2025屆遼寧省瓦房店高級中學高二上數(shù)學期末考試試題含解析

2025屆遼寧省瓦房店高級中學高二上數(shù)學期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.412．在拋物線上，橫坐標為4的點到焦點的距離為5，則p的值為（）A. B.2C.1 D.43．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.4．已知直線為拋物線的準線，直線經(jīng)過拋物線的焦點，與拋物線交于點，則的最小值為（）A. B.C.4 D.85．已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.6．某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機編號,則抽取的42人中,編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為A.11 B.12C.13 D.147．已知的二項展開式的各項系數(shù)和為32，則二項展開式中的系數(shù)為A5 B.10C.20 D.408．設(shè)，則有（）A. B.C. D.9．已知，，點為圓上任意一點，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.10．已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.611．設(shè)命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，12．已知等差數(shù)列的前項和為，，，當取最大時的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，則點D到平面ACE的距離為________14．已知拋物線C：的焦點F到準線的距離為4，過點F和的直線l與拋物線C交于P，Q兩點.若，則________.15．設(shè)函數(shù)的導數(shù)為，且，則___________16．空間直角坐標系中，點，的坐標分別為，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項公式；（2）已知數(shù)列的前項和為，求.18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.（1）證明：平面平面PAC；（2）求平面PCD與平面PAB夾角的余弦值.19．（12分）已知拋物線上一點到其焦點F的距離為2.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩點，求的長.20．（12分）如圖，已知拋物線的焦點為F，拋物線C上的點到準線的最小距離為1（1）求拋物線C的方程；（2）過點F作互相垂直的兩條直線l1，l2，l1與拋物線C交于A，B兩點，l2與拋物線C交于C，D兩點，M，N分別為弦AB，CD的中點，求|MF|·|NF|的最小值21．（12分）已知橢圓：經(jīng)過點，設(shè)右焦點F，橢圓上存在點Q，使QF垂直于x軸且.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于D，G兩點.是否存在直線使得以DG為直徑的圓過點E（-1，0）?若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.22．（10分）如圖，在正方體中，分別為，的中點（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.2、B【解析】由方程可得拋物線的焦點和準線，進而由拋物線的定義可得，解之可得值【詳解】解：由題意可得拋物線開口向右，焦點坐標，，準線方程，由拋物線的定義可得拋物線上橫坐標為4的點到準線的距離等于5，即，解之可得.故選：B.3、A【解析】先求定義域，再由導數(shù)小于零即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域為，又，因為，所以由得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.4、D【解析】先求拋物線的方程，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由弦長公式可求的最小值.【詳解】因為直線為拋物線的準線，故即，故拋物線方程為：.設(shè)直線，則，，而，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ实淖钚≈禐?，故選：D.5、C【解析】對函數(shù)求導，利用導數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為，求導得，于是得函數(shù)的圖象在點處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C6、B【解析】使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人∴從編號1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接著從編號481～720共240人中抽取240/20=12人考點：系統(tǒng)抽樣7、B【解析】首先根據(jù)二項展開式的各項系數(shù)和，求得，再根據(jù)二項展開式的通項為，求得，再求二項展開式中的系數(shù).【詳解】因為二項展開式的各項系數(shù)和，所以，又二項展開式的通項為=，，所以二項展開式中的系數(shù)為．答案選擇B【點睛】本題考查二項式展開系數(shù)、通項等公式，屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】利用作差法計算與比較大小即可求解.【詳解】因為，，所以，所以，故選：A.9、C【解析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點為圓上任意一點，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當時，取得最大值為22.故選：C.10、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因為a，b為正實數(shù)，且，所以.當且僅當，即時取等號.故選：D11、B【解析】全稱命題的否定時特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】命題，，則為“，”.故選：B12、B【解析】由已知條件及等差數(shù)列通項公式、前n項和公式求基本量，再根據(jù)等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質(zhì)判斷取最大時的值.【詳解】令公差為，則，解得，所以，當時，取最大值.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立合適空間直角坐標系，分別表示出點的坐標，然后求解出平面的一個法向量，利用公式求解出點到平面的距離.【詳解】以AB的中點O為坐標原點，分別以O(shè)E，OB所在的直線為x軸、y軸，過垂直于平面的方向為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，設(shè)平面ACE的法向量，則，即，令，∴故點D到平面ACE的距離.故答案：.14、9【解析】根據(jù)拋物線C：的焦點F到準線的距離為4，求得拋物線方程.再由和，得到點P的坐標，進而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立求得的坐標，再由兩點間距離公式求解.【詳解】由拋物線C：的焦點F到準線的距離為4，所以，所以拋物線方程為.因為，，所以點P的縱坐標為1，代入拋物線方程，可得點P的橫坐標為，不妨設(shè)，則，故直線l的方程為，將其代入得.可得，故.故答案為：9【點睛】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.15、【解析】，而，所以，，故填：.考點：導數(shù)16、【解析】利用空間直角坐標系中兩點間的距離公式計算即得.【詳解】在空間直角坐標系中，因點，的坐標分別為，，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解，（2）【解析】（1）由題意將原式化簡變形得到，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式則可得，進而得到的通項公式；（2）由（1）把的通項公式代入，得到，利用乘公比錯位相減法求和即可.【小問1詳解】若，則，這與矛盾，，由已知得，，故數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，，即.【小問2詳解】設(shè)，則由（1）知，所以，，兩式相減，則，所以.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）過點C作于點H，由平面幾何知識證明，然后由線面垂直的性質(zhì)得線線垂直，從而得線面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角【小問1詳解】在梯形ABCD中，過點C作于點H.由，，，，可知，，，.所以，即，①因為平面ABCD，平面ABCD，所以，②由①②及，平面PAC，得平面PAC.又由平面PCD，所以平面平面PAC.【小問2詳解】因為AB，AD，AP兩兩垂直，所以以A為原點，以AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），，.設(shè)平面PCD的法向量為，則，取，則，，則.平面PAB的一個法向量為，所以，所以平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值為.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式即可得解；（2）聯(lián)立方程組求出交點坐標，即可得到弦長.【小問1詳解】由題：拋物線上一點到其焦點F的距離為2，即，所以拋物線方程：【小問2詳解】聯(lián)立直線和得，解得，，20、（1）（2）8【解析】（1）由拋物線C上的點到準線的最小距離為1，所以，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線AB的斜率為k，則直線CD的斜率為，得到直線AB的方程為，聯(lián)立方程，求得，進而求得的坐標，得到的表達式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：因為拋物線C上的點到準線的最小距離為1，所以，解得，所以拋物線C的方程為【小問2詳解】解：由（1）可知焦點為F(1，0)，由已知可得ABCD，所以直線AB，CD的斜率都存在且均不為0，設(shè)直線AB斜率為k，則直線CD的斜率為，所以直線AB的方程為，聯(lián)立方程，消去x得，設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，因為M(xM，yM)為弦AB的中點，所以，由，得，所以點，同理可得，所以，＝，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為21、（1）；（2）存在，或.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得，則橢圓方程得解；（2）對直線的斜率進行討論，當斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，轉(zhuǎn)化題意為，求解即可.小問1詳解】由題意，得，設(shè)，將代入橢圓方程，得，所以，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當斜率不存在時，即時，，為橢圓短軸兩端點，則以為直徑的圓為，恒過點，滿足題意；當斜率存在時，設(shè)，，，由得：，，解得：，，若以為直徑的圓過點，則，即，又，，，解得：，滿足，即，此時直線的方程為綜上，存在直線使得以為直徑的圓過點，的方程為或22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由正方體性質(zhì)易得，根據(jù)線面平行的判定可得面、面，再由面面平行的判定證明