2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步階段性評(píng)估1習(xí)題含解析北師大版必修2

階段性評(píng)估(一)第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．下列平面圖形中，能夠旋轉(zhuǎn)得到左圖的是(A)解析：由四個(gè)選項(xiàng)中的平面圖形旋轉(zhuǎn)后與原圖比較知A正確．2．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(D)A．多面體至少有四個(gè)面B．長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱C．九棱柱有9條側(cè)棱、9個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形D．三棱柱的側(cè)面為三角形解析：對(duì)于A，面最少的多面體是三棱錐，故多面體至少有四個(gè)面，故A正確；對(duì)于B，長(zhǎng)方體和正方體都是四棱柱，故B正確；對(duì)于C，由棱柱的定義知九棱柱有9條側(cè)棱、9個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形，故C正確；對(duì)于D，三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，故D錯(cuò)誤．3．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在原△ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是(D)A．AB B．ADC．BC D．AC解析：還原△ABC，即可看出△ABC為直角三角形，故其斜邊AC最長(zhǎng)．4．已知正方體被過(guò)其中一面的對(duì)角線和它對(duì)面相鄰兩棱中點(diǎn)的平面截去一個(gè)三棱臺(tái)后的幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，則它的左視圖是(A)解析：由題意可知截去三棱臺(tái)后的幾何體是七面體，左視圖的輪廓是正方形，正方形內(nèi)有一條虛線，故選A.5．如圖為某幾何體的三視圖，則此幾何體為(C)A．球與三棱柱的組合體 B．半球與圓柱的組合體C．半球與圓錐的組合體 D．半球與三棱柱的組合體解析：明顯是半球與圓錐的組合體．6．已知△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么△ABC平面直觀圖△A′B′C′的面積為(A)A.eq\f(\r(6),16)a2B.eq\f(\r(3),32)a2C.eq\f(\r(3),16)a2D.eq\f(\r(6),8)a2解析：正三角形的AB邊上的高為CM＝eq\f(\r(3),2)a，在直觀圖中的長(zhǎng)度為C′M′＝eq\f(\r(3),4)a，故△A′B′C′的面積為eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(3),4)a·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),16)a2.7．已知一個(gè)幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的一個(gè)組合體，其三視圖如圖所示，則這個(gè)組合體的上、下兩部分分別是(B)A．上部分是一個(gè)圓錐、下部分是一個(gè)圓柱B．上部分是一個(gè)圓錐、下部分是一個(gè)四棱柱C．上部分是一個(gè)三棱錐、下部分是一個(gè)四棱柱D．上部分是一個(gè)三棱錐、下部分是一個(gè)圓柱解析：由三視圖中三角形與圓知組合體中有圓錐，由俯視圖知有一個(gè)四棱柱．8．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面的面積為(B)A．4 B．4eq\r(2)C．4eq\r(3) D．8解析：由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，面積最小的面為面VAB，其面積S＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2).故選B.9．直角邊分別為1和eq\r(3)的三角形，繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)，形成的圓錐的俯視圖是半徑為1的圓，則它的主視圖是(C)A．等腰直角三角形B．邊長(zhǎng)為eq\r(3)的等邊三角形C．邊長(zhǎng)為2的等邊三角形D．不能確定解析：由俯視圖知長(zhǎng)為eq\r(3)的邊在軸上．因此主視圖為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．10．底面水平放置的正三棱柱的全部棱長(zhǎng)均為2，當(dāng)其主視圖有最大面積時(shí)，其左視圖的面積為(A)A．2eq\r(3)B．3C.eq\r(3) D．4解析：當(dāng)主視圖的面積最大時(shí)，可知其正三棱柱某個(gè)側(cè)面的面積，可以按如圖所示放置，此時(shí)S左＝2eq\r(3).11．一四面體的三視圖如圖所示，則該四面體四個(gè)面中最大的面積是(D)A．2 B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：由四面體的三視圖知其直觀圖為如圖所示的正方體中的四面體A－BCD，由三視圖知正方體的棱長(zhǎng)為2.所以S△ABD＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，S△ADC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＝2.所以所求的最大面積為2eq\r(3).故選D.12．如圖所示，在透亮塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，則有下列說(shuō)法：①水的形態(tài)成棱柱形(如圖1)；②水的形態(tài)成棱臺(tái)形(如圖2)；③水的形態(tài)成棱錐形(如圖3)．其中正確的說(shuō)法是(A)A．① B．①②C．②③ D．①②③解析：①正確；②③中水的形態(tài)是棱柱形．故選A.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填寫(xiě)在題中橫線上)13．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面，面數(shù)最少的棱錐有4個(gè)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)最少的棱臺(tái)有3條側(cè)棱．解析：由棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義可得．14．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的投影為圖中的解析：點(diǎn)M，N在平面ADD1A1上的正投影分別是AA1，AD的中點(diǎn)，由此可得三角形MND在平面ADD1A15．已知正三棱錐V—ABC的主視圖、俯視圖如圖所示，其中VA＝4，AC＝2eq\r(3)，則該三棱錐的左視圖的面積為6.解析：此正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是4，底面正三角形的邊長(zhǎng)是2eq\r(3)，而其左視圖是等腰三角形，底邊長(zhǎng)是2eq\r(3)，高是三棱錐的高，即為2eq\r(3)，所以左視圖的面積是6.16．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于2.解析：由三視圖可知，這是一個(gè)三棱柱，內(nèi)切球在主視圖中的投影是主視圖的內(nèi)切圓，設(shè)其半徑為r，依據(jù)三角形面積公式有eq\f(1,2)(6＋8＋10)r＝eq\f(1,2)×6×8，解得r＝2.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)如圖所示的幾何體的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)矩形，且?guī)缀误w的底面邊長(zhǎng)均為3，側(cè)面的棱長(zhǎng)為5，已知點(diǎn)P是棱AA1上一動(dòng)點(diǎn)，Q是棱BB1上一動(dòng)點(diǎn)，求CP＋PQ＋QC1的最小值．解：將幾何體沿棱CC1剪開(kāi)，其側(cè)面綻開(kāi)為平面圖形，如圖所示，CP＋PQ＋QC1的最小值即平面圖中矩形對(duì)角線CC1的長(zhǎng)，所以(CP＋PQ＋QC1)min＝eq\r(3＋3＋32＋52)＝eq\r(106).18．(12分)如圖所示，四邊形ABCD是一個(gè)梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，三角形AOD為等腰直角三角形，O為AB的中點(diǎn)，試求梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積．解：法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直觀圖仍為梯形，且上底CD和下底AB的長(zhǎng)度都不變，如圖所示，在直觀圖中，O′D′＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(1,2)，梯形的高D′E′＝eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D′的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).法二：梯形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)(DC＋AB)×OD＝eq\f(1,2)(1＋2)×1＝eq\f(3,2).所以梯形ABCD直觀圖的面積為S′＝eq\f(\r(2),4)S＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r(2),8).19．(12分)如圖所示是一個(gè)半圓柱OO1與三棱柱ABC—A1B1C1的組合體，其中，圓柱OO1的軸截面ACC1A1是邊長(zhǎng)為4的正方形，△ABC為等腰直角三角形，AB⊥解：由題意可知幾何體的主視圖與左視圖都是中間有一條線段的矩形，俯視圖由半圓與等腰直角三角形組成，如圖：20．(12分)依據(jù)所給三視圖，畫(huà)出物體的直觀圖．解：(1)畫(huà)軸．建立空間直角坐標(biāo)系，使∠x(chóng)Oy＝45°，∠x(chóng)Oz＝90°，如圖①.(2)畫(huà)圓柱的兩底面和圓臺(tái)的上底面．畫(huà)出底面圓O，在z軸上截取點(diǎn)O′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度．過(guò)O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′，利用O′x′與O′y′畫(huà)出底面圓O′(與畫(huà)圓O一樣)．再在z軸上截取點(diǎn)O″，使O′O″等于三視圖中相應(yīng)高度．過(guò)O″作Ox的平行線O″x″，Oy的平行線O″y″，利用O″x″與O″y″畫(huà)出底面圓O″.(3)成圖．連接AA′，A′A″，B″B′，B′B，整理得到三視圖所表示的立體圖形的直觀圖，如圖②.21．(12分)已知圓錐的底面半徑為r，高為h，正方體ABCD—A1B1C1D1解：過(guò)內(nèi)接正方體的一組對(duì)棱作圓錐的軸截面，如圖所示，設(shè)圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為x，則在軸截面中，正方體的對(duì)角面A1ACC1的一組鄰邊的長(zhǎng)分別為x和eq\r(2)x.∵△VA1C1∽△VMN，∴eq\f(\r(2)x,2r)＝eq\f(h－x,h).∴eq\r(2)hx＝2rh－2rx，∴x＝eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).即圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).22．(12分)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5cm,10cm，母線長(zhǎng)AB＝20cm，從圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，求：(1)繩子的最短長(zhǎng)度；(2)在繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離．解：(1)如右圖所示，將側(cè)面綻開(kāi)，繩子的最短距離為側(cè)面綻開(kāi)圖中AM的長(zhǎng)度，θ＝eq\f(10－5,20)×