專題15三角形之“8”字模型-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案(原卷版+解析)

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題15三角形之“8”字模型解題策略解題策略模型1：角的8字模型如圖所示，AC、BD相交于點O，連接AD、BC．結(jié)論：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．模型2邊的“8”字模型如圖所示，AC、BD相交于點O，連接AD、BC．結(jié)論AC+BD>AD+BC．模型分析∵OA+OD>AD①，OB+OC>BC②，由①+②得：OA+OD+OB+OC>BC+AD即：AC+BD>AD+BC.經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】（2021?西湖區(qū)校級三模）如圖，D，E為△GCF中GF邊上兩點，過D作AB∥CF交CE的延長線于點A，AE＝CE．（1）求證：△ADE≌△CFE；（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求CF的長．【例2】（2021秋?阜陽月考）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點O，BD與AC交于點F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．（3）若G為CE上一點，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．【例3】（2020秋?青島期末）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點P，則∠A＝（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為．（用x、y表示∠P）拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．【例4】（2021春?邗江區(qū)月考）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上結(jié)論解決下列問題：（2）如圖2所示，∠1＝130°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．（3）如圖3，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，且與CD，AB分別相交于點M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)．②若角平分線中角的關(guān)系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，試直接寫出∠P與∠B，∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一．選擇題1．（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°2．（2022?包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個點均在格點上，AC與BD相交于點E，連接AB，CD，則△ABE與△CDE的周長比為（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：13．（2021秋?市中區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，點D、E分別在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點F，則△DEF面積的最大值是（）A．1 B．2 C． D．4．（2021春?自流井區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E在BC上，且BE：EC＝1：2，AE交BD于點F，若AC＝4，菱形ABCD的面積為12，則AF的長為（）A．1.4 B．1.5 C．2.4 D．2.55．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，AE交BD于點F，那么S△ABF：S四邊形CDFE的比值為．6．（2022?沈陽模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，點D是△ABC所在平面內(nèi)一點，且∠A＝2∠BDC，BD交AC所在的直線于點E，當(dāng)BE?DE＝20時，CE＝．7．（2021秋?泉州期末）如圖，在矩形ABCD中，點E在CD上，且DE＝2CE，BE⊥AC于F，連結(jié)DF，有下列四個結(jié)論：①△CEF∽△ACB；②AF＝2CF；③DF＝AF；④tan∠ACD＝．其中正確的結(jié)論有（填寫序號即可）．8．（2021?延邊州模擬）如圖，正方形ABCD中，點E是BC的中點，EF⊥AE交AD的延長線于點F，若AB＝4，則DF的長為．9．（2021秋?福州期末）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點E，若AE＝3，ED＝5，則的值為．10．（2019春?崇川區(qū)校級月考）如圖所示，AB、CD相交于點O，若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，∠A＝45°，∠BEC＝40°，則∠D的度數(shù)為．11．（2022春?新野縣期末）在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學(xué)老師安排了自主探究內(nèi)容一利用平行線有關(guān)知識探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個平角來解決，也就是可以過三角形的一個頂點作其對邊的平行線來證明．請將下面（1）中的證明補充完整：（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點A作EF∥BC．（2）如圖2，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．12．（2022春?靖江市校級月考）已知，如圖，線段AD、CB相交于點O，連結(jié)AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P．試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．13．（2022春?江陰市校級月考）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．請直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；②若∠D＝40°，∠B＝50°，試求∠P的度數(shù)；③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；④若∠D和∠B為任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請直接寫出結(jié)論；若不存在，請說明理由．14．（2021秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠CBA＝90°．以斜邊AC為腰作等腰△CAD，使AC＝AD，點E為CD邊中點，連接AE．（1）如圖1，當(dāng)A、B、D三點共線時，若AE與BC相交于點F，求證：BF＝BD．（2）如圖2，射線BM是∠ABC的外角∠CBG的角平分線，當(dāng)點D恰好落在射線BM上時，請求出∠CAE的度數(shù)．（3）如圖3，連接BD，以BD為斜邊作Rt△BQD，連接EQ，若AC＝8，請直接寫出線段EQ的最大值．15．（2021秋?大興區(qū)期末）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D是直線AC上一動點，連接BD并延長至點E，使ED＝BD．過點E作EF⊥AC于點F．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段AC上（點D不與點A和點C重合）時，此時DF與DC的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)點D在線段AC的延長線上時，依題意補全圖形，并證明：2AD＝AF+EF．（3）當(dāng)點D在線段CA的延長線上時，直接用等式表示線段AD，AF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是．16．（2021秋?營口期末）若△ABC，△ADE為等腰三角形，AC＝BC，AD＝DE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，連接BE，F(xiàn)為BE中點，連接CF，DF．（1）若∠ACB＝∠ADE＝90°，如圖1，試探究DF與CF的關(guān)系并證明；（2）若∠ACB＝60°，∠ADE＝120°，如圖2，請直接寫出CF與DF的關(guān)系．17．（2021秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．18．（2022春?茌平區(qū)期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連結(jié)BE，P，Q，M分別為DE，BC，BE的中點．（1）線段PM與QM有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．（2）如圖2，把圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至點D、E、C三點共線時，DE與AB交于點O，連結(jié)PQ，BD，CE，判斷△MPQ的形狀，并說明理由；（3）已知AB＝7，AD＝3，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，請直接寫出△MPQ面積的最大值．19．（2022春?石家莊期中）如圖1至圖2，在△ABC中，∠BAC＝α°，點D在邊AC所在直線上，作DE垂直于直線BC，垂足為點E；BM為△ABC的角平分線，∠ADE的平分線交直線BC于點G．特例感悟：（1）如圖1，延長AB交DG于點F，若BM∥DG，∠F＝30°．解決問題：①∠ABC＝°；②求證：AC⊥AB；深入探究；（2）如圖2，當(dāng)α＜90，DG與BM反向延長線交于點H，用含α的代數(shù)式表示∠BHD＝；拓展延伸：（3）當(dāng)點D在直線AC上移動時，若射線DG與射線BM相交，設(shè)交點為N，直接寫出∠BND與α的關(guān)系式．20．（2021?新泰市模擬）（1）（教材呈現(xiàn)）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB與AC的中點，結(jié)論：DE∥BC．DE＝BC．（2）（結(jié)論應(yīng)用）如圖1，四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分別是AB、DC、AC的中點，若∠ACB＝80°，∠DAC＝20°，求∠EFG的度數(shù)．（3）如圖2，在△ABC外分別作正方形ACEF和BCGH．D是AB的中點，M，N分別是正方形的中心，AC＝3，BC＝2，則△DMN的面積最大值為多少？【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題15三角形之“8”字模型解題策略解題策略模型1：角的8字模型如圖所示，AC、BD相交于點O，連接AD、BC．結(jié)論：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．模型2邊的“8”字模型如圖所示，AC、BD相交于點O，連接AD、BC．結(jié)論AC+BD>AD+BC．模型分析∵OA+OD>AD①，OB+OC>BC②，由①+②得：OA+OD+OB+OC>BC+AD即：AC+BD>AD+BC.經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】（2021?西湖區(qū)校級三模）如圖，D，E為△GCF中GF邊上兩點，過D作AB∥CF交CE的延長線于點A，AE＝CE．（1）求證：△ADE≌△CFE；（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求CF的長．【分析】（1）先由AB∥CF得到∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF，然后結(jié)合AE＝CE得到△ADE≌△CFE；（2）由AB∥CF得到△GBD∽△GCF，然后由相似三角形的性質(zhì)得到CF的長．【解答】（1）證明：∵AB∥CF，∴∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）解：∵AB∥CF，∴△GBD∽△GCF，∴，∵GB＝4，BC＝6，∴GC＝GB+BC＝10，∵BD＝2，∴，∴CF＝5．【例2】（2021秋?阜陽月考）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點O，BD與AC交于點F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．（3）若G為CE上一點，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．【分析】（1）根據(jù)AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，從而得出∠BAD＝∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE，進而可以解決問題；（2）結(jié)合（1）證明∠COF＝∠BAC＝48°，進而可以解決問題；（3）連接AO，證明△ADO≌△AEG，可得AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，然后證明∠COF＝∠OAG，根據(jù)AG∥BD，可得∠AOF＝∠OAG，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠AFB＝∠CFO，∴∠COF＝∠BAC＝48°，∴∠COD＝180°﹣∠COF＝180°﹣48°＝132°，答：∠COD的度數(shù)為132°．（3）證明：如圖，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠AEC，∵AD＝AE，GE＝OD，在△ADO和△AEG中，，∴△ADO≌△AEG（SAS），∴AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，∵AG＝OC，∴OA＝OC，∵∠OAG＝∠DAO+∠DAG，∴∠OAG＝∠EAG+∠DAG＝∠DAE＝∠BAC，由（2）知：∠COF＝∠BAC，∴∠COF＝∠OAG，∵AG∥BD，∴∠AOF＝∠OAG，∴∠COF＝∠AOF，∵OA＝OC，∴BD⊥AC．【例3】（2020秋?青島期末）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為25°；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠P＝．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點P，則∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為∠P＝．（用x、y表示∠P）拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【分析】探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計算可求解；探索三：運用探索一和探索二的結(jié)論即可求得答案；應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再運用角平分線定義及三角形外角性質(zhì)即可求得答案；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點A，設(shè)T是CB的延長線上一點，R是BC延長線上一點，利用應(yīng)用一的結(jié)論即可求得答案；拓展一：運用探索一的結(jié)論可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再結(jié)合已知條件即可求得答案；拓展二：運用探索一的結(jié)論及角平分線定義即可求得答案．【解答】解：探索一：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案為25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．故答案為：∠P＝．應(yīng)用一：如圖4，由題意知延長BM、CN，交于點A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，故答案為：α+β﹣180°，；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點A，設(shè)T是CB的延長線上一點，R是BC延長線上一點，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由應(yīng)用一得：∠P＝∠A＝，故答案為：；拓展一：如圖6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，∴∠P＝，故答案為：∠P＝；拓展二：如圖7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案為：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【例4】（2021春?邗江區(qū)月考）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上結(jié)論解決下列問題：（2）如圖2所示，∠1＝130°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為260°．（3）如圖3，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，且與CD，AB分別相交于點M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)．②若角平分線中角的關(guān)系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，試直接寫出∠P與∠B，∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（3）①根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入計算即可；②與①的證明方法一樣得到4∠P＝∠B+3∠C．【解答】解：（1）證明：在圖1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖2所示，∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D＝∠3，∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°，∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，∵∠B+∠C＝∠1＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案為：260°．（3）①以M為交點“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N為交點“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M為交點“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N為交點“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴4∠P＝∠B+3∠C．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一．選擇題1．（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．根據(jù)角平分線的定義，得到∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE，進而推斷出∠A+∠C＝2∠P，從而解決此題．【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故選：B．2．（2022?包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個點均在格點上，AC與BD相交于點E，連接AB，CD，則△ABE與△CDE的周長比為（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用網(wǎng)格圖，勾股定理求得AB，CD的長，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理得出∠BAF＝∠HCD，進而得到∠BAC＝∠DCA，則AB∥CD，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖所示，由網(wǎng)格圖可知：BF＝2，AF＝4，CH＝2，DH＝1，∴AB＝＝2，CD＝＝．∵FA∥CG，∴∠FAC＝∠ACG．在Rt△ABF中，tan∠BAF＝，在Rt△CDH中，tan∠HCD＝，∴tan∠BAF＝tan∠HCD，∴∠BAF＝∠HCD，∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠ACD＝∠DCH+∠GCA，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴△ABE與△CDE的周長比＝＝＝2：1．故選：D．3．（2021秋?市中區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，點D、E分別在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點F，則△DEF面積的最大值是（）A．1 B．2 C． D．【分析】先利用兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等得到A字型相似，從而得到相關(guān)線段比及AB∥DE，再利用8字型相似及等底等高的相等面積，分析可得到△DEF的面積與△ABD的面積的關(guān)系，從而利用△ABD的面積最大得到△DEF的面積最大值．【解答】解：∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，∠CED＝∠CAB，∴AB∥DE，∴，S△ABE＝S△ABD，∴，，∴，∴當(dāng)S△ABD最大時，S△DEF最大，當(dāng)AB⊥BD時，，∴．故選：D．4．（2021春?自流井區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E在BC上，且BE：EC＝1：2，AE交BD于點F，若AC＝4，菱形ABCD的面積為12，則AF的長為（）A．1.4 B．1.5 C．2.4 D．2.5【分析】利用菱形面積公式得到BD＝6，利用菱形兩條對角線對互相垂直且平分，推出△AFD∽△EFB，最后根據(jù)對應(yīng)邊成比例再結(jié)合勾股定理即可求出答案．【解答】解：S菱形ABCD＝×AC×BD＝×4×BD＝×BD＝12，∴BD＝6，∵菱形兩條對角線對互相垂直且平分，∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝3，∠AOF＝90°∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∠BFE＝∠AFD，∠FAD＝∠FEB，∴△AFD∽△EFB，∴，又∵，∴，∴BF＝?BD＝，OF＝3﹣＝，在Rt△AOF中，AF＝＝2.5．故答案為：D．5．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，AE交BD于點F，那么S△ABF：S四邊形CDFE的比值為2：5．【分析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)證明△ADF∽△EBF，然后利用相似三角形的的性質(zhì)得到AD：BE＝DF：BF＝AF：EF，接著利用E是BC的中點依次求出S△BEF，S△ABF，S△AFD，S△ABD，S△BCD，S四邊形CDFE，最后求出題目的結(jié)果．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴S△ABD＝S△BCD，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴AD：BE＝DF：BF＝AF：EF，∵E是BC的中點，∴AD：BE＝DF：BF＝AF：EF＝2：1，設(shè)S△BEF＝a（a＞0），則S△ABF＝2a，S△AFD＝4a，S△ABD＝6a，又∵S△ABD＝S△BCD，∴S△BCD＝6a，∴S四邊形CDFE＝6a﹣a＝5a，∴S△ABF：S四邊形CDFE＝2：5．故答案為：2：5．6．（2022?沈陽模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，點D是△ABC所在平面內(nèi)一點，且∠A＝2∠BDC，BD交AC所在的直線于點E，當(dāng)BE?DE＝20時，CE＝2或10．【分析】由題意知，點D在以A為圓心，以AB長為半徑的圓上，設(shè)CA的延長線交⊙A于點G，連接BG．可得∠BGC＝∠BDC，可證得△GEB∽△DEC，則，即BE?DE＝GE?CE＝20，可得（12﹣CE）?CE＝20，解方程即可．【解答】解：由題意知，點D在以A為圓心，以AB長為半徑的圓上，設(shè)CA的延長線交⊙A于點G，連接BG．∴∠BGC＝∠BDC，∵∠BEG＝∠CED，∴△GEB∽△DEC，∴，即BE?DE＝GE?CE＝20，∵AB＝AC＝6，∴GC＝12，∴（12﹣CE）?CE＝20，解得CE＝2或10．故答案為：2或10．7．（2021秋?泉州期末）如圖，在矩形ABCD中，點E在CD上，且DE＝2CE，BE⊥AC于F，連結(jié)DF，有下列四個結(jié)論：①△CEF∽△ACB；②AF＝2CF；③DF＝AF；④tan∠ACD＝．其中正確的結(jié)論有①④（填寫序號即可）．【分析】①利用矩形的性質(zhì)可得AB∥CD，∠ABC＝90°，從而可得∠ECA＝∠CAB，然后利用兩角相等的兩個三角形相似證明即可解答；②根據(jù)已知可得＝，利用8字型相似證明△CEF∽△ABF即可解答；③要判斷DF＝AF，只要判斷出∠DAF＝∠ADF，進而只要判斷出∠CDF＝∠CAB即可解答；④先設(shè)CE＝a，DE＝2a，設(shè)AD＝b，然后證明△ADC∽△ECB，利用相似三角形的性質(zhì)找到a，b的關(guān)系，最后求出tan∠ACD的值即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠ABC＝90°，∴∠ECA＝∠CAB，∵BE⊥AC，∴∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠ABC＝90°，∴△CEF∽△ACB，故①正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB，∵DE＝2CE，∴＝，∴＝，∵∠ECA＝∠CAB，∠CFE＝∠AFB，∴△CEF∽△ABF，∴＝＝，∴AF＝3CF，故②錯誤；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DAB＝90°，∴∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠CAB＝90°，∵FD≠CF，∴∠CDF≠∠DCF，∵∠ECA＝∠CAB，∴∠CDF≠∠CAB，∴∠ADF≠∠DAF，∴DF≠AF，故③錯誤；∵DE＝2CE，∴設(shè)CE＝a，DE＝2a，∴CD＝DE+CE＝3a，設(shè)AD＝b，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝BC＝b，∴∠DCA+∠ACB＝90°，∵∠BFC＝90°，∴∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠DCA，∴△ADC∽△ECB，∴＝，∴＝，∴b2＝3a2，∴b＝a，∴tan∠ACD＝＝＝＝，故④正確；所以，正確的結(jié)論有：①④，故答案為：①④．8．（2021?延邊州模擬）如圖，正方形ABCD中，點E是BC的中點，EF⊥AE交AD的延長線于點F，若AB＝4，則DF的長為6．【分析】設(shè)DC與EF相交于點G，先利用一線三等角相似模型證明△ABE∽△ECG，求出CG，從而求出DG，然后利用8字模型相似三角形證明△FDG∽△ECG，再利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．【解答】解：設(shè)DC與EF相交于點G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝4，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECG，∴＝，∵點E是BC的中點，∴BE＝EC＝BC＝2，∴＝，∴CG＝1，∴DG＝CD﹣CG＝4﹣1＝3，∵AD∥BC，∴∠F＝∠FEC，∠FDC＝∠DCE，∴△FDG∽△ECG，∴＝，∴＝，∴DF＝6，故答案為：6．9．（2021秋?福州期末）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點E，若AE＝3，ED＝5，則的值為．【分析】利用平行線的性質(zhì)判定△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AE＝3，ED＝5，∴＝．故答案為：．10．（2019春?崇川區(qū)校級月考）如圖所示，AB、CD相交于點O，若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，∠A＝45°，∠BEC＝40°，則∠D的度數(shù)為35°．【分析】先根據(jù)角平分線定義得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等得到∠1+∠D＝∠4+∠E①，∠1+∠2+∠D＝∠3+∠4+∠A，即2∠1+∠D＝2∠4+∠A②，接著利用①×2﹣②得2∠E＝（∠D+∠A），由此即可解決問題．【解答】解：如圖，∵BE平分∠DBA交DC于F，CE平分∠DCA交AB于G，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠D＝∠4+∠E①，∠1+∠2+∠D＝∠3+∠4+∠A，即2∠1+∠D＝2∠4+∠A②，由①×2﹣②得∠D＝2∠E﹣∠A，∵∠A＝45°，∠BEC＝40°，∴∠D＝35°，故答案為35°．11．（2022春?新野縣期末）在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學(xué)老師安排了自主探究內(nèi)容一利用平行線有關(guān)知識探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個平角來解決，也就是可以過三角形的一個頂點作其對邊的平行線來證明．請將下面（1）中的證明補充完整：（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點A作EF∥BC．（2）如圖2，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）通過作平行線把三角形的內(nèi)角轉(zhuǎn)移到同一個頂點，然后利用平角的定義解決問題；（2）利用（1）的結(jié)論即可求解；（3）利用（2）的結(jié)論即可求解．【解答】（1）證明：過A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根據(jù)（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根據(jù)（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．12．（2022春?靖江市校級月考）已知，如圖，線段AD、CB相交于點O，連結(jié)AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P．試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．【分析】根據(jù)“8字形”可得∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分線的定義可得∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，整理可得結(jié)論．【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如圖，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D．13．（2022春?江陰市校級月考）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．請直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：6個；②若∠D＝40°，∠B＝50°，試求∠P的度數(shù)；③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；④若∠D和∠B為任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請直接寫出結(jié)論；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理及對頂角相等即可得出結(jié)論；（2）①分別找以交點M、O、N為頂點的能構(gòu)成“8字形”的三角形；②利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系結(jié)合角平分線即可得出∠P的度數(shù)；③和②同理；④利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系結(jié)合“∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，∠B+∠C＝180°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；故答案為∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①以M為交點的有1個，為△AMD和△CMP，以O(shè)為交點的有4個，為△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，△AOM和△CON，以N為交點的有1個，為△ANP和△BNC，故答案為6個；②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的結(jié)論得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P，∴∠P＝＝45°；③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下：∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的結(jié)論得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P；④2∠B+∠D＝3∠P，理由如下：由（1）中結(jié)論得：∠2+∠P＝∠4+∠B，3∠2+∠D＝3∠4+∠B，整理得：2∠B+∠D＝3∠P．14．（2021秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠CBA＝90°．以斜邊AC為腰作等腰△CAD，使AC＝AD，點E為CD邊中點，連接AE．（1）如圖1，當(dāng)A、B、D三點共線時，若AE與BC相交于點F，求證：BF＝BD．（2）如圖2，射線BM是∠ABC的外角∠CBG的角平分線，當(dāng)點D恰好落在射線BM上時，請求出∠CAE的度數(shù)．（3）如圖3，連接BD，以BD為斜邊作Rt△BQD，連接EQ，若AC＝8，請直接寫出線段EQ的最大值．【分析】（1）證明△ABF≌△CBD（AAS），即可證明BF＝BD；（2）過點D作DP⊥AC于P，過點B作BQ⊥AC于Q，則BQ//DP，BM//AC，證明四邊形PQBD是矩形，可得∠CAD＝30°，所以∠CAE＝∠CAD＝15°；（3）點Q在以BD為直徑的⊙O上，連接EO并延長交⊙O于S，則ES即為EQ的最大值，可證得EO//BC，所以ES＝EO+OS＝4+BD，當(dāng)BD最大時，ES最大：當(dāng)點D在BA的延長線上時，BD最大，BD的最大值為BD＝AB+AD＝AB+AC＝8+8，可得ES＝EO+OS＝8+4．【解答】（1）證明：當(dāng)A、B、D三點共線時，∵AC＝AD，點E為CD邊中點，∴AE⊥CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∠CBA＝90°，∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBD＝90°，又∵∠DAE+∠D＝90°，∠DAE+∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠D，在△ABF和△CBD中，，∴△ABF≌△CBD（AAS），∴BF＝BD；（2）解：如圖2，過點D作DP⊥AC于P，過點B作BQ⊥AC于Q，則BQ//DP，∵△ABC是等腰直角三角形，∠CBA＝90°，∴AB＝CB，∠BAC＝45°，∠CBG＝90°，∵BQ⊥AC，∴BQ＝AC，∵BM平分∠CBG，∴∠MBG＝∠CBG＝×90°＝45°，∴∠MBG＝∠BAC＝45°，∴BM∥AC，又∵BQ∥DP，∠PQB＝90°，∴四邊形PQBD是矩形，∴DP＝BQ，∴DP＝AC，又∵AC＝AD，∴DP＝AD，∴∠CAD＝30°，又∵AC＝AD，E為CD的中點，∴∠CAE＝∠CAD＝30°＝15°；（3）解：如圖3，∠BQD＝90°，∴點Q在以BD為直徑的⊙O上，連接EO并延長交⊙O于S，則ES即為EQ的最大值，∵△ABC是等腰直角三角形，∠CBA＝90°，AC＝8，∴AB＝CB＝AC＝×8＝8，∵E為CD的中點，O為BD的中點，∴EO∥BC，∴EO＝BC＝8＝4，OS＝BD，∴ES＝EO+OS＝4+BD，∴當(dāng)BD最大時，ES最大：∵AC＝AD，∴當(dāng)點D在BA的延長線上時，BD最大，如圖4，∴BD的最大值為BD＝AB+AD＝AB+AC＝8+8，∴ES＝EO+OS＝4×（8+8）＝8+4，綜上所述，EQ的最大值為8+4．15．（2021秋?大興區(qū)期末）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D是直線AC上一動點，連接BD并延長至點E，使ED＝BD．過點E作EF⊥AC于點F．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段AC上（點D不與點A和點C重合）時，此時DF與DC的數(shù)量關(guān)系是DF＝DC．（2）如圖2，當(dāng)點D在線段AC的延長線上時，依題意補全圖形，并證明：2AD＝AF+EF．（3）當(dāng)點D在線段CA的延長線上時，直接用等式表示線段AD，AF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是AF＝2AD+EF．【分析】（1）由∠ACB＝90°、EF⊥AC得到∠EFD＝∠BCD，結(jié)合BD＝ED、∠EDF＝∠BDC得證△EDF≌△BDC，然后得到DF＝DC；（2）同（1）理得證△BDC≌△EDF，然后得到CD＝FD、BC＝EF，然后由AC＝BC得到2AD＝AF+EF；（3）同（1）理得證△DFE≌△DCB，然后得到EF＝BC、DF＝DC，再結(jié)合AC＝BC得到AF、AD、EF的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵EF⊥AC，∴∠EFD＝∠BCD＝90°，∵∠EDF＝∠BDC，ED＝BD，∴△EDF≌△BDC（AAS），∴DF＝DC．（2）圖形補充如圖（1），證明如下，同（1）理得，△BDC≌△EDF，∴BC＝EF，DC＝DF，∵AD＝AC+CD，AC＝BC，∴2AD＝AD+AC+CD＝AD+EF+DF＝AF+EF．（3）根據(jù)題意作出圖形如圖（2），由（1）得，△BDC≌△EDF，∴DF＝DC，EF＝BC，∵DC＝AD+CD，∴DF＝AD+AC＝AD+EF，∴AF＝DF+AD＝2AD+EF，故答案為：AF＝2AD+EF．16．（2021秋?營口期末）若△ABC，△ADE為等腰三角形，AC＝BC，AD＝DE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，連接BE，F(xiàn)為BE中點，連接CF，DF．（1）若∠ACB＝∠ADE＝90°，如圖1，試探究DF與CF的關(guān)系并證明；（2）若∠ACB＝60°，∠ADE＝120°，如圖2，請直接寫出CF與DF的關(guān)系．【分析】（1）延長CF至點M，使CF＝FM，連接ME，MD，CD，延長DE交CB延長線于點N，先證明△BFC≌△EFM（SAS），再證△MED≌△CAD（SAS），得到△DCM為等腰直角三角形，即可求解；（2）延長CF至點M，使CF＝FM，連接ME，MD，CD，延長ED交BC延長線于點N，先證明△BFC≌△EFM（SAS），再證△MED≌△CAD（SAS），得到△DCM為等腰三角形，即可求解．【解答】解：（1）DF＝CF且DF⊥CF；延長CF至點M，使CF＝FM，連接ME，MD，CD，延長DE交CB延長線于點N，∵BF＝EF，CF＝FM，∠BFC＝∠EFM，∴△BFC≌△EFM（SAS），∴EM＝BC＝AC，∠FME＝∠FCB，∴BC∥EM，∴∠N＝∠MEN，在四邊形ACND中，∠ACB＝∠ADE＝90°，∴∠N+∠CAD＝360°﹣（∠ACB+∠ADE）＝180°，又∵∠MEN+∠MED＝180°，∴∠MED＝∠CAD，又AD＝DE，EM＝AC，∴△MED≌△CAD（SAS），∴DM＝DC，∠MDE＝∠CDA，∴∠MDC＝∠NDC+∠MDE＝∠NDC+∠CDA＝∠ADE＝90°，∴△DCM為等腰直角三角形，∵點F是CM中點，∴DF＝CM＝CF，DF⊥CF；（2）DF⊥CF且；延長CF至點M，使CF＝FM，連接ME，MD，CD，延長ED交BC延長線于點N，∵BF＝EF，CF＝FM，∠BFC＝∠EFM，∴△BFC≌△EFM（SAS），∴EM＝BC＝AC，∠FME＝∠FCB，∴BC∥EM，∴∠N＝∠NER，∵∠ACB＝60°，∴∠ACN＝120°，∵∠ADE＝120°，∴∠ADN＝60°，∴∠N+∠CAD＝360°﹣（∠ACN+∠ADN）＝180°，∵∠DER+∠DEM＝180°，∴∠DEM＝∠CAD，又AD＝DE，EM＝AC，∴△MED≌△CAD（SAS），∴DM＝DC，∠MDE＝∠CDA，∴△DCM為等腰三角形，∴∠CDM＝∠ADE＝120°，∴DF⊥CF且．17．（2021秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：6個；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進而求出∠P的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．18．（2022春?茌平區(qū)期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連結(jié)BE，P，Q，M分別為DE，BC，BE的中點．（1）線段PM與QM有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．（2）如圖2，把圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至點D、E、C三點共線時，DE與AB交于點O，連結(jié)PQ，BD，CE，判斷△MPQ的形狀，并說明理由；（3）已知AB＝7，AD＝3，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，請直接寫出△MPQ面積的最大值．【分析】（1）先判斷出MP＝，MP∥AB；MQ＝，MQ∥AC，進一步得出結(jié)果；（2）延長CE交BD于N交AB于O，證明△ACE≌△ABD，從而得出BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，進而得出∠BNC＝90°，結(jié)合MP＝，MP∥BD，MQ＝，MQ∥CE，進一步得出結(jié)論；（3）△PMQ是等腰直角三角形，當(dāng)BD最大時，△PMQ的面積最大，確定當(dāng)B、A、D共線時，BD最大，進一步求得結(jié)果．【解答】解：（1）PM＝QM，PM⊥QM；理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即：BD＝CE，∵點P是DE的中點，點M是BE的中點，∴PM＝，PM∥AB，∴∠PME＝∠ABE，同理可得：MQ＝，∠MQE＝180°﹣∠CBE，∴PM＝MQ，∠PMQ＝∠PME+∠QME＝∠ABE+180°﹣∠BEC，∵∠CEB＝∠ABE+∠BAC＝∠ABE+90°，∴∠PMQ＝∠ABE+180°﹣（∠ABE+90°）＝90°，（2）△MPQ是等腰直角三角形，理由如下：如圖1，延長CE交BD于N交AB于O，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，、∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即：∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AOC＝∠BON，∴∠BNC＝∠BAC＝90°，∴∠NBC+∠BCN