一元二次函數(shù)、方程與不等式-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題02一元二次函數(shù)、方程與不等式

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構(gòu)建?耀蓿陳紿

口識盤點?查福訃觸

知識點1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1、等式性質(zhì)

性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意

1對稱性a=bob=a可逆

2傳遞性a=b,b=c=>a=c同向

a=b<^>a±c-b±c

3可加、減性可逆

4可乘性a-b^ac-bc同向

.ab

5可除性Q=〃,CWU=>—=—同向

CC

2、不等式性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對稱性a>b=b〈a可逆

2傳遞性a>b,b>c=>a>c同向

3可加性a>b^a+c>b+c可逆

a>b,c>O=>ac>bc

4可乘性c的符號

a>b,c<O=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+d同向

6正數(shù)同向可乘性a>b>0,c>d>O=>ac>bd同向

7正數(shù)乘方性〃泌>O=Q〃>〃(〃￡N,n>2)同正

知識點2一元二次不等式的解集

判別式/=廬一4ac/>0J=0J<0

y

Ab二

二次函數(shù)y=aj3+bx+c

3>0）的圖象XM/Xi

20口

方程ax1-}~bx-\-c=Ob

有兩相異實根Xl，X2（X1<X2）有兩相等頭根Xi=X2=一五沒有實數(shù)根

(。>0)的根

a^+bx+oO[xa-昱}

{X\X<XI或X>X2]{x|x￡R}

(〃>0)的解集

加+/7%+。<0

{X|X1<X<X2]00

（。>0）的解集

知識點3基本不等式

1、重要不等式：a2+Z?2>2aZ?（a,bwR）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"="號）.

變形公式：2（a2+Z72）>（a+Z?）2（a,beR）

2、基本不等式：4^b<—

2

（1）基本不等式成立的條件：a>0,b>0

（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

（3）算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a>0,b>0,則a,6的算術(shù)平均數(shù)為厘,幾何平均數(shù)為J防，

2

基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

3、利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0,貝I

（1）如果積孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值25.（簡記：積定和最?。?/p>

（2）如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，孫有最大值，.（簡記：和定積最大）

X聿點突破?看分?必拓

重難點01利用基本不等式求最值的方法

法一、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系

【典例1】（2024?重慶?模擬預(yù)測）若實數(shù)。，b滿足奶=2,則〃+2/的最小值為（）

A.2B.2A/2C.4D.40

【典例2】（2024?四川成都?三模）若正實數(shù)。力滿足儲+62=,〃，則a+b的最大值為（）

A.yj2mB.0"/C.ly/mD.2m

法二、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。

4

【典例1］（23-24高三下?河南?開學(xué)考試）已知。>0,6>0,則。+2匕+一L匚的最小值為（）

a+2b+l

A.6B.5C.4D.3

【典例2］（23-24高三上.山西晉中.開學(xué)考試）已知0cx<2,則y=2xj4-d的最大值為（）

A.2B.4C.5D.6

法三、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況

類型1：分母為單項式，利用“1”的代換運算，也稱乘“1”法；

14

【典例1］（23-24高三下?江蘇鎮(zhèn)江?開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足a+6=l,則一+丁的最小值為（

ab

A.6B.7C.8D.9

【典例2］（23-24高三上?甘肅武威?期末）若〃>0/>0,且〃+必=而，則2a+h的最小值為（

A.6B.9C.4D.8

類型2：分母為多項式時

方法1：觀察法適合與簡單型，可以讓兩個分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系;

方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，

如分母為3a+4b與a+3Z?,分子為a+2b,

設(shè)〃+2/?=/1（3〃+4/2）+〃（〃+3/?）=（3>1+〃）〃+（4/1+3〃）6

A=-

3A+〃=15

,解得:

4X+3//=22

【典例1]（23-24高三下.江蘇揚州.開學(xué)考試）已知實數(shù)々>1,〃>0,滿足a+Z?=3貝1」己+!的最小值

a-1b

為（）

A3+2003+20?3+4拒「3+40

4224

【典例2】（2024?四川成都?模擬預(yù)測）若。切是正實數(shù)，且+則的最小值為（）

3a+b2〃+46

A-?B-1C.1D.2

法四、消元法：當(dāng)題目中的變元比較多的時候，可以考慮削減變元，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問題。

【典例1】（2024?浙江嘉興?二模）若正數(shù)x，y滿足2孫+2=0,則尤+y的最小值是（）

A.瓜B.旦C.2&D.2

2

【典例2】（2024高三.全國.專題練習(xí)）已知實數(shù)無,V滿足3孫+丁=1,>>0,則2x+y的最小值是（）

A.1B.半C.2aD.3亞

法五、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問題之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式

的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值。

【典例1】（2023?山東濰坊?模擬預(yù)測）若正數(shù)滿足仍=a+6+3,則的取值范圍是（）

A.[6,+8）B.9+8）C.（0,6]D.（0,9）

【典例2]（23-24高三下.重慶?月考）對于正數(shù)。力，有（2彷+1）（。+6）=6而，則a+6的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[1,73]C.[L2]D.[2,+co]

重難點02不等式恒成立與能成立問題

一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解:

1、V%eD,機4/⑴0/三/⑴而口

2、\/x&D,

3、HxeD,機1mx

4、Bx^D,

416

【典例1］（23-24高一上?遼寧?月考）若兩個正實數(shù)x,y滿足無+>=3,且不等式一7+一>江-3^+11恒

x+\y

成立，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.{〃巾<〃?<2}B.{〃*〃<-1或7">2}

C.\in\-\<m<2^D.{回加<1或根>2}

【典例2］（23-24高三上?浙江寧波?期末）設(shè)實數(shù)尤，y滿足x>］,>>3,不等式

左（2天一3）（〉一3）?8r+）3—12f一3y2恒成立，則實數(shù)A的最大值為（）

A.12B.24C.2百D.

重難點03求含參數(shù)的一元二次不等式

對求含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有：

（1）根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類；

（2）根據(jù)判別式與0的關(guān)系判斷根的個數(shù)；

（3）有兩個根式，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論。

【典例1］（23-24高三上.浙江紹興.期末）（多選）己知aeR,關(guān)于x的一元二次不等式（依-2）（x+2）>0的

解集可能是（）

A.［卜>2或%<_2}B.［x\x>-2^

C.［一2<x<）D.卜上…,

【典例2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）（1）解關(guān)于實數(shù)x的不等式：x2-（a+l）x+a<0.

（2）解關(guān)于實數(shù)了的不等式：x2-ax+l<0.

法技巧?連褰學(xué)霸

一、比較兩數(shù)（式）的大小

1、作差法:

（1）原理：設(shè)a,beR,則a-Z?>Ooa>Z?；a-b-O<^>a=b；a-b<Ooa<b；

（2）步驟：作差并變形n判斷差與0的大小n得出結(jié)論。

（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號的方向變形。

2、作商法：

（1）原理：設(shè)。>03>0,則3>10?！?；-=l^a=b；-<l^a<b

bbb

（2）步驟：作商并變形n判斷商與1的大小n得出結(jié)論。

（3）注意：作商時各式的符號應(yīng)相同，如果6均小于0,所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相

反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對數(shù)恒等變形。

【典例1］（22-23高三?全國?對口高考）（1）比較a"戶與6%氣。>0,6>0）的大??；

（2）已知。>2,比較log—i）a與log.（a+l）大小

【典例2】（2024高三?全國.專題練習(xí)）已知勻為正實數(shù)，且awl.

⑴比較2與1勺大??；

baab

（2）比較log.W+1）和log。（b-+1）的大小.

二、利用不等式的性質(zhì)求數(shù)（式）的范圍

已知A/】<力（a,6）<Nj,A/2<f2（a,b）<N2,求g（a,方）的取值范圍

第一步：設(shè)g（a,6）=M（a,6）+呢（。力）；

第二步：經(jīng)過恒等變形，求得待定系數(shù)p,q；

第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g（a,b）的取值范圍。

【典例1］（23-24高三上?河南洛陽?月考）（多選）已知6<a<60,15<b<18,則下列選項中正確的有（）

A.-12<?-Z?<45B.36<a+2b<96C.-<^-<—D.近<四<正

6b5225b1162

【典例2］（23-24高一上?山西太原?月考）已知2Vx+yW3,-2<x-y<-\,則3x+y的取值范圍（）

三、解一元二次不等式的步驟

第一步：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；

第二步：寫出相應(yīng)的方程狽2+云+。=0（。>0）,計算判別式A：

①A>0時，求出兩根藥、x2,且為<々（注意靈活運用因式分解和配方法）；

②△=（）時，求根占=%=_2；

2a

③A<0時，方程無解

第三步：根據(jù)不等式，寫出解集.

【典例1］（23-24高三下.河北滄州.月考）已知集合A={N（X—2）（X+1）V4},8={1,2,3,4},則4口3=（）

A.{2,3,4}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{3,4}

【典例2］（23-24高一上?四川成都?期中）一元二次不等式以2+法+,>0的解為{巾2<x<3},那么

G?_6x+c>0的解集為（）

A.卜卜>3或%<-2}B.{布>2或1：<-3}

C.{司-2<%<3}D.{尤卜3<尤<2}

四、一元二次不等式恒成立問題

恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略：

（1）弄清楚自變量、參數(shù)。一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；

（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式A；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式，

一般分離參數(shù)求最值或分類討論。

【典例1］（23-24高三下?上海浦東新?月考）若關(guān)于x的不等式小2-5x+機W0的解集為R,則實數(shù)加的取

值范圍是.

【典例2】（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）當(dāng)1W2時，不等式Y(jié)一6+1V0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍

是.

五、基本不等式的實際應(yīng)用

解實際應(yīng)用題的三個注意點：

1、設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；

2、根據(jù)實際問題抽象很出有關(guān)式關(guān)系式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；

3、在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域（使實際問題有意義的自變量的取值范圍）內(nèi)求解。

【典例1】（2024.廣東韶關(guān).二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計算公式

是W=（長+4）x（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平

方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【典例2】（2024.黑龍江二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相

互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖

中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角。滿足

cosa=g,則這塊四邊形木板周長的最大值為（）

10（M+灼10（710-A/5）

-----------------cm-----------------cm

33

六、利用不等的性質(zhì)及基本不等式證明不等式

1、無附加條件的不等式證明：證明時要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，合理地構(gòu)造并正確選用基本不等式或其變形形式，

這也是證明輪換對稱結(jié)構(gòu)的不等式（把b換a,a換c,c換b后，代數(shù)式不變的式子叫做輪換對稱性，其特

征是a,b,c的地位一樣）的常用思路。

2、有附加條件的不等式的證明：應(yīng)先觀察已知條件和所證不得呢公式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”

時，要注意“1”的代換。另外，解題時要時刻注意等號能否取到。

【典例1]（23-24高三下?陜西西安.月考）設(shè)a,b為正數(shù)，且a+：=l.證明：

b

13

⑴"+廠"

（2）.2]+（2Z?-1）2>5.

【典例2】（2024?青海?一模）已知正數(shù)瓦c滿足a+b+c=2.求證:

(1)672+b2+C2>^;

(2)j3a+2+y/3b+2+J3c+2<6.

參考答案與試題解析

專題02一元二次函數(shù)'方程與不等式

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

維構(gòu)建?里里蓿曉紿

口行盤點?查翡訃煤

知識點1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1、等式性質(zhì)

性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意

1對稱性a=bob=a可逆

2傳遞性a=b,b=c=a=c同向

3可加、減性a=b<^a±c=b±c可逆

4可乘性a=b^>ac=bc同向

.ab

5可除性a=—=—同向

cc

2、不等式性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對稱性a>bob<a可逆

2傳遞性a>b,b>c=>a>c同向

3可加性a>boa+c>b+c可逆

a>b,c>O=>ac>bc

4可乘性C的符號

a>b,c<O=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+d同向

正數(shù)同向可乘性同向

6a>b>Ofc>d>O=>ac>bd

7正數(shù)乘方性a>b>O^an>bn(n￡N,n>2)同正

知識點2一元二次不等式的解集

判別式/=廬一4ac/>0J=0J<0

y

二次函數(shù)y=ax1+bx+cM

(a>0)的圖象X1C/20\X=xX

x20X

1

方程ax+bx+c=Ob

有兩相異實根Xl，X2(Xl<X2)有兩相等實根=X2=一五沒有實數(shù)根

(。>0)的根

a^+bx+oO

{小<為或X>X2}{x|x￡R}

(a>0)的解集卜上七)

a^+bx+c<0

{x\Xl<X<X2]00

(〃>o)的解集

知識點3基本不等式

1、重要不等式：cr+b2>2ab(a,beR),(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"="號).

變形公式：2(cT+b2)>(a+b)2(a,b&R)

2、基本不等式：4^b<—

2

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號.

(3)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a>0,b>0,則a,。的算術(shù)平均數(shù)為厘，幾何平均數(shù)為J茄,

2

基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

3、利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0,則

（1）如果積孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值2W.（簡記：積定和最?。?/p>

（2）如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，孫有最大值!.（簡記：和定積最大）

點突破?看分?中特

重難點01利用基本不等式求最值的方法

法一、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系

【典例1】（2024?重慶?模擬預(yù)測）若實數(shù)。，分滿足奶=2,則/+2加的最小值為（）

A.2B.2eC.4D.472

【答案】D

【解析】片+2廿22,2a2廿=2/2x2?=40，

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2戶時，等號成立.故選：D.

【典例2】（2024?四川成都?三模）若正實數(shù)。力滿足"+。2=根，則a+b的最大值為（）

A.Y2mB.y[2mC.2^/mD.2m

【答案】A

【解析】因為/+62=帆，a>0,b>0,

所以a;64,gpa+b<y/2-\la2+b2=《2m,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=舊時等號成立,

所以a+萬的最大值為.故選：A.

法二、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。

4

【典例1]（23-24高三下?河南?開學(xué)考試）已知。>0,6>0,則。+26+一L匚的最小值為（

a+2b+l

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】由于。>0,6>0,所以。+沙+1>0,

由a+2）+—4—=（a+2b+l）+-------------l>2j（a+2b+l）x---------1=3,

a+2b+la+2b+1\a+2b+1

4

（當(dāng)且僅當(dāng)a+"l時取等號），可得a+23+二燈的最小值為3,故選：D.

【典例2］（23-24高三上.山西晉中.開學(xué)考試）已知0<x<2,則y=的最大值為（）

A.2B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】因為0cx<2,

所以y=2x^4—X2=2J.（4—始）=2/廣x-=4，

當(dāng)且僅當(dāng)d=4-d時取等號，因為0<》<2,解得x=&,故選：B

法三、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況

類型1：分母為單項式，利用“1”的代換運算，也稱乘“1”法；

14

【典例1］（23-24高三下.江蘇鎮(zhèn)江.開學(xué)考試）己知正數(shù)6滿足a+8=l,則上+；的最小值為（

ab

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】因為正數(shù)〃）滿足。+8=1,

141?丑=9,

所以，+；=?+/7)=5+—+—>5+2.

aba+:abab

h4〃12

當(dāng)且僅當(dāng)丁廠即〃=§、。二時取等號.故選：D

【典例2］（23-24高三上.甘肅武威.期末）若且1+以=",則2々+〃的最小值為（

A.6B.9C.4D.8

【答案】B

【解析】因為a+2b=",所以"尹=2+：=1,

abab

因為24+匕=（24+“［2+：［=5+殳+1上5+2^^=9,

當(dāng)且僅當(dāng)竺=學(xué)，即。=6=3時，等號成立，

ab

所以2a+6的最小值為9,故選：B.

類型2：分母為多項式時

方法1：觀察法適合與簡單型，可以讓兩個分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系;

方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，

如分母為3。+45與〃+35,分子為〃+25,

設(shè).+2/?=2（3〃+45）+〃（〃+3/?）=（3/1+〃）〃+（471+3〃）/?

A=~

32+=15

解得：V

42+3//=22

71

【典例1］（23-24高三下.江蘇揚州?開學(xué)考試）已知實數(shù)b>0,滿足a+6=3,則的最小值

a-1b

為（）

A3+2&口3+2a?3+40「3+40

4224

【答案】B

【解析】實數(shù)^>0,由a+Z?=3,得（。一1）+〃=2,

9117112b。-1、°2b3+2夜

Hltb^+-=-［（a-D+M（^+-）=-（3+——+——）>-（3+2.-----------）=———

1a-1b2Vo-lb2

當(dāng)且僅當(dāng)一7=^,即a-l=06=4-2應(yīng)時取等號,

a-1b

所以言+：的最小值為紅|叵故選：B

【典例2］（2。24四川成都?模擬預(yù)測）若。/是正實數(shù)，且高+人兒則?的最小值為（）

42

A.—B.—C.1D.2

53

【答案】A

【解析】因為。+6=（（54+56）=：［（30+6）+（24+46）］=:［（30+6）+（24+46）］\匕+五匕^

1f,2a+4b3〃+b1"-Ila+4b3a+Z?）4

513a+b2a+4bJ5（V3a+b2a+40J5'

314

當(dāng)且僅當(dāng)a==：時取等號，所以。+6的最小值為；故選：A

法四、消元法：當(dāng)題目中的變元比較多的時候，可以考慮削減變元，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問題。

【典例1】（2024?浙江嘉興?二模）若正數(shù)x,y滿足/一2沖+2=0,則x+y的最小值是（）

A.V6B.國C.20D.2

2

【答案】A

【解析】

當(dāng)且僅當(dāng)主=L即了=逅時，等號成立，此時y=2恒>0符合題意.

2x33

所以尤+y的最小值為#.故選：A.

【典例2】（2024高三.全國?專題練習(xí)）己知實數(shù)無,y滿足3孫+丁=1,>>0,則2x+y的最小值是（）

A.在B.—C.272

D.3正

33

【答案】B

1_2

【解析】因為實數(shù)見丫滿足3xy+y2=l,y>0,所以x=一vj

3y

…2-2/21-1212直

貝I2x+y=-+y=—+-y>2---y=—,

3y3y333

21—

當(dāng)且僅當(dāng)丁=1九即y=3時，等號成立，

3y3

所以2x+y的最小值是的最小值是述，故選：B

3

法五、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問題之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式

的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值。

【典例1】（2023?山東濰坊?模擬預(yù)測）若正數(shù)滿足必=a+6+3,則的取值范圍是（）

A.[6,+8）B.9+8）C.（0,6]D.（0,9）

【答案】A

【角軍析】由題意矢口。力為正數(shù)，且ab=i+b+3,

所以〃人=〃+人+34[^^）,化簡得（々+0）2_4（〃+與—1220,解得a+Z?26,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號，所以a+b￡[6,y）,故A正確.故選：A.

【典例2］（23-24高三下?重慶?月考）對于正數(shù)6,有（2彷+1）（。+6）=6劭，則的取值范圍是（）

A.(0,1]B.[1,73]C.[1.2]D.[2,+oo]

【答案】C

6ab3

【解析】由題可知:a+b=

2ab+l2ab+l

因為凡6都是正數(shù)，所以仍4］9］=但子-（當(dāng)且僅當(dāng)a=8時取等）,

a+Z?=3-------?3----------z

所以2曲+1儲+次（當(dāng)且僅當(dāng)。二人時取等），

2--^-------^-+1

4

化簡可得（。+6）2-3（。+6）+240,解得lVa+6V2,故C正確.故選：C.

重難點02不等式恒成立與能成立問題

一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解:

1、V%eD,機而口

2、\/x^D,

3、3%eD,加</（“0根〈/（力厘

4、3x^D,7位/（x）o/心/（同皿

416

【典例1］（23-24高一上?遼寧?月考）若兩個正實數(shù)無，y滿足無+>=3,且不等式一;+一>-3m+11恒

x+ly

成立，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.卜巾〈根<2}B.{相|加<-1或機>2}

C.{司-1<〃2<2}D.或根>2}

【答案】A

44+生+史上。"20+2、回亙=9

【.斛AR析V】q由H題K*思*知，或4m161（/x+i.+y）［工41+丁16

4|_x+1yJ4Vx+1y

當(dāng)且僅當(dāng)y=16a+l）,即無==1時取等,

x+1y33

又不等式上7+3>〃/_3〃z+l1恒成立，

x+1〉

則不等式%2-3%+11＜9,解得1＜加＜2,

所以實數(shù)機的取值范圍為{〃中＜根＜2}.故選：A.

3

【典例2］（23-24高三上?浙江寧波?期末）設(shè)實數(shù)尤，y滿足x＞］,y＞3,不等式

62天一3）（＞-3）?8^+9一12犬2-3/恒成立，則實數(shù)左的最大值為（）

A.12B.24C.273D.4石

【答案】B

3

【解析】x＞1,y＞3,變形為2x-3＞0,y-3＞0,

令Q=2X—3〉0,b=y—3＞0,

貝1」左（2%—3）仃一3）48/+/一12/—3/轉(zhuǎn)化為k28/：:V,即上左,

'八7（2%—3）（丁一3）y-32%-3

其中4尤\"（-3）2"+3）242國『冊回『=］2但，］＞241印=24

y—32x—3babaajVba

a=3,

h=3

當(dāng)且僅當(dāng)，即x=3,y=6時取等號，可知左V24.故選：B

ba

,ab

重難點03求含參數(shù)的一元二次不等式

對求含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有:

（1）根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類；

（2）根據(jù)判別式與0的關(guān)系判斷根的個數(shù)；

（3）有兩個根式，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論。

【典例1］（23-24高三上?浙江紹興?期末）（多選）已知oeR,關(guān)于x的一元二次不等式（"-2）（x+2）＞0的

解集可能是（）

A.［卜>2或x<-2}

C.2<x<—

【答案】ACD

【解析】當(dāng)a=0時，（依-2乂了+2）=-2（x+2）＞0=x＜-2；

當(dāng)a>0時，(ax-2)(x+2)=a[x-2)(x+2)>0nx>二或x<—2,故A正確;

當(dāng)〃<0時，(QX-2)(x+2)=----)(x+2),

若女2=-2n〃=-l,則解集為空集；

a

22

若一v—2n—lvQ<0,則不等式的解為：一<x<—2,故D正確；

aa

22

若一>-2=>〃<-1,則不等式的解為：-2<x<—,故C正確.故選：ACD

aa

【典例2】(2024高三?全國?專題練習(xí))(1)解關(guān)于實數(shù)元的不等式：x2-(a+l)x+a<0.

(2)解關(guān)于實數(shù)工的不等式：/―依+i<o.

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；

【解析】(1)易知方程——(。+1)%+〃=0的△=(〃—I)?〉。，

2

由x-(a+l)x+6?=0(x-a)(x-1)=0,解得須=a,x2=1,

當(dāng)a>1時，X2—(a+V)x+a<0的角軍集為{%[1<%<〃},

當(dāng)Q=1時，x2-(a+l)x+a<0的解集為0,

當(dāng)3V1時，f一(。+1)%+〃<0的解集為｛司a<x<}\.

(2)對方程％之一依+1=0,

當(dāng)A=Q2—4<0時，即-2<a<2時，不等式的解集為0

當(dāng)A二合一4>0時，即a>2或av—2時,

a-yja2-4a+da"-4

x2一《x+l=0的根■為玉

2

Q——4

不等式的解集為工--------------<%<

2

綜上可得，-2<a<2時，不等式的解集為0,

。>2或av-2時，不等式的解集為<<x<

法技巧?55渠學(xué)霸

一、比較兩數(shù)（式）的大小

1、作差法：

（1）原理：設(shè)a,beR,則。一5>0。。>6；a-b-0<^>a=b；a-b〈Ooa<b；

（2）步驟：作差并變形=判斷差與0的大小=得出結(jié)論。

（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號的方向變形。

2、作商法：

（1）原理：設(shè)a>0,Z?>0,則q>1=?！等耍籷=loa=b；—<\oa<b

bbb

（2）步驟：作商并變形=判斷商與1的大小=得出結(jié)論。

（3）注意：作商時各式的符號應(yīng)相同，如果均小于0,所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相

反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對數(shù)恒等變形。

【典例1］（22-23高三?全國?對口高考）（1）比較住戶與以？（。>0,辦>0）的大?。?/p>

（2）己知。>2,比較logg）。與log，a+l）大小

【答案】（1）aabb>baab;（2）10g（-。>1嗎（。+1）

【解析】（1）因為。>0切>0,所以嗎=（凹］,

baab⑸

所以①當(dāng)。=8〉0時，當(dāng)=1,所以優(yōu)法

baab\,b）

z、a—b

②當(dāng)a>6>0時,^>l,a-b>0,即t>1,所以廢沙>研，

③當(dāng)，>。>0時，0<-<l,a-b<0,gpM>1,所以

b⑺

ahab

綜上所述：當(dāng)。>0,6>0,ab>ba.

[ga]g(a+])_lg2q_lg(a+])lg(a_l)

⑵log-1)a-logja+l)=