數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂學(xué)案：向量的加法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。向量求和的三角形法則已知向量a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作=a,=b，則向量叫做a與b的和向量，記作a+b,即a+b=+=。這種求兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的三角形法則（如圖所示)。疑難疏引①由向量求和的三角形法則可知，兩個(gè)向量的和仍為向量。②向量求和的三角形法則的本質(zhì)是兩個(gè)加數(shù)向量的首尾相接，和向量是從一個(gè)向量的起點(diǎn)指向另一個(gè)向量的終點(diǎn).③當(dāng)兩個(gè)向量共線（平行）時(shí)，向量加法的三角形法則同樣適用。2。向量加法的運(yùn)算性質(zhì)（1）對(duì)于零向量與任一向量a的和有a+0=0+a=a.（2)向量加法的交換律:a+b=b+a。簡(jiǎn)證如下：①若a、b不共線，作=a，=b，則A、B、C三點(diǎn)不共線，=a+b.作=b，連結(jié)D、C(如下圖），由于=，∴四邊形ABCD為平行四邊形。∴DCAB，∴|｜=||=|a｜，又與同向，∴=,此時(shí)有b+a=+=,即有a+b=b+a.②當(dāng)a與b共線且同向時(shí)，a+b及b+a都與a同向，且|a+b|=｜a|+｜b｜；｜b+a|=｜b|+|a|。a+b與b+a同向，故有a+b=b+a。③當(dāng)a與b共線且反向時(shí)，不妨設(shè)|a｜＞｜b｜,且｜a+b|=|a|-｜b|,b+c與a同向，且|a+b|=｜a|-|b｜，b+a與a同向，且|b+a｜=|a｜-｜b｜.故a+b與b+a同向,因此a+b=b+a.綜合①②③知a+b=b+a。(3)向量加法的結(jié)合律:(a+b)+c=a+（b+c)驗(yàn)證如下：如下圖，（a+b）+c=+=，a+（b+c)=+=∴（a+b）+c=a+(b+c）。疑難疏引向量加法的運(yùn)算律同實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律一致，卻滿足交換律與結(jié)合律,由于向量的加法具有這兩個(gè)運(yùn)算律，因此，對(duì)于多個(gè)向量加法的運(yùn)算就可以按照任意的次序與組合來進(jìn)行了.3.向量求和的平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線的向量a，b，作=a，=b，則A、B、D三點(diǎn)不共線，以、為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對(duì)角線上的向量=a+b.這個(gè)法則叫做向量求和的平行四邊形法則。疑難疏引當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，向量加法的三角形法則與平行四邊形法則是一致的,當(dāng)兩向量為共線向量時(shí)，三角形法則同樣適用，而平行四邊形法則就不適合了.因此在選用兩個(gè)法則進(jìn)行向量求和時(shí)應(yīng)熟練、靈活.4。向量求和的多邊形法則已知n個(gè)向量，依次將這n個(gè)向量首尾相連,以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第n個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這n個(gè)向量的和向量，此法則叫做向量求和的多邊形法則。規(guī)律總結(jié)①向量求和的多邊形法則實(shí)際上是三角形法則的推廣；三角形法則是多邊形法則的特例.三角形法則適用于兩個(gè)向量的求和，而多邊形法則適用于多個(gè)向量的求和，兩個(gè)法則的共同點(diǎn)是將加數(shù)向量首尾順次連接,和向量的起點(diǎn)是第一個(gè)向量的起點(diǎn)，終點(diǎn)是最后一個(gè)向量的終點(diǎn)。②首尾順次相接的向量構(gòu)成封閉的向量鏈時(shí),其各向量的和為0。③不論采用何種法則求向量的和，其最后的結(jié)果是相等向量。5。向量加法的實(shí)際應(yīng)用向量的加法在日常生產(chǎn)、生活中應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在求兩個(gè)或多個(gè)向量的和向量，可選用靈活的法則解決。案例一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實(shí)際速度?！咎骄俊勘绢}是用向量解決物理問題，可先用向量表示速度,再用向量的加法合成速度即可.【解】如右圖，表示水流速度，表示船垂直于對(duì)岸的方向行駛的速度，表示船實(shí)際航行的速度,∠AOC=30°，|OB｜=5km/h。∵四邊形OACB為矩形,∴｜｜=｜｜c(diǎn)ot30°=，=10.∴水流速度大小為km/h，船實(shí)際速度為10km/h,與水流速度的夾角為30°.規(guī)律總結(jié)用向量解決實(shí)際問題的步驟為①用向量表示實(shí)際量；②進(jìn)行向量運(yùn)算；③回扣實(shí)際問題,作出回答.活學(xué)巧用【例1】已知a∥b，試用向量加法的三角形法則作出向量a+b。（1）（2)解析：a∥b時(shí),也可用向量加法的三角形法則求出其和向量.（1)作=a，=b。則a+b=+=,如下左圖所示.(2)作=a，=b。則a+b=+=如上右圖所示.【例2】已知非零向量a、b，試說明|a+b｜與｜a|+｜b｜的大小。解析：解答本題可用向量加法的三角形法則作出圖形輔助解決，并且要注意分類討論.（1）當(dāng)a、b不共線時(shí)，根據(jù)向量求和的三角形法則顯然有|a+b｜＜｜a｜+｜b|。(2)當(dāng)a、b方向相同時(shí)，有|a+b|=｜a｜+｜b｜.（3）當(dāng)a、b方向相反時(shí),有｜a+b|＜|a｜+｜b|。綜以上有|a+b|≤｜a｜+|b｜.【例3】在矩形ABCD中，等于（）A.+B。+C。+D。+解析:畫出圖形，幫助分析.若對(duì)向量求和的本質(zhì)理解深刻了，也可直接按照向量加法的交換律運(yùn)算。顯然，D選項(xiàng)中,+=+=.而其他的選項(xiàng)運(yùn)算的結(jié)果不是。答案:D【例4】化簡(jiǎn)下列各式。（1）++;（2)++；(3）++++。分析:根據(jù)向量加法的運(yùn)算律，對(duì)于多個(gè)向量求加法時(shí)，可以按照需要將向量組合,使之構(gòu)成首尾相接,進(jìn)行運(yùn)算，第（1）個(gè)可以使用結(jié)合律轉(zhuǎn)化為求++的和;第（2）個(gè)則可以直接運(yùn)算;第(3）個(gè)各向量首尾相接，恰好構(gòu)成一個(gè)向量鏈,因此,可直接計(jì)算。解：(1）++=++=.（2）++=0.（3）++++=.【例5】如圖，在ABCD中，已知有以下4個(gè)等式，其中正確式子有__________個(gè)()①+=;②++=；③++=;④++=0.A。1B.2C解析：本題要結(jié)合圖形及向量加法的運(yùn)算律對(duì)選項(xiàng)中的等式一一驗(yàn)證.①+=+=，故①正確；②++=++=≠。故②不正確；③++=+=≠，故③不正確;④++=++=+=+=0.故④正確.答案：B【例6】在正六邊形中，若=a，=b，試用向量a、b將、、表示出來.分析：如右圖所示，在正六邊形中，有很多菱形、三角形,這就為使用向量求和的三角形法則或平行四邊形法則創(chuàng)造了條件.解：設(shè)正六邊形的中心為P,則=+=（+)+=a+b+a。=+=+=a+b+a+b。由對(duì)稱性知:=+=b+b+a?！纠?】如圖甲所示,已知向量a、b、c，試求作向量a+b+c.解析：如圖乙所示,首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量=a，然后再作=c,再后作=b,由向量求和的多邊形法則可得=++=a+c+b=a+b+c，即為所求向量.【例8】已知任意四邊形ABCD,E為AD的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),求證:+=+.證明：如右圖，在平面內(nèi)取點(diǎn)O，連結(jié)、、、、、，則=+=+++,=+，=+=+++++.∵E、F是AD、BC的中點(diǎn)，∴=，=.∴+=+++++++=+++++++=（+）+（+++）=+.【例9】輪船從A港沿東偏北30°方向行駛了40km到達(dá)B處,再由B處沿正北方向行駛40km到達(dá)C處,求此時(shí)輪船與A港的相對(duì)位置。分析：解決本題畫圖非常關(guān)鍵，要求輪船與A港的相對(duì)位置，即求位置向量