2025屆北京二十中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆北京二十中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn),若上的任意一點(diǎn)都滿足,則的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.2.圓的圓心和半徑分別是()A. B.C. D.3.設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,則與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為()A. B.C. D.4.甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示,則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)相同的是()A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)5.在正方體中,下列幾種說法不正確的是A. B.B1C與BD所成的角為60°C.二面角的平面角為 D.與平面ABCD所成的角為6.命題p:存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對(duì)值不是正數(shù).則下列結(jié)論正確的是()A.:任意實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值是正數(shù),為假命題B.:任意實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值不是正數(shù),為假命題C.:存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值是正數(shù),為真命題D.:存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值是負(fù)數(shù),為真命題7.已知,,,,則()A. B.C. D.8.在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做“等和數(shù)列”,這個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的公和.已知等和數(shù)列{an}中,,公和為5,則()A.2 B.﹣2C.3 D.﹣39.若是函數(shù)的極值點(diǎn),則函數(shù)()A.有最小值,無最大值 B.有最大值,無最小值C.有最小值,最大值 D.無最大值,無最小值10.已知雙曲線的離心率為2,且與橢圓有相同的焦點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.11.雙曲線:的漸近線與圓:在第一、二象限分別交于點(diǎn)、,若點(diǎn)滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.12.設(shè)變量,滿足約束條件,則的最大值為()A.1 B.6C.10 D.13二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,則甲、乙兩人下成和棋的概率為___________.14.已知某次數(shù)學(xué)期末試卷中有8道4選1的單選題15.從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù),其中一個(gè)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)a,另一個(gè)作為對(duì)數(shù)的真數(shù)b.則的概率為______.16.我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個(gè)原理“冪勢既同,則積不容異”,即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿足祖暅原理的條件,若該圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓,則該幾何體的體積為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2020年3月20日,中共中央、國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》(以下簡稱《意見》),《意見》中確定了勞動(dòng)教育內(nèi)容要求,要求普通高中要注重圍繞豐富職業(yè)體驗(yàn),開展服務(wù)性勞動(dòng)、參加生產(chǎn)勞動(dòng),使學(xué)生熟練掌握一定勞動(dòng)技能,理解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值,具有勞動(dòng)自立意識(shí)和主動(dòng)服務(wù)他人、服務(wù)社會(huì)的情懷.我市某中學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生暑假期間多參加社會(huì)公益勞動(dòng),在實(shí)踐中讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)技能,服務(wù)他人和社會(huì),強(qiáng)化社會(huì)責(zé)任感,為了調(diào)查學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況,學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到他們參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間均在15~65小時(shí)內(nèi),其數(shù)據(jù)分組依次為:,,,,,得到頻率分布直方圖如圖所示,其中(1)求,的值,估計(jì)這100名學(xué)生參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間的平均數(shù)(同一組中的每一個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);(2)學(xué)校要在參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在、這兩組的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取5人進(jìn)行感受交流,再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行感受分享,求這2人來自不同組的概率18.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,滿足,(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),為數(shù)列的前n項(xiàng)和,①求;②若不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍19.(12分)已知圓.(1)若直線與圓相交于兩點(diǎn),弦的中點(diǎn)為,求直線的方程;(2)若斜率為1的直線被圓截得的弦為,以為直徑的圓經(jīng)過圓的圓心,求直線的方程.20.(12分)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列滿足,數(shù)列的前項(xiàng)和為,若不等式對(duì)一切恒成立,求的取值范圍21.(12分)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,圓外的點(diǎn)在軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng),且到圓上的點(diǎn)的最小距離等于它到軸的距離,記的軌跡為(1)求的方程;(2)過點(diǎn)的直線交于,兩點(diǎn),以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點(diǎn),線段交于點(diǎn),證明:是的中點(diǎn)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè),由,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出,分類討論求出的最大值,再構(gòu)建齊次不等式,解出即可【詳解】設(shè),由,因?yàn)?,,所以,因?yàn)?,?dāng),即時(shí),,即,符合題意,由可得,即;當(dāng),即時(shí),,即,化簡得,,顯然該不等式不成立故選:C【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值,利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值,要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值2、B【解析】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解.【詳解】解:.故選:B.3、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線為,求x、y軸上截距,進(jìn)而可得與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積,利用導(dǎo)數(shù)研究在上的最值即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè),,則,又,所以切線為,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又,所以與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為,則,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上遞減,在上遞增,即.故選:C4、C【解析】根據(jù)莖葉圖依次計(jì)算甲和乙的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差即可得到結(jié)果.【詳解】甲的平均數(shù)為:;乙的平均數(shù)為:;甲和乙的平均數(shù)相同;甲的方差為:;乙的方差為:;甲和乙的方差不相同;甲的極差為:;乙的極差為:;甲和乙的極差不相同;甲的中位數(shù)為:;乙的中位數(shù)為:;甲和乙的中位數(shù)不相同.故選:C.5、D【解析】在正方體中,利用線面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】解:對(duì)于A,連接AC,則AC⊥BD,A1C1∥AC,∴A1C1⊥BD,故A正確;對(duì)于B,∵B1C∥D,即B1C與BD所成的角為∠DB,連接△DB為等邊三角形,∴B1C與BD所成的角為60°,故B正確;對(duì)于C,∵BC⊥平面A1ABB1,A1B?平面A1ABB1,∴BC⊥A1B,∵AB⊥BC,平面A1BC∩平面BCD=BC,A1B?平面A1BC,AB?平面BCD,∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角,∵△A1AB是等腰直角三角形,∴∠ABA1=45°,故C正確;對(duì)于D,∵C1C⊥平面ABCD,AC1∩平面ABCD=A,∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角,∵AC≠C1C,∴∠C1AC≠45°,故D錯(cuò)誤故選D【點(diǎn)睛】本題考查了線面的空間位置關(guān)系及空間角,做出圖形分析是關(guān)鍵,考查推理能力與空間想象能力6、A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷,再利用特殊值判斷命題的真假;【詳解】解:因?yàn)槊}p“存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對(duì)值不是正數(shù)”為存在量詞命題,其否定為“任意實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值是正數(shù)”,因?yàn)?,所以為假命題;故選:A7、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,故,故,又,在上的增函?shù),故,故,故選:D.8、C【解析】利用已知即可求得,再利用已知可得:,問題得解【詳解】解:根據(jù)題意,等和數(shù)列{an}中,,公和為5,則,即可得,又由an﹣1+an=5,則,則3;故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了新概念知識(shí),考查理解能力及轉(zhuǎn)化能力,還考查了數(shù)列的周期性,屬于中檔題9、A【解析】對(duì)求導(dǎo),根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)a,再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并判斷其最值情況.【詳解】由題設(shè),且,∴,可得.∴且,當(dāng)時(shí),遞減;當(dāng)時(shí),遞增;∴有極小值,無極大值.綜上,有最小值,無最大值.故選:A10、B【解析】求出焦點(diǎn),則可得出,即可求出漸近線方程.【詳解】由橢圓可得焦點(diǎn)為,則設(shè)雙曲線方程為,可得,則離心率,解得,則,所以漸近線方程為.故選:B.11、B【解析】由,得點(diǎn)為三角形的重心,可得,即可求解.【詳解】如圖:設(shè)雙曲線的焦距為,與軸交于點(diǎn),由題可知,則,由,得點(diǎn)為三角形的重心,可得,即,,即,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),三角形的重心的向量表示,屬于中檔題.12、C【解析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域,將變形為,可得需要截距最小,觀察圖象,可得過點(diǎn)時(shí)截距最小,求出點(diǎn)A坐標(biāo),代入目標(biāo)式即可.【詳解】解:畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分:又,即,要取最大值,則在軸上截距要最小,觀察圖象可得過點(diǎn)時(shí)截距最小,由,得,則.故選:C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##【解析】直接根據(jù)概率和為1計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為:.14、##0.84375【解析】合理設(shè)出事件,利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)小王從這8題中任選1題,且作對(duì)為事件A,選到能完整做對(duì)的5道題為事件B,選到有思路的兩道題為事件C,選到完全沒有思路為事件D,則,,,由全概率公式可得:PA=PB故答案為:15、##【解析】利用列舉法,結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式以及對(duì)數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】的所有可能取值為,,共種,滿足的為,,共種,所以的概率為.故答案為:16、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓,由,求得底面半徑,進(jìn)而得到高,再利用錐體的體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l,高為h,底面半徑為r,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓,所以,解得,所以,所以圓錐的體積為:,故該幾何體的體積為,故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;平均數(shù)為40.2;(2)【解析】(1)根據(jù)矩形面積和為1,求的值,再根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù);(2)首先利用分層抽樣,在中抽取3人,在中抽取2人,再編號(hào),列舉基本事件,求概率,或者利用組合公式,求古典概型概率.詳解】(1)依題意,,故又因?yàn)?,所以,所求平均?shù)為(小時(shí))所以估計(jì)這100名學(xué)生參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間的平均數(shù)為40.2(2)由頻率分布直方圖可知,參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生比例為又由分層抽樣的方法從參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人,則在中抽取3人,分別記為,,,在中抽取2人,分別記為,,則從5人中隨機(jī)抽取2人基本事件有,,,,,,,,,這2人來自不同組的基本事件有:,,,,,,共6個(gè),所以所求的概率解法二:由頻率分布直方圖可知,參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生比例為又由分層抽樣的方法從參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人,則在中抽取3人,在中抽取2人,則從5人中隨機(jī)抽取2人的基本事件總數(shù)為這2人來自不同組的基本事件數(shù)為所以所求的概率18、(1)證明見解析,(2)①;②【解析】(1)由得到,即可得到,從而得證,即可求出的通項(xiàng)公式,從而得到的通項(xiàng)公式;(2)①由(1)可得,再利用錯(cuò)位相減法求和即可;②利用作差法證明的單調(diào)性,即可得到,即可得到,再解一元二次不等式即可;【小問1詳解】證明:由,,當(dāng)時(shí),可得,解得,當(dāng)時(shí),,又,兩式相減得,所以,所以,即,則數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列;所以,所以【小問2詳解】解:①由(1)可得,所以,所以,所以,所以整理得②由①知,所以,即單調(diào)遞增,所以,因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的正整數(shù)n恒成立,所以,即,解得或,即19、(1)(或(2)或【解析】(1)由條件可得,由此可求直線的斜率,由點(diǎn)斜式求直線的方程;(2)由條件可求到直線的距離,利用待定系數(shù)法求直線的方程.【小問1詳解】圓,得圓心,半徑,直線的斜率:,設(shè)直線的斜率為,有,解得.所求直線的方程為:.(或【小問2詳解】直線m被圓C截得的弦EF為直徑的圓經(jīng)過圓心C,∴圓心C到直線的距離為.設(shè)直線方?為,則解得或直線的方程為:或20、(1);(2).【解析】(1)利用的關(guān)系求的通項(xiàng)公式;(2)由(1)得,應(yīng)用錯(cuò)位相減法求,根據(jù)不等式,討論n的奇偶性求參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】由題設(shè),當(dāng)時(shí),則,整理得,,則,當(dāng)時(shí),,又得:,故,所以數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列,故.【小問2詳解】由(1),,所以,,兩式相減得,故,所以令,易知:單調(diào)遞增,若為偶數(shù),則,所以;若為奇數(shù),則,所以,即綜上,21、見解析【解析】將代入式子,得到,,進(jìn)而進(jìn)行化簡,最后通過基本不等式證明問題.【詳解】∵,,,∴,.∴=,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”22、(1)(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)點(diǎn),求得到圓上的最小距離為,根據(jù)題意得到,整理即可求得曲線的方程;(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),顯然成立;當(dāng)直線的

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