專題14全等三角形模型（一）（原卷版）

專題14全等三角形模型（一）題型一三垂直模型1．如圖，，，，，垂足分別為，，，，求的長(zhǎng)．2．如圖1，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，，，，（1）求證：．（2）如果是如圖2這個(gè)圖形，、、有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．3．如圖所示，在中，，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)．（1）如圖1，連接，若，且，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，連接，交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰為中點(diǎn)，求證，．

4．如圖所示，直線一側(cè)有一個(gè)等腰，其中，．直線過頂點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)，，的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，恰好滿足．延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．5．一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題．（1）求證：；（2）如果每塊磚的厚度，請(qǐng)你幫小明求出三角板的面積．6．如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．過點(diǎn)作，與的垂線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）請(qǐng)找出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．已知：中，，，過點(diǎn)作，且．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于，連接．求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．8．如圖，在中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是A． B． C． D．9．如圖，已知于，于，，，且為上一點(diǎn)，，，則A．13 B．8 C．6 D．510．如圖，，，，，，，則等于A． B． C． D．11．如圖，小明的數(shù)學(xué)作業(yè)本上都是等距的橫線，相鄰兩條橫線的距離都是1厘米，他把一個(gè)等腰直角三角板放在本子上，點(diǎn)、、恰好都在橫線上，則斜邊的長(zhǎng)度為A．10 B． C． D．12．如圖，已知中，，，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線，，上，且，之間的距離為2，，之間的距離為3，則的長(zhǎng)是A． B． C． D．7

題型二一線三等角模型13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長(zhǎng)．14．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接，．已知，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．15．如圖，等邊三角形中，放置等邊三角形，且點(diǎn)，分別落在，上，，連結(jié)，若平分，則的長(zhǎng)度為．

16．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變（填“大”或“小”；（2）當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，．并說明理由；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．如圖（1），已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線，直線，垂足分別為點(diǎn)、．證明：．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有．請(qǐng)直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），、是、、三點(diǎn)所在直線上的兩動(dòng)點(diǎn)、、三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)為平分線上的一點(diǎn)，且和均為等邊三角形，連接、，若，試證明．

18．如圖，在中，，，，分別是，，上的點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)是度．（用含的代數(shù)式表示）19．已知：在中，，直線過點(diǎn)．（1）如圖1，，分別過點(diǎn)，作直線的垂線段，，垂足分別為，．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，設(shè)，作，點(diǎn)，在直線上，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．題型三對(duì)角互補(bǔ)模型20．如圖，已知四邊形，，，，則四邊形的面積為．21．如圖，在四邊形中，，，連接．若，則四邊形的面積為．22．如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，兩邊、分別交、于點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)，以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③和互補(bǔ)；④是等腰直角三角形；⑤四邊形的面積是面積的，其中正確的結(jié)論是A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④23．如圖，四邊形中，已知，，，若四邊形的面積為，則．

24．綜合與實(shí)踐如圖1，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．知識(shí)初探．求證：；探究計(jì)算如圖1，若，求四邊形的面積；拓展探究如圖2，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積是（直接寫出答案，不寫過程）．25．如圖，，將一塊足夠大的三角尺的直角頂點(diǎn)落在的平分線上的任意一點(diǎn)上，使三角形的兩條直角邊與的兩邊分別相交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上，其他條件不變，問還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

26．已知：如圖，是的平分線，是上任意一點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)．求證：．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等便可證得．【問題解