專題12.1全等三角形的證明及計算大題（專項拔高卷）教師版

20232024學年人教版數(shù)學八年級上冊同步專題熱點難點專項練習專題12.1全等三角形的證明及計算大題（專項拔高30題）試題說明：精選最新20222023年名校真題30題，主要考察全等三角形的證明方法，強化學生解題模型的掌握以及計算能力！難度由易到難，循序漸進，逐步探索，精準拿分！1．（2022秋?寶安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，過點B作BD⊥CA交CA的延長線于點D，過點C作CE⊥BA交BA的延長線于點E，延長BD，CE相交于點F，BF＝AC＝．（1）求證：△BEF≌△CEA；（2）若CE＝2，求BD的長．（1）證明：∵CE⊥BA，∴∠BEF＝90°＝∠AEC，∵BD⊥CA，∴∠ADB＝90°＝∠AEC，∵∠DAB＝∠EAC，∴∠ABD＝∠ACE，即∠EBF＝∠ACE，在△BEF和△CEA中，，∴△BEF≌△CEA（AAS）；（2）解：由（1）知△BEF≌△CEA，∴BE＝CE＝2，∴BC＝＝＝2，EF＝＝＝1，∴CF＝CE+EF＝2+1＝3；∵BC2﹣BD2＝CD2＝CF2﹣DF2，∴BC2﹣BD2＝CF2﹣（BF﹣BD）2，∴（2）2﹣BD2＝32﹣（﹣BD）2，解得BD＝；∴BD的長為．2．（2023春?漳州期末）某同學制作了一個簡易的T形分角儀來二等分任意一個角．如圖，該T形分角儀是由相互垂直的兩根細棍EF，GD組成，D是EF的中點．尋找角的平分線時，需要調整位置，使得所分角的頂點O在GD上，同時保證T形分角儀的E，F(xiàn)兩點正好落在所分角的兩條邊OA，OB上，此時OD就會平分∠AOB．為說明制作原理，請結合如圖圖形，用數(shù)學符號語言補全“已知”、“求證”，并寫出證明過程．已知：如圖，點E，F(xiàn)分別在∠AOB的邊上，DG經過點O，點D是EF的中點，DG⊥EF．求證：OD平分∠AOB．已知：如圖，點E，F(xiàn)分別在∠AOB的邊上，DG經過點O，點D是EF的中點，DG⊥EF．求證：OD平分∠AOB．證明：∵點D是EF的中點，∴DE＝DF，∵DG⊥EF，∴∠ODE＝∠ODF＝90°，在△ODE和△ODF中，，∴△ODE≌△ODF（SAS），∴∠EOD＝∠FOD，即OD平分∠AOB．故答案為：點D是EF的中點；DG⊥EF；OD平分∠AOB；3．（2022秋?龍巖期末）閱讀下題及證明過程．已知：如圖，AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，求證：∠BAP＝∠CAP．證明：∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，PA＝PA，∴△PAB≌△PAC第一步，∴∠BAP＝∠CAP第二步．上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理的依據；若不正確，請指出錯在哪一步，并寫出你認為正確的證明過程．解：上面的過程不正確．錯在第一步．證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABP＝∠ACP，∴∠ABC+∠ABP＝∠ACB+∠ACP，即∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC．在△PAB和△PAC中，，∴△PAB≌△PAC（SAS），∴∠BAP＝∠CAP．4．（2022秋?葫蘆島期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點，E為CD的中點．（1）如圖1，連接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的長．（2）如圖2，F(xiàn)為AC上一點，連接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求證：BD+CF＝AB．（1）解：∵AD＝2BD，S△BDC＝6，∴S△ACD＝2S△BCD＝2×6＝12，∵E為CD中點，∴S△ACE＝S△ACD＝6，∵EH⊥AC，∴AC?EH＝6，∵EH＝2∴AC＝6∵AB＝AC∴AB＝6（2）證明：如圖2，延長BE至G，使EG＝BE，連接CG，在△BED和△GEC中，，∴△BED≌△GEC（SAS），∴BD＝CG，∠ABE＝∠G，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，即：∠ABF+∠CBF＝∠ACB，∵∠BAC＝∠CBF，∴∠ABF+∠BAC＝∠ACB，∵∠BFC＝∠ABF+∠BAC，∴∠BFC＝∠ACB，∴BF＝BC，∵∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，∴∠BAC＝∠G，∠ABF+∠EBF＝∠CBG+∠EBF，∴∠ABF＝∠GBC，在△ABF和△GBC中，，∴△ABF≌△GBC（AAS），∴AF＝CG，又∵BD＝CG，∴AF＝BD，∵AF+CF＝AC，AB＝AC，∴BD+CF＝AB．5．（2022秋?千山區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，AE⊥AB交BD延長線于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為F．（1）求證：AE＝AD；（2）寫出與線段CD相等的線段，并證明．（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥AB，EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EAB＝∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°＝∠ABE+∠AEB，∴∠AEB＝∠CDB，∴∠AEB＝∠CDB＝∠ADE，∴AE＝AD；（2）解：CD＝AF，理由如下：如圖，過點D作DG⊥AB于點G，∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝DG，∵∠EAF+∠DAG＝90°＝∠AEF+∠EAF，∴∠AEF＝∠DAG，在△AEF和△DAG中，，∴△AEF≌△DAG（AAS），∴DG＝AF，∴DG＝AF＝CD．6．（2023春?大埔縣期末）如圖，在△ABC中，GD＝DC，過點G作FG∥BC交BD的延長線于點F，交AB于點E．（1）△DFG與△DBC全等嗎？說明理由；（2）當∠C＝90°，DE⊥BD，CD＝2時，求點D到AB邊的距離．解：（1）△DFG≌△DBC，理由如下：∵FG∥BC，∴∠F＝∠FBC，在△DFG和△DBC中，，∴△DFG≌△DBC（AAS）．（2）如圖，過點D作DM⊥AB于點M，連結DE，由（1）得△DFG≌△DBC，∴DF＝DB，∵DE⊥BD，∴∠EDF＝∠EDB＝90°，在△DEF和△DEB中，，∴△DEF≌△DEB（SAS），∴∠F＝∠EBD，∵FG∥BC，∴∠F＝∠FBC，∴∠EBD＝∠FBC，∴BD平分∠ABC，∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，∵DM⊥AB，CD＝2，∴DM＝CD＝2，即點D到AB邊的距離為2．7．（2023春?貴州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝40°．點D在邊BC上運動（D不與B、C重合），連結AD作∠ADE＝40°，DE交邊AC于點E．（1）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由．（2）在點D的運動過程中，當△ADE是等腰三角形時，求∠BAD的度數(shù)．解：（1）DC＝AB＝6時，△ABD≌△DCE．理由：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠C＝∠B＝40°．∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE．∴當DC＝AB＝6時，△ABD≌△DCE；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．①∵點D不與B重合，∴AD≠AE；②當DA＝DE時，．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝100°﹣70°＝30°；③當EA＝ED時，∠DAE＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝100°﹣40°＝60°．綜上，∠BAD的度數(shù)為30°或60°．8．（2023春?渭南期末）如圖，點E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，試說明：點O是AC的中點．請你在橫線上補充其推理過程或理由．解：因為BF＝DE所以BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，因為AB＝CD，AE＝CF，所以△ABE≌△CDF（理由：SSS）．所以∠B＝∠D（理由：全等三角形對應角相等）．因為∠AOB＝∠COD（理由：對頂角相等），所以△ABO≌△CDO（理由：AAS）．所以AO＝CO（理由：全等三角形對應邊相等）．所以點O是AC的中點．解：因為BF＝DE，所以BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，因為AB＝CD，AE＝CF，所以△ABE≌△CDF（理由：SSS）．所以∠B＝∠D（理由：全等三角形對應角相等）．因為∠AOB＝∠COD（理由：對頂角相等），所以△ABO≌△CDO（理由：AAS）．所以AO＝CO（理由：全等三角形對應邊相等）．所以點O是AC的中點．故答案為：BE＝DF，△ABE≌△CDF，全等三角形對應角相等，對頂角相等，AAS，AO＝CO．9．（2023春?埇橋區(qū)期末）把兩個同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖1所示方式疊合放置，得到如圖2的Rt△ABC和Rt△ABD，設M是AD與BC的交點，則這時MC的長度就等于點M到AB的距離，你知道這是為什么嗎？請說明理由．解：過M點作MH⊥AB于H，如圖，∵∠BAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∴AM平分∠BAC，∵MC⊥AC，MH⊥AB，∴MH＝MC，即MC的長度就等于點M到AB的距離．10．（2023春?巴州區(qū)期中）如圖，點O是直線EF上一點，射線OA，OB，OC在直線EF的上方，射線OD在直線EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）若∠DOF＝40°，求∠AOB的度數(shù)；（2）若OA平分∠BOE，求∠DOF的度數(shù)．解：（1）∵OF平分∠COD，∠DOF＝40°，∴∠COD＝2∠DOF＝80°，又∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠COD＝80°；（2）設∠DOF＝x，則∠DOF＝∠COF＝x，∴∠DOC＝2∠DOF＝2x，∴∠AOB＝∠COD＝2x，∵OA平分∠BOE，∴∠AOE＝∠AOB＝2x，∵∠AOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣2x，∵∠AOE+∠AOB+∠BOC+∠COF＝180°，∴2x+2x+90°﹣2x+x＝180°，∴x＝30°，∴∠DOF＝30°．11．（2023?芙蓉區(qū)校級三模）如圖，點B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測量），點A、D在l異側，測得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的長度．（1）證明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．12．（2023春?梅江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，點D從B出發(fā)以每秒2個單位的速度在線段BC上從點B向點C運動，點E同時從C出發(fā)以每秒2個單位的速度在線段CA上向點A運動，連接AD、DE，設D、E兩點運動時間為t秒（0＜t＜4）（1）運動3秒時，AE＝DC；（2）運動多少秒時，△ABD≌△DCE能成立，并說明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，則∠ADE＝90°﹣α（用含α的式子表示）．解：（1）由題可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴當AE＝DC，時，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案為：3；（2）當△ABD≌△DCE成立時，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴運動2秒時，△ABD≌△DCE能成立；（3）當△ABD≌△DCE時，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案為：90°﹣α．13．（2022秋?青神縣期末）如圖，△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，點E在AB上，點F在射線AC上，連結AD，若AD＝AB．求證：（1）∠AED＝∠AFD．（2）AF＝AE+BC．證明：（1）∵∠BAC＝∠EDF，∠ANE＝∠DNF，∠BAC+∠ANE+∠AED＝∠DNF+∠EDF+∠AFD＝180°，∴∠AED＝∠AFD；（2）如圖，在FA上截取FM＝AE，連接DM，在△AED與△MFD中，，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，∴∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC與△DAM中，，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF，∴AF＝AE+BC．14．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于E．AD與BE交于F，若BF＝AC，求證：△ADC≌△BDF．證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC+∠AEF+∠AFE＝180°，∠BDF+∠BFD+∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS）．15．（2023春?六盤水期中）為了解學生對所學知識的應用能力，某校老師在八年級數(shù)學興趣小組活動中，設置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖1，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可；乙：如圖2，先確定直線AB，過點B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．甲、乙兩個同學的方案是否可行？請說明理由．解：甲、乙兩同學的方案都可行，甲同學方案：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同學方案：∵AD＝CD，DB⊥AC于點B，∴AB＝BC，∴測量出線段BC的長度就是池塘兩端A，B之間的距離，∴甲、乙兩同學的方案都可行．16．（2022秋?通川區(qū)期末）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°．點M在邊AC上，點N在邊BC上（點M、點N不與所在線段端點重合），BN＝AM，連接AN，BM，射線AG∥BC，延長BM交射線AG于點D，點E在直線AN上，且AE＝DE．（1）如圖，當∠ACB＝90°時；①求證：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度數(shù)；（2）當∠ACB＝α，其它條件不變時，∠BDE的度數(shù)是180°﹣α或α．（用含α的代數(shù)式表示）（1）①證明：∵CA＝CB，BN＝AM，∴CM＝CN，在△BCM和△ACN中，，∴△BCM≌△ACN（SAS）；②解：∵△BCM≌△ACN，∴∠CBM＝∠CAN，∵AG∥BC，∴∠CBM＝∠ADM，∴∠ADM＝∠CAN，∵AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAG＝90°，∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD＝90°；（2）解：當點E在直線AG上方時，由②同理可得∠BDE＝∠CAN+∠EAD，∵∠ACB＝α，∴∠CAG＝α，∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD＝180°﹣α，當點E在直線AG下方時，同理可得∠DBC＝∠CAN＝∠ADB，∠ACB＝∠DAC＝α，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠BDE＝∠DAC＝α，故答案為：180°﹣α或α．17．（2023春?余江區(qū)期末）如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點重合在點C處，AC＝BC，DC＝EC，連接AE、BD，點A恰好在線段BD上．（1）找出圖中的全等三角形，并說明理由；（2）當AD＝AB＝4cm，則AE的長度為8cm．（3）猜想AE與BD的位置關系，并說明理由．解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD與△CAE中，，∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案為：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE與CD相交于點O，在△AOD與△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．18．（2023?黃石模擬）如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE交于點F，且AD＝CD．（1）求證：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．（1）證明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，∴∠BAD＝∠FCD，在△ABD和CFD中，，∴△ABD≌△CFD（ASA），（2）解：∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．19．（2022秋?萊州市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上一點，點E在AD的右側，線段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC＝α．（1）如圖1，若α＝60°，連接CE，DE．則∠ADE的度數(shù)為60°；BD與CE的數(shù)量關系是BD＝CE．（2）如圖2，若α＝90°，連接EC、BE．試判斷△BCE的形狀，并說明理由．解：（1）當∠DAE＝∠BAC＝α＝60°時，∵AE＝AD，∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，故答案為：60°，BD＝CE；（2）△BCE是直角三角形，理由如下：當∠DAE＝∠BAC＝α＝90°時，∴△ABC，△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴△BCE是直角三角形．20．（2023春?扶風縣期末）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．請直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系：EF＝BE+FD；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線上的點，且∠EAF＝∠BAD．請直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系：EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．解：（1）如圖1，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，易證△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的結論EF＝BE+FD仍然成立．理由是：如圖2，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（3）當（1）結論EF＝BE+FD成立，當圖三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．同理可得：∴EG＝EF∵EG＝BG﹣BE∴EF＝FD﹣BE．故答案為：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．21．（2023春?渭濱區(qū)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設運動時間為ts．（1）如圖（1），當t＝或時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，求點Q的運動速度．解：（1）①當點P在BC上時，如圖①﹣1，若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則CP＝BC＝cm，此時，點P移動的距離為AC+CP＝12+＝，移動的時間為：÷3＝秒，②當點P在BA上時，如圖①﹣2若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則PD＝AB，即點P為BA中點，此時，點P移動的距離為AC+CB+BP＝12+9+＝cm，移動的時間為：÷3＝秒，故答案為：或；（2）△APQ≌△DEF，即，對應頂點為A與D，P與E，Q與F；①當點P在AC上，如圖②﹣1所示：此時，AP＝4，AQ＝5，∴點Q移動的速度為5÷（4÷3）＝cm/s，②當點P在AB上，如圖②﹣2所示：此時，AP＝4，AQ＝5，即，點P移動的距離為9+12+15﹣4＝32cm，點Q移動的距離為9+12+15﹣5＝31cm，∴點Q移動的速度為31÷（32÷3）＝cm/s，綜上所述，兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，點Q的運動速度為cm/s或cm/s．22．（2023?武陵區(qū)一模）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM＝∠ABC，點D是直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F．（1）如圖1所示，當點D與點B重合時，延長BA，CM交點N，證明：DF＝2EC；（2）當點D在直線BC上運動時，DF和EC是否始終保持上述數(shù)量關系呢？請你在圖2中畫出點D運動到CB延長線上某一點時的圖形，并證明此時DF與EC的數(shù)量關系．解：（1）如圖（1），延長BA，CM交點N，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠ACM＝∠ABC＝22.5°，∴∠BCM＝67.5°，∴∠BNC＝67.5°＝∠BCM，∴BC＝BN，∵BE⊥CE，∴∠ABE＝22.5°，CN＝2CE，∴∠ABE＝∠ACM＝22.5°，在△BAF和△CAN中，，∴△BAF≌△CAN（ASA），∴BF＝CN，∴BF＝2CE；（2）保持上述關系；DF＝2CE；證明如下：作∠PDE＝22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，如圖（2）所示：∵DE⊥PC，∠ECD＝67.5，∴∠EDC＝22.5°，∴∠PDE＝∠EDC，∠NDC＝45°，∴∠DPC＝67.5°，∴PD＝CD，∴PE＝EC，∴PC＝2CE，∵∠NDC＝45°，∠NCD＝45°，∴∠NCD＝∠NDC，∠DNC＝90°，∴ND＝NC且∠DNC＝∠PNC，在△DNF和△PNC中，，∴△DNF≌△PNC（ASA），∴DF＝PC，∴DF＝2CE．23．（2022秋?西寧期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F．（1）求證：CF＝AD；（2）連接BE，若BE⊥AF，AD＝2，AB＝6，求BC的長．證明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠CFE，∠D＝∠ECF，∵E為CD的中點，∴DE＝CE，在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF＝AD；（2）∵△ADE≌△FCE，∴CF＝AD＝2，AE＝EF，∵BE⊥AF，∴BF＝AB＝6，∴BC＝BF﹣CF＝6﹣2＝4．24．（2023春?貴港期末）如圖（1），在平面直角坐標系中，AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，點C（0，4），A（4，4），過C點作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點（1）若OF+BE＝AB，求證：CF＝CE．（2）如圖（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．解：（1）證明：∵AB⊥x軸，AC⊥y軸∴∠ABO＝∠ACO＝90°∵∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC∵C（0，4），A（4，4）∴OC＝AC＝AB＝4∵OF+BE＝AB，AB＝AE+BE∴OF＝AE在△COF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）將△ACE繞點C順時針旋轉90°，則FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°，∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°﹣45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS）∵S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6∵由（1）知四邊形OBAC為邊長為4的正方形∴S四邊形OBAC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四邊形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4∴S△BEF的值為4．25．（2023春?鄠邑區(qū)期末）如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系，請分別說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．解：（1）當t＝1時，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，則，解得；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，則，解得：；綜上所述，存在或，使得△ACP與△BPQ全等．26．（2023?岳陽縣一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．（1）當∠BDA＝115°時，∠EDC＝25°，∠AED＝65°；（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°，故答案為：25；65；（2）當DC＝2時，△ABD≌△DCE，理由：∵AB＝2，DC＝2，∴AB＝DC，∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，①當DA＝DE時，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；②當AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝40°，∴∠DAE＝100°，此時，點D與點B重合，不合題意；③當EA＝ED時，∠EAD＝∠ADE＝40°，∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝40°+40°＝80°；綜上所述，當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．27．（2023?肥城市校級模擬）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延長BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．28．（2023春?惠民縣期末）如圖，CD是經過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝α．?（1）若直線CD經過∠BCA的內部，且E，F(xiàn)在射線CD上．①如圖1，若∠BCA＝90°，α＝90°，證明BE＝CF．②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關于α與∠BCA關系的條件，使①中的結論仍然成立，并說明理由．（2）如圖3，若直線CD經過∠BCA的外部，α＝∠BCA，請?zhí)岢鲫P于EF，BE，AF三條線段數(shù)量關系的合理猜想，并簡述理由．（1）①證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCE＝90°，∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠BCE＝∠CAF，∵AC＝BC，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF；②解：添加α+∠BCA＝180°，使①中的結論仍然成立，理由如下：∵∠BEC＝∠CFA＝α，∴∠BEF＝180°﹣∠BE