導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第09講 直接討論法證明不等式（含答案及解析）

第09講直接討論法證明不等式【典型例題】例1．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：，．例2．已知函數(shù)，，若在處的切線為．（Ⅰ）求實數(shù)，的值；（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，其中，，證明：．例3．設(shè)函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)且時，證明：．例4．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，，時，證明：．例5．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，時，證明：．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．（注，2．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時，證明：．3．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對任意，；（3）設(shè)，若對任意給定的，，關(guān)于的方程在，上有兩個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．4．已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時，證明：恒成立．5．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，設(shè)，證明：，，，使．6．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．7．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．8．已知函數(shù)．（1）時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．

第09講直接討論法證明不等式【典型例題】例1．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：，．【解析】解：（1），因，，①當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；③當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時，由（1）得，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在內(nèi)的最小值為，欲證不等式成立，即證，即證，因，所以只需證，令，則，所以，函數(shù)在，內(nèi)單調(diào)遞減，（1），又因，即．所以，即當(dāng)時，成立，綜上，當(dāng)時，，．例2．已知函數(shù)，，若在處的切線為．（Ⅰ）求實數(shù)，的值；（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，其中，，證明：．【解析】解：（Ⅰ）由，得，由，得（1），根據(jù)題意可得，解得；（Ⅱ）由不等式對任意恒成立知，恒成立，令，顯然為偶函數(shù)，故當(dāng)時，恒成立，，令，則，令，則，顯然為上的增函數(shù)，故，即在上為增函數(shù)，，①當(dāng)，即時，，則在上單調(diào)遞增，故，則在上為增函數(shù)，故，符合題意；②當(dāng)，即時，由于，故存在，，使得，故在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，故，不合題意．綜上，；（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號同時成立，故，，，，以上個式子相加得，．例3．設(shè)函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)且時，證明：．【解析】解：（1）函數(shù)，定義域為，，①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為．綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為．（2）證明：當(dāng)時，令，則，因為，則，所以在上單調(diào)遞減，故（1），則，故．例4．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，，時，證明：．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由解得，由解得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）證明：令，則，（1），再令，則，當(dāng)時，，，即，在，上單調(diào)遞增，（1）（1），（1），在，上單調(diào)遞增，（1），綜上可知，．例5．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，時，證明：．【解析】（1）解：由，可得．當(dāng)時，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，由，可得，由，可得．則函數(shù)在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)；（2）證明：令，令，則，，，又，，在上為增函數(shù)，則，即，由，可得，．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．（注，【解析】解：（1）定義域為，，，，，，當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減，即在上單詞遞增，在上單調(diào)遞減；證明：（2）由（1）知，在處取最小值，即（a），，，令（a），，，（a），（a）恒成立，（a）單調(diào)遞減，又，，存在，使，令（a），故（a）在，上單調(diào)遞增．（a），故（a）在，上單調(diào)遞減．（a）最小值在0處取或處取，，．（a），，即．2．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時，證明：．【解析】解：（1），當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，時，在上遞減，在遞增；時，在上遞增，在遞減；（2）證明：設(shè)，則，，時，，遞減，，遞增，，設(shè)，，則，時，時，遞增，，遞減，（1），（a）（a），，即得證．3．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對任意，；（3）設(shè)，若對任意給定的，，關(guān)于的方程在，上有兩個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】解：（1）函數(shù)．，，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增．當(dāng)時，，在單調(diào)遞增．當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減．證明：（2）由（1）得，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，（1），，對任意，．解：（3），，，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，，時，的值域為，，由已知，由（e），得，，，，令，則單調(diào)遞增，而，時，，，綜上，實數(shù)的取值范圍．4．已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時，證明：恒成立．【解析】解：（1）由題意可知，，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，．當(dāng)時，，．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；（2）要證，所以只需證，設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，在時取得極小值，即為最小值（a），令（a），則（a），當(dāng)時，（a）；當(dāng)時，（a）；當(dāng)時，（a），（a）在時取得極小值，即最小值為（1），當(dāng)時，恒成立，即恒成立．5．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，設(shè)，證明：，，，使．【解析】（1）解：．①當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．②當(dāng)時，，．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．③當(dāng)時，，則在上是減函數(shù)．④當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（2）證明：要證．，即證．由（1）可知，當(dāng)，，時，，．令，，則故在上是減函數(shù)，有，所以，從而（2）．，，則，令，顯然在上是增函數(shù)，且，（1），所以存在使，且在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)，，所以，所以，命題成立．6．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】解：（1）由題意，函數(shù)的定義域為，．當(dāng)時，或；；當(dāng)時，；當(dāng)時，或；．綜上，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．（2）證明：當(dāng)時，由，只需證明，令，．設(shè)，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得唯一的極小值，也是最小值，的最小值是成立．故成立．7．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．【解析】解法一：（1）因為，定義域為，所以．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以．要證，只要證，即證．令，即證在上成立．令，即證．因為，所以在．上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以（1），命題得證．解法二：（1）同解法．（2）由（1）可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以．要證，只要證，即證．因為，所以（a）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以（a），命題得證．8．已知函數(shù)．（1）時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，