專題07幾何壓軸題-2023年江西中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編

專題07幾何壓軸題1．（2022?江西）綜合與實(shí)踐問題提出某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板的一個頂點(diǎn)放在正方形中心處，并繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與重合時(shí)，重疊部分的面積為1；當(dāng)與垂直時(shí)，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與的關(guān)系為；類比探究（2）若將三角板的頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，在旋轉(zhuǎn)過程中，，分別與正方形的邊相交于點(diǎn)，．①如圖2，當(dāng)時(shí)，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)時(shí)，求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號）；拓展應(yīng)用（3）若將任意一個銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心處，該銳角記為（設(shè)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示）．（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與重合時(shí)，與重合，此時(shí)重疊部分的面積的面積正方形的面積；當(dāng)與垂直時(shí)，，重疊部分的面積正方形的面積；一般地，若正方形面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與的關(guān)系為．理由：如圖1中，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．是正方形的中心，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，，．故答案為：1，1，．（2）①如圖2中，結(jié)論：是等邊三角形．理由：過點(diǎn)作，是正方形的中心，，，，，，，是等邊三角形；②如圖3中，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，，，，，，，，．（3）如圖中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積最小，即最?。谥?，，，．如圖中，當(dāng)時(shí)，最大．同法可證，，，，，，．2．（2021?江西）課本再現(xiàn)（1）在證明“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，小明只撕下三角形紙片的一個角拼成圖1即可證明，其中與相等的角是；類比遷移（2）如圖2，在四邊形中，與互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形中這對互余的角可類比（1）中思路進(jìn)行拼合：先作，再過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，發(fā)現(xiàn)，，之間的數(shù)量關(guān)系是；方法運(yùn)用（3）如圖3，在四邊形中，連接，，點(diǎn)是兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接，．①求證：；②連接，如圖4，已知，，，求的長（用含，的式子表示）．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1中，由圖形的拼剪可知，，故答案為：．（2）解：如圖2中，，，，．故答案為：．（3）①證明：如圖3中，連接，作的外接圓．點(diǎn)是兩邊垂直平分線的交點(diǎn)點(diǎn)是的外心，，，，，，，．②解：如圖4中，在射線的下方作，過點(diǎn)作于．，，，，，，，，，，，，，，，．3．（2020?江西）某數(shù)學(xué)課外活動小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積，，之間的關(guān)系問題”進(jìn)行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以，，為斜邊向外側(cè)作，，，若，則面積，，之間的關(guān)系式為；推廣驗(yàn)證（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以，，為邊向外側(cè)作任意，，，滿足，，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形中，，，，，點(diǎn)在上，，，求五邊形的面積．【答案】見解析【詳解】類比探究（1），，，，同理可得：，，，，故答案為：．（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：，，，，同理可得：，，，，（3）過點(diǎn)作于，連接，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，且，，，，，，，，，，，，，又，，由（2）的結(jié)論可得：，五邊形的面積．4．（2019?江西）在圖1，2，3中，已知，，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，連接，以為邊向上作菱形，且．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，60；（2）如圖2，連接．①填空：（填“”，““，“”；②求證：點(diǎn)在的平分線上；（3）如圖3，連接，，并延長交的延長線于點(diǎn)，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）四邊形是菱形，，，故答案為：；（2）①四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，如圖，作于，交的延長線于，則，，又，，，，為等邊三角形，，在和中，，，又，，點(diǎn)在的平分線上，當(dāng)時(shí)，如圖3，連接，，，，，四邊形為菱形，，又，為等邊三角形，，，則，又，點(diǎn)在的平分線上，當(dāng)時(shí)，同理可證，點(diǎn)在的平分線上，綜上所述，點(diǎn)在的平分線上；（3）設(shè)線段，相交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，又，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，平行四邊形為菱形，，，．5．（2018?江西）在菱形中，，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)的位置變化而變化．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由（選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）；（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，連接，若，，求四邊形的面積．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：，．理由：連接．四邊形是菱形，，，都是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，延長交于，，，，即．故答案為，．（2）結(jié)論仍然成立．理由：選圖2，連接交于，設(shè)交于．四邊形是菱形，，，都是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，．，，，，，，，即．選圖3，連接交于，設(shè)交于．四邊形是菱形，，，都是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，．，，，，，，，即．（3），由（2）可知，，在菱形中，，，，，在中，，，與是菱形的對角線，，，，，，，在中，，．6．（2022?南昌模擬）已知正方形與正方形，正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周．（1）如圖1，連接、，①求的值；②求的度數(shù)．（2）當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，連接、，分別取、的中點(diǎn)、，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）①如圖1，連接，，四邊形和四邊形都是正方形，，，，，，，；②是正方形的對角線，，，在中，；（2），，理由如下：如圖2，連接，過點(diǎn)作，交直線于，連接，設(shè)與交點(diǎn)為，與交點(diǎn)為，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，又，，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，．7．（2022?吉安一模）在中，，，，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為相等，；拓展探究（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；問題解決（3）當(dāng)時(shí)，求線段的長度．【答案】見解析【詳解】（1）在中，，，，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，．，是等邊三角形，．，，，，，，，又，，△，，，，，故答案為：相等；；（2）成立，證明如下：如圖②，連接，△是等邊三角形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，是等邊三角形，，，，，，在與△中，，△，，，，；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖②，連接，在中，，，，，，，，，，，，，，，；若點(diǎn)在線段的延長線上，如圖③，連接，，，，，，，，；綜上所述：或．8．（2022?新余一模）綜合與實(shí)踐如圖1，已知點(diǎn)在正方形的對角線上，，垂足為，，垂足為．【證明與推斷】（1）①四邊形的形狀是正方形；②的值為；【探究與證明】（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖2所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展與運(yùn)用】（3）如圖3，在（2）的條件下，正方形在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，探究和的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）①正方形②．理由：如圖1中，四邊形是正方形，，，、，，四邊形是矩形，，，四邊形是正方形，，，，．故答案為：正方形，．（2）結(jié)論：，理由：如圖2中，連接．由旋轉(zhuǎn)可得，四邊形是正方形，，，為等腰直角三角形，，由①得四邊形是正方形，，，為等腰直角三角形．，，，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）結(jié)論：，理由：如圖3中，連接，，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，．，．，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，，．9．（2022?贛州一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．觀察猜想（1）如圖1，是以、為腰的等腰三角形，點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上．且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．請直接寫出旋轉(zhuǎn)后與的數(shù)量關(guān)系；探究證明（2）如圖2，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，分別交與兩邊于點(diǎn)、點(diǎn)．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；拓展延伸（3）如圖3，是等邊底邊的中線，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，若等邊三角形的邊長為4，當(dāng)時(shí)，求出的值．【答案】見解析【詳解】（1），，，，，，，，，，，故答案為：；（2）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為，理由如下：是等腰直角三角形，，，，，，，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，又，，，；（3）是等邊底邊的中線，，，，如圖3，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，，，，，，如圖，同理可得：，，，.10．（2022?宜春模擬）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為一邊作正方形，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，則線段與的數(shù)量關(guān)系為；（2）【拓展探究】在（1）的條件下，如果正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，，線段與的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）【問題解決】當(dāng)，且（2）中的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出線段的長．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，四邊形是正方形，，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，故答案為：．（2）無變化，證明：如圖2，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖2，，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，，，，由（1）得，，，，，，；如圖3，，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段的延長線上，，，，，，，，，，，綜上所述，線段的長為或．11．（2022?尋烏縣模擬）（1）發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)在邊上，連接．填空：①的度數(shù)是；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)在邊上，連接．請判斷的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，．若點(diǎn)滿足，且，請直接寫出的長．【答案】見解析【詳解】（1）發(fā)現(xiàn)解：①在中，，，，，即，在和中，，，，；故答案為：，②，，，；故答案為：．（2）探究；．理由：和均為等腰直角三角形，，，，，即．．，．．在等腰直角三角形中，，，．（3）應(yīng)用或．作于，連接，在中，，，，，，，，，，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，，是等腰直角三角形，，，，，，，或．12．（2022?江西模擬）【性質(zhì)探究】（1）如圖1，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則：①與的位置關(guān)系為；②如圖2，連接，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，請?zhí)骄烤€段與的關(guān)系并給予證明．【拓展應(yīng)用】（2）如圖3，已知點(diǎn)是正方形的邊上任意一點(diǎn)，以為邊作正方形，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．①若，，求的長；②若，，則的長為（用含，的代數(shù)式表示）．【答案】見解析【詳解】（1）①將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，；幫答案為；②，，證明：延長至點(diǎn)，使，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由①可知，，為的中點(diǎn)，，，，（2）①如圖，連接，，四邊形，為正方形，，，，，，可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，由（1）中②可知，，②同①可知，，，．故答案為．13．（2022?石城縣模擬）【溫故知新】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值．我們知道：如圖1，點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，請直接寫出與的比值是．【問題探究】如圖2，在中，，，，在上截取，再在上截取，則的值為．【問題解決】如圖3，用邊長為6的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形得折痕，連接，將折疊到上，點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)，得折痕，試說明：是的黃金分割點(diǎn)．【拓展延伸】如圖4，正方形中，為對角線上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，當(dāng)為的黃金分割點(diǎn)時(shí)，，連，延長交于，請用相似的知識求出的值為．【答案】見解析【詳解】【問題發(fā)現(xiàn)】解：點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，，，故答案為：；【問題探究】解：，，，，，，，故答案為：；【問題解決】解：如圖3，設(shè)與交于點(diǎn)，，且為的中點(diǎn)，，過點(diǎn)作，平分，，設(shè)，，，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，，，故點(diǎn)為的黃金分割點(diǎn)；【拓展延伸】解：如圖4，延長交延長線于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過作于，，點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，，，（同為所對的圓周角）又，為等腰直角三角形，，，，，，，，又，，，，為的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，設(shè)，，，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，，，，，，，故答案為：．14．（2022?石城縣模擬）如圖1，菱形中，．，四邊形的頂點(diǎn)，分別在邊和上，，，連接．（1）若平分，求證：四邊形為菱形；（2）在（1）中的條件下，當(dāng)時(shí)，將四邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，連接．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；②當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1，連接、，四邊形是菱形，，，，，，，四邊形是平行四邊形；，，，，，，，，；，，，，，四邊形是菱形（2）①．證明：如圖2，連接、，作于點(diǎn)，則，，，，，，，由旋轉(zhuǎn)得，，同理，，，，，，，，，，，，，，②如圖3，作交的延長線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，在圖1中，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，，，由得，，解得，，．15．（2022?贛州模擬）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，，則四邊形為等鄰角四邊形．（1）定義理解：已知四邊形為等鄰角四邊形，且，，則55度．（2）變式應(yīng)用：如圖2，在五邊形中，，對角線平分．①求證：四邊形為等鄰角四邊形；②若，，請判斷的形狀，并明理由．（3）深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形中，，，垂足為，點(diǎn)為邊上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為，．在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，判斷與的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（4）遷移拓展：如圖4，是一個航模的截面示意圖．四邊形是等鄰角四邊形，，為邊上的一點(diǎn)，，，垂足分別為、，，，．、分別為、的中點(diǎn)，連接、，求與的周長之和．【答案】見解析【詳解】（1）解：四邊形為等鄰角四邊形，，，，，故答案為：55；（2）①證明：平分，，，，，四邊形為等鄰角四邊形；②解：是等邊三角形，理由如下：，，，，，，，，又，是等邊三角形；（3）解：，理由如下：如圖，延長，交于點(diǎn)，連接，，，，，；（4）解：如圖，延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，，，、分別為、的中點(diǎn)，，，，，，，，由（3）可得，與的周長之和．16．（2022?南昌模擬）如圖1，在中，，，是邊上的中線，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，是垂足，可繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接和．●問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論正確的是①②④（填序號）①；②點(diǎn)是的中點(diǎn)；③是的角平分線；④．●數(shù)學(xué)思考（2）將圖2中繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖3，則和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；●拓展應(yīng)用（3）在圖1中，若，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．①則；②若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，連結(jié)，，求四邊形的面積．【答案】見解析【詳解】（1）如圖2，是邊上的中線，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，，，，，故①正確；，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，故②正確；延長到點(diǎn)，使，連結(jié)，，，，，，，，假設(shè)，則，，，這與相矛盾，假設(shè)不成立，不能是的角平分線，故③錯誤；，，，，，，，，，故④正確，故答案為：①②④．（2），證明：如圖3，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，．（3）①如圖1（1），，，，，，，如圖1（2），由旋轉(zhuǎn)得，，，，，故答案為：．②如圖1（1），，，，，，，如圖4，過作于，過作于，，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，，四邊形的面積為．17．（2022?江西二模）操作：如圖1，正方形中，，點(diǎn)是邊上一個動點(diǎn)，在上截取，連接，過正方形的中心作交邊于，連接、、、．探究：在點(diǎn)的運(yùn)動過程中：（1）猜想線段與的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？若不會，求出其度數(shù)，若會，請說明理由．應(yīng)用：（3）當(dāng)時(shí)，試求出的周長，并寫出的取值范圍；（4）當(dāng)?shù)闹挡淮_定時(shí)：①若時(shí)，試求的值；②在圖1中，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，與相交于點(diǎn)；并將圖1簡化得到圖2，記矩形的面積為，試用含的代數(shù)式表示出的值，并說明理由．【答案】見解析【詳解】（1），理由：如圖1，連接，在正方形中，點(diǎn)是正方形中心，，，，，，（2）的度數(shù)不會發(fā)生變化，理由：由（1）可知，，，，，，，，，，恒為定值．（3）由（2）可知，，，垂直平分，的周長為，，的周長為，（4）①如圖2，，，，，，，到與的距離相等，，，，，②猜想：，理由：如圖3，由（1）可知，，，，，，，，．18．（2022?湖口縣二模）在矩形中，，，為上的動點(diǎn)，為上的動點(diǎn)，且．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求的值．（2）如圖②，與相交于點(diǎn)，連接，當(dāng)平分時(shí)，求證：．（3）在（2）的前提下，連接，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：四邊形是矩形，．，，．，，，，．（2）證明：如圖1，延長、相交于點(diǎn)，在和中，，，，．，，，，；（3）解：如圖2，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，．同（1）可知，，．，，，．，，，，，解得，，．在和中，由勾股定理得，．．，，．19．（2022?吉州區(qū)模擬）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊、都落在對角線上，展開得折痕、，連接，如圖1．（1）45，寫出圖中兩個等腰三角形：（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊、于點(diǎn)、，連接，如圖2．（2）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）連接正方形對角線，若圖2中的的邊、分別交對角線于點(diǎn)、點(diǎn)，如圖3，則；剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線剪開，如圖4．（4）求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1中，四邊形是正方形，，，，都是等腰三角形，，，，，，，，，，，，，都是等腰三角形，故答案為：45，，，，．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，延長到，使得．，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．（3）解：如圖3中，四邊形是正方形，，，，，，，故答案為：．（4）證明：如圖4中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．，，，，，，，，，，，，，，，．20．（2022?景德鎮(zhèn)模擬）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，點(diǎn)為平面內(nèi)一動點(diǎn)，且，，則的最小值為，的最大值為；（2）輕松嘗試：如圖2，在矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值為．（3）方法運(yùn)用：在四邊形中，，點(diǎn)是上方的動點(diǎn)，且，，．①如圖3，當(dāng)時(shí)，求線段的最大值．②如圖4，當(dāng)時(shí)，用含式子表示線段的最大值．【答案】見解析【詳解】（1），，，，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，的值最小，最小值為，，，，，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長線上時(shí)，的值最大，最大值為，故答案為：；；（2）如圖所示點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)、、共線時(shí)，此時(shí)的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△，，，是邊的中點(diǎn)，，，，，．故答案為：8；（3）①如圖3中，以為邊作等腰直角三角形，，，，，，，欲求的最大值，只要求出的最大值即可，定值，，點(diǎn)在以為直徑的上運(yùn)動，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)在上方，時(shí)，的值最大，最大值，的最大值為．②如圖4中，以為邊作直角三角形，使，，，，，，，欲求的最大值，只要求出的最大值即可，定值，，點(diǎn)在以為直徑的上運(yùn)動，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)在上方，時(shí)，的值最大，最大值，的最大值為．21．（2022?撫州模擬）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們總是從一些最簡單的圖形出發(fā)，研究其中的邊角關(guān)系，然后再應(yīng)用所得到的結(jié)論去解決其他較復(fù)雜的問題．【基本圖形】（1）如圖（1），在中，，，則．（用含，的式子表示）【解決問題】（2）在中，，，．①如圖（2），是邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別是，，連接，，，，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖（3），若，，分別是邊，，上的動點(diǎn)，則的周長的最小值為．【應(yīng)用拓展】（3）如圖（4），，分別是邊長為2的正方形的邊，上的動點(diǎn)，且，，，分別是的邊，，上的動點(diǎn)，請直接寫出的周長的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，故答案為：；（2）①，理由如下：如下圖，連接，，由題意知，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，；②連接，，，，，，則，，的周長為，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，的周長最小，最小值為的長，，當(dāng)最小時(shí)，的周長最小，根據(jù)題意知，當(dāng)時(shí)，有最小值，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，周長的最小值為，故答案為：；（3）過點(diǎn)作于，延長到點(diǎn)，使，連接，，由（2）②得出周長的最小值為，在長方形中，，，，，，，又，，又，，，周長的最小值為．22．（2022?九江三模）回歸教材：（1）如圖1，小然同學(xué)在學(xué)習(xí)九年級上（北師版）教材頁時(shí)，遇到了這個問題．如圖，在中，，，垂足為．求證：．請你替小然寫出過程．小試牛刀：（2）如圖2，，，，，，，．變式探索：（3）如圖3，中，，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，，，，求長．拓展應(yīng)用：（4）如圖4，正方形中，以為圓心，為半徑作圓在正方形內(nèi)得到弧，點(diǎn)為弧上一點(diǎn)，且滿足．面積記作，正方形面積記為．①求；②試猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：如圖1，延長，交的延長線于，由（1）得：，，，，，，，，，，，，，故答案為：；（3）解：，，，，，，，，，，，；（4）解：如圖，以為圓心，為半徑的圓補(bǔ)全，在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)，作于，①，，，，，，，，，，，，，；②由①知：，，，，，，，，．23．（2022?九江一模）如圖（1），在四邊形中，，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，且，連接．（1）觀察猜想如圖（2），當(dāng)時(shí)，①四邊形是正方形（填特殊四邊形的名稱）；②，，之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）類比探究如圖（1），線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．（3）解決問題如圖（3），在中，，，點(diǎn)，均在邊上，且，若，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）①，四邊形是矩形，又，四邊形是正方形，故答案為：正方形；②如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，即點(diǎn)，，共線，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，，，又，，故答案為：；（2）成立，理由如下：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，，，，，，點(diǎn)，，在同一直線上，，，，，，又，，，，；（3）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△，連接，則，，，，在中，，，，，即，，由②同理得，△，，即，解得．24．（2022?南城縣一模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)所連線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果其中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們就把這條線段叫做這個三角形的“華麗分割線”．例如：如圖1，把分成和，若是等腰三角形，且，那么就是的“華麗分割線”．（1）【定義感知】如圖1，在中，，，．求證：是的“華麗分割線”．（2）【問題解決】①如圖2，在中，，是的“華麗分割線”，且是等腰三角形，則的度數(shù)為或．②如圖3，在中，，，是的“華麗分割線”，且是以為底邊的等腰三角形，求華麗分割線的長．【答案】見解析【詳解】證明：（1），是等腰三角形．又，．．又，．是的“華麗分割線”；（2）①當(dāng)時(shí)，得，．，．在中，由內(nèi)角和定理得．當(dāng)時(shí)，．，．在中，由內(nèi)角和定理得．故的度數(shù)為或．故答案為：或；②，．即，解得，．解得．25．（2022?九江二模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)為平面內(nèi)一動點(diǎn)，且，，則的最小值為，的最大值為；（2）輕松嘗試：如圖2，在矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值為；（3）方法運(yùn)用：在四邊形中，，，，．①如圖3，當(dāng)時(shí)，求線段的最大值；②如圖4，當(dāng)時(shí)，用含的式子表示線段的最大值．【答案】見解析【詳解】（1），，，，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，的值最小，最小值為，，，，，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長線上時(shí)，的值最大，最大值為，故答案為：，；（2）如圖所示，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△，，，是邊的中點(diǎn)，，，，，，故答案為：8；（3）①如圖，以為邊作等腰直角三角形，則，，，，，，，當(dāng)取最大值時(shí)，最大，即當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最大，即圖中為最大值，，，，當(dāng)時(shí)，線段的最大值為；②如圖，作，且，即，，，，，，，，當(dāng)取最大值時(shí)，最大，即當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最大，即圖中為最大值，，，，，，的最大值為．26．（2022?萍鄉(xiāng)模擬）定義：有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做“對補(bǔ)四邊形”，例如：在四邊形中，，或，則四邊形是“對補(bǔ)四邊形”．【概念理解】（1）如圖（1），四邊形是“對補(bǔ)四邊形”．①若，則的度數(shù)是；②若，且，則．【拓展延伸】（2）如圖（2），四邊形是“對補(bǔ)四邊形”，當(dāng)，且時(shí)，猜測，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【類比運(yùn)用】（3）如圖（3），如圖（4），在四邊形中，，平分．①