專題4.6角（舉一反三）（華東師大版）（原卷版）

專題4.6角【十一大題型】【華東師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1角的相關(guān)概念辨析】 1【題型2角的單位換算】 2【題型3鐘表上有關(guān)角的計算】 3【題型4與方向角有關(guān)的計算】 4【題型5角的計數(shù)問題】 5【題型6角的比較】 6【題型7與角平分線相關(guān)的角的運算】 8【題型8與角n等分線相關(guān)的角的運算】 9【題型9在三角板中的角的運算】 11【題型10余角和補角的計算】 13【題型11同（等）角的余角和補角相等的運用】 14【知識點1角的概念及其表示方法】定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．表示方法A圖例A記法適用范圍用三個大寫字母表示BOBOAOB或BOA任何情況下都適應.表示端點的字母必須寫在中間.用一個大寫字母表示AAA以這個點為頂點的角只有一個.用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.用希臘字母表示【題型1角的相關(guān)概念辨析】【例1】完成以下各題．(1)寫出圖中能用一個字母表示的角；(2)寫出圖中以A為頂點的角；(3)圖中共有幾個角？【變式11】下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D．角的邊越長，角越大【變式12】如圖所示，圖中可以用一個字母表示的角有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式13】如圖，

(1)用不同的方法表示圖中以D為頂點的角；(2)寫出以B為頂點的角與邊；(3)畫出DA′，使【題型2角的單位換算】【例2】關(guān)于度、分、秒的換算．（1）56°18（2）12°32（3）12.31°用度、分、秒表示．【變式21】比較大?。?0°25′60.25°（填“>”，“<”或“【變式22】計算（1）34°41′25″×5；

（2）72°35′÷2＋18°33′×4．【變式23】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，則這三個角的大小關(guān)系正確的是（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠AC．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C【知識點2鐘表上有關(guān)夾角問題】鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．【題型3鐘表上有關(guān)角的計算】【例3】某同學走進教室發(fā)現(xiàn)黑板前的鐘表為8：30，他想知道再過多長時間分針能和時針第一次重合．假設(shè)鐘表走時準確，請問再過分鐘．【變式31】實驗中學上午10:10時通常準時上第三節(jié)課，此時時針與分針所夾的角是（

）A．105° B．110° C．115° D．120°【變式32】小明下午4點多外出購物，當時鐘面上的時針與分針的夾角恰好為88°，下午不到5點回家時，時針與分針的夾角又是88°，則小明外出的時間是【變式33】鐘面角是指時鐘的時針和分針所成的角．例如：六點鐘的時候，時針與分針所成鐘面角為180°；七點鐘的時候，時針與分針所成鐘面角為150°．那么從六點鐘到七點鐘這一個小時內(nèi)，哪些時刻時針與分針所成鐘面角為100°？請寫出具體時刻：．（結(jié)果形如6點2311【知識點3方向角】在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【題型4與方向角有關(guān)的計算】【例4】根據(jù)描述標出每個同學家的位置(1)小紅家在學校東偏北30°方向150米處．(2)學校在小平家北偏西45°方向200米處．(3)小華家在學校南偏西60°方向100米處．(4)小剛家在學校西偏北30°方向150米處．【變式41】從海島A點觀察海上兩艘輪船B、C．輪船B在點A的北偏東60°25′方向；輪船C在點A的南偏東15°37′【變式42】如圖，甲從A點出發(fā)向北偏東70°方向走到點B，乙從點A出發(fā)向南偏西15°方向走到點C，則∠BAC的度數(shù)是（）

A．85° B．105° C．125° D．160°【變式43】如圖，貨輪甲從港口O出發(fā)，沿東偏南60°的方向航行20海里后到達A處．（已知四個圓圈的半徑（由小到大）分別是5海里，10海里，15海里，20海里．）（1）寫出在港口O觀測燈塔B，C的方向及它們與港口的距離；（2）已知燈塔D在港口O的南偏西30°方向上，且與燈塔B相距35海里，在圖中標出燈塔D的位置．（3）貨輪乙從港口O出發(fā)，沿正東方向航行15海里到達P處后，需把航行方向調(diào)整到與貨輪甲的航行方向一致，此時貨輪乙應向左（或右）轉(zhuǎn)多少度？并畫出貨輪乙航行線路示意圖．【題型5角的計數(shù)問題】【例5】解答下列各題（1）如圖，在∠AOB中，以O(shè)為頂點引射線，填表：∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)1234角的總個數(shù)________________________（2）若∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)是n，請用關(guān)于n的式子表示出上面的結(jié)論．（3）若∠AOB內(nèi)有射線條數(shù)是2020，則角的總個數(shù)為多少？【變式51】如圖，從點O出發(fā)的5條射線，可以組成的銳角的個數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．11【變式52】如圖，從點O引出的射線（任兩條不共線）條數(shù)與角的總個數(shù)有如下關(guān)系：從點O引出兩條射線形成1個角；如圖1從點O引出3條射線共形成3個角；如圖2從點O引出4條射線共形成6個角；如圖3從點O引出5條射線共形成10個角；（1）觀察操作：當從點O引出6條射線共形成有個角；（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖4當從點O引出n條射線共形成個角；（用含n的式子表示）（3）實踐應用：8支籃球隊進行單循環(huán)比賽（參加比賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽），總的比賽場數(shù)為場．如果n支籃球隊進行主客場制單循環(huán)賽（參加的每個隊都與其它所有隊各賽2場）總的比賽場數(shù)是場．【變式53】在銳角∠AOB內(nèi)部由O點引出3種射線，第1種是將∠AOB分成10等份；第2種是將∠AOB分成12等份；第3種是將∠AOB分成15等份，所有這些射線連同OA?OB可組成的角的個數(shù)是（

）A．595 B．406 C．35 D．666【知識點4角的比較與運算】角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【題型6角的比較】【例6】如圖所示，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD，試比較∠AOC和∠COE的大小關(guān)系．【變式61】已知∠α與∠β都小于平角，在平面內(nèi)把這兩個角的一條邊重合，若∠α的另一條邊恰好落在∠β的內(nèi)部，則（）．A．∠α<∠β B．∠α=∠β C．∠α>∠β D．不能比較∠α與∠β的大小【變式62】如圖，已知直線AB與射線OP相交于點O，點C是OA上一點，且∠AOP=90°.用尺規(guī)完成作圖：(1)在射線OB上截取OD，使OD=OC；在射線OP上取一點E，OE=2OC，連接CE、DE；比較線段CE與DE的大小，并直接寫出結(jié)論；(2)在射線OP上取一點Q(不同于點O，E)，連接CQ、DQ，比較∠CED與∠CQD的大小，并直接寫出結(jié)論.【變式63】學習了角的大小比較后，我們知道利用度量法可以進行兩個角的大小比較C、D為一個量角器在AB上方邊緣上的兩個動點，連接CO、DO．(1)當C，D兩點運動到如圖1所示的位置時，請你直接由量角器讀出∠COB=______°，∠DOA=______°；(2)若OD從OA出發(fā)以每秒8°的速度向終邊OB運動，同時OC從OB出發(fā)，以每秒10°的速度向終邊OA運動，運動時間為t，當CO⊥DO時，運動時間t是多少？(3)如圖2，過點O作AB的垂線與量角器的邊緣交于點E，若∠COD=60°，OF是∠COE的平分線，OD從OA出發(fā)，當C與B重合時停止運動，請?zhí)骄窟@個運動過程中，∠DOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．【知識點5角的和差關(guān)系】如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．角平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12【題型7與角平分線相關(guān)的角的運算】【例7】如圖，O為直線AD上一點，以O(shè)為頂點作∠COE=90°，射線OF平分∠AOE．

(1)如圖①，∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系為______；(2)如圖①，如果∠AOC=60°，求∠COF的度數(shù)；(3)若將圖①中的∠COE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，OF依然平分∠AOE，若∠AOC=α，請猜想∠COF的度數(shù)（可用α表示），并說明理由．【變式71】如圖，點O為直線AB上一點，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．

(1)若∠AOE=10°，求∠BOD的度數(shù)；(2)若∠AOC:∠COB=2:13，求∠BOF的度數(shù)．【變式72】解答下列問題如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是

(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若∠MPN=60°，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ=（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．

(3)如圖3，若∠MPN=α，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ=（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

【變式73】已知：O為直線AB上的一點，∠COE是直角，OF平分∠AOE．

圖1

圖2

圖3(1)如圖1，若∠COF=34°，則∠BOE=；若∠COF=m°，則∠BOE=；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為．(2)在圖2中，若∠COF=75°，在∠BOE內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD+∠AOF=13∠BOE?∠BOD(3)當射線OE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，直接寫出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．【題型8與角n等分線相關(guān)的角的運算】【例8】如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，∠AOB=45°，射線OC為∠AOB的“幸福線”，求∠AOC的度數(shù)；(3)如圖②，已知∠AOB=60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動的時間為t秒（0<t<9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的t值．【變式81】已知∠AOB＝120°，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，射線OM是∠AOC靠近OA的三等分線，射線ON是∠BOC靠近OB的三等分線．(1)若OC平分∠AOB，①依題意補全圖1；②∠MON的度數(shù)為．(2)當射線OC繞點O在∠AOB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，∠MON的度數(shù)是否改變？若不變，求∠MON的度數(shù)；若改變，說明理由．【變式82】定義：從∠AOB的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線OC，把∠AOB分成1:2的兩部分，射線OC叫做∠AOB的三等分線．若在∠MON中，射線OP是∠MON的三等分線，射線OQ是∠MOP的三等分線，設(shè)∠MOQ=x，則∠MON用含x的代數(shù)式表示為（A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x或92【變式83】綜合與實踐【問題發(fā)現(xiàn)】在數(shù)學探究課上，王老師帶領(lǐng)同學們結(jié)束角平分線的探究后，安排同學打自主探究角的三等分線．小明進行了如下探究，如圖①，若射線OC，OD是∠AOB的三等分線，則稱更靠近OA邊的射線OC是射線OA的“友好線”，靠近OB邊的射線OD是射線OB的“友好線”．(1)如圖②，∠AOB=150°，射線OP是射線OA的友好線，求∠AOP的度數(shù)．(2)【問題探究】如圖③，∠AOB=120°，射線OQ與射線OA重合并繞點O以每秒4°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與射線OB重合時停止．問旋轉(zhuǎn)幾秒后，OQ是OB的“友好線”．(3)【問題拓展】如圖④，∠AOB=180°，射線OM，ON分別與射線OA，OB重合，射線OM繞點O以每秒4°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，同時射線ON繞點O以每秒2°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，是否存在某一刻OM恰好是ON的“友好線”，若存在，求出時間t秒；若不存在，請說明理由．【題型9在三角板中的角的運算】【例9】如圖，三角尺①固定不動，將三角尺②的直角頂點O與三角尺①的頂點A重合．若三角尺②的一條直角邊與AC邊的夾角為40°，則三角尺②的另一條直角邊與AB邊的夾角不可能是（

）

A．20° B．80° C．100° D．150°【變式91】如圖所示，以直線AB上的一點O為端點，在直線AB的上方作射線OP，使∠BOP=70°．將一塊直角三角尺的直角頂點放在點O處，且直角三角尺（∠MON=90°）在直線AB的上方．設(shè)∠BOM=n°0<n<90．

(1)當n=32時，求∠PON的大?。?2)若0<n<70時，求∠AON?∠POM的值．【變式92】（1）探究：在①15°，②25°，③35°，④45

（2）在探究過程中他發(fā)現(xiàn)：如圖1，他先用三角板畫出了直線EF，然后將一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB的頂點與60°角（∠COD的頂點互相重合，且邊OA?OC都在直線EF上．固定三角板COD不動，將三角板AOB繞點O按順時針方向每秒旋轉(zhuǎn)5°（如圖2），當邊OB第一次落在射線OF上時停止．在此過程中，若旋轉(zhuǎn)時間為t秒，請用t表達下列角度．∠AOE=__________°（3）在此過程中，是否存在一個時間t（秒），使∠BOC=3∠AOD？若存在，請求出所有符合題意的t的值；若不存在，請說明理由．【變式93】綜合與實踐在一次數(shù)學綜合實踐課上，王老師提出了這樣一個問題．將一副三角板按如圖1所示方式擺放，分別作出∠AOC,∠BOD的平分線OM,ON，然后提出問題：求∠MON的度數(shù)．明明與同桌麗麗討論后，進行了如下解答：【特殊情況，探索思路】將三角板分別按圖2，圖3所示的方式擺放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分線，其中，按圖2方式擺放時，可以看成是ON,OD,OB在同一條直線上，按圖3方式擺放時，∠AOC和∠BOD相等．(1)直接寫出計算結(jié)果：圖2中∠MON的度數(shù)為_______，圖3中∠MON的度數(shù)為_______；(2)【特例啟發(fā)，解答題目】猜想在圖1所示的一般情況下∠MON的度數(shù)，并說明理由；(3)【核心素養(yǎng)，方法總結(jié)】你覺得明明和麗麗解決以上問題的方法，用到了_______數(shù)學思想A．由特殊到一般

B．方程思想

C．分類討論

D．逆向思考(4)【拓展結(jié)論，設(shè)計新題】若將王老師出示的題目中條件“分別作出∠AOC,∠BOD的平分線OM,ON”改為“分別作出射線OM,ON，使∠AOM=45∠AOC,∠DON=【題型10余角和補