高考數(shù)學一輪復習：空間點、直線、平面之間的位置關系講義

高考數(shù)學一輪復習講義立體幾何與空間向量之

空間點、直線、平面之間的位置關系

一'知識點講解及規(guī)律方法結論總結

1.平面的基本性質

(1)三個基本事實

基本事實1過①不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.

基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.

基本事實3如果兩個不重合的平面②有一個公共點，那么它們有且只有③一條

過該點的公共直線.

(2)三個推論

利用基本事實1和基本事實2,結合“兩點確定一條直線”可得到以下推論.

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2經(jīng)過兩條④相交直線,有且只有一個平面.

推論3經(jīng)過兩條⑤平行直線,有且只有一個平面.

2.空間中直線間的位置關系

石市公(相交直線：在同一平面內，有且只有一個公共點?

|共面直線(

JI平行直線：在同一平面內，沒有公共點.

(異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點.

(1)過平面外一點A和平面內一點B的直線，與平面內不過點8的直線是異面直線；

(2)異面直線既不平行，也不相交；(3)異面直線不具有傳遞性，即若直線a與6是異

面直線，6與c是異面直線，則。與c不一定是異面直線.

3.空間中直線、平面間的位置關系

圖形語言符號語言公共點

相交aAa=A1個

直線與平面

平行a//a0個

在平面內aua⑥無數(shù)個

平行a〃P⑦0個

平面與平面

相交aOp=/無數(shù)個

說明分別在兩個平行平面內的直線平行或異面.

二'基礎題練習

1.如圖，anp=/,A,BGa,Cep,且C4/,直線過A,B,C三點的平面記

作Y，則丫與p的交線必通過（D）/

A.點AB.點B；一7

C.點C但不過點MD.點C和點M

2.［多選］以下說法正確的是（CD）

A.若一條直線上有兩個點到一個平面距離相等，則這條直線與該平面平行

B.若一個平面上有三個點到另一個平面距離相等，則這兩個平面平行

C.若三條直線a,b,c兩兩平行且分別交直線/于A,B,C三點，則這四條直線共面

D.不共面的四點中，任意三點都不共線

解析對于A,直線也可能在平面內或與平面相交；對于B,兩平面也可能相交；易知

C,D正確.

3.［多選］如圖是一個正方體的展開圖，則在這個正方體中，下列命題正確的是（CD）

A.A尸與CN平行B.BM與AN是異面直線

C.A尸與是異面直線D.8N與。E是異面直線

解析把正方體的平面展開圖還原，如圖，由正方體的結構特征可知，AF

與CN是異面直線，故A錯誤；

與AN平行，故B錯誤；

8MU平面8CMF,FG平面BCMF,A6平面F年BM,故AF與BM

是異面直線，故C正確；

DEU平面ADNE,NW平面ADNE,B4平面NaDE,故BN與。E是異面直線，故

D正確.

三、知識點例題講解及方法技巧總結

命題點1平面的基本性質及應用

例1已知在正方體ABC。一A16GP中，E,尸分別為。Ci,GB1的中點，ACCBD=P,

AiCiHEF=Q.

求證：(1)。，B,F,E四點共面.

(2)若AC交平面。瓦石于點R,則P,Q,R三點共線.

(3)DE,BF,CG三線交于一點.

解析(1)如圖所示，連接BQi.由題意知跖是△D15G的中位線，所

以EF〃BiA.在正方體ABC。一A向GOi中，BD〃BD,際法EF//BD,

所以8。確定一個平面，即。，B,F,E四點共面.

(2)記4,C,G三點確定的平面為平面a,平面2。所為平面［3.因為

Q^AiCi,所以QGa.又QWEF,所以QG0,所以。是a與|3的公共點.同理，尸是a與！3

的公共點，所以aCp=P。.又AiCCp=R,所以RGAiC,RGa,且Rep,則RGP0,故

P,Q,R三點共線.

(3)因為EF〃BD且EFCBD,所以。E與3P相交，設交點為則由MGDE,DEU

平面。1DCG,得A/G平面。MCG,同理，A/G平面BiBCG.

又平面OiDCGC平面BiBCCi=CCi,所以MGCCi，

所以。E,BF,CG三線交于一點.

方法技巧

1.證明點共線問題的常用方法

基本事先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)基本事實3

實法證明這些點都在交線上.

納入直

選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.

線法

2.證明線共點問題的常用方法

先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點.

3.證明點、直線共面問題的常用方法

納入平面法先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內.

先證明有關的點、線確定平面a,再證明其余元素確定平面。，最后證明

輔助平面法

平面a,P重合.

訓練1如圖，已知正方體ABC。-4囪CQi中，E,尸分別是棱CG,A4i

的中點.i心I

(1)畫出平面BEDbF與平面ABC。的交線，并說明理由.

(2)設以為直線2。與平面BE。聲的交點，求證：B,H,5三點共線.

解析(1)如圖1所示，直線尸2為平面8即1尸與平面ABC。的交

線，理由如下：)|..

在正方體ABCD-A^BiCiDi中，/']=二：4';

因為D4U平面AAQiD,OFU平面A41O。，且D4與不平行，圖1

所以在平面A41Z)。內分別延長。1居DA,則。F與D4必相交于一點，不妨設為點P,

所以PGA。，PWDiF.

因為D4U平面ABCD,APU平面BEDiF,

所以pe平面ABC。，PG平面BEQiF,

即尸為平面ABCD和平面BEDxF的公共點.

連接尸8,又8為平面A3CO和平面BE。尸的公共點,

所以直線為平面BEObF與平面42a)的交線.

(2)如圖2所示，連接BA,BD,BiDi,在正方體ABCD—AliG。中，

因為8修〃。。1,且

所以四邊形8囪。1。為平行四邊形.

因為H為直線田。與平面BEDiF的交點、,所以HGBiD,圖2

又8QU平面B81AD所以86平面

又HG平面BEDiF,平面BEPPC平面BBDD=BDi,

所以HGBDi,

所以B,H,。三點共線.

命題點2空間直線、平面間的位置關系

例2(1)[2023上海春季高考]如圖，在正方體中，尸是

4cl上的動點，則下列直線中，始終與直線BP異面的是(B)

A.DDiB.ACC.ADiD.BiC

解析對于A,如圖1,當點尸為4G的中點時，連接BQi,BD,則尸在

S5上，BPU平面BDDiBi,又。AU平面BD￡)|S,所以BP與?？诠裁?，故A錯誤;

圖1圖2

對于B,如圖2,連接AC,易知ACU平面ACG4,平面ACG4,且BPCI平面

ACQA^P,尸不在AC上，所以8尸與AC為異面直線，故B正確；當點尸與點Ci重合

時，連接A。，BiC（圖略），由正方體的性質，易知8尸〃ADi,B尸與SC相交，故C,

D錯誤.故選B.

（2）[2023高三名校聯(lián)考（一）]設。是空間中的一個平面，/,加，"是三條不同的直線，

則下列說法正確的是（B）

A.若機u（x,nUa,/_Lw,貝!J/_La

B.若/〃m,mHn,/_La,則nJ_a

C.若I//m,m_La,〃J_a,貝!JlA^n

D.若〃zUa,w_l_a,貝!!/〃/"

解析A選項，若機Ua,〃Ua,ZJ_m,/J_n,則/與a相交、平行或/Ua,如圖1,

m//n,且滿足“zUa,“Ua,lA_m,/J_w,但此時/與a斜交，故A錯誤；B選項，因為

I//m,m//n,所以/〃”，因為/J_a,所以“J_a,故B正確；C選項，因為〃J_a,

所以m〃w,因為1〃m,所以/〃"，故C錯誤；D選項，若wiUa,“J_a,l-Ln,則/與相

相交、平行或異面，如圖2,滿足機Ua,Z±n,但此時/與〃z異面，故D錯誤.故選

B.

圖1圖2

方法技巧

1.判斷空間直線、平面間的位置關系時，注意對平面的基本性質及有關定理的應用.

2.判斷空間直線、平面間位置關系的命題的真假時，常借助幾何模型（長方體、正方體）

或實物（墻角、桌面等）.

3.注意反證法在判斷空間兩直線位置關系時的應用.

訓練2若直線八和，2是異面直線，/i在平面a內，在平面P內，/是平面a與平面p的交

線，則下列命題正確的是（D）

A.I與h，，2都不相交

BJ與6，L都相交

C./至多與/1，/2中的一條直線相交

DJ至少與/1,/2中的一條直線相交

解析解法一（反證法）若/〃/l,l//h,則這與/2是異面直線矛盾.故/至少

與/l,/2中的一條直線相交.

解法二（模型法）如圖1,/1與，2是異面直線，/1與/平行，/2與/相交，故A,B不正

確；如圖2,/1與/2是異面直線，/l,L都與/相交，故C不正確.

四'命題點習題講解

I.［命題點1］到空間不共面的四點距離相等的平面的個數(shù)為（C）

A.lB.4C.7D.8

解析當空間四點A,B,C,。不共面時，則四點構成一個三棱錐.當平面一側有一個點，

另一側有三個點時，如圖1,當平面過A。，BD,CZ）的中點時，滿足條件.因為三棱錐有4

個面，則此時滿足條件的平面有4個.

圖1圖2

當平面一側有兩個點，另一側有兩個點時，如圖2,當平

面過AB,BD,CD,AC的中點時，滿足條件.因為三棱錐的相對棱有3對，則此時滿足條

件的平面有3個.所以滿足條件的平面共有7個.故選C.

2.［命題點2/多選］已知G,N,M,X分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則下列表示

直線GH,是異面直線的圖形是（BD）

解析A中，直線GH〃朋N;B中，G,H,N三點共面，但M在平面GHN,因此直線G”

與異面；C中，連接MG,GM//HN,因此GH與共面；D中，G,M,N三點共

面，但用平面GMN,因此G8與MN異面.

五'習題實戰(zhàn)演練

1.［2024廣東省深圳市第二高級中學模擬］已知平面a,［3,丫兩兩垂直，直線a,b,c滿足

aUa,bup,cUy,則直線a,b,c不可能滿足以下哪種關系（B）

A.兩兩垂直B.兩兩平行

C.兩兩相交D.兩兩異面

解析如圖1,可得〃，b,c可能兩兩垂直；如圖2,可得〃，b,c可能兩兩相交；如圖

3,可得。，b,c可能兩兩異面.故選B.

圖1圖2圖3

2.［2024河南焦作模擬］已知根，〃為異面直線，平面a,〃_L平面0.若直線/滿足

l-Lm,lA_n,/Ua,/C0,貝U(B)

A.a〃(3,I//a

B.a與0相交，且交線平行于/

C.a±p,Z±p

D.a與0相交，且交線垂直于/

解析若?！?,則由m_L平面a,幾_1平面0,可得加〃九，這與根，〃是異面直線矛盾，故

a與0相交.

設aCp=〃，過空間內一點、P,作W〃機，n'//n,W與〃'相交，

設W與〃'確定的平面為y.

因為/J_m，Z_Ln,所以/_Lm',故/_Ly,

因為m_La,n±p,所以“_La,nrJ_p,所以〃_LM,a_L〃'，所以〃_Ly,

又因為/Ca,/CB，所以/與〃不重合，所以/〃〃.故選B.

3.［多選/2024貴州省遵義市南白中學聯(lián)考］已知a,b是兩條不重合直線，a,P是兩個不重

合平面，則下列說法正確的是(BC)

A.若a〃0,〃Ua,hup,則〃與Z?是異面直線

B.若?！??,bua,則直線〃平行于平面a內的無數(shù)條直線

C.若a〃。，〃Ua,則〃〃p

D.若aGp=8,qUa,則〃與p一定相交

解析

選項正誤原因

AX若a〃0,〃Ua,Z?cp,則〃與/?平行或異面.

B<若〃〃/?,Z?Ca,則平面a內所有與人平行的直線都與〃平行.

C7若a〃0,則平面a內所有直線都與0平行，因為aUa,所以〃〃仇

DX若aGp=b,〃Ua,則當〃〃Z?時，a//p.

4.［多選Z2023廣東省廣州市模擬］已知直線/與平面a相交于點P,則下列結論正確的是

(ABD)

A.a內不存在直線與/平行

B.a內有無數(shù)條直線與/垂直

C.a內所有直線與/是異面直線

D.至少存在一個過/且與a垂直的平面

解析直線/與平面a相交于點P,故a內不存在直線與/平行，A正確.若/_La,則a內的

所有直線都與/垂直；若/與a不垂直，設與/在平面a內的射影垂直的直線為“，則平面

a內與〃平行的直線都與/垂直，有無數(shù)條，B正確.平面a內過點尸的直線與/相交，C錯

誤.若/La,則過/的任一平面都與a垂直；若/與a不垂直，取/上異于點尸的一點。，過

。作QM_L平面a于點M,則平面PQM_La,D正確.故選ABD.

5.［多選Z2023高三名校模擬］下列關于點、線、面的位置關系的命題中不正確的是

（ABC）

A.若兩個平面有三個公共點，則它們一定重合

B.空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內

C.兩條直線a,6分別和異面直線c,d都相交，則直線a,6是異面直線

D.正方體ABC。一A18CQ1中，點。是的中點，直線4C交平面ABQi于點則

A,M,。三點共線，且A,M,O,C四點共面

解析如圖，在正方體ABC。-4B1C1D1中，A,D,E三個點在一條直?1—-~71c

線上，平面A8CZ）與平面4。。的1相交，不重合，故A不正確；從點A

出發(fā)的三條棱AAi,AB,AD不在同一平面內，故B不正確；若a〃b,則二，

a,方確定一個平面，且a,b分別與直線c,d的交點都在此平面內，則,以二一匕

c,d共面，與c,d是異面直線矛盾，所以直線a,?？赡苁钱惷嬷本€，也可能是相交直線

（c,1中的一條直線過a,6的交點），故C不正確；如圖，平面AA1CA平面48101=

AO,因為直線4C交平面ASA于點所以MG4。，即A,M,。三點共線，因為直線

和直線外一點可以確定一個平面，所以A,O,C,M四點共面，故D正確.故選ABC.

6.如圖，點N為正方形ABCD的中心，AECD為正三角形，平面EC￡）_L平面ABC。，M是

線段ED的中點，則（B）

\.BM=EN,且直線BW,EN是相交直線

B.BMWEN,且直線EN是相交直線

C.BM=EN,且直線8M,EN是異面直線

D.BM^EN,且直線BAT,EN是異面直線

解析設C。的中點為。，連接ON,EO,因為△ECZ）為正三角形，所以EO_LCD,又平

面ECO_L平面ABCD,平面ECZJC平面ABCD=CD,所以EO_L平面A8CD設正方形

A3。的邊長為2,則石。=遍，ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.過點M作

CD的垂線，垂足為P,連接8P,則CP=|,所以即於二皿尸十^^二（。）2+

（|）2+22=7,得BM=由,所以BMWEN.連接BD,BE,因為四邊形4BCD為正方形，

所以N為8。的中點，即EN,MB均在平面5DE內，所以直線EN是相交直線.故選

B.

7.［多選Z2024云南昆明高三?？迹萑鐖D，在正方體ABCO—AIiGA中，E,F,G,反分別

是棱CG，BC,CD,81cl的中點，則下列結論正確的是（AC）

A.AF//平面ArDE,必

B.AG〃平面ADE

C.Ai，D,E,H四點共面^注?’

D.Ai，D,E,G四點共面

解析如圖1,取4。的中點跖連接AM,EF,ME,BCi,則EP〃BG,EF=［BCI,

AM//BQ,AM=^BCi,所以所〃AM,EF=A