人教版九年級數(shù)學上冊專項訓練：正多邊形和圓（解析版）

第12講正多邊形和圓

（重點題型方法與技巧）

目錄

類型一：圓內(nèi)接正多邊形

類型二：正多邊形的有關計算

類型三：混淆正多邊形和圓的有關概念致錯

類型一：圓內(nèi)接正多邊形

證明一個圓內(nèi)接多邊形是正多邊形的兩種方法：

（1）證明圓內(nèi)接多邊形的每個內(nèi)角相等，每條邊也相等，二者缺一不可.

（2）證明圓內(nèi)接多邊形的各邊所對的弧相等.

技巧：當邊數(shù)是奇數(shù)時，各個內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.

典型例題

例1.（2022?江蘇?興化市教師發(fā)展中心九年級階段練習）如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，若ZD=85°,

則N5的度數(shù)為（）

A.95°B.105°

【答案】A

【詳解】解：???四邊形ABCO是。。的內(nèi)接四邊形，且/。=85。,

N3=180°-ND=95°；

故選A.

點評：例題1主要考查圓內(nèi)接四邊形，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵.

例題2.（2022?浙江?九年級專題練習）已知在圓的內(nèi)接四邊形A3C。中，ZA：ZC=3：1,則NC的度數(shù)

是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【答案】A

【詳解】解：:四邊形A5C0是圓的內(nèi)接四邊形，

???ZA+ZC=180°,

VZA：ZC=3：1,

AZC=—xl80°=45°,

1+3

故選：A.

點評：例題2考查了元內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關鍵.根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)得出NA+NC=180。，再求出NC即可.

例題3.（2022?江蘇?徐州市東苑中學（徐州市第三中學初中部）九年級階段練習）如圖，若A8是。。的直

徑，CZ＞是。。的弦，/46。=50?,則NC的度數(shù)為.

【答案】140。##140度

【詳解】解：:AB是。。的直徑，

ZA￡）B=90°,

ZABD=50°,

：.ZA=40°,

/.ZC=180°-40°=140°.

故答案為：140。.

點評：例題3主要考查圓周角定理的推論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關鍵在于推出NA

的度數(shù).由AB是。O的直徑，推出NADB=90。，再由NABD=50。，求出NA=40。，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形

的性質(zhì)推出NC=140。.

例題4.（2022?江蘇?南京外國語學校仙林分校九年級階段練習）用兩種方法證明“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”.

已知：如圖，四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形.

D

求證：ZA+ZC=180°,ZB+ZD=180°.

證法度數(shù)=g刈度數(shù)，NC度數(shù)=；加2度數(shù)，8co度數(shù)+%2度數(shù)=360。

.*.ZA+ZC=-x360°=180°,同理，ZB+ZZ)=180°.

2

請用不同方法完成證法2.

【答案】見解析

【詳解】解：作直徑AE交OO于點E,連接DE、BE,如圖所示：

：AE是＜3。的直徑，

，ZADE=ZABE=90。,

?/ZADE+ZDEB+ZEBA+ZBAD=360°,

ZDEB+ZBAD=1SO°,

由圓周角定理得，/DCB=/DEB,

：.NDCB+NBAD=180。,

：.ZADC+ZABC^180°.

點評：例題4主要考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握直徑所對的圓周角為直角、四邊形內(nèi)

角和等于360。，是解題的關鍵.作直徑AE交OO于點E,連接BE,根據(jù)圓周角定理得到

ZADE=ZABE=90°,根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360。、圓周角定理證明結(jié)論.

同類題型演練

1.（2022?陜西?西安市中鐵中學三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于1O,ZA￡）C=120°,3D平分/ABC交AC

于點E,若84=則NAD3的大小為（）

A.35°B.30°C.40°D.45°

【答案】D

2.（2021?河南許昌?九年級期中）已知在圓的內(nèi)接四邊形ABCQ中，ZA：ZC=1：4,則/C=（）

A.160°B.144°C.120°D.100°

【答案】B

【詳解】解：：四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，

AZA+ZC=180°,

VZA：ZC=1：4,

可設ZA=x,則NC=4x,

x+4x=180°,

解得：x=36°,

/.ZC=4x=4=144°.

故選：B

3.（2022.福建省福州第十九中學九年級階段練習）如圖，點C在A5上，點。在半徑05上，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.ZACD+-ZAOB=180°B.ZACB+-ZAOB=180°

22

C.ZACS+ZAO5=180。D.ZOAC-bZOBC=180°

【答案】B

【詳解】解：如圖所示，在優(yōu)弧A8上取一點E,連接AE,BE,

ZAEB^-ZAOB,

2

?；四邊形ACBE是圓內(nèi)接四邊形，

/.ZAEB+ZACB=180°,ZCAE+ZCBE=180°,

ZACB+-ZAOB=180°,ZACD<h>QDAOB=180?-ZBCD

22

^tt4C<180?C=180?-ZOAE-NOBE,

???四個選項中只有B選項符合題意，

故選B.

C

E

4.（2022?江蘇?沐陽縣懷文中學九年級階段練習）如圖，四邊形ABC。是0O的內(nèi)接四邊形，連接A。、OC,

ZABC=70°,AO//CD,則/OCZ）的度數(shù)為______°,

仁

【答案】40

【詳解】解：???NABC=70。，

???ZAOC=2ZABC=140°,

AO//CD,

：.ZAOC+ZOCD=180°,

ZOCD=180°-ZAOC=180°-140°=40°；

故答案為：40.

5.（2022.江蘇.南通市啟秀中學九年級階段練習）如圖,四邊形A8CD內(nèi)接于。O,AC平分NBA。，若

ZBAD=nO0,求證：AC=AB+AD.

【答案】證明見解析

【詳解】證明：如圖，延長A。至E,使得。石=AB,

???AC平分/HAD,NR4J9=120。，

???ZCAB=ZCAD=60°,

BC=CD，

：.BC=CD,

VZBAD=120°,

???ZBCD=180?！猌.BAD=60°,

???四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形，

???ZCDE=ZCBA,

A.ABC=?￡?C（SAS）,

ZACB=/ECD,AC=CE,

：.ZACE=ZECD+ZACD=ZACB+ZACD=/BCD=60°,

???"CE是等邊三角形，

/.AC=AE=AD+DE,

：.AC=AB+AD.

6.（2022.江蘇鹽城.九年級階段練習）如圖，五邊形A8COE內(nèi)接于。O,BC=DE,連接AC,AD,求證:

ZBCD+ZCAE=1SO0.

A

E

【答案】見解析

【詳解】證明：?..2C=￡)E,

右C=ZE，

BC+CD=DE+CD，

BD=CE，

：.ZBAD=ZCAE,

?/四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形,

ZBAD+ZBCD=1SO°,

：.ZBCD+ZCAE=180°.

類型二：正多邊形的有關計算

正多邊形的相關計算技巧：

(1)正〃邊形的半徑、邊心距、邊的一半構(gòu)成一個直角三角形.有關正w邊形的計算問題都轉(zhuǎn)化為直角三角

形的問題，常作半徑、邊心距構(gòu)造直角三角形；

(2)正六邊形的邊長等于它的半徑，正三角形的邊長等于它的半徑的6倍，正方形的邊長等于它的半徑

的近倍.

典型例題

例題1.(2021?河北唐山?九年級期中)若一個正多邊形的邊長與半徑相等，則這個正多邊形的中心角是()

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】B

【詳解】解：如圖所示的正多邊形中，

AB=OA=OB，

為等邊三角形,

「.ZAC?=60。，

???這個正多邊形的中心角為60?.

故選B.

點評：例題1主要考查正多邊形的中心角概念，正確理解題意與中心角概念相結(jié)合是解此題的關鍵.

例題2.（2022?江蘇?九年級）中心角為45。的正“邊形的邊數(shù)"等于（）

A.12

【答案】C

【詳解】由題意得，效=45。,

解得〃=8,

故選：C.

點評：例題2考查正多邊形中心角，解答這類題往往一些學生因?qū)φ噙呅蔚幕局R不明確，將正多邊

形的中心角與內(nèi)角混淆而造成錯誤計算.根據(jù)正多邊形的中心角=幽，計算即可.

例題3.（2022?新疆?和碩縣第二中學九年級期末）如圖，已知正六邊形的邊心距為3,則它的周長是（）

C.673D.1273

【答案】D

【詳解】解：如圖，過點。作于點

由題意得：邊心距。似=3,

?六邊形ABCDEF是正六邊形,

360°

OC=OD,ZCOD=——=60°,

.二COD是等邊三角形,

：.OC=CD=2CM,

解得CD=26，

則正六邊形ABCDEF的周長為6CD=126，

故選：D.

點評：例題3考查了正多邊形的邊心距、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是

解題關鍵.過點。作于點則邊心距OM=3,先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定可

得△CQD是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理可得CZ）=26，由此即可得.

例題4.（2022?全國?九年級課時練習）如圖，四邊形A3C。為。。的內(nèi)接正四邊形，AAE尸為。。的內(nèi)接

正三角形，若。下恰好是同圓的一個內(nèi)接正“邊形的一邊，則”的值為（）

D.12

【答案】D

【詳解】解：如圖，連接AC,ORO廠，

四邊形ABCD為。的內(nèi)接正四邊形，△皿為。的內(nèi)接正三角形,

.,.點。在AC上，且AC是—&。和2￡AF的角平分線，ZBAD=90°,ZE4F=60°,

ACAD=-ZBAD=45°,ZCAF=-ZEAF=30°,

22

:.ZDAF=ZCAD-ZCAF=15°,

"DOF=2ZDAF=30°,

DF恰好是圓。的一個內(nèi)接正〃邊形的一邊,

故選：D.

點評:例題4考查了圓內(nèi)接正多邊形、圓周角定理等知識點，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解題關鍵.連

接先根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得點。在AC上，且AC是NB4O和3F的角平分線，

AMRTWZCA￡>=|ZBAD=45°,ZCAF=|ZEAF=30°,再根據(jù)角的和差可得NQV=15。，然后根據(jù)圓周

角定理可得ZDOF=2ZDAF=30°,最后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)即可得.

例題5.（2022?陜西?西安工業(yè)大學附中九年級期中）若一個正多邊形恰好有8條對稱軸，則這個正多邊形

的中心角的度數(shù)為.

【答案】45°##45度

【詳解】解：；正多邊形恰好有8條對稱軸，

...這個正多邊形的邊數(shù)是8,

這個正多邊形的中心角的度數(shù)為幽=45。，

8

故答案為：45°.

點評：例題5考查正多邊形的對稱軸、中心角，熟知一個正n邊形有n條對稱軸是解答的關鍵.根據(jù)一個

正n邊形有n條對稱軸，中心角為幽求解即可.

n

例題6.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于。。，若AC=4,則點。到AC

的距離為

DOH

EG

【答案】2

【詳解】解：連接。8交AC于

,/正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于③。，

AZAOB=ZBOC==45°,AB=BC,

8

**-AB=BC-ZAOC=90°,

：.AM=CM=^AC=2,OMLAC,

"：OA=OC,

ZOAM=ZOCA=^(180°-ZAOC)=45°,

：.ZOAM=ZAOB,

在RtAAOC中，

'：OA=OC,OA2+OC2=AC2,

.'.2OA2=AC2^42=16,

：.OA=2四,

在RtAAOM中，

\"OM2+AM2^OA2,

：.2ONP=(20)2,

：.OM=2,

.,.點O到AC距離為2,

故答案為：2.

例題7.（2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)第四中學九年級階段練習）一個正"邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36。才能與

原來的圖形完全重合，則”的值為?

【答案】10

【詳解】?.?一個正n邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36。才能與原來的圖形完全重合

，〃的值為：—=io

36

故答案為：10

點評：例題7主要考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，正確把握正多邊形的性質(zhì)是解題關鍵.

例題8.(2022?全國?九年級課時練習)如圖，正方形A3CD內(nèi)接于O,P為BC上的一點，連接DP,CP.

口

(1)求/CPD的度數(shù)；

(2)當點尸為BC的中點時，CP是。的內(nèi)接正“邊形的一邊，求"的值.

【答案】(1)45°；(2)8

【詳解】解：(1)連接OD,OC,

:正方形ABCD內(nèi)接于0,

"OC=360°+4=90°.

ZDPC=-ZDOC=45°；

2

O

(2)連接。尸，OB,

?.?正方形ABCD內(nèi)接于，：O,

：.ZCOB=—=90°.

4

:點尸為的中點，

CP=PB，

：.ZCOP=ZBOP,

ZCOP+ZBOP=ZCOB=90°,

ZCOP=-ZCOB=45°,

2

：.〃=360°+45°=8.

點評：例題6考查圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接正n邊形的中心角，掌握圓內(nèi)接正方形的性

質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接正n邊形的中心角，利用周角除以正n邊形的中心角求邊數(shù)是解題關鍵.

（1）連接OC,由正方形ABCD內(nèi)接于。，可求中心角/DOC=90。.ZDPC=；NOOC=45。.

⑵連接OP,0B,由正方形A3CD內(nèi)接于。，可求NCO3=90。.由點P為8C的中點，可求CP=PB,

可得NCOP=：/CO2=45。，利用周角除以一個中心角即可求解

同類題型演練

1.（2022.全國?九年級課時練習）如圖，五邊形ABCDE是。的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角NCOD

的度數(shù)是（）

A.72°B.60°C.48°D.36°

【答案】A

【詳解】解：：五邊形是。。的內(nèi)接正五邊形，

360°

五邊形ABCDE的中心角ZCOD的度數(shù)為三一=72°,

故選：A.

2.（2021?全國?九年級專題練習）已知，正六邊形ABCDEF的邊長為2,則C尸的長為（）

A.4B.2A/3C.4D.5

【答案】C

【詳解】解：如圖，連接4D,交CP于點。,

--正六邊形ABCDEF的邊長為2,

360°

/.AF=CD=2,OC=OD,/COD=——=60°,

6

/.CQD是等邊三角形，

,\OC=CD=2,

同理可得：。b=Ab=2,

.?.CF=OC+O尸=2+2=4,

故選：C.

3.（2022?江蘇宿遷?一模）我國古代數(shù)學家劉徽利用圓內(nèi)接正多邊形創(chuàng)立了“割圓術”，現(xiàn)將半徑為2的圓十

二等分構(gòu)造出2個矩形和1個正方形（如圖），則陰影部分的面積是（)

Z/\\

A.1B.8-4岔C.16-8^D.20-100

【答案】C

【詳解】添加字母如圖，

Z/\\

C

根據(jù)題意，現(xiàn)將半徑為2的圓十二等分構(gòu)造出2個矩形和1個正方形

則每一等分的圓弧都相等，每一等分的圓弧所對的圓心角相等

360°

ZBOC=——=30。，05=2

12

/.BD=-BO=1

2

OD=y[3

DC=2-6

根據(jù)對稱性可得上C

則40FC是等腰直角三角形

:.0F=-0C=42

2

FGLOC

OG^-OC=\

2

；.BF=GD=OC-OG-CD=2-1-（2-?=6-1

同理可得ABEF是等腰直角三角形

則陰影部分面積為8XSBEF=4X（G-1）X（囪-1）=4X（4-2^）=16-86

故選C

4.（2021?全國?九年級專題練習）如圖，AB,AC分別為二，0的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正四邊形的一邊，若BC

恰好是同圓的一個內(nèi)接正”邊形的一邊，則〃的值為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【詳解】如圖：連接OB,OC,OA,

A

△ABE為圓內(nèi)接正三角形

?四邊形ACDF為圓內(nèi)接正方形

...ZBOC=ZAOB-ZAOC=120°-90°=30°

360°

若以BC為邊的圓內(nèi)接正〃邊形，則有=—=30°

/.〃=12

故選：C.

5.（2022?湖北?武漢市第十一中學九年級階段練習）第二十四屆北京冬奧會入場式引導牌上的圖案融入了中

國結(jié)和雪花兩種元素.如圖這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后能夠與它本身重合，則旋轉(zhuǎn)角a最小可以為

度.

【答案】60

【詳解】解：根據(jù)題意得：該圖形可以看做為一個正六邊形，

：360°+6=60°,

旋轉(zhuǎn)角a最小可以為60°,

故答案為：60

6.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，半徑OC=4,OGLBC,垂足為點

G,則正六邊形的中心角=,邊長=____,邊心距=____.

【答案】60°##60度42出

【詳解】解：在圓內(nèi)接正六邊形A8COEF中，ZCOD=——=60,

又；OC=OD=4,

...△OCO是等邊三角形，

：.BC=CD=OC=4,

?/OG±BC,

：.CG=^BC=2,

，邊心距：OG=7OC2-GC2=V42-22=2A/3?

故答案為：60°,4,2^/3.

7.（2022?全國?九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD為。的內(nèi)接正四邊形，△AEF為O的內(nèi)接正三角

形，若。匠恰好是同圓的一個內(nèi)接正“邊形的一邊，貝!Jw的值為

【答案】12

【詳解】解：連接。4、OD、OF,如圖,

VAD,AF分別為。0的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊,

3600360°

ZAOD=——=90。，ZAOF=——二120。,

43

ZDOF=ZAOF-ZAOD=30°,

30°

即。尸恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊.

故選：C.

8.（2017?廣東?陸豐市民聲學校九年級階段練習）（1）如圖①，M、N分別是。。的內(nèi)接正△ABC的邊AB、

BC上的點，且BM=CN,連接OMQN,求/MON的度數(shù).

（2）圖②、③、...④中,M、N分別是。O的內(nèi)接正方形ABCD、正五邊ABCDE、正n邊形ABCDEFG...

的邊AB、BC上的點，且BM=CN,連接OM、ON；則圖②中/MON的度數(shù)是,圖③中/MON

的度數(shù)是__________;……由此可猜測在n邊形圖中NMON的度數(shù)是

（2）90°、72°、一°

n

【詳解】（1）'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,,：OC=OB,。是外接圓的圓心，；.C。平分

ZACB：.ZOBC=ZOCB=30°,ZOBM=ZOCN=30°,,:BM=CN,OC=OB,:.△OMBeXONC,

：.ZBOM=ZNOC,ZBAC=6Q°,：.ZBOC=120°；：.ZMON=ZBOC=nO°；

（2）同（1）可得NMON的度數(shù)是90。，圖3中/MON的度數(shù)是72。；

（3）由（1）可知，ZMON=——=120。；在（2）中，ZMON=——=90°；在（3）中——5=72°...,

343

360°

故當〃時，ZMON=--.

n

9.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，在。O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD,/C=120。，點E在弧

AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE.

(1)求NAED的度數(shù);

(2)當NDOE=90。時，AE恰好為。。的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值.

【答案】(1)ZAED=120°；(2)12.

【詳解】解：⑴如圖，連接BD,

四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形,

/.ZBAD+ZC=180°,

VZC=120°,

???NBAD=60。，

VAB=AD,

「?△ABD是等邊三角形，

ZABD=60°,

四邊形ABDE是。O的內(nèi)接四邊形,

.,.ZAED+ZABD=180°,

.'.ZAED=120°；

(2)連接OA,

VZABD=60°,

???ZAOD=2ZABD=120°,

ZDOE=90°,

ZAOE=ZAOD-ZDOE=30°,

.小

3

類型三：混淆正多邊形和圓的有關概念致錯

典型例題

例題1.（2021?湖北?公安縣教學研究中心九年級期末）邊長為4的正方形內(nèi)接于。。，則。。的半徑是（）

A.6B.2C.272D.4

【答案】C

【詳解】解：連接02,OC,

360°

則OC=OB,ZBOC=——=90°,

4

在Rt?.BOC中，OB'OC2=BC-,

VBC=4,

：.OC=OB=2-j2.

二。。的半徑是2垃，

故選：C.

點評：例題1主要考查了正多邊形和圓，本題需仔細分析圖形，利用勾股定理即可解決問題.

例題2.（2020?江蘇?南京師范大學鹽城實驗學校九年級階段練習）正六邊形的半徑是4,則這個正六邊形的

周長是（）

A.20B.12C.24D.28

【答案】C

【詳解】解：如圖所示，連接OB,

,/多邊形ABCDEF是正六邊形,

ZAOB=60°,

'：OA=OBf

：.AAOB是等邊三角形，

AB=OA=OB=4,

...這個正六邊形的周長是4x6=24,

故選：C.

點評:例題2考查的是正六邊形和圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是本題的關鍵.連

接OA,OB,證出△BOA是等邊三角形，即可得出正六邊形的邊長，進而得出答案.

例題3.(2022?全國?九年級課時練習)如圖，正五邊形A3C0E內(nèi)接于。O,連接AC,則NACO的度數(shù)是

()

A.72°B.70°

【答案】A

【詳解】解：在正五邊形A8CDE中，

NB=NBCD=*x(5-2)x180=108。，AB=BC,

：.ZBCA=ZBAC=^(180°-108°)=36°,

ZACD=ZBCD-ZACB^108°-36°=72°.

故選：A.

點評：例題3主要考查了正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角與外角的知識點，解答本題的關鍵是求出正五邊形的

內(nèi)角，此題基礎題，比較簡單.

例題4.(2022?福建福州?九年級期末)已知O的內(nèi)接正六邊形的邊心距為2.則該圓的的半徑為

【答案】逑

3

【詳解】如圖所示，連接。4、OB,過。作OML48于則0M=2

???多邊形ABCDEF是正六邊形,

???ZAOB=60°,

*：OA=OB9

/\AOB是等邊三角形,

???ZOAM=60°,

OA^2AM,OM^y!o^-AM2=

2A/3八，4A/3

?,AAf=-----,OA=-----,

33

該圓的半徑為唯

3

故答案為：勺亙.

3

點評：例題4考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由30。直角

三角形求出OA是解決問題的關鍵.連接OA、OB,證出AAOB是等邊三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義

即可求得半徑.

例題5.（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖，AC.為正六邊形A3CDE尸的兩條對角線，若該正六邊形

的邊長為2,則△AC。的周長為

【答案】26+6##6+2世

【詳解】解：；正六邊形A2CDER

：.ZB=ZBCD=(6~2)X18°=120°,AB=BC,

6

：.ZACB=ZBCA=30°,

：.ZACD=120°-30°=90°,

由對稱性可得，是正六邊形的對稱軸,

ZADC=ZADE=-ZCDE=6Q°,

2

在RtAACD中，CD=2,ZADC=60°,

，AO=2C￡）=4,AC=6CD=26,

：.AACD的周長為AC+CD+AD=2s/3+2+4=26+6,

故答案為：2小+6.

點評：例題5考查多邊形與圓，掌握正多邊形內(nèi)角的計算方法以及內(nèi)角和定理積推論是正確解答的關鍵.

例題6.（2022?江蘇?鹽城市鹿鳴路初級中學九年級階段練習）如圖，正方形ABC。內(nèi)接于。O,P為BC上

的一點，連接OP,CP.

⑴求NCP。的度數(shù);

（2）當點P為8c的中點時，CP是。。的內(nèi)接正“邊形的一邊，求”的值.

【答案】（1）NDPC=45。

⑵〃二8

【詳解】（1）解：連接00,OC,

???正方形ABC。內(nèi)接于。O,

.\ZZ)OC=90°,

ZDPC=-/DOC=45°.

2

（2）解：連接尸O,OB,如圖所示:

:正方形ABCD內(nèi)接于。O,

：.ZCOB=90°,

:點尸為2C的中點，

CP=BP'

：.ZCOP=-ZCOB=45°,

2

."=360+45=8.

點評：例題6主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握同弧所對

的圓周角等于圓心角的一半.

（1）連接OD,OC,根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于。O,結(jié)合圓周角定理可得NCPD；

（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出NCOP的度數(shù)，進而得出答案.

同類題型演練

1.（2022.江蘇?九年級課時練習）若正六邊形的邊長為4,則它的外接圓的半徑為（）

A.B.4C.2AD.2

【答案】B

【詳解】解：如圖，正六邊形的中心角/4。8=3嚶60°=60。，邊長4B=4,

6

OA=OB,

lAOB是等邊三角形，

OA=AB=4,

即這個正六邊形的外接圓的半徑為4,

故選：B.

2.（2022?江蘇?九年級課時練習）如圖，已知O的半徑為1,則它的內(nèi)接正方形ABCD的邊長為（）

A.1B.2

【答案】C

【詳解】連接。2、0C,如圖所示,

V。的半徑為1,四邊形A8CD正方形,

：.OB=OC=1,ZBOC=90°,

BC=^JOB2+OC2=0，

故選c.

3.（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖，五邊形ABCDE是。。的內(nèi)接正五邊形，則NEBC的度數(shù)為（）

A.54°B.60°C.71°D.72°

【答案】D

【詳解】解：：五邊形AB8E是。。的內(nèi)接正五邊形,

/.ZA=/ABC=1(5-2)xl80°=108°,AB=AE,

ZABE=ZAEB,

ZABE=1(180°-ZA)=36°,

：.ZEBC=ZABC-ZABE=108°-36°=72°.

故選：D.

4.（2022?全國?九年級專題練習）。。半徑為4,以。。的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為邊

作一個三角形，則所得三角形的面積是（)

A.72B.6C.2應D.273

【答案】C

【詳解】解：如圖1,AA8C為。。的內(nèi)接正三角形，作。ML8C于連接08,

ZOBC=gZABC=30°,

：.OM=^OB=1-

如圖2,四邊形ABCO為（DO的內(nèi)接正方形，作OALLDC于N,連接O。，

?/N0DC=JZADC=45°,

萬

：.0N=DN=芋0D=2日,

如圖3,六邊形4BCZ）所為。。的內(nèi)接正六邊形，作0HLDE于H,連接0E,

?；ZOED=gNFED=60。,

:.EH=；0E=2,0H=yfiEH=2s/3,

半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為2,20,26,

V22+（272）2=（25/3）2,

???以三條邊心距所作的三角形為直角三角形，

...該三角形的面積=gx2x2a=272.

故選：C.

N一

圖:

5.（2022?陜西?紫陽縣師訓教研中心九年級期末）如圖，正六邊形ABCDE廠的周長為2