廣東省2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

=_x—x—+-x-x-+-x-x-=—,P(AD)=P(ABCuABC)=P(ABC)+P(ABC)=—,

3543543543030

7

P(A0=35=7

.*.P(A|D)=

P(D)1313

30

故選：D.

8.B

【分析】根據(jù)同型結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)尸(x)=e，+x,通過(guò)其單調(diào)性轉(zhuǎn)化為研究x+lnx=lna根的

問(wèn)題，再利用雙力=尤+lnx的單調(diào)性判定根的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】1+才+1必=111。+3=/+尤=g+111@,設(shè)函數(shù)P(x)=e'+x,

現(xiàn)討論方程廠(chǎng)("=尸卜￡|根的個(gè)數(shù)，F(xiàn)(x)在時(shí)單調(diào)遞增，

故問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為無(wú)+lux=1na根的問(wèn)題，

令/i(x)=x+lnM%21)，易知h(%)單調(diào)遞增，故〃(%)?1,+8),

當(dāng)Q2e時(shí)，方程九+lnx=lna只有一根，

所以方程e,+x+Inx=Ina+4在[1,+?＞)上根的個(gè)數(shù)為1.

x

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：注意觀(guān)察式子，通過(guò)指對(duì)轉(zhuǎn)化構(gòu)造同型結(jié)構(gòu)，再構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性、

判定根的個(gè)數(shù)即可.

9.AB

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及共輾復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式與幾何意義計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)z=x+M(x,yeR),

因?yàn)閦+2彳=3+\/3i,所以x+yi+2(x—ji)=3x—yi=3+>/3i,

3x=3[x=1,

即＜廠(chǎng),，＜r,所以A、B正確；

—y=73[y=-V3

|z|=、F+(一后=2,所以C錯(cuò)誤；

z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A為(1,一百)，所以直線(xiàn)。4的傾斜角為g,所以D錯(cuò)誤.

故選：AB.

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

10.ABD

【分析】利用焦點(diǎn)坐標(biāo)可判定A,利用平行線(xiàn)性質(zhì)化兩角和為一個(gè)角可判定B,利用拋物線(xiàn)

的定義化折線(xiàn)段和為直線(xiàn)段可判定C,設(shè)的方程利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及弦長(zhǎng)公式計(jì)

算面積，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，由題意知］=1,故。=2,所以。:V=以，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，由題意知P0//X軸，所以/。尸。=//?！福?/p>

所以NOPQ+NFON=ZFOP+NFON=NNOP,

又一NOP<180,即/0/5。+/歹0可<180,故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)知，\PA\+\P^=\PA\+\PF\-1,

因此當(dāng)P,4尸三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|*+歸尸|取得最小值,

此時(shí)|PA|+|尸盟=|=J(2-1)?+(5-0)2=V26,

即(|/科+p0)3=原一1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)直線(xiàn)"N的方程為x=my+l,

與拋物線(xiàn)C的方程聯(lián)立得/-4my-4=0,

故△=(-4加尸-4x(-4)=16(療+1)>0,%+%-4m,yxy2=-4,

因it\MN\=sjl+m21%%|=\ll+m2--4%為

=A/1+>n2■\/16m2+16=4(M2+1),

-11

又因?yàn)辄c(diǎn)。到直線(xiàn)MN的距離為久=/,

\l+m7l+m

22

所以的面積為S==—x,1x4(m+1)=2,1+m

2\'

當(dāng)力=0時(shí)，二沏的面積取最小值2,故D正確.

故選：ABD.

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

11.BC

【分析】舉反例可排除A、D,利用奇函數(shù)的定義結(jié)合換元法可判定B,利用

/(x+2)=/(2-x)=/[l+(l-x)]=f[l-(l-x)]=f(x)即可判定C.

【詳解】對(duì)于A(yíng),若/(x)=d,則〃2)>〃1),

但/(X)不是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若VteR,當(dāng)f>0時(shí)，令/=/,

因?yàn)?(尤2)=一/(-/)，所以/(。=一/(-)，即/(T)=_/?);

當(dāng)，=0時(shí)，令/=o,因?yàn)?卜2)=一]一無(wú)2),所以/(o)=_〃_o),即/⑼=0；

當(dāng)/<0時(shí)，令/=一/，因?yàn)橛?)=一/(_/),所以/(-)=一/?),

綜上，VteR,/(-)=-/1),所以是奇函數(shù)，所以B正確；

對(duì)于C,若/(1T)=/(1+X),且〃2T)=/(2+X),

則〃x+2)=〃2-x)=f[l+(l-切=/[1一(1一x)]=〃x),所以C正確；

對(duì)于D,若〃滿(mǎn)足’(小|〃川，

但函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合問(wèn)題，可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)或利用單調(diào)性、奇偶性、

對(duì)稱(chēng)性等定義一一判定選項(xiàng).

12.-/0.5

2

【分析】根據(jù)指數(shù)暴的運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

1

【詳解】因?yàn)?mX32"=02J"X（25）"=22mX25?=22m+5n=2刁，

J_1

所以Iog2（4"‘x32"）=log225=：.

故答案為：—.

2

13.且

2

【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間先計(jì)算周期得出。，結(jié)合/（o）=-：確定。，從而求出解

析式計(jì)算函數(shù)值即可.

「24-

【詳解】因?yàn)椤癤）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為,

所以周期T=2=4,所以。=/=楙，

因?yàn)?（。）=一所以夕或與，

因?yàn)?（X）在K上單調(diào)遞增，所以9=4，所以〃x）=cos，+F|,

所以/6=cos[]+t]=#.

故答案為：旦

2

14.（0,,R2T2）20兀

【分析】利用圓臺(tái)的特征確定外接球球心的位置，結(jié)合勾股定理解方程與不等式可得第一空;

再利用球體的表面積公式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最大值即可.

【詳解】圓臺(tái)外接球的球心。必在圓臺(tái)的軸線(xiàn)上，因?yàn)椤Ｔ趫A臺(tái)外，則球心在下底面下方,

設(shè)。到下底面的距離為無(wú)，則/+（/7+尤）2=我+尤2,所以*=.?2廣―/戶(hù)＞0,

2h

所以o＜〃＜收一尸,

所以圓臺(tái)的外接球表面積為S=47t（R2+x2）=4成2+4m2=4成2+4/

2

=16n+7r|--//

U

33

易知在應(yīng)時(shí)單調(diào)遞減，且/ax=；—1=2,

n1

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

所以Smax=16兀+兀X22=2°7T-

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)圓臺(tái)的特征容易判定外接球球心的位置，利用勾股定理建立方程,

解不等式可判定圓臺(tái)高的范圍；表示出外接球的表面積，利用函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最大值即可.

3

15.(l)5?=4x

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由題意可得a+6>c,求得4的范圍，再由等比數(shù)列的前“項(xiàng)和公式求解;

(2)根據(jù)題意可得0<lga<lg6Vlgc,作差判斷l(xiāng)ga+lg6>lgc即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)?21,所以0<a<b<c,

因?yàn)閍,6,c分別為VABC的三邊，所以a+6>c,

所以a+aq>aq1,即/-1-1<。，

解得1<4<上手，又因?yàn)?/p>

所以q=(3,

又4=2,所以S.=4x-1,

(2)因?yàn)椤?gt;1應(yīng)21,所以IcaVbVc,

則0<IgaWIgb<Ige,

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

因?yàn)?=0,

q

所以(館4+/6)_坨。=/皿=吆巴？=坨q=坨6'>0,

caq-q

即lga+lg6>lgc,

所以長(zhǎng)度為lg4,lg6,lgc的三條線(xiàn)段可以構(gòu)成三角形.

16.⑴a>20或a<-20

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，結(jié)合判別式計(jì)算即可；

(2)直接得出導(dǎo)函數(shù)，利用余弦函數(shù)的有界性及二次函數(shù)的性質(zhì)證明即可.

【詳解】⑴當(dāng)人=0時(shí)，f(x)=1x3+|x2+2%,定義域?yàn)镽,

所以/'(X)=公+ax+2,

因?yàn)?(X)存在極大值，且存在極小值，

所以/'(x)必須有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

所以A=O2-4X2>0,

所以。>20或。<-2血.

(2)當(dāng)a=2b=2時(shí)，/(x)=—%^+%2+2x+sin%,

定義域?yàn)镽,

所以/'(尤)=尤2+2尤+2+CO&X=(x+l)2+(l+co&x),

當(dāng)xeR時(shí)，(X+1)2N0,1+COSA:20,

所以/(X)N0,

X——1,

當(dāng)且僅當(dāng)Z,7、時(shí)，取等號(hào)，

x=2E+兀(左G

因?yàn)閇%x=-2也1,+71(鹿2)無(wú)解’

所以/'(x)>0.

17.(1)證明見(jiàn)解析

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

嗎

【分析】（1）取CD中點(diǎn)G,得出四邊形A3CG為平行四邊形，利用勾股定理逆定理先判定

AGLAD,再利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)與判定得出BC_L平面PAD,即可得出面面垂直；

（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面夾角即可.

【詳解】（1）如圖，取C。的中點(diǎn)為G,連結(jié)AG,

P

C

因?yàn)镃D=2AB=2近，所以AB=CG,

因?yàn)锳B//CD,所以四邊形ABCG為平行四邊形，

所以4G/ABC,

在三角形AGD中，因?yàn)锳G=3C=AO=1,G￡）=^=應(yīng)，

所以AG2+AO2=DG2,所以AG_LAD,則BC_LAD,

因?yàn)镽4_L平面ABCOBCu平面ABCD,所以PA_L3C,

因?yàn)镻AAO=AR4、ADu平面上M>,所以3C_L平面PAD,

因?yàn)锽Cu平面P3C,所以平面尸3C_L平面PAD.

（2）由AGLAD,E4J_平面ABC。得AG,AD,AP兩兩垂直，分別以43,4。,人尸為彳》/軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

C

由己知及（1）得，G（l,0,0）,Z）（0,l,0）,P（0,0,l）,C（2,-1,0）,5（1,-1,0）,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

L

因?yàn)椤阇=3。48=2攻，所以。E=J,

2

又￡>G=&,所以E為DG的中點(diǎn)，

因?yàn)锳D=AG,所以卅]對(duì)，

又PA_L平面ABCRGDu平面ABCD,所以B4_LGD,

因?yàn)镻AcAE=APA,AEu平面B4E,

所以GO_L平面R1E,所以平面24￡1的法向量為GD=(-1,1,O),

PC=(2,-1-1),PB=(1,-1,-1),設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

[2x-y-z=0./、

所以-C,則x=0,令＞=1,則Z=—1,所以〃

[x-y-z=O

\n-GD\ii

所以平面B4E與平面PBC夾角的余弦值為%~=~f=-7==-,

\n\\GD\J2xj22

71

所以平面與平面PBC的夾角為§.

v.2

18.(1)--/=1

(2)(1,/]

【分析】（1）根據(jù)題意列出”,b,c的方程運(yùn)算得解；

（2）設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=履-1,代入雙曲線(xiàn)方程，利用直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左右相交求得％的范

圍，由弦長(zhǎng)公式求得|4B|,再求得的坐標(biāo)得線(xiàn)段|8|長(zhǎng)，然后計(jì)算比值，由％的范圍求

得結(jié)論.

【詳解】（1）因?yàn)椤福海?《=1（。>01>0）的離心率為四，焦距為2vL

ab2

￡=V|

所以,。2,解得a=A/2,C=6，所以Z?2=3_2=l.

2c=26

所以r的標(biāo)準(zhǔn)方程為J-y2=l.

（2）由題意可知直線(xiàn)/的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=丘-1,雙曲線(xiàn)「的漸近線(xiàn)方程為

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

X

y=±忑'

X

不妨設(shè)CD分別在左、右位置，聯(lián)立得％

42k-l

y=kx-1

聯(lián)立'y二一忑,

得XD

y/2k+l

y=kx-1

點(diǎn)

22Jl+Z?

所以==yjl+kX

叵+1K-1!

聯(lián)立，下一，2=1,得(1—2用/+4爪_4=0,

y=kx-1

4k-4

設(shè)4(%1，%),8(%2，丫2)，則%+%2-77T9xix2=：-7/T'

1—Z/C