數(shù)學(xué)互動課堂函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)本節(jié)的重點是函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則及應(yīng)用。1。導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及證明法則1：兩個函數(shù)的和（或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差),即(u±v）′=u′±v′.證明:令y=f(x)=u(x)±v(x）。Δy=［u(x+Δx）±v（x+Δx)］-[u(x)±v（x）］=［u(x+Δx）—u（x)]±［v（x+Δx)-v（x）］=Δu±Δv，∴=?！?(）=±=u′（x）±v′(x）,即y′=（u±v)′=u′±v′。法則2:兩個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即（uv）′=u′v+uv′.證明:令y=f(x）=u（x）·v（x)。Δy=u（x+Δx)·v(x+Δx)-u（x)·v(x）=u(x+Δx）·v（x+Δx）—u(x)·v(x+Δx）+u(x）·v（x+Δx）-u（x)v（x),=v（x+Δx)+u（x)·。因為v(x）在點x處可導(dǎo),所以它在點x處連續(xù)，于是當(dāng)Δx→0時v（x+Δx）→v(x)，從而=v（x+Δx）+u(x）·=u′（x）v(x）+u（x)v′（x）,即y′=（uv)′=u′v+uv′。疑難疏引（1）牢記公式的形式(uv)′≠u′v′，避免與（u±v)′=u′±v′混淆.(2)若C為常數(shù)，則(Cu)′=C′u+Cu′=0+Cu′=Cu′,即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（3)由法則2和法則1，又得［au(x)±bv(x)］′=au′（x）±bv′(x),a、b為常數(shù)。（4）法則1和法則2均可推廣到兩個以上函數(shù)的和(或差）、積求導(dǎo)。法則3：商的導(dǎo)數(shù)公式及證明：（）′=（v≠0)?；仡檶?dǎo)數(shù)的定義:f′(x）==.證明:設(shè)y=f(x)=（v（x）≠0),則Δy=f(x+Δx)—f(x）=-=,所以.因為v（x）在點x處可導(dǎo)，所以v(x）在點x處連續(xù),于是當(dāng)Δx→0時,v（x+Δx)→v（x)。從而=,即y′=(）′=(）.2.對公式的說明（1)類比：（uv)′=u′v+uv′,（)′=，注意差異,加以區(qū)分.（2)（）′≠，且（)′≠。(3)法則1、2、3--兩函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則,稱為可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則.（4）若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們的和、差、積、商（商分母不為零)必可導(dǎo).其結(jié)果由法則1、2、3可得.若兩個函數(shù)不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).3.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則應(yīng)注意的問題（1)對函數(shù)變形化簡后再求導(dǎo)，而不加分析,盲目套用公式,會給運(yùn)算帶來不便甚至錯誤，先化簡求導(dǎo)是實施求導(dǎo)運(yùn)算的基本方法，是化難為易，化繁為簡的基本原則和策略。（2）商的求導(dǎo)法則與積的求導(dǎo)法則相近而造成它們之間容易混淆，通過變式訓(xùn)練，加深對商的求導(dǎo)法則的理解，并能正確運(yùn)用函數(shù)式的恒等變形,盡可能避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量.案例1（1)求曲線y=在點(1，1）處的切線方程;(2)運(yùn)動曲線方程為S=+2t2，求t=3時的速度。【探究】(1）y′=y′|x=1==0,即曲線在點（1,1）處的切線斜率k=0因此曲線y=在(1，1）處的切線方程為y=1(2）S′=（）′+(2t2）′=+4t=+4tS′|t=3=【規(guī)律總結(jié)】正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求出導(dǎo)數(shù)，這是解題的關(guān)鍵。案例2已知曲線C1：y=x2與C2：y=-(x-2)2，直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程.【探究】設(shè)l與C1相切于點P（x1，),與C2相切于Q（x2，—(x2—2)2）。對C1：y′=2x，則與C1相切于點P的切線方程為y-=2x1（x—x1)，即y=2x1x-.①對C2:y=-2(x-2)，則與C2相切于點Q的切線方程為y+(x2-2)2=-2(x2－2)（x-x2)，即y=-2（x2—2）x+-4。②∵兩切線重合，∴，解得或，∴直線方程為y=0或y=4x-4?！疽?guī)律總結(jié)】函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值就是過這一點的切線的斜率,本題所求的直線l實際上是所給兩圓的公切線，因此,利用兩個圓的切線的斜率相等，最終求得直線l的方程?；顚W(xué)巧用1.設(shè)f（x)=x（x-1）（x—2）…（x—100）,則f′（0)等于（)A。100B.0C。100！解析：∵f(x）=x（x-1)(x-2）…(x—100）∴f′（x）=（x-1)(x—2)…(x—100）+x［(x-1）·（x-2）…(x—100）]1∴f′（0)=(-1)(—2）…(-100）=100!答案：C2。求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）y=(2x2+3)（3x-1);（2）y=（）2;(3)y=x—sincos。解析:（1)方法一:y′=(2x2+3)′(3x—1）+（2x2+3）（3x-1）′=4x(3x—1）+3(2x2+3)=18x2—4x+9。方法二：∵y=（2x2+3）(3x-1)=6x3—2x2+9x-3，∴y′=（6x3-2x2+9x—3)′=18x2—4x+9。（2）∵y=()2=.∴y′=x′—()′+4′=1—4·=1-2(3)∵y=x—sincos=x—sinx,∴y′=x′-(sinx)′=1-cosx.3。求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）y=x5-3x3—5x2+6；（2）y=;(3)y=；(4)y=(2x2+3)（3x—2）；（5)y=sin2x.解析：（1）y′=(x5-3x3-5x2+6）′=（x5)′-（3x3)′—（5x2)′+6′=5x4-9x2-10x（2)y′=(）′+(）′=(2x-2）′+（3x-3)′=-4x—3-9x—4=（3）y′==（4）方法一：y′=（2x2+3）′（3x—2）+(2x2+3)·(3x—2）′=4x（3x—2)+（2x2+3)·3=18x2-8x+9方法二：∵y=（2x2+3)·（3x—2)=6x3—4x2+9x—6∴y′=18x2—8x+9(5）∵y=sin2x=2sinxcosx∴y′=2（sinx）′cosx+2sinx·（cosx)′=2cos2x—2sin2x=2cos2x4。求曲線y=在點(1,）處的切線方程.解析：∵y=，∴y′=-1·(3x2+1)′=·6x。∴k=y′|x=1=.∴切線方程為（x-1),即x-+1=0。5。求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1)y=；(2）y=sin4+cos4;（3）y=;(4)y=—sin.解析：(1）y==x2+x3+x4，∴y′=2x+3x2+4x3。（2）y=（sin2+cos2）2—2sin2cos2===cosx?！鄖′=（cos）′=sinx（3）y=-2.∴y′=(—2)′=.（4)y=sin·cossinx?！鄖′=(sinx)′=cosx。6.已知曲線C:y=3x4—2x3-9x2+4.①求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點的切線的方程;②第①小題中切線與曲線C是否還有其它公共點.解析：①把x=1代入C的方程，求得y=—4?！嗲悬c為(1,-4),y′=12x3-6x2-18x，∴切線斜率為k=12-6—18=-12.∴切線方程為y+4=—12(x—1)，即y=-12x+8。②由得3x4—2x3—9x2+12x—4=0，(x—1)2(x+2)（3x—2）=0，∴x=1，