重難點03全等三角形中“截長補短”模型

重難點03全等三角形中“截長補短”模型1.識別幾何模型。2.利用“截長補短”模型解決問題定義示例剖析截長：即在一條較長的線段上截取一段較短的線段在線段上截取補短：即在較短的線段上補一段線段使其和較長的線段相等延長，使得截長補短法是幾何證明題中十分重要的方法，通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，常見做輔助線方法有：截長法：⑴過某一點作長邊的垂線；⑵在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補短法：⑴延長短邊。⑵通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起，證與長邊相等。例1如圖，在中，，于D，求證：．∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．解法二：（補短）延長CB到F，使，連接AF，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【教師備課提示】這道題主要告訴孩子們，截長補短指的是兩種方法，通過這道題給孩子們講解截長補短的做法和證明過程．當(dāng)出現(xiàn)線段的和差倍分時，要能馬上想到截長補短．例2.如圖，在中，，的平分線交于點．求證：．【解析】方法一：（截長）在上截取，連接．在和中，，∴∴，又∵∴，∴∴．方法二：（補短）延長到點使得，連接．在和中，，，∴，∴又∵∴∴，∴．方法三：（補短）延長到點使得，連接則有，又∵，∴∴∴，∴∴AB+BD=AC若題目條件或求證結(jié)論中含有“”的條件，需要添加輔助線時多考慮“截長補短”.建議教師此題把3種解法都講一下，方便學(xué)生更加深刻理解這種輔助線添加方法.【變式1】如圖，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求證：AB=AC+CD解析：在AB上取一點E,使AE=AC,連接DE,∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD∴△ACD≌△AED∴CD=DE,∠C=∠3∵∠C=2∠B∴∠3=2∠B=∠4+∠B∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE∵AB=AE+BE∴AB=AC+CD【變式2】如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE.解析：如圖，在EA上取點F,使EF=BE,連接CF,∵CE⊥AB∴CF=CB∠CFB=∠B∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD即∠DAC=∠FAC在△ACD和△ACF中∠D=∠AFC∠DAC=∠FACAC=AC∴ACD≌△ACF（AAS）∴AD=AF∴AE=AF+EF=AD+BE【變式3】如圖所示，AB∥CD,BE,CE分別是∠ABC,∠BCD的平分線，點E在AD上，求證：BC=AB+CD.解析：在BC上取點F，使BF=AB∵BE,CE分別是∠ABC,∠BCD的平分線∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE∵AB∥CD∴∠A+∠D=180°在△ABE和△FBE中AB=FB∠ABE=∠FBEBE=BE∴△ABE≌△FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∴∠BFE+∠D=180°∵∠BFE+∠EFC=180°∴∠EFC=∠D在△EFC和△EDC中，∠EFC=∠D∠BCE=∠DCECE=CE∴△EFC≌△EDC（AAS）∴CF=CD∵BC=BF+CF∴BC=AB+CD【變式4】如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點O，求證：AE+CE=AC.解析：由題意可得∠AOC=120°∴∠AOE=∠DOC=180°∠AOC=180°120°=60°在AC上截取AF=AE，連接OF，如圖在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAFOA=OA∴△AOE≌△AOF（SAS）∴∠AOE=∠AOF，∴∠AOF=60°∴∠COF=∠AOC∠AOF=60°又∠COD=60°，∴∠COD=∠COF同理可得：△COD≌△COF（ASA）∴CD=CF又∵AF=AE∴AC=AF+CF=AE+CD即AE+CD=AC【變式5】如圖，是等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以D為頂點作一個角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，求證：．延長AC到E點，使，連接DE，由題意可知，，，，，，，，，，，，，．【變式6】已知四邊形ABCD是正方形，E、F分別在CB、CD的延長線上，．

求證：．延長FD到G，使，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．例3.在中，的平分線交于，，，求的大?。谏辖厝?，連接．∵，，，∴，∴，，∵，，∴∴，例4．已知：在中，，，求證：．方法一：在上取一點，使，如圖1，在和中，，，．∴．∴，．又∵∴，∴∴．方法二：延長到點，使，如圖2，∴．∵，∴．在和中，，，．∴．∴．∵∴．【變式1】如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求證：AD平分∠CDE.解析：延長CB至點F,使BF=DE,連接BF=DE,連接AF,AC∵∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180°∴∠2=∠E∵AB=AE,∠2=∠E,BF=DE∴△ABF≌△AED∠F=∠4，AF=AD∵BC+BF=CD即FC=CD又∵AC=AC∴△ACF≌△ACD∴∠F=∠3∵∠F=∠4∴∠3=∠4∴AD平分∠CDE.【變式2】已知四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如圖2，點P,Q分別在線段AD,DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：∠PBQ=90°12∠ADC解析：如圖2，延長DC，在上面找一點K，使得CK=AP，連接BK,∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠BAD+∠BCD=180°∵∠BCD+∠BCK=180°∴∠BAD=∠BCK在△BAP和△BKC中AP=CK∠BAP=∠BCKAB=BC∴△BPA≌△BKC（SAS）∴∠ABP=∠CBK,BP=BK∵PQ=AP+CQ∴PQ=QK∵在△BPQ和△BKQ中BP=BKBQ=BQPQ=KQ∴△BPQ≌△BKQ(SSS)∴∠PBQ=∠KBQ∴∠PBQ=12∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠ABC=180°∠ADC∴12∠ABC=90°1∴∠PBQ=90°12例5.正三角形ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，請問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+FC，理由如下延長AC到點G，使得CG=BE，連接DG由△ABC是正三角形得：ABC=ACB=60°又∵DB=DC，BDC=120°，∴DBC=DCB=30°∴DBE=ABC+DBC=60°+30°=90°，ACD=ACB+DCB=60°+30°=90°∴GCD=180°ACD=90°∴DBE=DCG=90°又∵DB=DC，BE=CG，∴△DBE≌△DCG（SAS）∴EDB=GDC，DE=DG又∵DBC=120°=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG∴GDF=EDGEDF=12060°=60°∴GDF=EDF=60°又∵DG=DE，DF=DF∴△GDF≌△EDF（SAS）∴EF=GF=CG+FC=BE+FC【變式1】正方形ABCD中，點E在CD延長線上，點F在BC延長線上，EAF=45°，請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？數(shù)量關(guān)系為：EF=BFDE．理由如下：在BC上截取BG，使得BG=DF，連接AG由四邊形ABCD是正方形得ADE=ABG=90°，AD=AB又DE=BG∴△ADE≌△ABG（SAS）∴EAD=GAB，AE=AG由四邊形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE∴GAF=GAEEAF=90°45°=45°∴GAF=EAF=45°又∵AG=AE，AF=AF∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF=GF=BFBG=BFDE【變式2】正方形ABCD中，點E在DC延長線上，點F在CB延長線上，EAF=45°，請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？數(shù)量關(guān)系為：EF=DEBF.理由如下：在DC上截取DG，使得DG=BF，連接AG由四邊形ABCD是正方形得ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，AG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=EG=EDGD=DEBF一、單選題1．（2022秋·湖北黃石·八年級黃石八中?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如圖，在上截取連接證明利用全等三角形的性質(zhì)證明求解再證明從而可得答案．【詳解】解：如圖，在上截取連接平分故選：【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)是________．【答案】120°【分析】延長AB，使得AB=BE，延長AD，使得AD=DF，連接EF，與BC，DC相較于M，N，要使得△AMN的周長最小，則三角形的三邊要共線，根據(jù)∠BAD=120°和△AMN的內(nèi)角和是180°即可列出方程求解．【詳解】解：延長AB，使得AB=BE，延長AD，使得AD=DF，連接EF，與BC，DC相較于M，N如圖所示，此時△AMN的周長最小∵∠ABM=90°∴∠EBM=90°在△AMB和△EMB中∴△AMB≌△EMB∴∠BEM=∠BAM∴∠AMN=2∠BAM同理可得：△AND≌△FDN∴∠NAD=∠NFD∴∠ANM=2∠NAD設(shè)∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y∵∠BAD=120°∴解得：即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．故答案為：120°．【點睛】本題主要考查的是三角形周長最小的條件，涉及到的知識點為全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和的應(yīng)用，正確添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2020秋·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖，與有一條公共邊AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，則∠BAD=________．（用含有x的代數(shù)式表示）【答案】180°2x【分析】在CD上截取CE=CB，證明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可進(jìn)一步證明∠D+∠B=180°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．【詳解】解：在CD上截取CE=CB，如圖所示，在△ABC和△AEC中，∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC,∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD=360°∠ABC∠CDA=360°180°=180°，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=x+x=2x∴∠DAB=180°∠BCD=180°2x故答案為：180°2x【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的難點．4．（2019春·湖南張家界·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD為正方形，點E在CB的延長線上，AF平分∠DAE交DC的延長線于點F，若BE＝8，CF＝9，則CD的長為______．【答案】【分析】根據(jù)題意，在DC上截取DG＝BE，連接AG，可以證明△ADG≌△ABE，從而可以得到AG和AE的關(guān)系，∠DAF和∠EAF的關(guān)系，再根據(jù)題目中的條件和勾股定理即可得到CD的長．【詳解】解：在DC上截取DG＝BE，連接AG，如圖所示．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADG＝∠ABE，在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AE＝AG，∠DAG＝∠BAE．∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠GAF＝∠BAF．∵AB∥DC，∴∠BAF＝∠GFA，∴∠GAF＝∠GFA，∴AG＝GF，設(shè)CD＝a．∵BE＝8，CF＝9，∴DG＝BE＝8，GC＝a﹣8，∴GF＝a﹣8＋9＝a＋1，∴AG＝a＋1.∵AD＝a，DG＝8，AG＝a＋1，∠ADG＝90°，∴a2＋82＝（a＋1）2，解得：a＝，即CD＝．故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三、解答題5．（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）在中，，如圖①，當(dāng)，為的平分線時，在上截取，連接DE，易證．(1)如圖②，當(dāng)，為的角平分線時，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要說明理由，請直接寫出你的猜想.(2)如圖③，當(dāng)，為的外角平分線時，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想進(jìn)行說明.【答案】(1)；(2)，證明見解析【分析】（1）首先在上截取，連接，易證，則可得，，又由，，所以，即，易證進(jìn)而求解；（2）首先在的延長線上截取，連接，易證，可得，，又由，易證，則可求解．【詳解】（1）解：．理由為：在上截取，連接，如圖②所示，∵為的平分線，∴，在和中，，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴，∴，則；（2）解：．理由為：在上截取，連接，如圖③所示，∵為的平分線，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∵，∴．又∵，∴，∴，則．【點睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．6．（2023秋·廣西南寧·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，在中，，、分別為、上的點，且、交于點．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．【答案】(1)(2)10【分析】（1）由題意，根據(jù)，即可解決問題；（2）在上截取，連接．只要證明，推出，，再證明，推出，由此即可解決問題．【詳解】（1）解：、分別為的角平分線，，，，；（2）解：在上截取，連接．、分別為的角平分線，，，，在和中，，，，，在和中，，，，．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．7．（2023春·全國·七年級期末）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．證明見解析；(3)結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論是：EF=BEFD．證明見解析．【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）延長CB至M，使BM=DF，連接AM．證明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出EF=ME，即EF=BE+BM，則可得出結(jié)論；（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．證明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：EF=BE+FD．延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案為：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．證明：如圖②中，延長CB至M，使BM=DF，連接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）解：結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論：EF=BEFD．證明：如圖③中，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BEBG，∴EF=BEFD．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．8．（2023·廣東湛江·?？家荒＃┱n堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在中，，點D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進(jìn)行證明．【分析】（1）延長至F，使，連接，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）在上截取，使，連接，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）延長至G，使，連接，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：（1）如圖1，延長至F，使，連接，則，∴，∵平分∴，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案為：．（2）證明：如圖3，在上截取，使，連接∵分別平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴．（3）證明：如圖4：延長至G，使，連接，則，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，在和中，，∴∴，即平分．【點睛】本題主要考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，靈活運用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長為（

）A．3 B．9 C．11 D．15【答案】C【分析】在AC上截取AE=AB，連接DE，證明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再證明CD=CE，進(jìn)而代入數(shù)值解答即可．【詳解】在AC上截取AE=AB，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，∠ADB=∠ADE，AB=AE，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，∴∠DEC=∠EDC，∴CD=CE，∵，，∴AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11．故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；利用了全等三角形中常用輔助線截長補短法構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題最常用的方法，注意掌握．2．（2021秋·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若這個四邊形的面積是4，則BC+CD等于（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】B【分析】延長CB到點E，使BE＝DC，連接AE，AC，可以證明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根據(jù)△EAC的面積等于四邊形的面積是4，可得EC的長，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長CB到點E，使BE＝DC，連接AE，AC，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四邊形ABCD，∵∠DAC+∠CAB＝90°，∴∠BAE+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△EAC是等腰直角三角形，∵，∴AE＝，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、面積及等積變換、三角形面積公式、勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．3．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關(guān)系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定【答案】C【分析】在AB上截取AF＝AD，連接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再證明△BCE≌△BFE，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得出三條線段之間的關(guān)系.【詳解】解：如圖所示，在AB上截取AF＝AD，連接EF，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB∴∠ABE+∠EAB==90°，∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，在△ADE和△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），所以BC＝BF，所以AB＝AF+BF＝AD+BC；故選C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，截長補短是證明線段和差關(guān)系的常用方法.二、填空題4．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，中，平分，，，則的度數(shù)為_______．【答案】【分析】如圖（見解析），在線段AC上取點E，使得，先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，，然后根據(jù)線段的和差、等量代換得出，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可得．【詳解】如圖，在線段AC上取點E，使得平分在和中，，又故答案為：．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．5．（2020春·四川宜賓·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、BC上的點，且cm，，△EFC的周長為80cm，則_________cm．【答案】34【分析】延長CB到H，使BH=DE，連接AH，可證△ADE≌△ABH，可得AE=AH，由∠EAF=45o可證得∠HAF=45o，進(jìn)而可證得△HAF≌△EAF，可得EF=HF，由△EFC的周長可求得正方形的邊長，設(shè)EF=x，在Rt△ECF中，利用勾股定理列方程即可求得EF的長．【詳解】如圖延長CB到H，使BH=DE=10cm，連接AH，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠ABH=∠DAB=90o，AB=AD=BC=CD，∴△ADE≌△ABH（SAS)，∴AE=AH,∠DAE=∠BAH，∵∠EAF=45o，∴∠DAE+∠BAF=45o，∴∠BAH+∠BAF=45o即∠HAF=45o，∴∠HAF=∠EAF又AH=AE,AF=AF，∴△HAF≌△EAF(SAS)，∴HF=EF，∵△EFC的周長為80cm，∴CE+CF+EF=CE+CF+HF=CE+DE+CF+BF=BC+CD=2BC=80,∴BC=40cm,設(shè)EF=x，則CF=40+10x=50x，在Rt△ECF中，CE=4010=30cm，由勾股定理得：，解得：x=34，即EF=34cm，故答案為：34．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真分析，找到相關(guān)信息的關(guān)聯(lián)點，結(jié)合圖形，進(jìn)行推理、計算．6．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=AC，D、E分別在CA、BA的延長線上，連接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，則CE的長為__．【答案】6【分析】在AD上截取AF=AE，連接BF，易得△ABF≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BFA=∠E，CE=BF，則有∠D=∠DFB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：在AD上截取AF=AE，連接BF，如圖所示：AB=AC，∠FAB=∠EAC，，BF=EC，∠BFA=∠E，∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，∠DFB=∠D，BF=BD，BD=6，CE=6．故答案為6．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分線，延長BD至點E，使得DE=DA，則∠ECA=________．【答案】40°【分析】在BC上截取BF=AB，連接DF，由題意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，進(jìn)而可得DF=AD=DE，由此可證△DEC≌△DFC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)可求解．【詳解】解：在BC上截取BF=AB，連接DF，∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分線，∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，∠ADB=60°，∠BDC=120°，BD=BD，△ABD≌△FBD，DE=DA，DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，DC=DC，△DEC≌△DFC，；故答案為40°．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定條件及外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，，平分，，，則_____．【答案】4【分析】在BC上截取BE＝AB，利用“邊角邊”證明△ABD≌△EBD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE＝AD，由全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BED＝∠A，然后求出∠C＝∠CDE，根據(jù)等角對等邊可得CE＝DE，等量代換得到EC＝AD，則BC＝BE+EC＝AB+AD即可求出AD長．【詳解】解：（1）在BC上截取BE＝BA，如圖，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，在△ABD和△BED中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴DE＝AD，∠BED＝∠A，又∵∠A＝2∠C，∴∠BED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴EC＝AD，∴BC＝BE+EC＝AB+AD，∵BC＝10，AB＝6，∴AD＝10﹣6＝4；故答案為：4．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·八年級單元測試）如圖，已知中，，D為上一點，且，則的度數(shù)是_________．【答案】20°【分析】延長至點E使，連接，證明是等邊三角形，設(shè)，則，再證明，即可得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，延長至點E使，連接．∴，∵，∴．∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴設(shè)，則．在與中，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故答案是．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．三、解答題10．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．【答案】見解析【分析】延長BE到F，使BF=BC，連接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通過△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，證得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長BE到F，使BF=BC，連接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，連接EF′，在△FCE與△F′CE中，，∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE與△F′BE中，，∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【點睛】