數(shù)學(xué)-課堂探究：合情推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一等式與不等式中的歸納推理給出幾個(gè)等式(或不等式)歸納其一般性結(jié)論時(shí),要重點(diǎn)觀察分析所給等式（或不等式）中項(xiàng)數(shù)、次數(shù)以及字母的系數(shù)等方面的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)它們與自然數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而寫出一般性結(jié)論．【典型例題1】觀察下列各式：32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，122＋162＝202.由上述等式能得到怎樣的一般性結(jié)論?請寫出結(jié)論并證明．思路分析:觀察給出的4個(gè)等式中,等號左邊和右邊各項(xiàng)的特點(diǎn),數(shù)的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)，然后得出一般性結(jié)論．解：通過觀察上面給出的各個(gè)式子，可以發(fā)現(xiàn)這些等式中蘊(yùn)涵的基本規(guī)律，這個(gè)規(guī)律可以用一個(gè)等式來表示，即(3n)2＋（4n)2＝（5n)2（n∈N＋)．這一結(jié)論的證明如下：因?yàn)椋?n）2＋(4n）2＝n2(32＋42)＝n2·52＝(5n)2，所以（3n）2＋（4n）2＝（5n)2(n∈N＋)．【典型例題2】觀察下列不等式：eq\f（1,2）×1≥1×eq\f(1,2），eq\f(1，3）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)））≥eq\f（1,2)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）＋\f(1，4）))，eq\f（1，4)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，3）＋\f(1，5）)）≥eq\f(1，3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）＋\f（1,4）＋\f(1,6)）)，eq\f（1,5）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，3）＋\f（1，5）＋\f(1，7))）≥eq\f（1,4）×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）＋\f（1,4）＋\f(1,6)＋\f（1,8))),試寫出第n個(gè)不等式．思路分析：觀察各式不難發(fā)現(xiàn)，左側(cè)括號內(nèi)是連續(xù)奇數(shù)的倒數(shù)之和，右側(cè)括號內(nèi)是連續(xù)偶數(shù)的倒數(shù)之和，而另一個(gè)數(shù)與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，從而得出一般性結(jié)論．解：第1個(gè)不等式為eq\f（1,2)×1≥1×eq\f(1，2），即eq\f（1，1＋1）×1≥1×eq\f(1,2×1）;第2個(gè)不等式為eq\f（1，3)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，3）)）≥eq\f（1,2）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)）)，即eq\f（1，2＋1）×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，2×2－1)）)≥eq\f（1,2)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2×1）＋\f（1,2×2）)）;第3個(gè)不等式為eq\f（1,4）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，3）＋\f(1，5）))≥eq\f（1，3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)＋\f(1，4）＋\f(1，6）)），即eq\f（1，3＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，2×2－1）＋\f(1，2×3－1））)≥eq\f（1，3)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2×1）＋\f(1,2×2)＋\f（1，2×3））);…猜測第n個(gè)不等式為eq\f（1，n＋1）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3）＋\f(1，5）＋…＋\f（1,2n－1)）)≥eq\f(1，n）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)＋\f（1,4）＋\f（1,6)＋…＋\f(1,2n）））(n∈N＋）．探究二數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中,常用歸納推理猜測求解數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式，其具體步驟是:(1）通過條件求得數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前幾項(xiàng)的和；(2)觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)尋找規(guī)律，猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式并加以證明．【典型例題3】已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＋1＝eq\f(2an，an＋2)(n∈N＋）．試歸納猜想{an}的通項(xiàng)公式．思路分析：先根據(jù)a1的值和給出的遞推公式求出a2，a3，a4，…，然后根據(jù)各項(xiàng)的規(guī)律猜測an。解:因?yàn)閍1＝4，所以a2＝eq\f(2a1，a1＋2)＝eq\f(2×4,2＋4）＝eq\f（4,3)，a3＝eq\f(2a2，a2＋2)＝eq\f(2×\f（4,3），\f（4，3)＋2)＝eq\f（4，5），a4＝eq\f（2a3,a3＋2)＝eq\f(2×\f(4,5)，\f(4,5）＋2)＝eq\f（4,7)，由此可猜測an＝eq\f(4，2n－1）(n∈N＋）．探究三平面與空間中結(jié)論的類比平面與空間的類比是一種常見的類比，一般地,平面中的點(diǎn)、線與空間中的線、面是類比對象；平面中的三角形、正方形與空間中的四面體、正方體是類比對象；平面中的圓與空間中的球是類比對象、平面中的邊長與空間中的面積是類比對象、平面中的面積與空間中的體積是類比對象等．【典型例題4】我們知道，在平面中，如果一個(gè)平行四邊形的兩條對角線相等，那么這個(gè)平行四邊形是矩形．將這一結(jié)論推廣到空間，你能得到什么結(jié)論？你能否證明結(jié)論的正確性？思路分析:本題是由平面到空間的推廣，平行四邊形與平行六面體是類比對象，矩形則和直平行六面體是類比對象．解:平面中的平行四邊形可以與空間中的平行六面體相類比，因此可得到結(jié)論：如果一個(gè)平行六面體的體對角線相等，那么這個(gè)平行六面體是直平行六面體．證明如下：如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1若對角線A1C與AC1則四邊形ACC1A1因此A1A⊥AC同理，由BD1＝B1D可得四邊形BB1D1D是矩形，因此D1D⊥DB，即A1A⊥DB又因?yàn)锳C與BD相交，所以A1A⊥底面ABCD故平行六面體是直平行六面體．探究四等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比1．等差數(shù)列和等比數(shù)列是一對很好的類比對象,它們在很多方面可以進(jìn)行類比．等差數(shù)列中的加、減、倍數(shù)通常與等比數(shù)列中的乘、除、乘方相對應(yīng)．2．進(jìn)行類比推理時(shí)，注意比較兩個(gè)對象的相似之處和不同之處,找到可以類比的兩個(gè)量，然后加以推測，最好能加以證明，以保證類比的正確性．【典型例題5】若等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)的積為Tn,那么數(shù)列{eq\r(n，Tn)｝為等比數(shù)列，且公比為eq\r（q).類似地,在等差數(shù)列｛bn｝中，若其公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則相應(yīng)的結(jié)論是什么？加以證明．解：相應(yīng)的結(jié)論是：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n）)）為等差數(shù)列，公差為eq\f（d，2).證明如下：因?yàn)镾n＝na1＋eq\f(nn－1,2）d.所以eq\f（Sn,n)＝eq\f(na1＋\f(nn－1，2）d,n)＝a1＋eq\f(n－1，2）d＝eq\f（d，2)n＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（a1－\f(d,2)）)，于是eq\f(Sn＋1，n＋1）－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2）（n＋1)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))－eq\f(d,2）n－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（a1－\f（d，2）)）＝eq\f（d,2)。故eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(Sn，n))）為等差數(shù)列，且公差為eq\f(d,2）.探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：類比推理應(yīng)用錯(cuò)誤【典型例題6】請用類比推理完成下表：平面空間三角形的面積等于任意一邊的長度與這條邊上的高的乘積的eq\f（1,2)三棱錐的體積等于任一底面的面積與這個(gè)底面上的高的乘積的eq\f（1，3)三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長乘積的eq\f(1，2)錯(cuò)解一：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐各棱長之和的乘積的eq\f（1，3).