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專題14全等三角形模型(一)題型一三垂直模型1.如圖,,,,,垂足分別為,,,,求的長(zhǎng).2.如圖1,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),,,,,(1)求證:.(2)如果是如圖2這個(gè)圖形,、、有什么數(shù)量關(guān)系?并證明.3.如圖所示,在中,,且,點(diǎn)為上一點(diǎn),連接,過點(diǎn)作于點(diǎn),交于點(diǎn),點(diǎn)是上任意一點(diǎn).(1)如圖1,連接,若,且,求的長(zhǎng);(2)如圖2,連接,交于點(diǎn),若點(diǎn)恰為中點(diǎn),求證,.
4.如圖所示,直線一側(cè)有一個(gè)等腰,其中,.直線過頂點(diǎn),分別過點(diǎn),作,,垂足分別為點(diǎn),,的角平分線交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,恰好滿足.延長(zhǎng),交于點(diǎn).(1)求證:;(2)求證:.5.一天課間,頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩,不小心掉到兩根柱子之間,如圖所示,這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了,于是有了下面這道題.(1)求證:;(2)如果每塊磚的厚度,請(qǐng)你幫小明求出三角板的面積.6.如圖,在中,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,且.過點(diǎn)作,與的垂線交于點(diǎn).(1)求證:;(2)請(qǐng)找出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.7.已知:中,,,過點(diǎn)作,且.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),過點(diǎn)作于,連接.求證:;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí),連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證:.8.如圖,在中,,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)是A. B. C. D.9.如圖,已知于,于,,,且為上一點(diǎn),,,則A.13 B.8 C.6 D.510.如圖,,,,,,,則等于A. B. C. D.11.如圖,小明的數(shù)學(xué)作業(yè)本上都是等距的橫線,相鄰兩條橫線的距離都是1厘米,他把一個(gè)等腰直角三角板放在本子上,點(diǎn)、、恰好都在橫線上,則斜邊的長(zhǎng)度為A.10 B. C. D.12.如圖,已知中,,,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線,,上,且,之間的距離為2,,之間的距離為3,則的長(zhǎng)是A. B. C. D.7
題型二一線三等角模型13.如圖,在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,若DE=10,BD=3,求CE的長(zhǎng).14.如圖,在中,,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)在邊上,連接,.已知,.(1)求證:;(2)若,,求的長(zhǎng).15.如圖,等邊三角形中,放置等邊三角形,且點(diǎn),分別落在,上,,連結(jié),若平分,則的長(zhǎng)度為.
16.如圖,在中,,,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn),重合),連接,作,交線段于點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),,,當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),逐漸變(填“大”或“小”;(2)當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí),.并說明理由;(3)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出此時(shí)的度數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.17.如圖(1),已知:在中,,,直線經(jīng)過點(diǎn),直線,直線,垂足分別為點(diǎn)、.證明:.(2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在中,,、、三點(diǎn)都在直線上,并且有.請(qǐng)直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系.(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),、是、、三點(diǎn)所在直線上的兩動(dòng)點(diǎn)、、三點(diǎn)互不重合),點(diǎn)為平分線上的一點(diǎn),且和均為等邊三角形,連接、,若,試證明.
18.如圖,在中,,,,分別是,,上的點(diǎn),且,,,則的度數(shù)是度.(用含的代數(shù)式表示)19.已知:在中,,直線過點(diǎn).(1)如圖1,,分別過點(diǎn),作直線的垂線段,,垂足分別為,.①依題意補(bǔ)全圖1;②用等式表示線段,,之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.(2)如圖2,當(dāng)時(shí),設(shè),作,點(diǎn),在直線上,直接用等式表示線段,,之間的數(shù)量關(guān)系為.題型三對(duì)角互補(bǔ)模型20.如圖,已知四邊形,,,,則四邊形的面積為.21.如圖,在四邊形中,,,連接.若,則四邊形的面積為.22.如圖,在中,,,直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn),兩邊、分別交、于點(diǎn)、,連接交于點(diǎn),以下五個(gè)結(jié)論:①;②;③和互補(bǔ);④是等腰直角三角形;⑤四邊形的面積是面積的,其中正確的結(jié)論是A.①②③ B.①②④⑤ C.①③④⑤ D.①③④23.如圖,四邊形中,已知,,,若四邊形的面積為,則.
24.綜合與實(shí)踐如圖1,正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn),點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn),而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等,交于點(diǎn),交于點(diǎn).知識(shí)初探.求證:;探究計(jì)算如圖1,若,求四邊形的面積;拓展探究如圖2,四邊形中,,,連接,若,則四邊形的面積是(直接寫出答案,不寫過程).25.如圖,,將一塊足夠大的三角尺的直角頂點(diǎn)落在的平分線上的任意一點(diǎn)上,使三角形的兩條直角邊與的兩邊分別相交于點(diǎn),.(1)求證:;(2)若點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上,其他條件不變,問還成立嗎?請(qǐng)說明理由.
26.已知:如圖,是的平分線,是上任意一點(diǎn),,,垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn).求證:.分析:圖中有兩個(gè)直角三角形和,只要證明這兩個(gè)三角形全等便可證得.【問題解
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