專題2.2平行線四大模型與動(dòng)態(tài)角度問題專題講練（原卷版）

專題2.2平行線四大模型與動(dòng)態(tài)角度問題專題講練平行線基本模型與動(dòng)態(tài)角度問題在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，該份資料就平行線的四大模型（鉛筆模型、豬蹄模型、拐彎模型、“5”字模型）和動(dòng)態(tài)模型（翻折、旋轉(zhuǎn)）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。重要模型模型1：豬蹄模型（M型）【解題技巧】如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，結(jié)論：AB∥CD.圖①、圖②圖③③已知：AB∥CD，結(jié)論：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.例1、（2022.廣東省初一月考）如圖所示，已知：AB∥CD，求證：∠APC=∠A+∠C；變式1.（2022·廣西·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知直線，直線與，分別交于點(diǎn)A，B，直線與，分別交于點(diǎn)C，D，P是直線上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合).探究，，之間的關(guān)系，可以得到的結(jié)論是________.變式2．（2022·廣西貴港·七年級(jí)期末）如圖，平面內(nèi)直線，點(diǎn)，，分別在直線，，上，平分，并且滿足，則，，關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．例2．（2022·山東·德州七年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時(shí)，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE得到．求證：小明筆記上寫出的證明過程如下:證明：過點(diǎn)E作∵∵，∴∴∴∴請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問題．(1)如圖，若，，求；(2)如圖，，BE平分，CF平分，，求．變式3．（2022·安徽·潛山市七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D是的兩條射線上的點(diǎn)（異于點(diǎn)O），且，，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問與，之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)點(diǎn)P在射線BM上時(shí)（異于點(diǎn)B），與，之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出圖形，并說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P位于直線AD與BC之間且在直線CD下方時(shí)，與，之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形，并說明理由．變式4.（2022·四川·西川中學(xué)七年級(jí)期中）已知，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，點(diǎn)在、之間，連接、．（1）如圖1，若，求的度數(shù)．（2）在（1）的條件下，分別作和的平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)．（3）如圖2，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知．則判斷以下兩個(gè)結(jié)論是否正確，并證明你認(rèn)為正確的結(jié)論．①為定值；②為定值．模型2：鉛筆頭模型【解題技巧】如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，結(jié)論：AB∥CD.圖①、圖②圖③③已知：AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.例1、（2022.河北七年級(jí)月考）如圖，已知：AB∥CD，求證：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；變式1．（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)期末）如圖已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正確的結(jié)論有____．（填序號(hào)）變式2．（2022·黑龍江·七年級(jí)期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（）A． B． C． D．例2．（2022·福建泉州七年級(jí)期末）問題情境：我市某中學(xué)班級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組遇到問題：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．經(jīng)過討論形成的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．（1）按該數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的思路，請(qǐng)你幫忙求出∠APC的度數(shù)；（2）問題遷移：如圖3，∥，點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，．請(qǐng)你判斷、、之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖4，已知兩條直線∥，點(diǎn)在兩平行線之間，且的平分線與∠DFP的平分線相交于點(diǎn)Q，求的度數(shù)．變式3．（2022·吉林白山·七年級(jí)期中）如圖，已知直線．這兩直線之間一點(diǎn)．（1）如圖1，若與的平分線相交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．（2）如圖2，若與的平分線相交于點(diǎn)，與有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，若的平分線與的平分線所在的直線相交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．變式4．（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）如圖，已知，M，N分別是直線AB，CD上一點(diǎn)，點(diǎn)E在直線AB，CD之間．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，F(xiàn)是EM上一點(diǎn)，NE平分，F(xiàn)H平分，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，P為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)N重合），過點(diǎn)P作交直線CD于點(diǎn)G，∠PNG的角平分線和∠PGC的角平分線交于點(diǎn)O，則∠O的度數(shù)為______（直接寫出結(jié)果）．例3．（2022·西安七年級(jí)月考）下列各圖中的MA1與NAn平行．（1）圖①中的∠A1+∠A2=度，圖②中的∠A1+∠A2+∠A3=度，圖③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=度，圖④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=度，…，第⑩個(gè)圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=度（2）第n個(gè)圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=．變式5．（2022·內(nèi)蒙古包頭·七年級(jí)期中）如圖，已知A1BAnC，則∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．變式6．（2022·河南安陽·七年級(jí)期末）猜想說理：（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫出，，的關(guān)系，并任選其中一個(gè)圖形說明理由：拓展應(yīng)用：（2）如圖4，若，則度；（3）在圖5中，若，請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示的度數(shù)．模型3：拐彎模型【解題技巧】類型1（鳥嘴形）：如圖，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3.類型2（骨折形）：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠2=∠1+∠3.例1．（2022.廣東七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，求證：∠1=∠2+∠3.變式1．（2022·山東德州·七年級(jí)期末）已知，平分，，，則___________．變式2．（2021·保定市期中）（1）已知：如圖1，，易知______．（2）如圖2，，，是直線上的兩點(diǎn)，猜想，，，，這四個(gè)角之間的關(guān)系，寫出以下三種情況中這四個(gè)角之間的關(guān)系，并選擇其中之一進(jìn)行說明．圖2①圖中四個(gè)角的關(guān)系：______②圖中四個(gè)角的關(guān)系：______③圖中四個(gè)角的關(guān)系：______例2.（2022·忠縣七年級(jí)月考）如圖，已知直線l1//l2，l3、和l1、l2分別交于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)P在直線l3或上且不與點(diǎn)A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若點(diǎn)P在圖（1）位置時(shí)，求證：∠3=∠1+∠2；（2）若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系；（3）若點(diǎn)P在圖（3）位置時(shí)，寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明；（4）若點(diǎn)P在線段DC延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．變式3．（2022·上海市羅南中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠AMD＝90°．(1)當(dāng)點(diǎn)M在如圖1的位置時(shí)，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說理過程）；(2)當(dāng)點(diǎn)M在如圖2的位置時(shí)，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點(diǎn)F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．變式4．（2022·湖南株洲市期末）已知直線a∥b，直線EF分別與直線a，b相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明∠1+∠3=∠2；（提示：過點(diǎn)P作PM∥a）（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動(dòng)時(shí)有兩種情況，①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明．②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．模型4：“5”字模型基本模型：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.例1.（2022.浙江七年級(jí)期中）如圖，AB∥CD，求證：∠1+∠3－∠2=180°.變式1．（2022·江蘇七年級(jí)期末）如圖，AB∥CD，則∠1+∠3－∠2的度數(shù)等于__________．變式2．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）已知直線，射線、分別平分，，兩射線反向延長線交于點(diǎn)，請(qǐng)寫出，之間的數(shù)量關(guān)系：________．例2．（2022·湖北洪山·七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點(diǎn)，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點(diǎn)E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．變式3．（2022·黑龍江·七年級(jí)月考）如圖，，E是上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作，若，平分，，，則_______．變式4．（2022·安徽蕪湖·七年級(jí)期中）如圖，AB∥CD，BF,DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與∠ABE互補(bǔ)，則∠F的度數(shù)為A．30° B．35° C．36° D．45°例3．（2022·河南駐馬店七年級(jí)期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，請(qǐng)直接寫出∠F的度數(shù)；（2）探索∠E與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，F(xiàn)G的反向延長線交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．變式5．（2022·江蘇·呂良中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖1，已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB，AC，求的度數(shù)．閱讀并補(bǔ)充下面推理過程解：過點(diǎn)A作，_________________．__________________解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運(yùn)用：如圖2，已知，求證：提示：過點(diǎn)C做．(3)深化拓展：已知，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，平分，DE平分，BE，DE所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在AB與CD兩條平行線之間．①如圖3，點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，若，求的度數(shù)。②如圖4，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且，若，則的度數(shù)為___________．變式6．（2022·湖北咸寧市期末）（感知）如圖①，AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、BE，試說明∠BAE+∠DCE=∠AEC；（探究）當(dāng)點(diǎn)E在如圖②的位置時(shí)，其他條件不變，試說明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（應(yīng)用）點(diǎn)E、F、G在直線AB與CD之間，連結(jié)AE、EF、FG和CG，其他條件不變，如圖③，若∠EFG=36°，則∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.模型5：折疊模型例1．（2022·黑龍江·林口縣七年級(jí)期末）一張長方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB=35°，則：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②變式1．（2022·江蘇·沭陽縣潼陽中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，把一張長方形的紙片ABCD沿EF折疊，若，則∠EFC的度數(shù)為（）A．70° B．110° C．130° D．150°變式2．（2022·浙江紹興·七年級(jí)期中）如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若∠AGE＝36°，則∠GHC等于（

）A．110° B．108° C．106° D．112°變式2．（2022·廣東佛山市七年級(jí)期中）如圖，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，則∠BFC′的度數(shù)為_________．例2.（2022·廣東深圳市七年級(jí)期末）如圖①，在長方形中，點(diǎn)在上，并且，分別以、為折痕進(jìn)行折疊并壓平，如圖②，若圖②中，則的度數(shù)為______度.變式3．（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）如圖1，將一條對(duì)邊互相平行的紙條進(jìn)行兩次折疊，第一次折疊的折痕為AB，且∠1＝25°，第二次折疊的折痕為CD．（1）如圖2，若CD∥AB，則∠2＝______．（2）如圖3，若CD∥BE，則∠2＝______．變式4．（2022·全國·八年級(jí)單元測(cè)試）在△ABC中，將∠B、∠C按如圖方式折疊，點(diǎn)B、C均落于邊BC上一點(diǎn)G處，線段MN、EF為折痕．若∠A＝80°，則∠MGE＝_____°．例3．（2022·宜興市北郊中學(xué)初二期中）如圖a是長方形紙帶，∠DEF=26°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（）A．102° B．108° C．124° D．128°變式5．（2022·安徽合肥·七年級(jí)期中）有長方形紙片，E，F(xiàn)分別是AD，BC上一點(diǎn)∠DEF＝x（0°＜x＜45°），將紙片沿EF折疊成圖1，再沿GF折疊成圖2．（1）如圖1，當(dāng)x＝32°時(shí)，＝_____度；（2）如圖2，作∠MGF的平分線GP交直線EF于點(diǎn)P，則∠GPE＝_____（用x的式子表示）．變式6.（2022·上海市七年級(jí)月考）已知，如圖1，四邊形，，點(diǎn)在邊上，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）如圖3，將沿翻折使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)，答：______．模型6：旋轉(zhuǎn)模型例1．（2022·湖南岳陽·七年級(jí)期末）如圖，將一副三角板按如圖所示放置，，，，且，則下列結(jié)論中：①；②若平分，則有；③將三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)落在線段上，則此時(shí)；④若，則．其中結(jié)論正確的選項(xiàng)有______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）變式1．（2022·遼寧建昌·七年級(jí)期末）一副三角板按如圖所示疊放在一起，其中點(diǎn)B、D重合，若固定三角形AOB，改變?nèi)前錋CD的位置（其中A點(diǎn)位置始終不變），下列條件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序號(hào)）變式2．（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級(jí)期中）如圖，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點(diǎn)O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法正確的是（）A．當(dāng)α＝15°時(shí)，DC∥ABB．當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α＝45°C．當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，共有10個(gè)位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行例2.（2022·浙江七年級(jí)期中）已知直線AB∥CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按順時(shí)針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按順時(shí)針方向每秒1°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時(shí)射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線PB、QC同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間30秒時(shí)，PB'與QC'的位置關(guān)系為_____；（2）若射線QC先轉(zhuǎn)45秒，射線PB才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為_____秒時(shí)，PB′∥QC′．變式3.（2022·江蘇泰興市月考）某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，主道路是平行，即PQ∥MN．如圖所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)_________秒，兩燈的光束互相平行．變式4（2022.江蘇鎮(zhèn)江七年級(jí)期中）鎮(zhèn)江市旅游局為了亮化某景點(diǎn)，在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)；B燈發(fā)出的光束自BP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12°，B燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)4°．B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)12秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)BQ之前，兩燈的光束互相平行時(shí)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是．例3.（2022.綿陽市七年級(jí)期中）“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=______°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD=120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說明理由．變式5.（2022·山東德州市七年級(jí)期中）如圖，PQ∥MN，A、B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN＝45°，若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：鐘表指針走動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向）（1）a＝，b＝；（2）若射線AM、射線BQ同時(shí)旋轉(zhuǎn)，問至少旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相垂直．（3）若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線BQ才開始繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)多少秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相平行？課后專項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2022·遼寧大連·七年級(jí)期末）如圖，已知，點(diǎn)是之間的任意一點(diǎn)且在右側(cè)．（1）與的數(shù)量關(guān)系是___________________；（2）的平分線所在直線與的鄰補(bǔ)角平分線相交于點(diǎn)．①根據(jù)題意，在圖中補(bǔ)全圖形，判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②若，求的度數(shù)(用含的式子表示)．2．（2022·福建龍巖七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M，若G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合）．(1)如圖1，若EG平分∠BEF，試判斷EM與EG的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN=α，∠EGF=β．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若β=60°，求α的度數(shù)；②在點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過程中，α和β之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并說明理由．3．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M，且∠FEM＝∠FME．(1)判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由；(2)如圖2，點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若β＝56°，求α的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．4．（2022·江蘇南通·七年級(jí)期中）已知，連接，兩點(diǎn)．(1)如圖1，與的平分線交于點(diǎn)，則等于__________度；(2)如圖2，點(diǎn)在射線反向延長線上，點(diǎn)在射線上．與的平分線交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)；(3)如圖3，圖4，，分別為射線，射線上的點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)．設(shè)，，請(qǐng)直接寫出圖中的度數(shù)（用含，的式子表示）．5．（2022·江蘇連云港·七年級(jí)期中）（1）【問題情境】小明翻閱自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記時(shí)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)老師在講評(píng)七下《伴你學(xué)》第6頁“遷移應(yīng)用”第1題時(shí)，曾做過如下追問：如圖1，已知，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，點(diǎn)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G在AB、CD之間，且在線段EF左側(cè)時(shí)，連接EG、FG，則一定有，為什么？請(qǐng)幫助小明再次說明理由；（2）【變式思考】如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在AB上方時(shí)，且，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系______；（3）【遷移拓展】①如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)E作直線HK交直線CD于K，使與互補(bǔ)，作的平分線與直線GE交于點(diǎn)L，請(qǐng)你判斷FG與KL的位置關(guān)系，并說明理由；②在①的條件下，第一次操作；分別作∠BEL和∠DKL的平分線，交點(diǎn)為L1；第二次操作，分別作∠BEL1和∠DKL1的平分線，交點(diǎn)為L2；……第n次操作，分別作∠BELn1和∠DKLn1的平分線，交點(diǎn)為L、則∠Ln=______．6．（2022·廣東·深圳大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)期末）如圖1，E點(diǎn)在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．(1)求證：AB∥CD；(2)如圖2，AB∥CD，BG平分∠ABE，與∠EDF的平分線交于H點(diǎn)，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度數(shù)．(3)保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，則∠PBM的度數(shù)是否改變？若不變，請(qǐng)求值；若改變，請(qǐng)說明理由．7．（2022·山西晉中·七年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐：問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，已知兩直線a，b且和直角三角形ABC，，，．操作發(fā)現(xiàn)：(1)在圖1中，，求的度數(shù)；(2)如圖2，創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移，并把的位置改變，發(fā)現(xiàn)，說明理由；實(shí)踐探究：(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，AC平分，此時(shí)發(fā)現(xiàn)與又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的發(fā)現(xiàn)并說明理由．8．（2022·遼寧大連·七年級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)E、F分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P為AB、CD之間的一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)如圖2，點(diǎn)G在射線FC上，PG平分，，探究與之間的數(shù)量關(guān)系．并說明理由；(3)如圖3，，．直線HQ分別交FN，EM于H、Q兩點(diǎn)，若，求的度數(shù)．9．（2022·內(nèi)蒙古包頭·七年級(jí)期中）如圖①，直線，直線和直線、分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)在直線上，連接、．(1)猜想：如圖①，若點(diǎn)在線段上，，，則的大小為度；(2)探究：如圖①，若點(diǎn)在線段上，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；(3)拓展：如圖②，若點(diǎn)在射線上或在射線上時(shí)，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系．10．（2022·江西贛州·七年級(jí)期中）已知，，直線與直線，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)如圖2，與的角平分線交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)G，H是上一點(diǎn)，且．求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，K是上一點(diǎn)使，作平分，問的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說明理由．11．（2022·江西宜春·七年級(jí)期末）問題：已知線段AB∥CD，在AB、CD間取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不在直線AC上），連接PA、PC，試探索∠APC與∠A、∠C之間的關(guān)系．(1)端點(diǎn)A、C同向：如圖1，點(diǎn)P在直線AC右側(cè)時(shí)，∠APC﹣（∠A+∠C）＝度；如圖2，點(diǎn)P在直線AC左側(cè)時(shí)，∠APC+（∠A+∠C）＝度；(2)端點(diǎn)A、C反向：如圖3，點(diǎn)P在直線AC右側(cè)時(shí)，∠APC與∠A﹣