導數(shù)壓軸專題突破-第20講 取點技巧（含答案及解析）

第20講取點技巧【典型例題】例1．已知函數(shù)，，，．（1）設，．①求方程的根；②若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；（2）若，，函數(shù)有且只有1個零點，求的值．例2．已知函數(shù)．當時，求函數(shù)在處的切線方程；函數(shù)是否存在零點？若存在，求出零點的個數(shù)；若不存在，請說明理由．例3．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．例4．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．例5．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．例6．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【同步練習】1．已知函數(shù)，．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．2．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)，且．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．3．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．7．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個不同的零點，求的取值范圍．8．已知函數(shù)，．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．9．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個大于1的零點，求的取值范圍．10．已知函數(shù)．（1）求的單調區(qū)間；（2）試求的零點個數(shù)，并證明你的結論．11．已知函數(shù)．（Ⅰ）若在，處導數(shù)相等，證明：；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，證明：；（Ⅲ）若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．12．已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設，討論函數(shù)零點的個數(shù)，并說明理由．13．設函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．14．已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù)．15．已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)．

第20講取點技巧【典型例題】例1．已知函數(shù)，，，．（1）設，．①求方程的根；②若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；（2）若，，函數(shù)有且只有1個零點，求的值．【解析】解：函數(shù)，，，．（1）設，．①方程；即：，在上單調，可得．②不等式恒成立，即恒成立．令，．不等式化為：在時，恒成立．可得：△或即：或，，．實數(shù)的最大值為：4．（2），，，可得，令，則是遞增函數(shù)，而，，，因此，時，，因此時，，，則．，時，，，則，則在遞減，，遞增，因此的最小值為：．①若，時，，，則，因此，且時，，因此在，有零點，則至少有兩個零點，與條件矛盾．②若，函數(shù)有且只有1個零點，的最小值為，可得，由，因此，因此，，即，，則．可得．例2．已知函數(shù)．當時，求函數(shù)在處的切線方程；函數(shù)是否存在零點？若存在，求出零點的個數(shù)；若不存在，請說明理由．【解析】解：，，．當時，．又，則在處的切線方程為．函數(shù)的定義域為，，．當時，，，所以，即在區(qū)間上沒有零點．當時，，令，只要討論的零點即可．，．當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù)，所以在區(qū)間上的最小值為．當時，，所以是的唯一的零點；當時，，所以沒有零點；當時，．所以有兩個零點．例3．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，求導，，當時，，在上單調遞減，當時，，令，解得：，當，解得：，當，解得：，時，單調遞減，，單調遞增；綜上可知：當時，在單調減函數(shù)，當時，在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)；（2）①若時，由（1）可知：最多有一個零點，當時，，當時，，，當時，，當，，且遠遠大于和，當，，函數(shù)有兩個零點，的最小值小于0即可，由在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)，，，即，設，則，，求導，由（1），，解得：，的取值范圍．方法二：（1）由，求導，，當時，，在上單調遞減，當時，，令，解得：，當，解得：，當，解得：，時，單調遞減，單調遞增；綜上可知：當時，在單調減函數(shù)，當時，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）①若時，由（1）可知：最多有一個零點，②當時，由（1）可知：當時，取得最小值，，當，時，，故只有一個零點，當時，由，即，故沒有零點，當時，，，由，故在有一個零點，假設存在正整數(shù)，滿足，則，由，因此在有一個零點．的取值范圍．例4．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）求導，因為，，所以，當時，，所以在上單調遞減，當時，，令，解得：，當，解得：，當，解得：，所以時，單調遞減，單調遞增；綜上可知：當時，在減函數(shù)，當時，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）①若時，由（1）可知：最多有一個零點，②當時，由（1）可知：當時，取得最小值，，當，時，，故只有一個零點，當時，由，即，故沒有零點，當時，，，由，故在有一個零點，假設存在正整數(shù)，滿足，則，由，因此在有一個零點．所以的取值范圍．例5．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1），若，當時，，遞減，時，，遞增，當時，令，解得：或，若，，恒成立，在遞增，若，，當時，，遞增，當時，，遞減，當時，，遞增，若，，當時，，遞增，當時，，遞減，當時，，遞增，綜上：若，在遞減，在遞增，若，在遞增，若，在遞增，在遞減，在遞增，若，在遞增，在遞減，在遞增；（2）當時，，令，解得：，此時1個零點，不合題意，當時，由（1）可知，在遞減，在遞增，有2個零點，必有，即，而（1），故當時，個零點，當時，，取，則，故當，時，個零點，故當時，個零點，符合題意，當時，在遞增，不可能有2個零點，不合題意，當時，在遞增，在遞減，在遞增，，，故，此時，至多1個零點，不合題意；當時，在遞增，在遞減，在遞增，，此時，最多有1個零點，不合題意，綜上，若有2個零點，則的范圍是，．例6．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域為，且，當時，，此時在上單調遞增；當時，由解得，由解得，此時在上單調遞增，在上單調遞減；綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）由（1）知，當時，在上單調遞增，函數(shù)至多一個零點，不合題意；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，則，當時，，函數(shù)至多有一個零點，不合題意；當時，，由于，且，由零點存在性定理可知，在上存在唯一零點，由于，且（由于，由零點存在性定理可知，在上存在唯一零點；綜上，實數(shù)的取值范圍為．【同步練習】1．已知函數(shù)，．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，可得，①當時，由，可得；由，可得，即有在遞減；在遞增；②當時，由，解得或，若，則恒成立，即有在上遞增；若時，由，可得或；由，可得；即有在，，遞增，在，遞減；若，由，可得或；由，可得即有在，，遞增；在，遞減；綜上：當時，在遞減；在遞增；當時，時，在上遞增；時，在，，遞增，在，遞減；時，在，，遞增；在，遞減．（2）①由（1）可得，當時，在遞減；在遞增，且（1），（2），故在上存在1個零點，取滿足，且，則（b），故在是也存在1個零點，故時，有2個零點；②當時，，所以只有一個零點，不合題意；③當時，若時，在遞增，不存在2個零點，不合題意；若，在遞增，又當時，，不存在2個零點，不合題意，當時，在單調增，在，遞減，在，遞增，極大值（1），故不存在2個零點，不合題意；綜上，有兩個零點時，的取值范圍為．2．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)，且．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1），①時，，則時，，在遞減，時，，在遞增，②當時，由得，，若，則，故在遞增，若，則當或時，，時，，故在，遞增，在遞減；綜上：時，在遞減，在遞增，時，在，遞增，在遞減；時，在遞增；（2）①時，在遞增，不可能有2個零點，②當時，在，遞增，遞減，故當時，取極大值，極大值為，此時，不可能有2個零點，③當時，，由得，此時，僅有1個零點，④當時，在遞減，在遞增，故，有2個零點，，解得：，，而（1），取，則（b），故在，各有1個零點，綜上，的取值范圍是，．3．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，可得，①當時，由，可得；由，可得，即有在遞減；在遞增；②當時，由得或；若，則，當時，，當時，；，恒成立，即有在上遞增；若時，則；由，可得或；由，可得．即有在，，遞增；在，遞減；若，則，由，可得或；由，可得．即有在，，遞增；在，遞減．（2）①由（1）可得當時，在遞減；在遞增，且，，取滿足且．則，有兩個零點；②當時，，所以只有一個零點；③當時，若時，由（1）知在，遞減，在，，遞增，又當時，，所以不存在兩個零點；當時，由（1）知，在單調增，又當時，，故不存在兩個零點；綜上可得，有兩個零點時，的取值范圍為．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）．當時，令，得；令，得．故在上單調遞減，在上單調遞增．當時，令，得，．①當，即時，，在上單調遞增．②當，即時，在上單調遞減，在，，上單調遞增．③當，即時，在上單調遞減，在，，上單調遞增．（2）當時，由（1）可知只有一個極小值點，且，．（方法一）取，且，則，，因為，所以，則（b），此時有兩個零點．（方法二）當時，，，從而，因此有兩個零點．當時，，此時有一個零點，不符合題意．當時，若，則恒有．當時，在上單調遞增，此時在上不可能有兩個零點；當時，若，同理可知在上不可能有兩個零點；若，在上先減后增，此時在上也不可能有兩個零點．綜上，的取值范圍是．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1），①當時，，由，得，由，得，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為．②當時，令，或，當，即時，，在單增，當，即時，由得，，，，由得，，，單增區(qū)間為，，，單減區(qū)間為，．當，即時，由得，，，，由得，，，的單增區(qū)間為，，，的單減區(qū)間為，．（2）．當時，，，可得，不符題意，故；當時，由（1）可得只需，即時，滿足題意；當時，在上單增，不滿足題意；當時，的極大值，不可能有兩個零點．當時，的極小值，，，只有才能滿足題意，即有解，令，，則，（a）在單增，而，（a），方程無解．綜上所述，．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）由題意知：若，即時，在上單減，在單增，若，即時，①當時，在單增；②當時，在上單增，在單減，在上單增；③當時，在上單增，在單減，在上單增．（2）由（1）知當時，在單增，故不可能有兩個零點．當時，只有一個零點，不合題意．當時，在上單減，在單增，且時，；時，．故只要（1），解得：．當時，在上單增，在單減，在上單增．因為故也不可能有兩個零點．當時，在上單增，在單減，在上單增且，故要使有兩個零點，必有由即當時，有因為即在上單增，且時，．故當時，不可能有兩個零點．綜上所述：當時，有兩個零點．7．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個不同的零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）函數(shù)．定義域為，，①時，，當．，單調遞增；當．，單調遞減；②時，，解得或，當，，單調遞減；當，，單調遞增，當，，單調遞減；③時，，在單調遞減；④時，，解得或，當，，單調遞減；，，單調遞增；，．單調遞減；（2）由（1）得當時，在定義域上只有一個零點，，由（1）可得，要使有兩個零點，則（2），即（2），所以，下證有兩個零點，取，，滿足（2），故在有且只有一個零點；因為（4），滿足（2）（4），故在有且只有一個零點；當時，由（1）可得，（a），故在無零點，又因為在單調遞減，在至多一個零點，不滿足條件；當時，，（2），故在上無零點，又因為在單調遞減，在至多一個零點，不滿足條件；滿足條件的取值范圍，8．已知函數(shù)，．（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），函數(shù)的定義域為，，當時，恒成立，當時，，函數(shù)在上單調遞增，當時，，函數(shù)在單調遞減，當時，令，解得，或，（舍去），①當，即時，，函數(shù)在上單調遞增，②當，即時，當，時，，函數(shù)在，上單調遞增，當，時，，函數(shù)在，上單調遞減，③當，即時，當，，時，，函數(shù)在，，單調遞增，當時，，函數(shù)在單調遞減，綜上所述：當時，函數(shù)在上單調遞增，在單調遞減，當時，函數(shù)在，，上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數(shù)在上單調遞增，當時，函數(shù)在，上單調遞增，在，上單調遞減，（2）由（1）可知，①當時，函數(shù)在上單調遞增，在單調遞減，（1），取，，令，，則在成立，故單調遞增，，，函數(shù)有兩個零點等價于（2），解得，當時，，只有一個零點，不符合題意，當時，函數(shù)在上單調遞增，至多只有一個零點，不符合題意，當且時，有兩個極值，（2），，令，，令，，當時，，在，上單調遞增，當時，，在，上單調遞減，故，在上單調遞增，當時，，故，又（2），由（1）可知，至多只有一個零點，不符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為，．9．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若有兩個大于1的零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域是，，當時，，在遞減，當時，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增；當時，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增；（2）由（1）可得若函數(shù)有2個大于1的零點，則，當時，需，無解，當時，需，解得：，且當時，在遞減，（1），故在有1個零點，，下面證明，令，，當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增，故（1），即，故，，又在，遞增，故在，有1個零點，綜上，的范圍是，．10．已知函數(shù)．（1）求的單調區(qū)間；（2）試求的零點個數(shù)，并證明你的結論．【解析】解：（1）由函數(shù)，得．另，得．列表如下：，0極小值因此，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為．（2）由（1）可知，．當時，由，得函數(shù)的零點個數(shù)為0．當時，因在，上是單調增，在上單調減，故，，時，．此時，函數(shù)的零點個數(shù)為1．當時，．①時，因為當，時，，所以，函數(shù)在區(qū)間，上無零點；另一方面，因為在，單調遞增，且，由，，且，此時，函數(shù)在，上有且只有一個零點．所以，當時，函數(shù)零點個數(shù)為1．②時，因為在，上單調遞增，且（1），，所以函數(shù)在區(qū)間，上有且只有一個零點；另一方面，因為在，上是單調遞減，且又，且，（當時，成立）此時，函數(shù)在上有且只有一個零點．所以，當，函數(shù)的零點個數(shù)為2．綜上所述，當時，的零點個數(shù)為0；當時，或時，的零點個數(shù)為1；當時，的零點個數(shù)為2．11．已知函數(shù)．（Ⅰ）若在，處導數(shù)相等，證明：；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，證明：；（Ⅲ）若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．【解析】解：（Ⅰ）由所以，即化簡得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由基本不等式得，則得，則設，，，在上單調遞增，所以，所以；（Ⅲ）記，，令，記，則△，①當時，，有，單調遞減，當，；當，所以取，時，有，又，所以有唯一零點．②當時，△，令，解得，，則當和時，單調遞減，當，單調遞增，記，，則，記，注意，所以，，則，所以，又，，且，結合單調性，可知有唯一零點．綜上可知，若，對于任意，直線與曲線有唯一公共點．12．已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設，討論函數(shù)零點的個數(shù)，并說明理由．【解析】解：（1）因為，所以．（1分）由，得；由，得．（2分）所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是．（3分）（2）因為．由，得或．（4分）設，又，即不是的零點，故只需再討論函數(shù)零點的個數(shù)．因為，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．（5分）所以當時，取得最小值（a）．（6分）①當（a），即時，，無零點；（7分）②當（a），即時，有唯一零點；（8分）③當（a），即時，因為，所以在上有且只有一個零點．（9分）令，則．設（a），則（a），所以（a）在上單調遞增，所以，，都有（a）（1）．所以（a）．（10分）所以在上有且只有一個零點．所以當時，有兩個零點．（11分）綜上所述，當時，有一個零點；當時，有兩個零點；當時，有三個零點．（12分）13．設函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域為當時，令得；令得或，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為；當時，恒成立，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，令得；令得或，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為．（2）由（1）可知，當時，函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為，所以，，注意到，所以函數(shù)有唯一零點，當時，函數(shù)在上單調遞增，又注意到，（4）所以函數(shù)有唯一零點；當時，函數(shù)的單調遞增是和上，單調遞減是上，所以，，注意到，所以函數(shù)有唯一零點，綜上，函數(shù)有唯一零點．14．已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù)．【解析】（1）解：當時，，則，因為，則，所以時，，時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是．（2）因為，則．當時，因為，則，則時，，所以時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，（1）．當（1）時，即時，（1），所以當時，函數(shù)沒有零點，即函數(shù)零點個數(shù)為0；當