人教版初中九年級數(shù)學(xué)上冊同步講義-圖形的旋轉(zhuǎn)（解析版）

第01講圖形的旋轉(zhuǎn)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解掌握旋轉(zhuǎn)的定義并能夠判斷生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)

①旋轉(zhuǎn)的定義及生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象象。

②旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)2.掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并能夠利用性質(zhì)熟練解題。

③旋轉(zhuǎn)作圖3.掌握旋轉(zhuǎn)作圖的方法步驟，能夠確定旋轉(zhuǎn)中心，作

④旋轉(zhuǎn)對稱圖形出旋轉(zhuǎn)后的圖形。

4,掌握旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

思維導(dǎo)圖

知識點(diǎn)01旋轉(zhuǎn)的概念

i.旋轉(zhuǎn)的概念:

在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)。按照順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度的圖形變換叫做3^。點(diǎn)

o叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角，順時(shí)針或逆時(shí)針叫做旋轉(zhuǎn)方向。它們是旋轉(zhuǎn)

的三要素。

2.旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念:

如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P',那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)，如果圖形上的線段AB經(jīng)過旋

轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)A'B',那么這兩條線段叫做對應(yīng)線段，如果圖形上的/ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)/A'B，,

那么這兩個(gè)角叫做對應(yīng)角。

題型考點(diǎn)：①判斷生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。②旋轉(zhuǎn)中心與對應(yīng)點(diǎn)對應(yīng)邊的判斷。

【即學(xué)即練1】

1.有下列現(xiàn)象：①高層公寓電梯的上升；②傳送帶的移動(dòng)；③方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)；④風(fēng)車的轉(zhuǎn)動(dòng)；⑤鐘擺

的運(yùn)動(dòng)；⑥蕩秋千運(yùn)動(dòng).其中屬于旋轉(zhuǎn)的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【解答】解：①高層公寓電梯的上升，是平移，故不符合要求：

②傳送帶的移動(dòng)，是平移，故不符合要求；

③方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，是旋轉(zhuǎn)，故符合要求；

④風(fēng)車的轉(zhuǎn)動(dòng)，是旋轉(zhuǎn)，故符合要求；

⑤鐘擺的運(yùn)動(dòng)，是旋轉(zhuǎn)，故符合要求；

⑥蕩秋千運(yùn)動(dòng)，是旋轉(zhuǎn)，故符合要求；

故選：C.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，△/OB旋轉(zhuǎn)到OB'的位置.若NAOA，=90°,則旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角

是，點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)是,線段N3的對應(yīng)線段是,的對應(yīng)角是,

/BOB'=.

B'

OA

【解答】解：由圖形可得，旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)。，旋轉(zhuǎn)角是N404,點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)為4,線段的對應(yīng)線

段為48',48的對應(yīng)角為/⑶，ZBOB'=AOA'=90°.

故答案為：。、/A'CM、A'、A'B'、ZB'、90°.

【即學(xué)即練2】

3.如圖，按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△/￡>￡的位置,以下關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心和對應(yīng)點(diǎn)的說法正確的是（）

、R

A.點(diǎn)/是旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)3和點(diǎn)E是對應(yīng)點(diǎn)

B.點(diǎn)。是旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)8和點(diǎn)。是對應(yīng)點(diǎn)

C.點(diǎn)/是旋轉(zhuǎn)中心,點(diǎn)C和點(diǎn)￡是對應(yīng)點(diǎn)

D.點(diǎn)D是旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)/和點(diǎn)D是對應(yīng)點(diǎn)

【解答】解：：如圖，△N8C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△/￡>￡的位置,

二點(diǎn)/是旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)2和點(diǎn)。是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)。和點(diǎn)E是對應(yīng)點(diǎn).

故B,〃錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

知識點(diǎn)02旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

①旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等。所以對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

②對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

③對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線形成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

題型考點(diǎn)：①旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)理解。②旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)利用。

【即學(xué)即練1】

4.下列關(guān)于圖形旋轉(zhuǎn)的說法中，錯(cuò)誤的是()

A.圖形上各點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度相同

B.對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等

C.由旋轉(zhuǎn)得到的圖形也一定可以由平移得到

D.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小、形狀

【解答】解：4、圖形上各點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度相同，本選項(xiàng)正確，不符合題意；

3、對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，本選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、由旋轉(zhuǎn)得到的圖形不一定可以由平移得到，本選項(xiàng)不正確，符合題意；

D.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小、形狀，本選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：C.

【即學(xué)即練2】

5.如圖，△43C中，ZB=35°,NB4c=70°,將△A8C繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0<a<180)后得

D

A.30°B.35°C.40°D.不能確定

【解答】解：-：ZB=35°,/BAC=70°,

/.ZC=180°-ZB-ZBAC=75°,

???將△45。繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0<a<180)后得到△ZOE,點(diǎn)E恰好落在5C上，

*.AC=AE,NCAE=a,

:?/AEC=/C=75°,

???NC4￡=a=180°-AAEC-ZC=30°,

故選：A.

【即學(xué)即練3】

6.如圖.中，ZC=90°,BC=3,AC=4f將△Z5C繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△/，BC',若點(diǎn)

AB22

=VAC+BC=V42+32=5，

由旋轉(zhuǎn)得：AC=A'C=4,BC=BC'=3,/C=NBCA'=90°,

???4C'=AB-BC'=5-3=2,ZACrA'=180°-NBC'A'=90°,

AA，2?

=VAC/+AC/2=722+42=2遙，

故答案為：2，^.

【即學(xué)即練4】

7.如圖，邊長為1的正方形/夙力繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形/夕CD',圖中陰影部分的面積為

A.-1B.近C.1-近D.1-近

2334

【解答】解：如圖，設(shè)/C與CD的交點(diǎn)為E,連接

在RtZX/夕E和RtZX/DE中，,

IAB'=AD

/.RtA^5,E2RtAADE(HL),

：.ZDAE=ZB'AE,

:旋轉(zhuǎn)角為30°,

ZDAB'=60°,

AZDAE^—X60°=30°,

2

:.DE=\小區(qū)=立~,

33

...陰影部分的面積=1X1-2X(Lxixl)=1-叵.

233

故選：C.

D'

知識點(diǎn)03旋轉(zhuǎn)作圖

1.旋轉(zhuǎn)作圖的步驟:

①確定旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角。

②在原圖中找到關(guān)鍵點(diǎn)，做出圖形關(guān)鍵點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)。

③按照原圖形連接各對應(yīng)點(diǎn)。

題型考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)作圖。

【即學(xué)即練1】

8.已知：如圖，四邊形/BCD及一點(diǎn)P

求作：四邊形B'CD',使得它是由四邊形N3CD繞尸點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。得到的.

【解答】解:

四邊形HB'CD'就是所求的圖形.

【即學(xué)即練2】

9.如圖，△/BC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為,試確定旋轉(zhuǎn)后的三角形.

知識點(diǎn)04旋轉(zhuǎn)對稱圖形

1.平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)：

若一個(gè)圖形繞著平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。，則對應(yīng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系為：原橫坐標(biāo)的絕對值變?yōu)?/p>

對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，原縱坐標(biāo)的絕對值變成對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值。坐標(biāo)符號看坐標(biāo)

所在象限。簡稱橫變縱，縱邊橫，符號看象限。

當(dāng)在平面直角坐標(biāo)系中繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°時(shí)，可利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解坐標(biāo)。

2.旋轉(zhuǎn)對稱圖形：

若一個(gè)圖形繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度能夠與原圖形完全重合，這樣的圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

題型考點(diǎn)：①判斷旋轉(zhuǎn)對稱圖形的旋轉(zhuǎn)角。②平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)

【即學(xué)即練11

10.下列四個(gè)圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重

合的是（

??

A【解答】解：A、最小旋轉(zhuǎn)角度=幽匚=120°；

3

B、最小旋轉(zhuǎn)角度=3600=90。；

4

C、最小旋轉(zhuǎn)角度=360°=。0。；

2

D、最小旋轉(zhuǎn)角度=%二=72°；

5

綜上可得：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合的是/.

故選：A.

【即學(xué)即練2】

11.如圖是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對稱圖形，要使它旋轉(zhuǎn)后與自身重合，至少應(yīng)將它繞中心逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為

()

A.30°B.60°C.120°D.180°

【解答】解：正六邊形被平分成六部分，

因而每部分被分成的圓心角是60°,

因而旋轉(zhuǎn)60度的整數(shù)倍，就可以與自身重合.

則a最小值為60度.

故選：B.

【即學(xué)即練3】

12.如圖，將△N3C先向上平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)尸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到B'C,則點(diǎn)/

的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

C.(3,-2)D.(-1,4)

△HB'C即為所求,

則點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)4,的坐標(biāo)是（-1,4）.

故選：D.

【即學(xué)即練4】

13.如圖，把圖中的△ZBC經(jīng)過一定的變換得到△%'B'C,如果圖中△45。上的點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（a,b）,

)

C.(~a-2f-b)D.(Q+2,-b)

【解答】解：由圖可知，4ABe與MB'C關(guān)于點(diǎn)（-1,0）成中心對稱,

設(shè)點(diǎn)尸/的坐標(biāo)為（％,V）,

所以，空區(qū)=-1,也=0,

22

解得x=-2,y=-b,

所以，P'(-a-29-6).

故選：C.

題型精講

題型01生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象

【典例1】

下列運(yùn)動(dòng)屬于旋轉(zhuǎn)的是（）

A.滾動(dòng)過程中的籃球的滾動(dòng)

B.鐘表的鐘擺的擺動(dòng)

C.氣球升空的運(yùn)動(dòng)

D.一個(gè)圖形沿某直線對折的過程

【解答】解：/、滾動(dòng)過程中的籃球?qū)儆跐L動(dòng)，不是繞著某一個(gè)固定的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，不屬旋轉(zhuǎn);

8、鐘表的鐘擺的擺動(dòng)，符合旋轉(zhuǎn)變換的定義，屬于旋轉(zhuǎn)；

C、氣球升空的運(yùn)動(dòng)是平移，不屬于旋轉(zhuǎn)；

。、一個(gè)圖形沿某直線對折的過程是軸對稱，不屬于旋轉(zhuǎn).

故選：B.

【典例2】

下列現(xiàn)象屬于旋轉(zhuǎn)的是（）

A.摩托車在急剎車時(shí)向前滑動(dòng)

B.飛機(jī)起飛后沖向空中的過程

C.幸運(yùn)大轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的過程

D.筆直的鐵軌上飛馳而過的火車

【解答】解：/、摩托車在急剎車時(shí)向前滑動(dòng)是平移，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、飛機(jī)起飛后沖向空中的過程是平移，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、幸運(yùn)大轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的過程是旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)正確；

。、筆直的鐵軌上飛馳而過的火車是平移，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

題型02利用旋轉(zhuǎn)求角度

【典例1】

如圖，把△NBC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°,得到△/'B'C,A'B'交NC于點(diǎn)。，若NH。。=90°,則

//=_________

【解答】解：繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°,得到△，'B'C,

：.AACA'=35°,

又；NADC=90°,

：.ZA'=55°,

:的對應(yīng)角是N/',即//=//',

，//=55°；

故答案為：55.

【典例2】

如圖，將△/BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)￡,點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊/C

上時(shí)，連接4D,若//CB=30°,則/￡UC的度數(shù)是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【解答】解：由題意知△NBCgZVJEC,

則NNC3=NDCE=30°,AC=DC,

?.?Z—LJ/iCz-1--8-0--°------Z---D---C---A-_1--8--0--°-------3--0--°---_”/3。,

22

故選：D.

【典例3】

如圖，△/BC中/比1C=100°,將△48C繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°,得到△4DE,這時(shí)點(diǎn)2、C、。恰好

在同一直線上，則NE的度數(shù)為（

【解答】解：?.,將△NBC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°,得到

ZBAD=l50°,AD=AB,NE=/ACB,

■:點(diǎn)、B,C,。恰好在同一直線上，

.?.△胡。是頂角為150°的等腰三角形，

NB=NBDA,

：.ZB=1.(180°-/BAD)=15°,

2

AZE=ZACB=l80°-ABAC-ZS=180°-100°-15°=65°,

故選：C.

【典例4】

如圖，菱形/BCD,￡是對角線NC上一點(diǎn)，將線段DB繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度2a,點(diǎn)。恰好落在8C邊上

點(diǎn)尸處，則ND/8的度數(shù)為()

A.aB.90°-aC.180°-2aD.2a

【解答】解：如圖，連接BE,

:四邊形/2CO是菱形，

:.CD=BC,NDAB=NDCB,NACD=/ACB,

在△OCE和△BCE中，

'DC=BC

?ZDCE=ZBCE-

LCE=CE

:.△DCE"￡BCECSAS),

：.DE=BE,ZEDC=ZEBC,

:將線段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度2a,

：.DE=EF,/DEF=2a,

：.BE=DE=EF,

：.ZEBF=ZEFB,

：.NEDC=NEBC=NEFB,

VZEFB+ZEFC=1^°,

:.NEDC+NEFC=180°,

ZEDC+ZEFC+ZDEF+ZDCF=360°,

/.Z￡>CF=180°-2a=ZDAB,

故選：C.

題型03利用旋轉(zhuǎn)求線段

【典例1】

如圖,將矩形/BCD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到矩形/夕C?,如果C￡>=2￡U=2,那么CC'=.

【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZCAC=90°,AC=AC',

RtZUCD中，由勾股定理得，

^C=VAD2+CD2=V12+22=V5,

在RtZ\C/C'中，由勾股定理得，

cc=VAC2+AC/2=VTO-

【典例2】

如圖，在△43C中，4B=4,/C=3,NA4c=30°,將△43C繞點(diǎn)/按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△/囪。連接

BCi,則BCi的長為（）

【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)可得NCi=/C=3,NBiACi=NBAC=30°,ZBABi=60°.

所以Cl=90°.

所以在RtA^Ci中，利用勾股定理可得8G=JAB2+AC[2=V16+9=5.

故選：C.

【典例3】

如圖，Rt443C中，NC=90°,BC=3,4c=4,將△43C繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得BC',若點(diǎn)C'在

AB±.,則44,的長為（）

A.V13B.4C.2-75D.5

【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：

NA'CB=ZC=90°,A'C=AC=4,AB=A'B,

根據(jù)勾股定理，得/8={BC2+AC2=在2+42=5,

.".A'B=AB=5,

：.AC'=AB-BC'=2,

在Rt444'C'中，根據(jù)勾股定理，得

AA'=VAC'2+AyC/2=722+42=2Vs-

故選：c.

【典例4】

已知等邊△/BC的邊長為8,點(diǎn)尸是邊2。上的動(dòng)點(diǎn)，將尸繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△NC0,點(diǎn)D

是ZC邊的中點(diǎn)，連接。。，則。。的最小值是（）

D.不能確定

【解答】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得//CQ=/8=60°,

又?：NACB=6Q°,

AZBCQ=120°,

:點(diǎn)。是4C邊的中點(diǎn)，

：.CD=4,

當(dāng)時(shí)，D。的長最小,

此時(shí)，NCDQ=30°,

；.CQ=_1_CZ)=2,

"0=山2_22=2%,

的最小值是2我，

題型04旋轉(zhuǎn)作圖與坐標(biāo)計(jì)算

【典例1】

作圖：

(D如圖甲,以點(diǎn)。為中心，把點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°.

(2)如圖乙，以點(diǎn)。為中心，把線段A8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.

(3)如圖丙，以點(diǎn)。為中心，把△/2C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°.

(4)如圖丁，以點(diǎn)3為中心，把△/BC旋轉(zhuǎn)180°.

【解答】解：(1)如圖甲，點(diǎn)P為所求;

(2)如圖乙，線段HB'為所求；

(3)如圖丙，B'C為所求;

(4)如圖丁，△/'BC為所求.

【典例2】

在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，△N3C的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)

上，在圖中畫出將△/8C繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△NEC.

【典例3】

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知菱形CU8C的頂點(diǎn)N(1,2),B(3,3).作菱形ON3C關(guān)于y軸的對稱圖形

ONE。，再作圖形ON5C關(guān)于點(diǎn)。的中心對稱圖形CM"B"C",則點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)C”的坐標(biāo)是()

【解答】解：???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,1),

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,1),

...點(diǎn)C〃的坐標(biāo)的坐標(biāo)為(2,-1),

故選：A.

【典例4】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)N(-1,0)與點(diǎn)8關(guān)于y軸對稱，現(xiàn)將圖中的“月牙①”繞點(diǎn)5順時(shí)針

【解答】解：如圖，連接HB,

:點(diǎn)4(-1,0)與點(diǎn)8關(guān)于y軸對稱，

:.點(diǎn)B(1,0),

：.AB=2,

:月牙①繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到月牙②,

：.A'2_Lx軸，A'B=AB,

：.A'的坐標(biāo)為(1,2).

【典例5】

如圖，將線段42繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段卬"，那么-2,5)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

【解答】解：作軸于點(diǎn)。，作/'D'軸于點(diǎn)￡>',

貝|JOD=HD',AD=OD',OA=OA',

：.AOAD^/\ArOD'(SSS),

U：A(-2,5),

：?0D=2,AD=5f

二點(diǎn)H的坐標(biāo)為(5,2),

故選：A.

【典例6】

如圖1,已知△48C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是/(-3,1),3(-1,-1),C(-2,2).

(1)畫出△/2C關(guān)于y軸對稱的△/出C1，并寫出點(diǎn)出，Bi,Ci的坐標(biāo)；

(2)畫出△/2C繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得到的△/2比。2.

【解答】解：(1)如圖所示：Ai(3,0),Bi(1,-1),Ci(2,2)；

(2)如圖所示：

【典例7】

如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個(gè)單位長度，△NBC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為/(-1,

3),5(-4,0),C(0,0)

(1)畫出將△43C向上平移1個(gè)單位長度，再向右平移5個(gè)單位長度后得到的△/1歷。1；

(2)畫出將△/2C繞原點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△/再2。；

(3)在x軸上存在一點(diǎn)尸，滿足點(diǎn)P到小與點(diǎn)出距離之和最小，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：(1)如圖所示，△NbBiCi為所求做的三角形;

(2)如圖所示，為所求做的三角形;

(3)作出點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)出，

二出坐標(biāo)為(4,-4),

又「山坐標(biāo)為(3,1),

；./乂3所在直線的解析式為：y=-5x+16,

令y=0,貝

題型05旋轉(zhuǎn)對稱圖形

【典例1】

【解答】解：/、360°+5=72°,旋轉(zhuǎn)72°的整數(shù)倍即可與原圖形重合，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項(xiàng)

正確；

3、不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、360°4-8=45°,旋轉(zhuǎn)45°的整數(shù)倍即可與原圖形重合，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

D、3600+4=90°,旋轉(zhuǎn)90°的整數(shù)倍即可與原圖形重合，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，故本選項(xiàng)正確.

故選：B.

【典例2】

如圖所示的圖案繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)后能夠與自身重合，那么它的旋轉(zhuǎn)角可能是（）

A.60°B.90°C.72°D.120°

【解答】解：該圖形被平分成五部分，因而每部分被分成的圓心角是72°,

并且圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，因而旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合.

故選：C.

【典例3】

數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們觀察如圖所示的圖形，問：它繞著圓心。旋轉(zhuǎn)多少度后和它自身重合？甲同學(xué)說:

45。；乙同學(xué)說：60°；丙同學(xué)說：90。；丁同學(xué)說：135°.以上四位同學(xué)的回答中，錯(cuò)誤的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【解答】解：圓被平分成八部分，旋轉(zhuǎn)45°的整數(shù)倍，就可以與自身重合，因而甲，丙，丁都正確；錯(cuò)

誤的是乙.

故選：B.

【典例4】

點(diǎn)。是正五邊形/8CDE的中心，分別以各邊為直徑向正五邊形的外部作半圓，組成了一幅美麗的圖案（如

圖）.這個(gè)圖案繞點(diǎn)。至少旋轉(zhuǎn)°后能與原來的圖案互相重合.

【解答】解：連接。4OE,則這個(gè)圖形至少旋轉(zhuǎn)//OE才能與原圖象重合，⑨⑨

ZAOE^——=72°.

5

故答案為：72.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.下列現(xiàn)象中是旋轉(zhuǎn)的是（

A.雪橇在雪地上滑行B.抽屜來回運(yùn)動(dòng)

C.電梯的上下移動(dòng)D.汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)

【解答】解：/、雪橇在雪地上滑行不是旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B,抽屜來回運(yùn)動(dòng)是平移，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、電梯的上下移動(dòng)是平移，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D,汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)正確；

故選：D.

2.將△/。2繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°得到則下列作圖正確的是（）

【解答】解：與△■DOE關(guān)于點(diǎn)。中心對稱的只有。選項(xiàng).

故選：D.

3.如圖，將△043繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°,得到△OCD,若//=2/。=100°,則Na的度數(shù)是（

A.50°B.60°C.40°D.30°

【解答】解：：將△0/5繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°

:./N=NC,ZAOC=80°

：.ZDOC^SQ0-a

'：乙4=2/。=100°

ZD=50°

'：ZC+ZD+ZDOC=180°

.?.100°+50°+80°-a=180°解得a=50°

故選：A.

4.如圖，在△/C8中，ZC=90°,Z5=60°,BC=\,△NC8繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△/￡>￡,

點(diǎn)、B,E之間的距離為（）

A.2B.遍C.2V2D.3

【解答】解：連接5E,

"：BC=\,ZC=90°,Z5=60°,

AB—2BC=2,

由旋轉(zhuǎn)可知：ZBAE=90°,AE=AB=2,

BE=VA?+AB2=2V2>

故選：C.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-2,3）,將點(diǎn)/繞原點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)8,

則點(diǎn)2的坐標(biāo)為（

B.(-3,-2)C.(2,3)D.(3,2)

【解答】解：過月點(diǎn)作NDLy軸，過3點(diǎn)作軸,

3),

：.AD=2,OD=3,

VZAOB=90°，

：.ZAOD+ZAOE=90°,

ZBOE+ZAOE=90°,

JNAOD=NBOE,

?：OA=OB,

在△40。和△BOE中，

<ZADO=ZBEO

<ZAOD=ZBOE，

OA=OB

:.XAODQXBOE(AAS)f

:?OE=OD=3,OA=OD=3

?,?點(diǎn)5的坐標(biāo)為(-3,-2),

故選：B.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)5在第二象限，點(diǎn)4在》軸正半軸上，ZAOB=ZB=30°,0A=

2.將△405繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到則點(diǎn)5的對應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是()

A.(3,1)B.(3,V3)C.(V3,3)D.(-V3,3)

【解答】解：過點(diǎn)9作歹軸于C,如圖所示：

AZB1OA=60°,OA=OB=2,

???將△405繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△4。9,

：?/BOB'=90°,OA=OB=OA'=A'B'=2,

：.AByOA=ZOByAy=90°-N〃CM=30°,

???N5WC=N8CW+NO5N'=60°，

：.ZA^C=30°，

???HC=1,

.?.°C=4C+°/=3,B'C=NkB，2-k.2地2_12=后

二點(diǎn)2'的坐標(biāo)為：(3,V3),

故選：B.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形。42c繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形O4131C1,依此方

式，繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2023次得到正方CM202382023c2023，如果點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,0),那么比023的坐標(biāo)

C.(^2,0)D.(-1,-1)

OA—1,

...四邊形0/8C是正方形，

：.ZOAB=90°,AB=OA=1,

：.B(2,2),

連接05,如圖：

由勾股定理得：0B=V/+12s

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：0B=0B1=0B2=0B3="--=V2,

?.?將正方形。/3。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形ON/iCi，

相當(dāng)于將線段05繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,依次得到//。8=/8。31=/81。比=?“=45°,

Bi(0,V2),及(-1,1),B(-V2,0)，為(-1,-1).BR(0,&A&(L一1)，

B7(V2,0)，…，

發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，則2023+8=252…7,

點(diǎn)比023的坐標(biāo)為(V210),

故選：B.

8.如圖，點(diǎn)￡為正方形48co內(nèi)一點(diǎn)，ZAEB=90°,將Rt4/BE繞點(diǎn)3按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到

△CBG.延長NE交CG于點(diǎn)尸，連接?！?下列結(jié)論：@AFLCG,②四邊形3EFG是正方形，③若

DA=DE,則CF=FG；其中正確的結(jié)論是（）

C.②③D.①③

【解答】解：設(shè)N尸交3C于K,如圖:

:四邊形是正方形，

:./ABK=90°,

:.NKAB+NAKB=90°,

?.?將繞點(diǎn)3按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到△CBG,

ZKAB=ZBCG,

'：NAKB=NCKF,

：.NBCG+/CKF=90°,

：./KFC=90°,

：.AF±CG,故①正確；

:將繞點(diǎn)3按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,

：./AEB=/CGB=90°,BE=BG,NE8G=90°,

又；NBEF=9Q°,

二四邊形2￡FG是矩形，

又,：BE=BG,

四邊形是正方形，故②正確；

如圖，過點(diǎn)。作MLdE于X,

；D4=DE,DHLAE,

：.AH=—AE,

2

AZADH+ZDAH=90°,

:四邊形N2CD是正方形，

；.AD=AB,/DAB=90°,

/.ZDAH+ZEAB=90°,

?.NAD"ZEAB,

又；AD=4B,ZAHD=ZAEB=90°,

/./\ADH^^BAECAAS),

;.AH=BE=LAE,

2

?.?將繞點(diǎn)3按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,

：.AE=CG,

?.?四邊形是正方形，

:.BE=GF,

：.GF=^CG,

2

：.CF=FG,故③正確；

???正確的有：①②③，

故選：A.

9.如圖，將△ZBC以點(diǎn)4為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，/)￡,當(dāng)點(diǎn)。在3C邊上時(shí)，恰好有AE〃BC,若

：.ZC=ZE=40°,AB=AD,

'JAE//BC,

：.ZCAE=ZC=40°,

?；/BAD、NC4E均為旋轉(zhuǎn)角,

AZBAD=ZCAE=40°，

U：AB=AD,

：.NB=ZADB=180°-/BAD=10°,

2

故答案為：40°,70°.

10.如圖，△48C中，ZC=90°，4B=5,BC=3,將△/8C繞/點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到C,

則CC'=.

【解答】解：:△48。中，ZC=90°,AB=5,BC=3,

AC=VAB2-BC2=4'

?將△NBC繞N點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△/夕C,

：.AC=AC',ZCAC'=60°,

：./\ACC'是等邊三角形，

：.CC=4C=4,

故答案為：4.

11.如圖，等邊△48C中，8c=12,M是高Cff所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接兒必，將線段繞點(diǎn)3逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到3N,連接HN.在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段HV長度的最小值是.

取5c的中點(diǎn)G,連接MG,

\?線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,

AZMBH+ZHBN=60°,

又是等邊三角形，

/.ZABC=60°,

即乙團(tuán)陽+NAffiC=60°,

,ZHBN=/GBM,

,**CH是等邊三角形的高，

：.BH=—AB,

2

：.BH=BG,

又；BM旋轉(zhuǎn)到BN,

：.BM=BN,

:AMBG沿△NBH(&4S),

：.MG=NH,

根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MGLCH時(shí)，MG最短，即最短，

此時(shí)4BCH=上乂60°=30°,

2

CG=Lc=工X12=6,

22

.?.”G=LG=3,

2

：.HN=3.

二線段HV長度的最小值是3.

故答案為：3.

12.如圖，在△/BC中，ZC=90°,/B=30°,/C=4,點(diǎn)尸為45上一點(diǎn)，將線段總繞點(diǎn)P順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得線段尸。，點(diǎn)。在射線5c上，當(dāng)尸。的垂直平分線經(jīng)過△/3C一邊中點(diǎn)時(shí)，心的長為.

【解答】解：：NC=90°,/B=30°,4c=4,

：.AB=S,BC=4近，

尸。的垂直平分線MN經(jīng)過△48C一邊中點(diǎn)，可分為以下三種情況：經(jīng)過的中點(diǎn)。；經(jīng)過ZC的中點(diǎn)

E-,經(jīng)過3c的中點(diǎn)?

當(dāng)MV經(jīng)過4/的中點(diǎn)。時(shí)，交BC于點(diǎn)G,如圖：BD卷AB=4,

：.PQ=PB,

：?/PQB=/B=30°,

???N。。。是△尸。的外角，

AZDPQ=ZB+ZPQB=60°,

???；W垂直平分PQ,

:?PD=QD,

???△PQD是等邊三角形，

:?PD=QP,

:?PD=PB,

???PB-|BD=2；

當(dāng)跖V經(jīng)過4C的中點(diǎn)E時(shí)，交5C于點(diǎn)G,如圖：EC=yAC=2

AZEGQ=60°,

：.ZCEG=30°,

在RtzXECG中，EC=2,

???點(diǎn)G在MN上，

：.PG=QG,

：.ZPQB=ZQPG=30°,

???ZPGB是△尸。G的外角，

AZPGB=ZPQB+ZQPG=60°,

；?/GPB=90°，

：?PG工PB,

在Rt△尸G5中，BG吟仃,

PG[BG鳥%，

由勾股定理得：PB=VBG2-PG2=5;

當(dāng)經(jīng)過的中點(diǎn)尸時(shí)，交3c于點(diǎn)尸（G）,如圖:BF=yBC=2V3，

同理可證：PGLPB,

在RtZ\PG8中，Z5=30°,BF=2愿，

：.PB=3.

綜上：尸3的長為：2或5或3.

故答案為：2或3或5.

13.如圖，在中，點(diǎn)E在3c邊上，AE=AB,將線段/C繞/點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到/尸的位置，使得NC4P=

ZBAE,連接EF,EF與4c交于■點(diǎn)、G.

（1）求證：BC=EF；

（2）若//8C=64°,NACB=25°,求/4G