導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第25講 零點差問題（剪刀模型）（含答案及解析）

第25講零點差問題（剪刀模型）【典型例題】例1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個正實數(shù)根，且．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：．例2．已知函數(shù)，，其中，且．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（Ⅲ）若關(guān)于的方程為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根，，求證：．例3．已知函數(shù)（1）求曲線在原點處的切線方程；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若方程有兩個正實數(shù)根，，求證：．例4．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最值；（2）當(dāng)時，若的兩個零點分別為，，證明．例5．已知函數(shù)為常數(shù)）的最大值為0．（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求證：函數(shù)有兩個不同的零點，，且．例6．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：在上恒成立；（3）若方程有兩個實數(shù)根，，且，求證：．例7．已知函數(shù)．（1）求在點，處的切線方程；（2）若，證明：在，上恒成立；（3）若方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）關(guān)于的不等式在恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（Ⅲ）關(guān)于的方程有兩個實根，，求證：．2．已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若方程有兩個實根，，且（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）求證：．3．已知函數(shù)的兩個零點記為，．（1）求的取值范圍；（2）證明：．4．已知函數(shù)（1）求在點，（1）處的切線方程，并證明（2）若方程有兩個正實數(shù)根，，求證：．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，是的兩個零點，求證：．6．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：．7．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）已知函數(shù)有兩個不同的零點，，且證明：．8．已知函數(shù)．（1）求在點，處的切線方程；（2）已知在上恒成立，求的值．（3）若方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：．9．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的零點，以及曲線在處的切線方程；（2）設(shè)方程有兩個實數(shù)根，，求證：．10．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)，時恒有成立，求滿足條件的的范圍；（3）當(dāng)時，令方程有兩個不同的根，，且滿足，求證：．11．已知函數(shù)，是的極值點．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線．求證：曲線上的點都不在直線的上方；（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個不等實根，，求證：．12．已知函數(shù)，曲線在原點處的切線為．（1）證明：曲線與軸正半軸有交點；（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線，求證：曲線上的點都不在直線的上方；（3）若關(guān)于的方程為正實數(shù)）有不等實根，，求證：．13．已知函數(shù)，其中，，．（1）當(dāng)，時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知，，，且函數(shù)有兩個零點，，求證：對任意的正實數(shù)，都存在滿足條件的實數(shù)，使得成立．14．已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）若曲線與直線有交點，求的最小值；（Ⅱ）（?。┰O(shè)，問：是否存在最大整數(shù)，使得對任意正數(shù)都有（1）（1）成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（ⅱ）若曲線與直線有兩個不同的交點，，求證：．15．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的零點，以及曲線在其零點處的切線方程；（2）若方程有兩個實數(shù)根，，求證：．16．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求曲線在點，處的切線方程：（2）若方程有兩個不等的實數(shù)根，，求證：．

第25講零點差問題（剪刀模型）【典型例題】例1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個正實數(shù)根，且．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：．【解析】解：（1）由，得，令，則或，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且有兩個正根，（1），，的取值范圍為．（2）關(guān)于的方程有兩個正實數(shù)根，且．由（1）知，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞減，（1），，又在上單調(diào)遞減，，，要證，只需證，即證，且，成立．例2．已知函數(shù)，，其中，且．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（Ⅲ）若關(guān)于的方程為實數(shù)）有兩個正實數(shù)根，，求證：．【解析】（本題滿分為14分）解：（Ⅰ）由，可得，其中，且．下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)為奇數(shù)時，令，解得，或，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（Ⅱ）證明：設(shè)點的坐標(biāo)為，，則，，曲線在點處的切線方程為，即，令，即，則．由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)，時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以對應(yīng)任意的正實數(shù)，都有，即對于任意的正實數(shù)，都有．（Ⅲ）證明：不妨設(shè)，由（Ⅱ）知，設(shè)方程的根為，可得，由（Ⅱ）知，可得．類似地，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得，當(dāng)，，即對于任意的，，設(shè)方程的根為，可得，因為在上單調(diào)遞增，且，因此，由此可得：，因為，所以，故：．所以：．例3．已知函數(shù)（1）求曲線在原點處的切線方程；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若方程有兩個正實數(shù)根，，求證：．【解析】解：（1），，，故曲線在原點處的切線方程為．（2）①當(dāng)時，；②當(dāng)時，問題等價于恒成立．設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，且（1）在遞減，在遞增．在的最小值為（1）；③當(dāng)時，問題等價于恒成立．設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，且時，．，綜上所述：．（3）依（2）得時，，曲線在原點處的切線方程為設(shè)，，，令，解得，或．在，遞增，在遞減．，時，，遞增，而，當(dāng)時，，設(shè)，分別與，交點的橫坐標(biāo)為，，，．則，，（證畢）例4．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最值；（2）當(dāng)時，若的兩個零點分別為，，證明．【解析】解：（1），，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得最小值（1）；（2），因為時，單調(diào)遞增且（1），所以時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取得最小值（1），又，所以在上存在一個零點，因此．例5．已知函數(shù)為常數(shù)）的最大值為0．（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求證：函數(shù)有兩個不同的零點，，且．【解析】解：（1），，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，無最大值；當(dāng)時，時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，令（a），則，易得，當(dāng)時，（a），（a）單調(diào)遞減，當(dāng)時，（a），（a）單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，（a）取得最大值，又因為（1），所．（2），所以，，所以在上單調(diào)遞增，又因為（1），所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又（1），所以存在，，又因為，（e），所以，．故．例6．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：在上恒成立；（3）若方程有兩個實數(shù)根，，且，求證：．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域為，又，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：令（a），下面證明：，令，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，所以，即，故在上恒成立；（3）證明：先證右半部分不等式：．曲線在和處的切線分別為和，設(shè)直線與直線，函數(shù)的圖象和直線分別交于，，，，則，則，因此；再證左半部分不等式：．設(shè)，，我們用割線和來估計的下界，即直線與函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)分別為，，設(shè)直線與直線，的交點的橫坐標(biāo)分別為，，即，，則，因此．綜上可得，．例7．已知函數(shù)．（1）求在點，處的切線方程；（2）若，證明：在，上恒成立；（3）若方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：．【解析】解：（1）函數(shù)，由，由，，所以切線方程為，（2）當(dāng)，時，，所以．故只需證，構(gòu)造，，又在，上單調(diào)遞增，且（1），知在，上單調(diào)遞增，故（1）．因此，得證．（3）由（1）知在點，處的切線方程為．構(gòu)造，，．當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．設(shè)方程的根．又，由在上單調(diào)遞減，所以．另一方面，在點處的切線方程為．構(gòu)造．，．當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，（1），所在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以（1）．設(shè)方程的根．又，由在上單調(diào)遞增，所以．，，，所以，得證．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）關(guān)于的不等式在恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（Ⅲ）關(guān)于的方程有兩個實根，，求證：．【解析】解：（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)得，，又，曲線在處的切線方程為，即；（Ⅱ）記，其中，由題意知在上恒成立，下面求函數(shù)的最小值，對求導(dǎo)得，令，得，當(dāng)變化時，，變化情況列表如下：，0遞減極小值遞增，，記，則，令，得，當(dāng)變化時，，變化情況列表如下：10遞增極大值遞減（1），故當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，從而得到；（Ⅲ）證明：先證，記，則，令，得，當(dāng)變化時，，變化情況列表如下：，0遞減極小值遞增，恒成立，即，記直線，分別與交于，，，，不妨設(shè)，則，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由（Ⅱ）知，，則，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故因等號成立的條件不能同時滿足，故．2．已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若方程有兩個實根，，且（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）求證：．【解析】解：（1），曲線在處的切線的斜率為，切點坐標(biāo)為，所以切線方程為．（2）（Ⅰ），的增區(qū)間為，減區(qū)間為，的最小值為，又時，，時，，的取值范圍為．．（Ⅱ）下面證明切線始終在曲線下方，即證明恒成立，令，，在遞減，在，遞增，最小值為，恒成立，恒成立得證，即切線始終在曲線下方．切線與聯(lián)立解得，顯然，因此，要證，只要證即可，即證，即證即可，又因為，，所以只要證，令，，恒成立，在單調(diào)遞增，（1），得證，原命題得證．3．已知函數(shù)的兩個零點記為，．（1）求的取值范圍；（2）證明：．【解析】解：（1）由，得，令，，當(dāng)，，遞增；當(dāng)，，遞減；有最大值，又，，故函數(shù)有兩個不同的零點，；（2）先證明，不妨設(shè)，由（1）知，，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時，，遞增，（1），，所以，即，所以，由，由（1）知，當(dāng)，遞減；所以，即，要證明，只需證明，即，，只需證明，，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)，，遞增；，，遞減；當(dāng)，時，，（1），所以當(dāng)，，故原命題成立．4．已知函數(shù)（1）求在點，（1）處的切線方程，并證明（2）若方程有兩個正實數(shù)根，，求證：．【解析】證明：（1），（1），（1），在點，（1）處的切線方程，設(shè)，則，，令，可得或，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞減；，，，，單調(diào)遞增，（1），；（2）在處的切線方程為，則又，設(shè)與和的兩個交點的橫坐標(biāo)為，，，．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，是的兩個零點，求證：．【解析】解：（1）的定義域為，且，①當(dāng)時，，的單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時，由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）證明：有兩個零點，由（1）知且，，要證原不等式成立，只需證明，只需證明，只需證明．一方面，，，，且在單調(diào)遞增，故；另一方面，令，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故，故即時恒成立，令，則，于是，而，故，且在單調(diào)遞減，故；綜合上述，，即原不等式成立．6．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┳C明：．【解析】解：（1），．（3分）當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（5分）（2）由（1）（1），若函數(shù)有兩個不同的零點，，則（1），解得：，（8分）不妨設(shè)，因為．令，．令，則，，所以單調(diào)遞增，又因為，所以單調(diào)遞增．因為，所以，故單調(diào)遞增．又因為（e），所以，．（12分）由可知令，所以．（15分）7．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）已知函數(shù)有兩個不同的零點，，且證明：．【解析】（1）解：函數(shù)，故的定義域為，則，令，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值（1），當(dāng)時，（1），則，所以在上單調(diào)遞減，此時無極值點；當(dāng)時，（1），因為，，所以在上有且只有一個零點，所以在上有且只有一個極值點，又，，所以在上有且只有一個零點，所以在上有且只有一個極值點．綜上所述，當(dāng)時，無極值點；當(dāng)時，有2個極值點．（2）證明：函數(shù)，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值（1），因為函數(shù)有兩個不同的零點，，且，所以（1），即，所以，又，令，則，令，則，所以單調(diào)遞增，所以（e），所以，所以單調(diào)遞增，所以（e），所以，所以，令，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取到最大值為（1），所以，即，所以，令，則，所以，所以．8．已知函數(shù)．（1）求在點，處的切線方程；（2）已知在上恒成立，求的值．（3）若方程有兩個實數(shù)根，，且，證明：．【解析】解：（1）函數(shù)，則，所以，，所以在點，處的切線方程為；（2）令，則，令，則，所以在單調(diào)遞減且，在單調(diào)遞增，又，即且，故只能在處取得最小值，若，此時，在上，故單調(diào)遞減，在上，故單調(diào)遞增，故，滿足題意；若，有解，，在上單調(diào)遞減，與矛盾；若，有解，，在，上單調(diào)遞減，與矛盾；綜上所述，；（3）證明：，所以在單調(diào)遞減且，在單調(diào)遞增，故最多一根，又因為，，設(shè)的解為，因為，故，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為方程有兩個實數(shù)根，，故，結(jié)合（1）（2）有，在上恒成立，設(shè)的解為，則，設(shè)的解為，則，故，，所以，得證．9．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的零點，以及曲線在處的切線方程；（2）設(shè)方程有兩個實數(shù)根，，求證：．【解析】解：（1）由，得，函數(shù)的零點，，，．曲線在處的切線方程為，，（1），曲線在處的切線方程為；（2）證明：，當(dāng)時，；當(dāng)時，．的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．由（1）知，當(dāng)或時，；當(dāng)時，．下面證明：當(dāng)時，．當(dāng)時，．易知，在，上單調(diào)遞增，而，對恒成立，當(dāng)時，．由得．記．不妨設(shè)，則，．要證，只要證，即證．又，只要證，即．，即證．令，．當(dāng)時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時，，為單調(diào)遞增函數(shù)．，，．10．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)，時恒有成立，求滿足條件的的范圍；（3）當(dāng)時，令方程有兩個不同的根，，且滿足，求證：．【解析】（1）解：由題意，當(dāng)時，，．，．（1），（1）．函數(shù)在處的切線方程為：．（2）解：由題意，當(dāng)，時恒有成立，即對任意，成立．當(dāng)，時，恒成立，對任意，恒成立．．的取值范圍為，．（3）證明：由題意，當(dāng)時，，．，．①令，即，根據(jù)下面圖象：根據(jù)圖，很明顯交點的橫坐標(biāo)在1與之間，設(shè)為，即的解為，，且．②令，即，解得；③令，即，解得．在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，在處取得極小值．（1），（e）．根據(jù)題意，畫圖如下：由圖，①設(shè)函數(shù)在處的切線為，（1）．直線的直線方程：，令，解得；②設(shè)函數(shù)在處的切線為，（e）．直線的直線方程：，令，解得．．11．已知函數(shù)，是的極值點．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線．求證：曲線上的點都不在直線的上方；（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個不等實根，，求證：．【解析】（Ⅰ）解：；由題意知，；；（Ⅱ）證明：設(shè)曲線在，處切線為直線；令；；；在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；；，即，即上的點都不在直線的上方；（Ⅲ）由（Ⅱ）設(shè)方程的解為；則有，解得；由題意知，；令，；；在上單調(diào)遞增；；的圖象不在的下方；與交點的橫坐標(biāo)為；則有，即；；關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增；．12．已知函數(shù)，曲線在原點處的切線為．（1）證明：曲線與軸正半軸有交點；（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線為直線，求證：曲線上的點都不在直線的上方；（3）若關(guān)于的方程為正實數(shù)）有不等實根，，求證：．【解析】證明：（1）因為，由已知得：，解得，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，（2），所以，存在，使得．即曲線與軸正半軸有交點，；（2）曲線在點處的切線，令，，則，又當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，所以對任意實數(shù)都有，即對任意實數(shù)都有，故曲線上的點都不在直線的上方；（3）因為，所以為減函數(shù)，設(shè)方程的根為，由（2）可知，所以記，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，所以，對任意的實數(shù)，都有，即設(shè)方程的根，則，所以于是，令，又，則，所以在，上為增函數(shù)，又，所以，，所以．13．已知函數(shù)，其中，，．（1）當(dāng)，時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知，，，且函數(shù)有兩個零點，，求證：對任意的正實數(shù)，都存在滿足條件的實數(shù)，使得成立．【解析】解：（1）的定義域為，．令，即．①當(dāng)時，△，設(shè)的根，則，，解得或（舍，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．②當(dāng)時，若，則恒成立，在上是減函數(shù)；若，解得，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．當(dāng)時，若，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無增區(qū)間；若，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）證明：因為，，所以，則．因為，所以，所以方程在上有唯一的實數(shù)根，記為，所以，所以．且當(dāng)時，，單調(diào)遞減．當(dāng)，時，，單調(diào)遞增．因為函數(shù)有兩個不等的零點，所以，即，將代入上式可得：，顯然，則．取，則．另取，則．令，則，則函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以對于，所以當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點．因為，所以．下證：對任意的，都存在，使得．因為，對于任意的，令，則，即對于任意的正實數(shù)，都存在滿足條件的實數(shù)，使得．14．已