中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初三知識(shí)整理

人教版體系框架(7?9年級(jí))

七年級(jí)上冊(cè)(61)七年級(jí)下冊(cè)(62)

第1章有理數(shù)(19)第5章相交線與平行線(14)

第2章整式的加減(8)第6章平面直角坐標(biāo)系(7)

第3章一元一次方程(18)第7章三角形(8)

第4章圖形認(rèn)識(shí)初步(16)第8章二元一次方程組(12)

第9章不等式與不等式組(12)

第10章數(shù)據(jù)庫(kù)的收集整理與描述(9)

八年級(jí)上冊(cè)(62)八年級(jí)下冊(cè)(61)

第11章全等三角形(11)第16章分式(14)

第12章軸對(duì)稱(13)第17章反比例函數(shù)(8)

第13章實(shí)數(shù)(8)第18章勾股定理(8)

第14章一次函數(shù)(17)第19章四邊形(16)

第15章整式的乘除與因式分解(13)第20章數(shù)據(jù)的分析(15)

九年級(jí)上冊(cè)(62)九年級(jí)下冊(cè)(48)

第21章二次根式(9)第26章二次函數(shù)(12)

第22章一元二次方程(13)第27章相似(13)

第23章旋轉(zhuǎn)(8)第28章銳角三角函數(shù)(12)

第24章圓(17)第29章投影與視圖(11)

第25章概率初步(15)

全套教科書(shū)包含了課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)規(guī)定的“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“實(shí)踐與綜合

應(yīng)用”四個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容，在體系結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)上力求反映這些內(nèi)容之間的聯(lián)系與綜合，使它們形成一個(gè)有

機(jī)的整體

九年級(jí)上冊(cè)包括二次根式、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)、圓、概率初步五章內(nèi)容，學(xué)習(xí)內(nèi)容涉及到了《課

程標(biāo)準(zhǔn)》的四個(gè)領(lǐng)域。包含以下章節(jié)：

第21章二次根式第22章一元二次方程

第23章旋轉(zhuǎn)第24章圓

第25章概率初步

本冊(cè)書(shū)內(nèi)容分析如下：

第21章二次根式

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)整式與分式，知道用式子可以表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。解決與數(shù)量關(guān)系有關(guān)的

問(wèn)題還會(huì)遇到二次根式?！岸胃健币徽戮蛠?lái)認(rèn)識(shí)這種式子，探索它的性質(zhì)，掌握它的運(yùn)算。

在這一章，首先讓學(xué)生了解二次根式的概念，并掌握以下重要結(jié)論：

(1)石是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

(2)(⑸="。20)；

(3)(a20).

注：關(guān)于二次根式的運(yùn)算，由于二次根式的乘除相對(duì)于二次根式的加減來(lái)說(shuō)更易于掌握，教科書(shū)先安

排二次根式的乘除，再安排二次根式的加減?！岸胃降某顺币还?jié)的內(nèi)容有兩條發(fā)展的線索。一條

是用具體計(jì)算的例子體會(huì)二次根式乘除法則的合理性，并運(yùn)用二次根式的乘除法則進(jìn)行運(yùn)算；一條是

由二次根式的乘除法則得到

(a'O,b20),(aNO,b>0),

并運(yùn)用它們進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)。

“二次根式的加減”一節(jié)先安排二次根式加減的內(nèi)容，再安排二次根式加減乘除混合運(yùn)算的內(nèi)容。

在本節(jié)中，注意類比整式運(yùn)算的有關(guān)內(nèi)容。例如，讓學(xué)生比較二次根式的加減與整式的加減，又如，

通過(guò)例題說(shuō)明在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式仍然適用。這些處理有助于學(xué)生掌握

本節(jié)內(nèi)容。

第22章一元二次方程

學(xué)生已經(jīng)掌握了用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的方法。在解決某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)還會(huì)遇到一種新方

程一一一元二次方程?！耙辉畏匠獭币徽戮蛠?lái)認(rèn)識(shí)這種方程，討論這種方程的解法，并運(yùn)用這種

方程解決一些實(shí)際問(wèn)題。

本章首先通過(guò)雕像設(shè)計(jì)、制作方盒、排球比賽等問(wèn)題引出一元二次方程的概念，給出一元二次方

程的一般形式。然后讓學(xué)生通過(guò)數(shù)值代入的方法找出某些簡(jiǎn)單的一元二次方程的解，對(duì)一元二次方程

的解加以體會(huì)，并給出一元二次方程的根的概念，

“22.2降次一一解一元二次方程”一節(jié)介紹配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的

方法。下面分別加以說(shuō)明。

(1)在介紹配方法時(shí)，首先通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引出形如的方程。這樣的方程可以化為更為簡(jiǎn)單的形

如的方程，由平方根的概念，可以得到這個(gè)方程的解。進(jìn)而舉例說(shuō)明如何解形如的方程。然后舉

例說(shuō)明一元二次方程可以化為形如的方程，引出配方法。最后安排運(yùn)用配方法解一元二次方程的例

題。在例題中，涉及二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程，也涉及沒(méi)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程。對(duì)于沒(méi)有

實(shí)數(shù)根的一元二次方程，學(xué)了“公式法”以后，學(xué)生對(duì)這個(gè)內(nèi)容會(huì)有進(jìn)一步的理解。

(2)在介紹公式法時(shí)，首先借助配方法討論方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后

安排運(yùn)用公式法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的一元二次方程，也涉及

沒(méi)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三種情況。

(3)在介紹因式分解法時(shí)，首先通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式

分解法。然后安排運(yùn)用因式分解法解一元二次方程的例題。最后對(duì)配方法、公式法、因式分解法三種

解一元二次方程的方法進(jìn)行小結(jié)。

“22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程”一節(jié)安排了四個(gè)探究欄目，分別探究傳播、成本下降率、面積、

勻變速運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。

第23章旋轉(zhuǎn)

學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了平移、軸對(duì)稱，探索了它們的性質(zhì)，并運(yùn)用它們進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。本書(shū)中圖形變換

又增添了一名新成員一一旋轉(zhuǎn)?！靶D(zhuǎn)”一章就來(lái)認(rèn)識(shí)這種變換，探索它的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)中

心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形。

“23.1旋轉(zhuǎn)”一節(jié)首先通過(guò)實(shí)例介紹旋轉(zhuǎn)的概念。然后讓學(xué)生探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，通

過(guò)例題說(shuō)明作一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形的方法。最后舉例說(shuō)明用旋轉(zhuǎn)可以進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。

“23.2中心對(duì)稱”一節(jié)首先通過(guò)實(shí)例介紹中心對(duì)稱的概念。然后讓學(xué)生探究中心對(duì)稱的性質(zhì)。在

此基礎(chǔ)上，通過(guò)例題說(shuō)明作與一個(gè)圖形成中心對(duì)稱的圖形的方法。這些內(nèi)容之后，通過(guò)線段、平行四

邊形引出中心對(duì)稱圖形的概念。最后介紹關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，以及利用這一關(guān)系作與一

個(gè)圖形成中心對(duì)稱的圖形的方法。

“23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計(jì)”一節(jié)讓學(xué)生探索圖形之間的變換關(guān)系（平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)及其組合），

靈活運(yùn)用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。

第24章圓

圓是一種常見(jiàn)的圖形。在“圓”這一章，學(xué)生將進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，探索它的性質(zhì)，并用這些知識(shí)解

決一些實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，學(xué)生的解決圖形問(wèn)題的能力將會(huì)進(jìn)一步提高。

“24.1圓”一節(jié)首先介紹圓及其有關(guān)概念。然后讓學(xué)生探究與垂直于弦的直徑有關(guān)的結(jié)論，并運(yùn)

用這些結(jié)論解決問(wèn)題。接下來(lái)，讓學(xué)生探究弧、弦、圓心角的關(guān)系，并運(yùn)用上述關(guān)系解決問(wèn)題。最后

讓學(xué)生探究圓周角與圓心角的關(guān)系，并運(yùn)用上述關(guān)系解決問(wèn)題。

“24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系”一節(jié)首先介紹點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系、三角形的外心的概念，并通

過(guò)證明“在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓”引出了反證法。然后介紹直線和圓的三種位置關(guān)系、切線的

概念以及與切線有關(guān)的結(jié)論。最后介紹圓和圓的位置關(guān)系。

“24.3正多邊形和圓”一節(jié)揭示了正多邊形和圓的關(guān)系，介紹了等分圓周得到正多邊形的方法。

“24.4弧長(zhǎng)和扇形面積”一節(jié)首先介紹弧長(zhǎng)公式。然后介紹扇形及其面積公式。最后介紹圓錐的

側(cè)面積公式。

第25章概率初步

將一枚硬幣拋擲一次，可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面，出現(xiàn)正面的可能性大還是出現(xiàn)反面的可能

性大呢？學(xué)了“概率”一章，學(xué)生就能更好地認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題了。掌握了概率的初步知識(shí)，學(xué)生還會(huì)

解決更多的實(shí)際問(wèn)題。

“25.1概率”一節(jié)首先通過(guò)實(shí)例介紹隨機(jī)事件的概念，然后通過(guò)擲幣問(wèn)題引出概率的概念。

“25.2用列舉法求概率”一節(jié)首先通過(guò)具體試驗(yàn)引出用列舉法求概率的方法。然后安排運(yùn)用這種方

法求概率的例題。在例題中，涉及列表及畫(huà)樹(shù)形圖。

“25.3利用頻率估計(jì)概率”一節(jié)通過(guò)幼樹(shù)成活率和柑橘損壞率等問(wèn)題介紹了用頻率估計(jì)概率的方

法。

“25.4課題學(xué)習(xí)鍵盤上字母的排列規(guī)律”一節(jié)讓學(xué)生通過(guò)這一課題的研究體會(huì)概率的廣泛應(yīng)用。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第21章二次根式

知識(shí)框圖

普

Gm*0)是非負(fù)數(shù)二二次根式的乘除

次

與

二次根武程

運(yùn)

(而丫=a(fi>0)式

球

的

二次根式的加減

=a(a20)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

對(duì)于本章內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)達(dá)到以下幾方面要求：

1.理解二次根式的概念，了解被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由；

2.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念；

3.理解并掌握下列結(jié)論：

⑴6（。2°）是非負(fù)數(shù)；⑵（石丫=。020）；（3）7oy=a（a^0）.

4.掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；

5.了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。

I.二次根式的定義和概念：

1、定義：一般地，形如Ja(a20)的代數(shù)式叫做二次根式。當(dāng)a>0時(shí)，Ja表示a的算

數(shù)平方根，J0=0

2、概念：式子Ja(a20)叫二次根式。Va(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)。

H.二次根式辦的簡(jiǎn)單性質(zhì)和幾何意義

1)a20;Vd^O［雙重非負(fù)性］

2)(Va)人2=a(a20)［任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式］

3)〃2人2+13人2)表示平面間兩點(diǎn)之間的距離，即勾股定理推論。

川.二次根式的性質(zhì)和最簡(jiǎn)二次根式

1)二次根式的化簡(jiǎn)

a(a20)

Va=|a|={

-a(a<0)

2)積的平方根與商的平方根

Vab=Va,Vb(a20,bNO)

Va/b=Va/Vb(a>0,b>0)

3)最簡(jiǎn)二次根式

條件：

(1)被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；

(2)被開(kāi)方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式。

如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有J2.J3.Ja(a20)、Vx+y等；

含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有J4.J9、VaA2.V(x+y)A2.VxA2+2xy+yA2

IV.二次根式的乘法和除法

1運(yùn)算法則

Va,Vb=Vab(a20,b20)

Va/b=Va/Vb(a>0,b>0)

二數(shù)二次根之積，等于二數(shù)之積的二次根。

2共甄因式

如果兩個(gè)含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做共輾因式，也稱互

為有理化根式。

V.二次根式的加法和減法

1同類二次根式

一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二

次根式叫做同類二次根式。

2合并同類二次根式

把幾個(gè)同類二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類二次根式。

3二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的進(jìn)行合并

VL二次根式的混合運(yùn)算

1確定運(yùn)算順序

2靈活運(yùn)用運(yùn)算定律

3正確使用乘法公式

4大多數(shù)分母有理化要及時(shí)

5在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化

VII.分母有理化

分母有理化有兩種方法

I.分母是單項(xiàng)式

如Wa/Nb=7axab/b

II.分母是多項(xiàng)式

要利用平方差公式

如1/Ya+qb=qa—qb/Na+Yb)Na—qb)=Ya—Yb/a-b

HI.分母是多項(xiàng)式

要利用平方差公式

如1/4a+4b=Ya—7b/(Na+Yb)(Ya—Yb)=qa—Yb/a-b

第22章一元二次方程

知識(shí)框圖

一）

第23章

旋轉(zhuǎn)

知識(shí)框

圖

旋轉(zhuǎn)及

平移及

軸對(duì)稱及

旋轉(zhuǎn)

的定義

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)圖形按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋

轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。

圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)

應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度、對(duì)應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形

狀沒(méi)有改變。

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形

重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的

角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于0°,大于360。）。

中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形是兩個(gè)不同而又緊密聯(lián)系的概念.它們的區(qū)別是：中心對(duì)稱是指兩個(gè)

全等圖形之間的相互位置關(guān)系，這兩個(gè)圖形關(guān)于一點(diǎn)對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)是對(duì)稱中心，兩個(gè)圖形關(guān)于

點(diǎn)的對(duì)稱也叫做中心對(duì)稱.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，其中一個(gè)上所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱

點(diǎn)都在另一個(gè)圖形上，反之，另一個(gè)圖形上所有點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，又都在這個(gè)圖形上；而中心對(duì)稱圖

形是指一個(gè)圖形本身成中心對(duì)稱.中心對(duì)稱圖形上所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)都在這個(gè)圖形

本身上.如果將中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那么這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱

圖形；一個(gè)中心對(duì)稱圖形，如果把對(duì)稱的部分看成是兩個(gè)圖形，那么它們又是關(guān)于中心對(duì)稱.

也就是說(shuō)：

①中心對(duì)稱圖形：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說(shuō),

這個(gè)圖形成中心對(duì)稱圖形。

②中心對(duì)稱：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個(gè)圖形重合，那么我們就

說(shuō)，這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱。

中心對(duì)稱圖形

正（2N）邊形（N為大于1的正整數(shù)），線段，矩形，菱形，圓

只是中心對(duì)稱圖形

平行四邊形等.

既不是軸對(duì)稱圖形又不是中心對(duì)稱圖形

不等邊三角形，非等腰梯形等.

中心對(duì)稱的性質(zhì)

第24章①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。

③關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。

識(shí)別一個(gè)圖形是否是中心對(duì)稱圖形就是看是否存在一點(diǎn)，使圖形繞著這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后

能與原圖形重合。

中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，能夠完全重合，稱這兩個(gè)圖形關(guān)于該點(diǎn)

對(duì)稱，該點(diǎn)稱為對(duì)稱中心.二者相輔相成，兩圖形成中心對(duì)稱，必有對(duì)稱中點(diǎn)，而點(diǎn)只有能使兩

個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)180°后完全重合才稱為對(duì)稱中點(diǎn).

第25章圓

知識(shí)框圖

【圓的基本知識(shí)】

K幾何中圓的定義》

幾何說(shuō)：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱

為半徑。

軌跡說(shuō)：平面上一動(dòng)點(diǎn)以一定點(diǎn)為中心，一定長(zhǎng)為距離運(yùn)動(dòng)一周的軌跡稱為圓周，簡(jiǎn)稱

圓。

集合說(shuō)：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓。

K圓的相關(guān)量5

圓周率：圓周長(zhǎng)度與圓的直徑長(zhǎng)度的比叫做圓周率，值是

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899

86280348253421170679...,通常用n表示，計(jì)算中常取3.14為它的近似值（但奧數(shù)常取3或

3.1416）o

圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓

的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。

圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有

另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。

內(nèi)心和外心：過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。

和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。

扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的半徑稱為圓錐的母線。

K圓和圓的相關(guān)量字母表示方法》

圓一。半徑一r弧一直徑一d

扇形弧長(zhǎng)/圓錐母線一1周長(zhǎng)一C面積一S

K圓和其他圖形的位置關(guān)系力

圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓o的為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離），P在

。。外，P0>r；P在。。上，PO=r；P在。0內(nèi)，PO<r0

直線與圓有3種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交，這條直線叫做圓的割線；

圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。以直線

AB與圓0為例（設(shè)0P_LAB于P,則PO是AB到圓心的距離）：AB與。0相離，PO>r；AB與。

0相切，P0=r；AB與。0相交，PO<r?

兩圓之間有5種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一

公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間

的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r,且R，r,圓心距為P:外離P>R+r；外切P=R+r；

相交R-r<P<R+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含P<R-r。

圓的平面幾何性質(zhì)和定理

一有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理

⑴圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

圓的對(duì)稱性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條通過(guò)圓心的直線。圓也是中心對(duì)稱

圖形，其對(duì)稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。

逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。

⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，

兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。一

條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)

的弦是直徑。

⑶有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理

①一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，

到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；

②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。

③S三角=1/2*△三角形周長(zhǎng)*內(nèi)切圓半徑

④兩相切圓的連心線過(guò)切點(diǎn)（連心線：兩個(gè)圓心相連的線段）

⑤圓0中的弦PQ的中點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB,CD,弦AD與BC分別交PQ于X,Y,則M

為XY之中點(diǎn)。

K有關(guān)切線的性質(zhì)和定理I

圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個(gè)圓

的切線。

切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線

的直線必經(jīng)過(guò)圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長(zhǎng)相等，那點(diǎn)與圓心的連線平分切線的夾角。

K有關(guān)圓的計(jì)算公式工

1.圓的周長(zhǎng)C=2nr=md2.圓的面積S=nr”；3.扇形弧長(zhǎng)l=nnr/180

4.扇形面積S=n（R*2-r'2）5.圓錐側(cè)面積S=nrl

圓的解析幾何性質(zhì)和定理

K圓的解析幾何方程》

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)0（a,b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方

_

程是（x-a）2+（yb）2=r2o

圓的一般方程：把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，可得圓的一般方程是

x-2+y'2+Dx+Ey+F=0o和標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比，其實(shí)D=-2a,E=-2b,F=a'2+b'2-r'2o

圓的離心率e=0,在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r。

K圓與直線的位置關(guān)系判斷工

平面內(nèi)，直線Ax+By+C=O與圓x-2+/2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是:

1.由Ax+By+C=0,可得y=(-OAx)/B,(其中B不等于0),代入x~2+y”2+Dx+Ey+F=0,即

成為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程f(x)=0o利用判別式b,2-4ac的符號(hào)可確定圓與直線的位置

關(guān)系如下:

如果b~2-4ac〉0,則圓與直線有2交點(diǎn),即圓與直線相交。

如果b~2-4ac=0,則圓與直線有1交點(diǎn),即圓與直線相切。

如果b'2-4ac<0,則圓與直線有0交點(diǎn),即圓與直線相離。

2.如果B=0即直線為Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y軸(或垂直于x軸)，將

x-2+y-2+Dx+Ey+F=0化為(x-a)-2+(y-b)"2=r_2o令y=b,求出此時(shí)的兩個(gè)x值xl.x2,并且

規(guī)定xl<x2,那么：

當(dāng)x=-C/八〈乂1或x=-C/A>x2時(shí)，直線與圓相離；

當(dāng)xl〈x=-C/A〈x2時(shí)，直線與圓相交；

半徑r,直徑d

在直角坐標(biāo)系中，圓的解析式為：(x-a)*2+(y-b)~2=r"2

x"2+y*2+Dx+Ey+F=0

=>(x+D/2)”2+(y+E/2)*2=D'2/4+E^2/4-F

=>圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2)

其實(shí)不用這樣算太麻煩了

只要保證X方Y(jié)方前系數(shù)都是1

就可以直接判斷出圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2)

這可以作為一個(gè)結(jié)論運(yùn)用的

且r=根號(hào)(圓心坐標(biāo)的平方和-F)

圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。

圓心：圓中心固定的一點(diǎn)叫做圓心。用字母0表示

直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。用字母d表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。用字母r表示。

圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的1/2.

圓的半徑?jīng)Q定了圓的大小，圓心決定了圓的位置。

圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用C表示。

圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。

圓周率是一個(gè)固定的數(shù)，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，用字母m表示。近似等于3.14。

直徑所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓的面積公式："r方，用字母S表示。

第25章概率初步

知識(shí)框圖

定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

一般式：y=axA2+bx+c(a=0,a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)A2+k

交點(diǎn)式(與x軸)：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：(a,b,c為常數(shù)，aNO,且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0

時(shí)，開(kāi)口方向向下。lai還可以決定開(kāi)口大小,lai越大開(kāi)口就越小,lai越小開(kāi)口就越大。)

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次。

x是自變量，y是x的二次函數(shù)

x1,x2=[-b±J（bA2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）

二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)v=x²的圖

像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。

拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)Po

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P（-b/2a,（4ac-b²）/4a）

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)A=b²-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。

|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對(duì)稱軸在y軸左；因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0,也

就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號(hào)

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0）,對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0,也

就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號(hào)

事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一

次函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0,c)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

△=b²-4ac〉0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

△=b²-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b士Jb²一

4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在｛x[x<-b/2a｝上是減

函數(shù)，在｛x[x>-b/2a｝上是增函數(shù)；拋物線的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是｛y|y24ac-b²/4a｝相反

不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax²+c(a

W0)

7.定義域：R

值域：(對(duì)應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷)①

[(4ac-b²｝/4a,正無(wú)窮)；②[t,正無(wú)窮)

奇偶性：偶函數(shù)

周期性：無(wú)

解析式：

①y=ax²+bx+c[一般式]

⑴aWO

(2)a>0,則拋物線開(kāi)口朝上；a<0,則拋物線開(kāi)口朝下；

⑶極值點(diǎn)：(-b/2a,(4ac-b²)/4a)；

(4)A=b²-4ac,

A>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)：

([-b-VA]/2a,0)和([-b+VA]/2a,0)；

A=0,圖象與x軸交于一點(diǎn)：

(-b/2a,0)；

A<0,圖象與X軸無(wú)交點(diǎn)；

②y=a(x-h)²+t[酉己方式]

此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b²)/4a)；

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式]

aWO,此時(shí)，x1.x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一

元二次方程連用)。

［編輯本段1二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax²+bx+c,

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax²+bx+c=0

此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=ax²,y=a（x-h）²,y=a（x-h）²+k,y=ax²+bx+c（各式中,

aWO）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：

解析式

y=ax²

y=ax²+K

y=a(x-h)²

y=a(x-h)²+k

y=ax²+bx+c

頂點(diǎn)坐標(biāo)

(0,0)

(0,K)

(h,0)

(h,k)

(-b/2a,sqrt[4ac-b²]/4a)

對(duì)稱軸

x=0

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)²的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，

當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.

當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax²向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可

以得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象；

當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax²向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到

y=a(x-h)²+k的圖象；

當(dāng)h<0,k>0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|川個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到

y=a(x-h)²+k的圖象;

當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)兇個(gè)單位可得到

y=a(x-h)²+k的圖象；

因此，研究拋物線y=axA2+bx+c(aW0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為

y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫(huà)

圖象提供了方便.

2.拋物線y=ax²+bx+c(aW0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a<0時(shí)開(kāi)口向下，對(duì)

稱軸是直線x=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-b²]/4a).

3.拋物線y=ax²+bx+c(aW0),若a>0,當(dāng)xW-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x

》-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a<0,當(dāng)xW-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x2-b/2a

時(shí)，y隨x的增大而減小.

4.拋物線y=ax²+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)；

(2)^iA=b²-4ac>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(xi,0)和B(X2,0),其中的x1,x2是一元二

次方程ax²+bx+c=0

(aWO)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|X2-X1|另外，拋物線上任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的距離可以由

|2X(-b/2a)-AI(A為其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo))

當(dāng)△=().圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有

y>0；當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.

5.拋物線y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0),則當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最小(大)值

=(4ac-b²)/4a.

頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般

形式：

y=ax²+bx+c(aN0).

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大(小)值時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式:

y=a(x-h)²+k(aW0).

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-xj(x-x

2)(aW0).

7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次

函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).

第27章相似

知識(shí)框圖

相似三角形的認(rèn)識(shí)

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。(similartriangles)。

互為相似形的三角形叫做相似三角形

相似三角形的判定方法

根據(jù)相似圖形的特征來(lái)判斷。(對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等)

1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長(zhǎng)線)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角

形相似；

(這是相似三角形判定的引理，是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個(gè)引理的證明方法需要平

行線分線段成比例的證明）

2.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似;

.4ABC^A'B'C

3.如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似;

4.如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似;

絕對(duì)相似三角形

1.兩個(gè)全等的三角形一定相似。

2.兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。

3.兩個(gè)等邊三角形一定相似。

ABC^.4'B'C"

直角三角形相似判定定理

1.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)

直角三角形也相似。

射影定理

三角形相似的判定定理推論

推論一：頂角或底角相等的那個(gè)的兩個(gè)等腰三角形相似。

推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。

推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。

推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，

那么這兩個(gè)三角形相似。

推論六：如果一個(gè)三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那

么這兩個(gè)三角形相似。

相似三角形的性質(zhì)

1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半

徑等)的比等于相似比。

2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的特例

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。(congruenttriangles)

全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：

1.形狀完全相同，相似比是k=1。

全等三角形一