專題04認識一元二次方程(原卷版+解析)(重點突圍)-【學霸滿分】2022-2023學年九年級數學上冊重難點專題提優(yōu)訓練(北師大版)

專題04認識一元二次方程考點一一元二次方程的定義考點二根據一元二次方程的定義求參數的值考點三一元二次方程的一般形式考點四根據一元二次方程的解求參數或代數式的值考點一一元二次方程的定義例題：（2022·安徽六安·八年級期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（

）A．x2﹣2y﹣3＝0 B．x3﹣x+4＝0C．（m+1）x2+3x+1＝0 D．2x2＝0【變式訓練】1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校八年級期中）下列方程是關于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·九年級）下列方程中，一元二次方程共有（

）個．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2A．1 B．2 C．3 D．4考點二根據一元二次方程的定義求參數的值例題：（2022·全國·九年級）若關于x的方程（c﹣1）x|c|+1+9x﹣4＝0是一元二次方程，則c＝_____．【變式訓練】1．（2022·全國·九年級單元測試）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，則m＝________．2．（2022·浙江嘉興·八年級期中）若方程是關于x的一元二次方程，則m的值為________考點三一元二次方程的一般形式例題：（2022·全國·九年級）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式為（）A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0【變式訓練】1．（2022·四川成都·九年級期末）一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的二次項系數、一次項系數和常數項分別為（）A．1，﹣2，﹣4 B．1，2，4 C．1，2，﹣4 D．1，﹣2，42．（2022·全國·九年級）將方程2x2+7＝4x改寫成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7考點四根據一元二次方程的解求參數或代數式的值例題：（2022·全國·九年級）若關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一個根是0，則m＝_____．【變式訓練】1．（2022·全國·九年級）若關于x的方程x2+3x﹣k＝0有一個解是1，則k的值是____．2．（2022·浙江·義烏市繡湖中學教育集團八年級階段練習）已知是方程的一個根，則_______．3．（2022·江蘇淮安·一模）已知m是一元二次方程的一個根，則代數式的值是______．一、選擇題1．（2022·江蘇·西附初中八年級期中）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x2＋3y＝1 B．x2＋3x＝1 C．ax2＋bx＋c＝2 D．2．（2022·廣東河源·九年級期末）下列方程中，一元二次方程有（

）①；②；③；④；⑤；⑥A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·甘肅隴南·九年級期末）已知關于x的方程是一元二次方程，則m的值為（

）A．-2 B．1 C．2 D．任意實數4．（2021·江西九江·九年級期中）如果關于x的一元二次方程，有一個解是0，那么m的值是（

）A．3 B． C． D．0或5．（2021·安徽安慶·八年級期末）已知m是一元二次方程的一個根，則代數式的值為（

）A．1 B．4 C．6 D．10二、填空題6．（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）若關于x的方程是一元二次方程，則______．7．（2022·河南開封·九年級期末）已知：是關于x的一元二次方程，則__________．8．（2022·全國·九年級）關于x的一元二次方程的一個解是1，則的值是____．9．（2022·廣東·乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）若是方程的一個根，則代數式的值是__________.10．（2022·山東煙臺·八年級期中）若關于x的一元二次方程的常數項為0，則m的值為__________．三、解答題11．（2022·全國·九年級）已知關于x的方程（m﹣）﹣x＝3，試問：(1)m為何值時，該方程是關于x的一元一次方程？(2)m為何值時，該方程是關于x的一元二次方程？12．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知關于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．(1)m為何值時，此方程是一元一次方程？求出該一元一次方程的解；(2)m為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項．專題04認識一元二次方程考點一一元二次方程的定義考點二根據一元二次方程的定義求參數的值考點三一元二次方程的一般形式考點四根據一元二次方程的解求參數或代數式的值考點一一元二次方程的定義例題：（2022·安徽六安·八年級期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（

）A．x2﹣2y﹣3＝0 B．x3﹣x+4＝0C．（m+1）x2+3x+1＝0 D．2x2＝0【答案】D【解析】【分析】根據一元二次方程的定義逐項判定即可．【詳解】解：A、x2﹣2y﹣3＝0，含量有兩個未知數，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；B、x3﹣x+4＝0最高次數不是2次，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；C、（m+1）x2+3x+1＝0，當m+1=0，即m=-1時，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；D、2x2＝0是一元二次方程，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的定義，只含量有一個未知數，且未知數的最高次數是2次的整式方程叫一元二次方程．【變式訓練】1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校八年級期中）下列方程是關于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定義逐項分析即可求解．【詳解】解：A.，是分式方程，不是一元二次方程，不合題意；B.，當a≠0時，是一元二次方程，當a=0，b≠0時，是一元一次方程，不合題意；C.，原方程整理得，是一元二次方程，符合題意；D.，原方程整理得，不是一元二次方程，不合題意．故選：C【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．2．（2022·全國·九年級）下列方程中，一元二次方程共有（

）個．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據一元二次方程根的定義一一判定即可．【詳解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0，沒有二次項系數不為0這個條件，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；③不是整式方程，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有兩個未知數，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知數的最高次數是1，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程．綜上所述，一元二次方程共有2個．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵在于判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．考點二根據一元二次方程的定義求參數的值例題：（2022·全國·九年級）若關于x的方程（c﹣1）x|c|+1+9x﹣4＝0是一元二次方程，則c＝_____．【答案】【解析】【詳解】根據一元二次方程的定義得出且，由此即可得出答案．【解答】解：∵關于的方程是一元二次方程，且，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和絕對值，掌握理解一元二次方程的定義（只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程）是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022·全國·九年級單元測試）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，則m＝________．【答案】－1【解析】【分析】根據一元二次方程的定義m-1≠0，且，解答即可．【詳解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，∴m-1≠0，且，∴m-1≠0，且，∴，故答案為：-1．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義即含有一個未知數且含未知數項的次數最高是2的整式方程，熟練掌握定義是解題的關鍵．2．（2022·浙江嘉興·八年級期中）若方程是關于x的一元二次方程，則m的值為________【答案】2【解析】【分析】利用一元二次方程的定義可知二次項系數不為0，未知數x的次數為2，進行計算即可．【詳解】解：由題意可知：，解得：，∴m=2．故答案為：2．【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的定義，需要注意二次項系數不為0．考點三一元二次方程的一般形式例題：（2022·全國·九年級）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式為（）A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0【答案】B【解析】【分析】將方程整理為一般形式即可．【詳解】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數且a≠0）．【變式訓練】1．（2022·四川成都·九年級期末）一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的二次項系數、一次項系數和常數項分別為（）A．1，﹣2，﹣4 B．1，2，4 C．1，2，﹣4 D．1，﹣2，4【答案】A【解析】【分析】根據一元二次方程的一般形式確定出所求即可．【詳解】解：方程x2-2x-4=0的二次項系數、一次項系數、常數項分別為1、-2、-4．故選：A．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式及一元二次方程二次項系數、一次項系數、常數項概念，其一般形式為ax2+bx+c=0（其中a，b，c為常數，且a≠0）,注意：系數要包括項的符號．2．（2022·全國·九年級）將方程2x2+7＝4x改寫成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7【答案】C【解析】【分析】根據任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b是一次項系數；c叫做常數項，進行分析即可．【詳解】解：2x2+7＝4x可化為2x2﹣4x+7＝0，它的二次項系數，一次項系數和常數項分別為2，﹣4，7，故選：C．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關鍵是要掌握二次項系數，一次項系數和常數項的定義，先把一元二次方程化成一般形式．考點四根據一元二次方程的解求參數或代數式的值例題：（2022·全國·九年級）若關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一個根是0，則m＝_____．【答案】﹣2【解析】【分析】把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解關于m的方程，最后利用一元二次方程的定義確定m的值．【詳解】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，而m﹣2≠0，所以m＝﹣2．故答案為：﹣2．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．【變式訓練】1．（2022·全國·九年級）若關于x的方程x2+3x﹣k＝0有一個解是1，則k的值是____．【答案】4【解析】【分析】根據題意，將x＝1代入原方程中，可求k的值．【詳解】解：依題意，當x＝1時，原方程為1+3﹣k＝0，解得k＝4．故答案為：4．【點睛】本題考查了一元二次方程解的定義，掌握方程的解是使方程左右兩邊成立的未知數的值是解題關鍵．2．（2022·浙江·義烏市繡湖中學教育集團八年級階段練習）已知是方程的一個根，則_______．【答案】2021【解析】【分析】根據是方程的一個根，可得，再代入，即可求解．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，即，∴．故答案為：2021【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數的值是方程的解是解題的關鍵．3．（2022·江蘇淮安·一模）已知m是一元二次方程的一個根，則代數式的值是______．【答案】12【解析】【分析】利用一元二次方程的解的定義得到m2+m=6即可求解．【詳解】∵m為一元二次方程的一個根．∴m2+m-6=0，∴m2+m=6，即2m2+2m=12，故答案為：12．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．一、選擇題1．（2022·江蘇·西附初中八年級期中）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x2＋3y＝1 B．x2＋3x＝1 C．ax2＋bx＋c＝2 D．【答案】B【解析】【分析】根據一元二次方程的定義判斷即可．只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．【詳解】解：A、是二元二次方程，故本選項不合題意；B、是一元二次方程，故本選項符合題意；C、當a0時，是一元二次方程，故本選項不合題意；D、是分式方程，故本選項不合題意；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．2．（2022·廣東河源·九年級期末）下列方程中，一元二次方程有（

）①；②；③；④；⑤；⑥A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【分析】根據一元二次方程的定義逐個判定即可求解．【詳解】解：①3x2+x=20變形得3x2+x-20=0，符合一元二次方程的定義，所以它是一元二次方程；②2x2?3xy+4=0，含量有兩個未知數度，所以它不是一元二次方程；③ax2+bx+c=0，不能確定a是否等于0，所以它不是一元二次方程；④2x2+=0，分母中含有未知數，所以它不是一元二次方程；⑤(x-3)(x-2)=x2，化簡后為-5x+6=0是一元一次方程，所以它不是一元二次方程；⑥x2=3，變形得x2-3=0，符合一元二次方程的定義，所以它是一元二次方程；綜上，①⑥共2個是一元二次方程．故選：B．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件，這是在做題過程中容易忽視的知識點．3．（2022·甘肅隴南·九年級期末）已知關于x的方程是一元二次方程，則m的值為（

）A．-2 B．1 C．2 D．任意實數【答案】A【解析】【分析】根據一元二次方程的定義：一般地，形如（a、b、c為常數，a≠0）的整式方程叫做一元二次方程，進行求解即可．【詳解】解：∵關于x的方程是一元二次方程，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知一元二次方程的定義是解題的關鍵．4．（2021·江西九江·九年級期中）如果關于x的一元二次方程，有一個解是0，那么m的值是（

）A．3 B． C． D．0或【答案】B【解析】【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解關于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程對二次項系數為0．【詳解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得m2-9=0，解得m=-3或3，當m=3時，原方程二次項系數m-3=0，舍去，∴m=-3故選：B．【點睛】本題考查的是一元二次方程解的定義，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含義是解題的關鍵.5．（2021·安徽安慶·八年級期末）已知m是一元二次方程的一個根，則代數式的值為（

）A．1 B．4 C．6 D．10【答案】A【解析】【分析】利用一元二次方程的解的定義得到m2+3m=3，再把2m2+6m-5變形為2（m2+3m）-5，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵m為一元二次方程x2+3x?3=0的一個根．∴m2+3m-3=0，即m2+3m=3，∴2m2+6m-5=2（m2+3m）-5=2×3-5=1．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．二、填空題6．（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）若關于x的方程是一元二次方程，則______．【答案】【解析】【分析】根據一元二次方程的定義（只含有一個未知數，并且未知數的最高次數2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得．【詳解】解：由題意得：，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程，熟記定義是解題關鍵．7．（2022·河南開封·九年級期末）已知：是關于x的一元二次方程，則__________．【答案】-3【解析】【分析】根據一元二次方程的定義即得出且，解出m即可．【詳解】根據一元二次方程的定義可得：，解得：．故答案為：-3．【點睛】本題考查一元二次方程的定義．掌握一元二次方程必須滿足的兩個條件：未知數的最高次數是2；二次項系數不為0是解題關鍵．8．（2022·全國·九年級）關于x的一元二次方程的一個解是1，則的值是____．【答案】2021【解析】【分析】把根代入方程，得關于a、b的關系式，然后整體代入即可得出結果．【詳解】把x＝1代入方程，得，即．則原式，故答案為：2021．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的意義，解題的關鍵是運用整體代入的思想．9．（2022·廣東·乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）若是方程的一個根，則代數式的值是__________.【答案】15【解析】【分析】利用是方程的一個根，得到，代入即可．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：15．【點睛】本題考查了方程解的定義以及整體代入求值，其中利用方程解的定義求得是解題的關鍵．10．（2022·山東煙臺·八年級期中）若關于x的一元二次方程的常數項為0，則m的值為__________．【答案】【解析】【分析】由題可知，該一元二次方程的二次項系數，且常數項，由此可解得的值．【詳解】解：關于的一元二次方程的常數項為，，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，充分理解一元二次方程各項系數，，的位置與要求是解決本題的關鍵．三、解答題11．（2022·全國·九年級）已知關于x的方程（m﹣）﹣x＝3，試問：(1)m為何值時，該方程是關于x的一元一次方程？(2)m為何值時，該方程是關于x的一元二次方程？【答案】(1)m＝或或±1(2)m＝﹣【解析】【分析】（1）根據方