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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：陳**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：四川 上傳時(shí)間：2024-10-13 格式：DOC 頁(yè)數(shù)：23 大?。?49.56KB 積分：7.2 舉報(bào) 版權(quán)申訴

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅰ）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，則z+＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．（5分）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA．記＝，＝，則＝（）A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+34．（5分）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)．已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2．將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（≈2.65）（）A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m35．（5分）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）A． B． C． D．6．（5分）記函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T．若＜T＜π，且y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，2）中心對(duì)稱，則f（）＝（）A．1 B． C． D．37．（5分）設(shè)a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b8．（5分）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為36π，且3≤l≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27]二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則（）A．直線BC1與DA1所成的角為90° B．直線BC1與CA1所成的角為90° C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45° D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x+1，則（）A．f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn) B．f（x）有三個(gè)零點(diǎn) C．點(diǎn)（0，1）是曲線y＝f（x）的對(duì)稱中心 D．直線y＝2x是曲線y＝f（x）的切線（多選）11．（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）上，過(guò)點(diǎn)B（0，﹣1）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（）A．C的準(zhǔn)線為y＝﹣1 B．直線AB與C相切 C．|OP|?|OQ|＞|OA|2 D．|BP|?|BQ|＞|BA|2（多選）12．（5分）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，則（）A．f（0）＝0 B．g（）＝0 C．f（﹣1）＝f（4） D．g（﹣1）＝g（2）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．14．（5分）寫出與圓x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一條直線的方程．15．（5分）若曲線y＝（x+a）ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．16．（5分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0），C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為．過(guò)F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，|DE|＝6，則△ADE的周長(zhǎng)是．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數(shù)列．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：++…+＜2．18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．19．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為．（1）求A到平面A1BC的距離；（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（ⅰ）證明：R＝?；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|B），P（A|）的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計(jì)值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C：﹣＝1（a＞1）上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面積．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線y＝b，其與兩條曲線y＝f（x）和y＝g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

2022年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}【解答】解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．故選：D．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，則z+＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，∴z＝1+i，則，∴．故選：D．3．（5分）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA．記＝，＝，則＝（）A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+3【解答】解：如圖，＝，∴，即．故選：B．4．（5分）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)．已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2．將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（≈2.65）（）A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3【解答】解：140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，根據(jù)題意，增加的水量約為＝≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故選：C．5．（5分）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：從2至8的7個(gè)整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有種方式，其中互質(zhì)的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14種，故所求概率為．故選：D．6．（5分）記函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T．若＜T＜π，且y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，2）中心對(duì)稱，則f（）＝（）A．1 B． C． D．3【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期為T，則T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，2）中心對(duì)稱，∴b＝2，且sin（+）＝0，則+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，則f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故選：A．7．（5分）設(shè)a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【解答】解：構(gòu)造函數(shù)f（x）＝lnx+，x＞0，則f'（x）＝，x＞0，當(dāng)f'（x）＝0時(shí)，x＝1，0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）在x＝1處取最小值f（1）＝1，∴，∴l(xiāng)n0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，∴0.1e0.1＜，∴a＜b；∵0.1e0.1＞0.1×1.1＝0.11，而﹣1n0.9＝ln＜（）＝＜0.11，∴a＞c，∴c＜a＜b．故選：C．8．（5分）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為36π，且3≤l≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27]【解答】解：如圖所示，正四棱錐P﹣ABCD各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接AC與BD交于點(diǎn)E，連接PE，則球心O在直線PE上，連接OA，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE2，即＝，∵球O的體積為36π，∴球O的半徑R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，∴，∴，∴l(xiāng)2＝6h，又∵3≤l≤3，∴，∴該正四棱錐體積V（h）＝＝＝，∵V'（h）＝﹣2h2+8h＝2h（4﹣h），∴當(dāng)時(shí)，V'（h）＞0，V（h）單調(diào)遞增；當(dāng)4時(shí)，V'（h）＜0，V（h）單調(diào)遞減，∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝，V（）＝，且，∴，即該正四棱錐體積的取值范圍是[，]，故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則（）A．直線BC1與DA1所成的角為90° B．直線BC1與CA1所成的角為90° C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45° D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°【解答】解：如圖，連接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四邊形DA1B1C為平行四邊形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直線BC1與DA1所成的角為90°，故A正確；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1?平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直線BC1與CA1所成的角為90°，故B正確；設(shè)A1C1∩B1D1＝O，連接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO為直線BC1與平面BB1D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直線BC1與平面BB1D1D所成的角為30°，故C錯(cuò)誤；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角為45°，故D正確．故選：ABD．（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x+1，則（）A．f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn) B．f（x）有三個(gè)零點(diǎn) C．點(diǎn)（0，1）是曲線y＝f（x）的對(duì)稱中心 D．直線y＝2x是曲線y＝f（x）的切線【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，∴f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，則f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；假設(shè)y＝2x是曲線y＝f（x）的切線，設(shè)切點(diǎn)為（a，b），則，解得或，顯然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲線y＝f（x）上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．（多選）11．（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）上，過(guò)點(diǎn)B（0，﹣1）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（）A．C的準(zhǔn)線為y＝﹣1 B．直線AB與C相切 C．|OP|?|OQ|＞|OA|2 D．|BP|?|BQ|＞|BA|2【解答】解：∵點(diǎn)A（1，1）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴拋物線C的方程為x2＝y(tǒng)，準(zhǔn)線方程為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于A（1，1），B（0，﹣1），則，直線AB的方程為y＝2x﹣1，聯(lián)立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直線AB與拋物線C相切，選項(xiàng)B正確；根據(jù)對(duì)稱性及選項(xiàng)B的分析，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線方程為y＝kx﹣1（k＞2），與拋物線在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，則x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等號(hào)在x1＝x2＝y(tǒng)1＝y(tǒng)2＝1時(shí)才能取到，故等號(hào)不成立，選項(xiàng)C正確；＝，選項(xiàng)D正確．故選：BCD．（多選）12．（5分）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，則（）A．f（0）＝0 B．g（）＝0 C．f（﹣1）＝f（4） D．g（﹣1）＝g（2）【解答】解：∵f（﹣2x）為偶函數(shù)，∴可得f（﹣2x）＝f（+2x），∴f（x）關(guān)于x＝對(duì)稱，令x＝，可得f（﹣2×）＝f（+2×），即f（﹣1）＝f（4），故C正確；∵g（2+x）為偶函數(shù)，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）關(guān)于x＝2對(duì)稱，故D不正確；∵f（x）關(guān)于x＝對(duì)稱，∴x＝是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴g（）＝f′（）＝0，又∴g（x）關(guān)于x＝2對(duì)稱，∴g（）＝g（）＝0，∴x＝是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，f（x）關(guān)于x＝對(duì)稱，∴x＝﹣是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴g（﹣）＝f′（﹣）＝0，故B正確；f（x）圖象位置不確定，可上下移動(dòng)，即沒一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是確定值，故A錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為﹣28（用數(shù)字作答）．【解答】解：（x+y）8的通項(xiàng)公式為Tr+1＝C8rx8﹣ryr，當(dāng)r＝6時(shí)，，當(dāng)r＝5時(shí)，，∴（1﹣）（x+y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為＝．故答案為：﹣28．14．（5分）寫出與圓x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一條直線的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正確）．【解答】解：圓x2+y2＝1的圓心坐標(biāo)為O（0，0），半徑r1＝1，圓（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圓心坐標(biāo)為C（3，4），半徑r2＝4，如圖：∵|OC|＝r1+r2，∴兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條．∵，∴l(xiāng)1的斜率為，設(shè)直線l1：y＝﹣，即3x+4y﹣4b＝0，由，解得b＝（負(fù)值舍去），則l1：3x+4y﹣5＝0；由圖可知，l2：x＝﹣1；l2與l3關(guān)于直線y＝對(duì)稱，聯(lián)立，解得l2與l3的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，），在l2上取一點(diǎn)（﹣1，0），該點(diǎn)關(guān)于y＝的對(duì)稱點(diǎn)為（x0，y0），則，解得對(duì)稱點(diǎn)為（，﹣）．∴＝，則l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴與圓x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一條直線的方程為：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正確）．故答案為：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正確）．15．（5分）若曲線y＝（x+a）ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，（x0+a）），∴切線的斜率k＝，∴切線方程為y﹣（x0+a）＝（）（x﹣x0），又∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴﹣（x0+a）＝（）（﹣x0），整理得：，∵切線存在兩條，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案為：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．16．（5分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0），C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為．過(guò)F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，|DE|＝6，則△ADE的周長(zhǎng)是13．【解答】解：∵橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，∴不妨可設(shè)橢圓C：，a＝2c，∵C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，∴△AF1F2為等邊三角形，∵過(guò)F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，∴，由等腰三角形的性質(zhì)可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，設(shè)直線DE方程為y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），將其與橢圓C聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韋達(dá)定理可得，，，|DE|＝＝＝＝，解得c＝，由橢圓的定義可得，△ADE的周長(zhǎng)等價(jià)于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c＝．故答案為：13．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數(shù)列．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：++…+＜2．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差為的等差數(shù)列，所以，整理得，①，故當(dāng)n≥2時(shí)，，②，①﹣②得：，故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，化簡(jiǎn)得：，，，，；所以，故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．所以．證明：（2）由于，所以，所以＝．18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．【解答】解：（1）∵＝，∴＝＝，化為：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C為鈍角，B，A都為銳角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，當(dāng)且僅當(dāng)sinC＝時(shí)取等號(hào)．∴的最小值為4﹣5．19．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為．（1）求A到平面A1BC的距離；（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為4，可得V＝V＝，設(shè)A到平面A1BC的距離為d，由V＝V，∴S?d＝，∴×2?d＝，解得d＝．（2）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，又平面ABC∩平面A1BC＝BC，所以BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，BC⊥AB，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵AA1＝AB，∴BC×AB×＝2，又AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝AA1＝2，則B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），則＝（0，2，0），＝（1，1，1），＝（2，0，0），設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），則，令x＝1，則y＝0，z＝﹣1，∴平面ABD的一個(gè)法向量為＝（1，0，﹣1），設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為＝（a，b，c），，令b＝1，則a＝0，c＝﹣1，平面BCD的一個(gè)法向量為＝（0，1，﹣1），cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值為＝．20．（12分）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（ⅰ）證明：R＝?；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|B），P（A|）的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表為：不夠良好良好合計(jì)病例組4060100對(duì)照組1090100合計(jì)50150200計(jì)算K2＝＝24＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異．（2）（i）證明：R＝：＝?＝?＝＝?＝；（ⅱ）利用調(diào)查數(shù)據(jù)，P（A|B）＝＝，＝＝，P（|B）＝1﹣P（A|B）＝，P（|）＝1﹣P（A|）＝，所以R＝×＝6．21．（12分）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C：﹣＝1（a＞1）上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面積．【解答】解：（1）將點(diǎn)A代入雙曲線方程得，化簡(jiǎn)得a4﹣4a2+4＝0，∴a2＝2，故雙曲線方程為，由題顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y＝kx+m，設(shè)P（x1，y1）Q（x2，y2），則聯(lián)立雙曲線得：（2k2﹣1）x2+4kmx+2m2+2＝0，故，，，化簡(jiǎn)得：2kx1x2+