第1章二次函數(shù)（易錯(cuò)40題12個(gè)考點(diǎn)）

第1單元二次函數(shù)（易錯(cuò)40題12個(gè)考點(diǎn)）一．二次函數(shù)的定義（共1小題）1．已知y＝（m+2）x|m|+2是y關(guān)于x的二次函數(shù)，那么m的值為2．【答案】2．【解答】解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y關(guān)于x的二次函數(shù)，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故答案為：2．二．二次函數(shù)的圖象（共2小題）2．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+c和二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵一次函數(shù)和二次函數(shù)都經(jīng)過(guò)y軸上的（0，c），∴兩個(gè)函數(shù)圖象交于y軸上的同一點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三象限，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)二、四象限，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．3．如圖，已知函數(shù)y＝與y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的方程ax2+bx+＝0的解為x＝﹣3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵P的縱坐標(biāo)為1，∴1＝﹣，∴x＝﹣3，∵ax2+bx+＝0化為關(guān)于x的方程ax2+bx＝﹣的形式，∴此方程的解即為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，∴x＝﹣3．故答案為：x＝﹣3．三．二次函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）4．下列關(guān)于二次函數(shù)y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象和性質(zhì)的敘述中，正確的是（）A．點(diǎn)（0，2）在函數(shù)圖象上 B．開口方向向上 C．對(duì)稱軸是直線x＝1 D．與直線y＝3x有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】D【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A錯(cuò)誤；B、化簡(jiǎn)二次函數(shù)：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函數(shù)的圖象開口方向向下，∴B錯(cuò)誤；C、∵二次函數(shù)對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝，∴C錯(cuò)誤；D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函數(shù)y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象與直線y＝3x有兩個(gè)交點(diǎn)，∴D正確；故選：D．5．拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）過(guò)A（4，4），B（2，m）兩點(diǎn)，點(diǎn)B到拋物線對(duì)稱軸的距離記為d，滿足0＜d≤1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4【答案】B【解答】解：把A（4，4）代入拋物線y＝ax2+bx+3得：16a+4b+3＝4，∴16a+4b＝1，∴4a+b＝，∵對(duì)稱軸x＝﹣，B（2，m），且點(diǎn)B到拋物線對(duì)稱軸的距離記為d，滿足0＜d≤1，∴∴，∴||≤1，∴或a，把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：4a+2b+3＝m2（2a+b）+3＝m2（2a+﹣4a）+3＝m﹣4a＝m，a＝，∴或，∴m≤3或m≥4．故選：B．四．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共4小題）6．已知b＞0時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+a2﹣1的圖象如下列四個(gè)圖之一所示：根據(jù)圖象分析，a的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】B【解答】解：因?yàn)榍皟蓚€(gè)圖象的對(duì)稱軸是y軸，所以﹣＝0，又因?yàn)閍≠0，所以b＝0，與b＞0矛盾；第三個(gè)圖的對(duì)稱軸﹣＞0，a＞0，則b＜0，與b＞0矛盾；故第四個(gè)圖正確．由于第四個(gè)圖過(guò)原點(diǎn)，所以將（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于開口向下，a＝﹣1．故選：B．7．已知二次函數(shù)y＝x2+2x+2m﹣1的圖象只經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，則m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1【答案】D【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+2x+2m﹣1的圖象只經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，∴開口方向向上，其對(duì)稱軸為x＝﹣1，則＜0，2m﹣1≥0，解得≤m＜1．如圖：故選：D．8．已知拋物線y＝（x﹣3）2﹣1與y軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）．【答案】C（0，8）．【解答】解：由題意，∵拋物線y＝（x﹣3）2﹣1與y軸交于點(diǎn)C，∴令x＝0，則y＝8．∴C（0，8）．故答案為：（0，8）．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1．且過(guò)點(diǎn)（，0），有下列結(jié)論：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正確的結(jié)論是①③⑤．（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由拋物線的開口向下可得：a＜0，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸在y軸左邊可得：a，b同號(hào)，所以b＜0，根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸可得：c＞0，∴abc＞0，故①正確；直線x＝﹣1是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸，所以﹣＝﹣1，可得b＝2a，a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②錯(cuò)誤；∵拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1．且過(guò)點(diǎn)（，0），∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝0，即，整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正確；∵b＝2a，∴25a﹣20a+4c＝0，∴5a+4c＝0，即c＝﹣a；∵b＝2a，a+b+c＜0，∴，即3b+2c＜0，故④錯(cuò)誤；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y取最大值，∴對(duì)任意﹣m的值，滿足a﹣b+c≥am2﹣bm+c，整理得，a﹣b≥m（am﹣b）；故⑤正確；故答案為：①③⑤．五．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共2小題）10．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)不同的兩點(diǎn)A（2﹣m，n），B（m，n），下列說(shuō)法正確的是（）A．若m＞2時(shí)都有n＞c，則a＜0 B．若m＞1時(shí)都有n＜c，則a＜0 C．若m＜0時(shí)都有n＞c，則a＞0 D．若m＜0時(shí)都有n＜c，則a＞0【答案】C【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（2﹣m，n），B（m，n）兩點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝1．對(duì)于A選項(xiàng)，若m＞2時(shí)，∴2﹣m＜0＜1．又n＞c，∴此時(shí)，y隨x的增大而減小．∴拋物線開口向上．∴a＞0，故A不符合題意．對(duì)于B選項(xiàng)，若m＞1時(shí)，∴0＜1＜m．此時(shí)（0，c）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為（2，c），若n＜c，∴a＞0或a＜0．∴選項(xiàng)B不符合題意．若m＜0時(shí)，∴m＜0＜1．又n＞c，∴此時(shí)，y隨x的增大而減小．∴拋物線開口向上．∴a＞0，故C符合題意．若m＜0時(shí)，∴m＜0＜1．又n＜c，∴此時(shí)，y隨x的增大而增大．∴拋物線開口向下．∴a＜0，故D不符合題意．故選：C．11．已知點(diǎn)（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函數(shù)圖象上，且y3＜y1＜y2，那么這個(gè)函數(shù)是（）A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣【答案】D【解答】解：A．y＝3x，因?yàn)?＞0，所以y隨x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3，不符合題意；B．y＝3x2，當(dāng)x＝1和x＝﹣1時(shí)，y相等，即y3＝y(tǒng)2，故不符合題意；C．y＝，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，所以y2＜y1＜y3，不符合題意；D．y＝﹣，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，所以y3＜y1＜y2，符合題意；故選：D．六．二次函數(shù)的最值（共4小題）12．如圖，已知二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣4，當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，則函數(shù)y的最小值和最大值（）A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5【答案】B【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣4，對(duì)稱軸是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，由圖象可知：在﹣2≤x≤2內(nèi)，x＝2時(shí)，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1時(shí)y有最小值，是﹣4，故選：B．13．當(dāng)1≤x≤3時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+3的最小值為﹣1，則a的值為（）A．2 B．±2 C．2或 D．2或【答案】A【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2．拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝a．∴當(dāng)a≤1時(shí)，若1≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a，∴4﹣2a＝﹣1，∴a＝，不合題意，舍去．當(dāng)1＜a≤3時(shí)，x＝a，y有最小值3﹣a2．∴3﹣a2＝﹣1．∴a2＝4，∵1≤a≤3，∴a＝2．當(dāng)a≥3時(shí)，若1≤x≤3，y隨x的增大而減小．∴當(dāng)x＝3時(shí)，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a．∴12﹣6a＝﹣1．∴a＝．∵a≥3．∴不合題意，舍去．綜上：a＝2．故選A．14．二次函數(shù)y＝ax2+4x+a的最大值是3，則a的值是﹣1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得，＝3，整理得，a2﹣3a﹣4＝0，解得a1＝4，a2＝﹣1，∵二次函數(shù)有最大值，∴a＜0，∴a＝﹣1．故答案為：﹣1．15．若實(shí)數(shù)x，y滿足x+y2＝3，設(shè)s＝x2+8y2，則s的取值范圍是s≥9．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3，代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，當(dāng)x＝3時(shí)，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案為：s≥9．七．二次函數(shù)的三種形式（共1小題）16．把二次函數(shù)y＝﹣2x2﹣4x+5用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是y＝﹣2（x+1）2+7．【答案】y＝﹣2（x+1）2+7．【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣2（x2+2x+1）+2+5＝﹣2（x+1）2+7，故答案為：y＝﹣2（x+1）2+7．八．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共7小題）17．二次函數(shù)y＝2x2+mx+8的圖象如圖所示，則m的值是（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．6【答案】B【解答】解：由圖可知，拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，Δ＝m2﹣4×2×8＝0，解得m＝±8，∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣＜0，∴m＞0，∴m的值為8．故選：B．18．將二次函數(shù)y＝x2﹣5x﹣6在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象，若直線y＝2x+b與這個(gè)新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（）A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12【答案】A【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B的直線y＝2x+b與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，將直線向下平移到恰在點(diǎn)C處相切，此時(shí)與新圖象也有三個(gè)公共點(diǎn)，令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即點(diǎn)B坐標(biāo)（6，0），將一次函數(shù)與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，當(dāng)一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，綜上，直線y＝2x+b與這個(gè)新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為﹣12或﹣；故選：A．19．已知函數(shù)y＝（k﹣3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4【答案】D【解答】解：當(dāng)k＝3時(shí)，函數(shù)y＝2x+1是一次函數(shù)，它的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k≠3，函數(shù)y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函數(shù)，當(dāng)22﹣4（k﹣3）≥0，k≤4即k≤4時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)．綜上k的取值范圍是k≤4．故選：D．20．如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣2，4），B（1，1），則關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解為（）A．﹣4，3 B．﹣5，2 C．﹣2，1 D．﹣3，2【答案】C【解答】解：把B（1，1）代入y＝ax2，得a＝1，把A（﹣2，4），B（1，1）代入y＝bx+c，得，解得：，關(guān)于x的方程化為x2+x﹣2＝0，（x+2）（x﹣1）＝0，x1＝﹣2，x2＝1，故選：C．21．拋物線y＝9x2﹣px+4與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則p的值是±12．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意：p2﹣4×9×4＝0，解得p＝±12．22．若二次函數(shù)y＝2x2﹣x+k的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是k＜．【答案】k＜．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2x2﹣x+k的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴（﹣1）2﹣4×2k＞0，解得k＜，故答案為：k＜．23．已知k是常數(shù)，拋物線y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的對(duì)稱軸是y軸，并且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求k的值；（2）若點(diǎn)P在拋物線y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y(tǒng)軸的距離是2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）﹣3；（2）P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的對(duì)稱軸是y軸，∴k2+k﹣6＝0，解得k1＝﹣3，k2＝2；又∵拋物線y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．即拋物線y＝x2+3k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．∴b2﹣4ac＞0，即﹣12k＞0，也就是k＜0，又k1＝﹣3，k2＝2，∴k＝﹣3．此時(shí)拋物線的關(guān)系式為y＝x2﹣9，因此k的值為﹣3．（2）∵點(diǎn)P在拋物線y＝x2﹣9上，且P到y(tǒng)軸的距離是2，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或﹣2，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣5當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣5．∴P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．九．二次函數(shù)與不等式（組）（共3小題）24．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（m，0），點(diǎn)C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列結(jié)論：①2a+b＞0，②2a+c＜0，③方程ax2+bx+c＝﹣m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，④不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集為0＜x＜m，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（m，0），∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象的對(duì)稱軸是直線：x＝，∵2＜m＜3，∴1＜﹣1+m＜2，∴＜＜1，∴＜＜1，∵＜1，a＞0，∴2a+b＞0，故①正確；②把點(diǎn)A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中可得：a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，由①得：＞，∵a＞0，∴a+b＜0，∴a+a+c＜0，∴2a+c＜0，故②正確；③由圖可知：直線y＝﹣m與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程ax2+bx+c＝﹣m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；④∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（m，0），∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2﹣amx+ax﹣am，∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，﹣m），∴﹣am＝﹣m，∴a＝1，二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x的對(duì)稱軸為直線：x＝，把x＝0代入二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x中可得：y＝0，∴二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x的圖象與x軸的交點(diǎn)為：（0，0），設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（n，0），∴＝，∴n＝＝1﹣b，∵不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集為0＜x＜n，∴不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集為0＜x＜，∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象的對(duì)稱軸是直線：x＝，∴＝，∴m＝＝1﹣b，∴不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集為0＜x＜m，故④正確，所以：正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有4個(gè)，故選：D．25．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴拋物線y＝ax2+c與直線y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）兩點(diǎn)，觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)﹣3＜x＜1時(shí)，直線y＝﹣mx+n在拋物線y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．故答案為﹣3＜x＜1．26．如圖，已知頂點(diǎn)為（﹣3，﹣6）的拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，﹣4），下列結(jié)論：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若點(diǎn)（﹣2，m），（﹣5，n）在拋物線上，則m＞n；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的兩根為﹣5和﹣1，其中正確的是①②④．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由圖象知，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只是左邊那個(gè)沒(méi)畫出來(lái)而已，從而由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系可知，Δ＝b2﹣4ac＞0，從而b2＞4ac，故①正確；已知該拋物線是開口向上，頂點(diǎn)為（﹣3，﹣6），故ax2+bx+c≥﹣6正確，從而②正確；由拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣3，點(diǎn)（﹣2，m），（﹣5，n）在拋物線上，則點(diǎn)（﹣2，m）離對(duì)稱軸的距離為1，而點(diǎn)（5，n）離拋物線的距離為2，開口向上時(shí)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，從而m＜n，故③錯(cuò)誤；由圖象可知，x＝﹣1為關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一個(gè)根，由二次函數(shù)的對(duì)稱性，可知﹣5為另一個(gè)根，從而④正確；、綜上，正確的是①②④．故答案為：①②④．一十．二次函數(shù)的應(yīng)用（共9小題）27．飛機(jī)著陸后滑行的距離y（單位：米）關(guān)于滑行時(shí)間t（單位，秒）的函數(shù)解析式是．在飛機(jī)著陸滑行中，最后6秒滑行的距離為（）米．A．24 B．36 C．48 D．54【答案】D【解答】解：當(dāng)y取得最大值時(shí)，飛機(jī)停下來(lái)，則y＝﹣1.5t2+60t＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此時(shí)t＝20，飛機(jī)著陸后滑行600米才能停下來(lái)．因此t的取值范圍是0≤t≤20；即當(dāng)t＝20﹣6＝14時(shí)，y＝546，所以600﹣546＝54（米）故選：D．28．如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)2.5m；噴頭高4m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)3m．那么噴頭高8m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m．【答案】8．【解答】解：由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過(guò)程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，當(dāng)噴頭高2.5m時(shí)，可設(shè)y＝ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；噴頭高4m時(shí)，可設(shè)y＝ax2+bx+4；將（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，聯(lián)立可求出a＝﹣，b＝，設(shè)噴頭高為h時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m，∴此時(shí)的解析式為y＝﹣x2+x+h，將（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案為：8．29．如圖①，一個(gè)可調(diào)節(jié)高度的噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖②是噴射出的水流在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，其中噴灌架置于點(diǎn)O處，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）設(shè)置的是1米，當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭水平距離為8米時(shí)，達(dá)到最大高度5米．（1）求水流運(yùn)行軌跡的函數(shù)解析式；（2）若在距噴灌架12米處有一棵3.5米高的果樹，問(wèn)：水流是否會(huì)碰到這棵果樹？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【答案】（1）拋物線為：y＝﹣（x﹣8）2+5．（2）不能，理由見解答部分．【解答】解：（1）由題可知：拋物線的頂點(diǎn)為（8，5），設(shè)水流形成的拋物線為y＝a（x﹣8）2+5，將點(diǎn)（0，1）代入可得a＝﹣，∴拋物線為：y＝﹣（x﹣8）2+5．（2）不能，理由如下：當(dāng)x＝12時(shí)，y＝﹣（12﹣8）2+5＝4＞3.5，∴水流不能碰到這棵果樹．30．如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系h＝20t﹣5t2．解答以下問(wèn)題（1）小球從飛出到落地要用多少時(shí)間？（2）小球飛行的最大高度是多少？此時(shí)需要多少飛行時(shí)間？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）令h＝20t﹣5t2＝0解得t1＝0（舍去），t2＝4∴小球從飛出到落地要用4s（2）由配方法得y＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20∵a＝﹣5＜0∴小球飛行的最大高度是20m，此時(shí)需要飛行2s．31．某公園要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管OA長(zhǎng)2.25m．在水管的頂端安裝一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m．（1）建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，求拋物線（第一象限部分）的解析式；（2）不考慮其它因素，水池的直徑至少要多少米才能使噴出的水流不落到池外？（3）實(shí)際施工時(shí)，經(jīng)測(cè)量，水池的最大半徑只有2.5m，在不改變噴出的拋物線形水柱形狀的情況下，且噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，需對(duì)水管的長(zhǎng)度進(jìn)行調(diào)整，求調(diào)整后水管的最大長(zhǎng)度．【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+3．（2）水池的直徑至少要6米才能使噴出的水流不落到池外．（3）調(diào)整后水管的最大長(zhǎng)度米．【解答】解：（1）由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），∴設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2+3，將（0，2.25）代入得，a（0﹣1）2+3＝2.25，解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+3．（2）令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+3，解得x＝﹣1（舍）或x＝3，∵2×3＝6（米），∴水池的直徑至少要6米才能使噴出的水流不落到池外．（3）將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2.5，0），設(shè)平移后的拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+h，將（2.5，0）代入得，﹣（2.5﹣1）2+h＝0，解得h＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣（0﹣1）2+＝．∴調(diào)整后水管的最大長(zhǎng)度米．32．紅燈籠，象征著闔家團(tuán)圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國(guó)的一種傳統(tǒng)文化．小明在春節(jié)前購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種紅燈籠，用3120元購(gòu)進(jìn)甲燈籠與用4200元購(gòu)進(jìn)乙燈籠的數(shù)量相同，已知乙燈籠每對(duì)進(jìn)價(jià)比甲燈籠每對(duì)進(jìn)價(jià)多9元．（1）求甲、乙兩種燈籠每對(duì)的進(jìn)價(jià)；（2）經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，乙燈籠每對(duì)售價(jià)50元時(shí)，每天可售出98對(duì)，售價(jià)每提高1元，則每天少售出2對(duì)：物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每對(duì)65元，設(shè)乙燈籠每對(duì)漲價(jià)x元，小明一天通過(guò)乙燈籠獲得利潤(rùn)y元．①求出y與x之間的函數(shù)解析式；②乙種燈籠的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，一天獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)甲種燈籠單價(jià)為x元/對(duì)，則乙種燈籠的單價(jià)為（x+9）元/對(duì)，由題意得：＝，解得x＝26，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝26是原方程的解，且符合題意，∴x+9＝26+9＝35，答：甲種燈籠單價(jià)為26元/對(duì)，乙種燈籠的單價(jià)為35元/對(duì)．（2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，答：y與x之間的函數(shù)解析式為：y＝﹣2x2+68x+1470．②∵a＝﹣2＜0，∴函數(shù)y有最大值，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝﹣＝17，物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每對(duì)65元，∴x+50≤65，∴x≤15，∵x＜17時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝15時(shí)，y最大＝2040．15+50＝65．答：乙種燈籠的銷售單價(jià)為每對(duì)65元時(shí)，一天獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2040元．33．某公司分別在A、B兩城生產(chǎn)一批同種產(chǎn)品，共100件，A城生產(chǎn)產(chǎn)品的成本y（萬(wàn)元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝ax2+bx，當(dāng)x＝10時(shí)，y＝400；當(dāng)x＝20時(shí)，y＝1000．B城生產(chǎn)產(chǎn)品的每件成本為70萬(wàn)元．（1）求A城生產(chǎn)產(chǎn)品的成本y（萬(wàn)元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)A、B兩城生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總成本的和最少時(shí)，求A、B兩城各生產(chǎn)多少件．【答案】（1）y＝x2+30x；（2）A城生產(chǎn)20件，B城生產(chǎn)80件．【解答】解：（1）由題意得：，解得：．∴a＝1，b＝30；∴y＝x2+30x；（2）由（1）得：y＝x2+30x，設(shè)A，B兩城生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總成本為w，則w＝x2+30x+70（100﹣x）＝x2﹣40x+7000＝（x﹣20）2+6600，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＝20時(shí)，w取得最小值，最小值為6600萬(wàn)元，此時(shí)100﹣20＝80．答：A城生產(chǎn)20件，B城生產(chǎn)80件．34．某企業(yè)接到一批帽子生產(chǎn)任務(wù)，按要求在20天內(nèi)完成，約定這批帽子的出廠價(jià)為每頂8元．為按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人小華第x天生產(chǎn)的帽子數(shù)量為y頂，y與x滿足如下關(guān)系式：y＝（1）小華第幾天生產(chǎn)的帽子數(shù)量為220頂？（2）如圖，設(shè)第x天每頂帽子的成本是P元，P與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來(lái)刻畫．若小華第x天創(chuàng)造的利潤(rùn)為w元，求w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天的利潤(rùn)最大？最大值是多少元？（3）設(shè)（2）小題中第m天利潤(rùn)達(dá)到最大值，若要使第（m+1）天的利潤(rùn)比第m天的利潤(rùn)至少多49元，則第（m+1）天每頂帽子至少應(yīng)提價(jià)幾元？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）若20x＝220，則x＝11，與0≤x≤5不符，∴10x+100＝220，解得，x＝12，故第12天生產(chǎn)了220頂帽子；（2）由圖象得，當(dāng)0≤x≤10時(shí)，P＝5.2；當(dāng)10＜x≤20時(shí)，設(shè)P＝kx+b（k≠0），把（10，5.2），（20，6.2）代入上式，得，解得，，∴P＝0.1x+4.2①0≤x≤5時(shí)，w＝y(tǒng)（8﹣P）＝20x（8﹣5.2）＝56x當(dāng)x＝5時(shí)，w有最大值為w＝280（元）②5＜x≤10時(shí)，w＝y(tǒng)（8﹣P）＝（10x+100）（8﹣5.2）＝28x+280，當(dāng)x＝10時(shí)，w有最大值，最大值為560（元）；③10＜x≤20時(shí)，w＝y(tǒng)（8﹣P）＝（10x+100）[8﹣（0.1x+4.2）]＝﹣x2+28x+380當(dāng)x＝14時(shí)，w有最大值，最大值為576（元）．綜上，第14天時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為576元．（3）由（2）小題可知，m＝14，m+1＝15，設(shè)第15天提價(jià)a元，由題意得w＝y(tǒng)（8+a﹣P）＝（10x+100）[8+a﹣（0.1x+4.2）]＝250（2.3+a）∴250（2.3+a）﹣576≥49∴a≥0.2答：第15天每頂帽子至少應(yīng)提價(jià)0.2元．35．如圖所示，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5m時(shí)，達(dá)到最大高度3.5m，然后準(zhǔn)確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05m．（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；（2）該運(yùn)動(dòng)員身高1.8m，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25m處出手，問(wèn)：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3.5），∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+3.5．由圖知圖象過(guò)以下點(diǎn)：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣0.2x2+3.5．（2）設(shè)球出手時(shí)，他跳離地面的高度為hm，∵y＝﹣0.2x2+3.5，而球出手時(shí)，球的高度為h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.2．答：球出手時(shí)，他跳離地面的高度為0.2m．一十一．二次函數(shù)綜合題（共5小題）36．如圖，拋物線m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）與x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為C1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A1．若四邊形AC1A1C為矩形，則a，b應(yīng)滿足的關(guān)系式為（）A．a(chǎn)b＝﹣2 B．a(chǎn)b＝﹣3 C．a(chǎn)b＝﹣4 D．a(chǎn)b＝﹣5【答案】B【解答】解：令x＝0，得：y＝b．∴C（0，b）．令y＝0，得：ax2+b＝0，∴x＝±，∴A（﹣，0），B（，0），∴AB＝2，BC＝＝．要使平行四邊形AC1A1C是矩形，必須滿足AB＝BC，∴2＝．∴4×（﹣）＝b2﹣，∴ab＝﹣3．∴a，b應(yīng)滿足關(guān)系式ab＝﹣3．故選：B．37．如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，F(xiàn)為拋物線頂點(diǎn)，直線EF垂直于x軸于點(diǎn)E，當(dāng)y≥0時(shí)，﹣1≤x≤3．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)（除B、E外），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D．①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形ACFD的面積；②如圖2，直線AD，BD分別與拋物線對(duì)稱軸交于M、N兩點(diǎn)．試問(wèn)，EM+EN是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①4；②是，定值為8，理由見解析．【解答】解：（1）∵當(dāng)y≥0時(shí)，﹣1≤x≤3，∴x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的兩根，A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）①把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得：y＝3，∴D（2，3）．又當(dāng)x＝0，y＝3，∴C（0，3），∴線段CD∥x軸．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴F（1，4），；②設(shè)D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），直線AD：y＝k1x+b1，BD：y＝k2x+b2，因此可得：或，解得：或，∴直線AD：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），BD：y＝﹣（m+1）x+3（m+1）．令x＝1得yM＝6﹣2m，yN＝2m+2，∴ME＝6﹣2m，NE＝2m+2，∴NE+ME＝8．38．如圖，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P為拋物線上第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段CO上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APC的面積最大時(shí)，求△APM周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖2，將原拋物線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得新拋物線y'，在新拋物線y'的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣（x+1）2+．（2）△APM周長(zhǎng)的最小值為：2+2．（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．【解答】解：（1）∵拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴x＝h＝﹣1，∵拋物線過(guò)點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)C（0，4），∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x+1）2+．（2）由（1）知函數(shù)解析式為：y＝﹣（x+1）2+．∴A（﹣4，0），∴直線AC：y＝x+4，過(guò)點(diǎn)P作PN∥AC，設(shè)直線PN的解析式為：y＝x+m，當(dāng)△APC的面積最大時(shí)，直線PN與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，令x+m＝﹣（x+1）2+，整理得x2+4x+2m﹣8＝0，∴Δ＝42﹣4（2m﹣8）＝0，解得m＝6，∴x2+4x+4＝0，∴x＝﹣2，即P（﹣2，4）；作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′P交y軸于點(diǎn)M，如圖1，此時(shí)△APM的周長(zhǎng)最小，∵A（﹣4，0），∴A′（4，0），∴A′P＝＝2，AP＝＝2，∴△APM周長(zhǎng)的最小值為：2+2．（3）由（1）知原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)D（﹣1，），繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)D′（﹣7，﹣），∴y′的對(duì)稱軸為直線x＝﹣7；設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣7，t），若△ACQ是等腰三角形，則需要分類討論：①當(dāng)AC＝AQ時(shí)，如圖2；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（﹣4+7）2+（0﹣t）2，解得t＝±；∴Q（﹣7，）或（﹣7，﹣）；②當(dāng)CA＝CQ時(shí)；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，無(wú)解；③當(dāng)QA＝QC時(shí)，如圖3，∴（﹣4+7）2+（0﹣t）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，解得t＝7，∴Q（﹣7，7）．綜上可知，存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．39．已知拋物線y＝ax2+x+4的對(duì)稱軸是直線x＝3，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），是否存在點(diǎn)P，使四邊形PBOC的面積最大？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PBOC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的