+【考點(diǎn)題型六】中點(diǎn)弦問題方法總結(jié)：雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式：設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以：，所以【例6】（2324高二上·河北·期中）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，過點(diǎn)2,0，且與雙曲線x2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知A，B是雙曲線C上的兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M3,3，求直線AB【答案】(1)x(2)2【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)方程x2-y2（2）設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，兩式作差，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出直線AB的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程，求出直線AB的方程，與雙曲線聯(lián)立方程，滿足Δ>0，即可得到直線AB【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C與雙曲線x2所以可設(shè)其方程為x2將點(diǎn)2,0的坐標(biāo)代入得λ=4，則所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y因?yàn)閤124即18×6×y1-所以直線AB的方程為y-3=2x當(dāng)直線為2x-y-3=0時(shí)，聯(lián)立方程x24-y【變式61】（2324高二上·四川宜賓·期中）已知雙曲線C和橢圓x24+(1)求雙曲線C的方程．(2)經(jīng)過點(diǎn)M1,2作直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l【答案】(1)x(2)y=x【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，利用待定系數(shù)法求雙曲線方程；（2）首先利用點(diǎn)差法求直線l的斜率，并求解直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，代入弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】（1）由題意得橢圓x24+y2設(shè)雙曲線方程為x2則c2＝a2+b2解得a2∴雙曲線方程x2（2）把Ax1,y1(x把x1+x2=2∴kAB=y1-y2x把y=x+1代入x2-Δ=∴x∴|AB【變式62】（2122高二上·江蘇南通·期中）在①離心率為3，且經(jīng)過點(diǎn)3,4；②半長(zhǎng)軸的平方與半焦距之比等于常數(shù)4，且焦距為2.這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的直線l存在，求出l的方程；若問題中的直線l不存在，說明理由.問題：已知曲線C：mx2+ny2=1m,n≠0的焦點(diǎn)在x軸上，______，是否存在過點(diǎn)P-1,1注：若選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見解析【分析】選條件①：可得曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，根據(jù)條件求出雙曲線方程，根據(jù)直線l的斜率是否存在分別討論，斜率不存在時(shí)易得直線方程，驗(yàn)證是否滿足題意即可；斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達(dá)定理驗(yàn)證是否滿足題意；選條件②：可得曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，根據(jù)條件求出橢圓方程，根據(jù)直線l的斜率是否存在分別討論，斜率不存在時(shí)易得直線方程，驗(yàn)證是否滿足題意即可；斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理驗(yàn)證是否滿足題意.【詳解】選條件①：由題設(shè)得曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，設(shè)m=1a2，n=-由題設(shè)得a2+b2a所以C的方程為x2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-1，與曲線C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)-當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)Ax1,y1，Bx2代入x2-y若2-k2=0，即k若2-k2≠0，即k≠±2所以方程*有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解時(shí)，k>-于是x1+x2=--2所以，不存在直線l，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且P為線段AB的中點(diǎn)．選條件②：由題設(shè)得曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，設(shè)m=1a2，n=由題設(shè)得a2c=a2所以C的方程為x2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-1，代入x24+y23當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)Ax1,y1，Bx2代入x24+其判別式Δ=[8于是x1+x故y=34所以存在直線l：3x-4y+7=0，與曲線C交于A，B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．【變式63】(多選)（2223高二下·云南保山·期中）公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書中描述：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大的比值，則這個(gè)比值即為“黃金分割比”，這個(gè)數(shù)值的作用不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不可忽視的作用．利用“黃金分割比”研究雙曲線，可得滿足：ca+c=ac的雙曲線叫做“黃金雙曲線”．黃金雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A，與A不在yA．e=5-C．OA×OF=【答案】BCD【分析】根據(jù)“黃金雙曲線”的定義計(jì)算出“黃金雙曲線”的離心率，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)以及點(diǎn)差法確定正確答案.【詳解】“黃金雙曲線”滿足ca+c兩邊除以a2得e2-所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.OA×OF=ac設(shè)Px1,由x12a即aca2=e故選：BCD

【點(diǎn)睛】求雙曲線離心率的方法有兩種，一種是根據(jù)已知條件求得a,c，從而求得雙曲線的離心率；一種是求得關(guān)于a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為ca【變式64】（2324高二上·江蘇連云港·期中）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2(1)求E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，求直線OP的方程.【答案】(1)x(2)y【分析】（1）根據(jù)雙曲線中AF2-AF1=2（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】（1）因?yàn)樵陔p曲線E：x2a2所以2a=4，即雙曲線E：x2a2因?yàn)樾甭蕿?的直線l與E的一條漸近線垂直，所以ba=所以E的方程為x2（2）設(shè)Ax1,y1線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為x1+x又點(diǎn)A，B在雙曲線E上，所以x1②－①得，x2兩邊同時(shí)除以x2-x又kAB=2，a=2，b所以直線OP的方程為：y=【考點(diǎn)題型七】直線與雙曲線弦長(zhǎng)問題方法總結(jié)：設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則==同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：【例7】（2324高二上·江蘇泰州·期中）已知雙曲線C：x24-y2=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若A．0條 B．2條C．3條 D．4條【答案】C【分析】分直線l的斜率是否為0兩種情況討論，直線l的斜率不等于0時(shí)，設(shè)方程為x=my+5，Ax1【詳解】由題意，F(xiàn)5當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l的方程為y=0在方程x24-y2此時(shí)AB=4當(dāng)直線l的斜率不等于0時(shí)，設(shè)方程為x=聯(lián)立x=my+5x則m2-4≠0設(shè)Ax則y1故AB=1+m2綜上所述，符合題意得直線l有3條.故選：C.【變式71】（2223高二上·江蘇宿遷·期中）雙曲線的焦點(diǎn)F1,F2的坐標(biāo)分別為-5,0(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；(2)已知直線l與該雙曲線交于交于A,B兩點(diǎn)，且A,B中點(diǎn)【答案】(1)x216(2)4.44【分析】（1）由題意可得c的值，再由離心率，可得a的值，進(jìn)而求出b的值，由此可求出雙曲線的方程以及漸近線方程；（2）設(shè)直線l：y=k【詳解】（1）由題意可得c=5,e=ca=5所以b2所以雙曲線的方程為：x216-（2）由于A,B中點(diǎn)P5,1不在x設(shè)直線l：y=kx-聯(lián)立y=消去y得9-16則x1x2=-則AB==【變式72】（2223高二上·江蘇鹽城·期中）經(jīng)過雙曲線x2-y23=1的左焦點(diǎn)(1)線段AB的長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)F2為右焦點(diǎn)，求△F【答案】(1)30(2)64【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，由弦長(zhǎng)公式求解，（2）由雙曲線的定義轉(zhuǎn)化后求解．【詳解】（1）由題意得直線AB的方程為y=2(代入雙曲線方程x2-y2設(shè)A(x1,即AB的長(zhǎng)為5（2）由雙曲線的定義得AF2-則△F2=4+2×30=64..【變式73】（2223高二上·江蘇宿遷·期中）雙曲線C：x26-y23=1的右焦點(diǎn)為F2，直線l過點(diǎn)F2且與雙曲線C交于A，(1)求|AB(2)求△AOB的面積【答案】(1)86(2)66【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解即可；（2）求解△AOB的面積，AB邊的高即為原點(diǎn)O到AB的距離d，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，以及S△【詳解】（1）由題意，雙曲線C：x26-故右焦點(diǎn)F2(3,0)，直線l的傾斜角為30°，故斜率直線l的方程為：y=聯(lián)立直線與雙曲線：y=33x-不妨設(shè)A(x1由弦長(zhǎng)公式|AB（2）由題意，求解△AOB的面積，AB邊的高即為原點(diǎn)O到AB的距離d直線AB:故d=31+【變式74】（2324高二上·江蘇鹽城·期中）已知點(diǎn)P是雙曲線E：x216-y29=1的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線EA．2 B．4C．163 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可得S△PF1【詳解】

因?yàn)殡p曲線E：x216-y29=1，則有由△PF1F2的面積為20，可得1將n=4代入雙曲線方程，可得m故選：D【考點(diǎn)題型八】雙曲線中的和差最值問題方法總結(jié)：最值問題：利用三角形：和最小問題，兩邊之和≥第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在中間。差的絕對(duì)值最大問題，兩邊之差的絕對(duì)值≤第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在兩邊?！纠?】（2122高二上·四川成都·期中）若點(diǎn)P在曲線C1:x216-y29=1上，點(diǎn)Q在曲線A．9 B．10C．11 D．12【答案】B【分析】分析可知兩圓圓心為雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)，利用圓的幾何性質(zhì)以及雙曲線的定義可求得PQ-【詳解】在雙曲線C1中，a=4，b=3，c記點(diǎn)F1-5,0、F25,0，當(dāng)PQ所以，PQ-故選：B.【變式81】（2223高二上·江蘇徐州·期中）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)F1,F2在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,3)，A．22+2 BC．22+4 D【答案】B【分析】由已知條件可以得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28-y28=1【詳解】因?yàn)榈容S雙曲線的左、右焦點(diǎn)F1,F2在所以可設(shè)雙曲線的方程為x2又因?yàn)殡p曲線的焦距為8，所以c=4而2a2=c2由雙曲線的定義可知，PF由題意可知，F(xiàn)2(4,0)，A(5,所以AF2=2,故P當(dāng)且僅當(dāng)P、A、F2故選：B

【變式82】（2223高二上·吉林·期中）已知雙曲線C:y24-x25=1的下焦點(diǎn)為F，AA．-2 B．C．1 D．-【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線定義得PF-PA=4+PF【詳解】由題意得雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，a2=4，b2所以下焦點(diǎn)F0,-3，設(shè)上焦點(diǎn)為F1，則根據(jù)雙曲線定義：PF|-|PF1|PF|=4+|P在△PF1|A∴PF故選：D.【變式83】（2324高二上·江蘇鹽城·期中）已知點(diǎn)M2，1，點(diǎn)P是雙曲線C:x29-y216=1左支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)【答案】5-【分析】利用PN≤PD+r，當(dāng)且僅當(dāng)N是PD的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，及【詳解】由已知c=9+16=5，D(-5,0)是雙曲線的左焦點(diǎn)，它也是圓圓D半徑為r=1PN≤PD+r，當(dāng)且僅當(dāng)PM≥PF所以，又由雙曲線的定義PF所以PM-PN≥PF故答案為：5-10【變式84】（2324高二上·江蘇宿遷·期中）已知P是雙曲線x29-y27=1上的點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為【答案】82-6【分析】根據(jù)已知求出a,c的值.結(jié)合圖象可知點(diǎn)P應(yīng)在雙曲線的右支上，根據(jù)雙曲線的定義可得PF+PA=【詳解】由已知可得，a2=9，所以，c2=16，a=3

如圖，設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為F1因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線右支內(nèi)部，要使PF+PA最小，則點(diǎn)P根據(jù)雙曲線的定義可得，PF所以，PF=所以，PF+由圖象可知，當(dāng)A,P,F1又F1-4,0所以，PF1+即PF+PA有最小值故答案為：82-【考點(diǎn)題型九】雙曲線軌跡方程方法總結(jié)：求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y，根據(jù)題意列出關(guān)于②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把x,④逆代法，將x0=g【例9】（2324高二上·廣東深圳·期中）已知圓C1:(x+3)2+y2(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)C2且斜率為4的直線l與曲線C交于A,B【答案】(1)x(2)24【分析】（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析即可得解；（2）聯(lián)立直線與曲線C的方程，利用弦長(zhǎng)公式求得AB，再利用點(diǎn)線距離求得C1到直線AB的距離，從而利用三角形面積公式即可得解【詳解】（1）由題意可知：圓C1的圓心C1-3,0，半徑r1=3，圓由條件可得MC1-則根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)M是以C1，C2為焦點(diǎn)，以則a=1,c=3所以曲線C的方程為x2（2）依題意，直線AB的方程為y=4x-聯(lián)立y=4x-3x易知Δ>0，設(shè)Ax1,所以AB=而C1-3,0到直線AB所以△C1AB【變式91】（2324高二上·陜西寶雞·期中）已知點(diǎn)F1-3,0，F(xiàn)23,0，若動(dòng)點(diǎn)Mx,【答案】x【分析】設(shè)Mx,y，根據(jù)斜率得到【詳解】設(shè)Mx,y，由題意可知x整理可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2故答案為：x2【變式92】（2324高二上·江蘇南京·期中）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線C:x24-y2=1的左焦點(diǎn)為F，過雙曲線C右支上任意一點(diǎn)作其切線l，過點(diǎn)F作直線l【答案】x2+【分析】由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，得到AH為∠F1AF2的平分線，延長(zhǎng)FH交AF【詳解】由雙曲線C:x24-y2設(shè)雙曲線C右支上任意一點(diǎn)A，過點(diǎn)F作直線l的垂線，垂足為H，則過點(diǎn)A的切線為AH，根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可得AH為∠F延長(zhǎng)FH，設(shè)FH的延長(zhǎng)線與AF2的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)則AH垂直平分FE，即點(diǎn)H為FE的中點(diǎn)，又因?yàn)镺的中點(diǎn)，所以O(shè)H=可得點(diǎn)H的軌跡表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，可得點(diǎn)H的軌跡方程為x2聯(lián)立方程組y=±12因?yàn)锳在雙曲線的右支上，且AH為雙曲線的切線，則kAH所以點(diǎn)H的軌跡方程為x2+y故答案為：x2+y【變式93】（2324高二上·江蘇泰州·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F(2,0)的距離是到直線x=3(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)設(shè)P(1,0)，直線x=tt≠3與M的軌跡方程相交于A,B兩點(diǎn)，若直線BP【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)點(diǎn)M(x,（2）設(shè)直線BP的方程為x=my+1，B(x1,y1)，C【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M((x化簡(jiǎn)得：x所以點(diǎn)M的軌跡方程是x2（2）由題意；直線BP的斜率不為零，設(shè)直線BP的方程為x=my+1，B(x聯(lián)立x23-y2則m2-3≠0，Δ=y1直線AC的方程為y+令y=0，得x=(=2所以直線AC過定點(diǎn)3,0【變式94】（2122高二上·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Р與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：x=32的距離之比是常數(shù)23(1)求曲線E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A(3，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，N(異于點(diǎn)A)，求證：直線MN過定點(diǎn).【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)P(x，y)，由P與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：x=32（2）直線MN斜率不存在時(shí)，由直線AM，AN分別為y=x-3，y=-x+3，求得與雙曲線的交點(diǎn)即可；直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，(【詳解】（1）解：設(shè)P(x，y)，因?yàn)镻與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：x=32所以(x化簡(jiǎn)得x2所以曲線E的方程為x2（2）設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，當(dāng)直線MN斜率不存在，直線AM，AN分別為y=x-分別聯(lián)立x23-y2=1，解得M(23，3)此時(shí)直線MN的方程為x=23，過點(diǎn)(23當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)設(shè)其方程為y=kx+m由x23-y2所以Δ=(-6km)x1+x因?yàn)锳M⊥AN，所以kAM?k即(k即k2將x1+x2=所以m=-3k當(dāng)m=-3k時(shí)，直線MN方程為y=當(dāng)m=-23k時(shí)，直線MN方程為y=k(x-綜上所述直線MN過定點(diǎn)(23，【考點(diǎn)題型十】雙曲線的切線方法總結(jié)：性質(zhì)1.雙曲線上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn))處的切線，平分該點(diǎn)處兩條焦半徑的夾角。性質(zhì)2.雙曲線上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn))處的切線，平分該點(diǎn)處兩條焦半徑的夾角。性質(zhì)3.雙曲線上任一點(diǎn)處的切線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為定值。【例10】（多選）（2122高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知雙曲線C：x23-A．雙曲