2025屆福建莆田秀嶼下嶼中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

2025屆福建莆田秀嶼下嶼中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.162．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離為（）A.2 B.3C.4 D.53．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬元）4235銷售額（萬元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為A.63.6萬元 B.65.5萬元C.67.7萬元 D.72.0萬元4．把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是（）A.既不互斥也不對立 B.互斥又對立C.互斥但不對立 D.對立5．下列命題中正確的個數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.46．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.7．函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.8．某超市收銀臺排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊(duì)人數(shù)01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊(duì)的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.749．若點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．圓的圓心和半徑分別是（）A. B.C. D.11．過雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且FM的中點(diǎn)A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）A. B.C. D.12．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，，的面積為，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與直線平行，且距離為的直線方程為______14．已知函數(shù)，則不等式的解集為____________15．點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn)，則的取值范圍是__.16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與的左、右支分別交于點(diǎn)、（、均在軸上方）.若直線、的斜率均為，且四邊形的面積為，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1），焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程18．（12分）自我國爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計(jì)口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車間所有工人中隨機(jī)抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若對恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)10元；重量超過的包裹，除收費(fèi)10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計(jì)算）需要再收費(fèi)5元.該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）該公司從收取的每件快遞的費(fèi)用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費(fèi)用.已知公司前臺有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該公司每天的利潤有多少元？（3）小明打算將四件禮物隨機(jī)分成兩個包裹寄出，且每個包裹重量都不超過，求他支付的快遞費(fèi)為45元的概率.21．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，且長軸長為4.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于A，兩點(diǎn)，求弦長.22．（10分）如圖，四棱臺的底面為正方形，面，（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線m與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)“中國剩余定理”，進(jìn)而依次執(zhí)行循環(huán)體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數(shù)不為1；第二步：，余數(shù)不為1；第三步：，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個判斷框，余數(shù)不為2；第四步：，執(zhí)行第一個判斷框，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個判斷框，余數(shù)為2.輸出的i值為13.故選：C.2、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，故可得，又到橢圓一個焦點(diǎn)的距離是，故點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離為.故選：.3、B【解析】，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴線性回歸方程是y=9．4x+9．1，∴廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為9．4×6+9．1=65．5考點(diǎn)：線性回歸方程4、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義可得答案.【詳解】把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，所以它們的關(guān)系是互斥但不對立.故選：C.5、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運(yùn)算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個基底，則與共線或與其中有一個為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對于任意非零空間向量，，若，則存在一個實(shí)數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯誤.故選：C6、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項(xiàng)公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.7、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒8、D【解析】利用互斥事件概率計(jì)算公式直接求解【詳解】由某超市收銀臺排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊(duì)的概率為：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題9、C【解析】根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算橢圓的離心率.【詳解】因點(diǎn)在橢圓，則，解得，而橢圓長半軸長，所以橢圓離心率.故選：C10、B【解析】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】解：.故選：B.11、A【解析】根據(jù)題意可表示出漸近線方程，進(jìn)而可知的斜率，表示出直線方程，求出的坐標(biāo)進(jìn)而求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程整理求得和的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率【詳解】：由題意設(shè)相應(yīng)的漸近線：，則根據(jù)直線的斜率為，則的方程為，聯(lián)立雙曲線漸近線方程求出，則，，則的中點(diǎn)，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：12、C【解析】利用面積公式，求出，進(jìn)而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出【詳解】由面積公式得：，因?yàn)榈拿娣e為，所以，求得：因，所以由余弦定理得：所以由正弦定理得：，即，解得：故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】由題意，設(shè)所求直線方程為，根據(jù)兩平行直線間的距離公式即可求解.【詳解】解：由題意，設(shè)所求直線方程為，因?yàn)橹本€與直線的距離為，所以，解得或，所以所求直線方程為或，故答案為：或.14、【解析】易得函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式即為不等式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)得單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)得單調(diào)性解不等式即可.【詳解】解：函數(shù)得定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，則不等式即為不等式，，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以，解得，即不等式的解集為.故答案為：.15、[﹣，0]【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計(jì)算?x2﹣x，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可【詳解】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則點(diǎn)A（1，0，0），C1（0，1，1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x＝y(tǒng)時，?取得最小值為；當(dāng)x＝0或1，且y＝0或1時，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]故答案為：[，0]【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用與向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，是綜合性題目16、【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，分析可知四邊形為平行四邊形，可得出，設(shè)，可得出直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的取值范圍，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得的值.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，如下圖所示：在雙曲線中，，，則，即點(diǎn)、，因?yàn)樵c(diǎn)為、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)椋省ⅰ⑷c(diǎn)共線，所以，，故，由題意可知，，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，所以，，可得，由韋達(dá)定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）設(shè)方程為（，），即得解；（2）由題得，即得解.【詳解】（1）解：由題意，設(shè)方程為（，），，，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2，，∴當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或18、（1）（2）80件/小時【解析】（1）先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進(jìn)行預(yù)測其生產(chǎn)速度.【小問1詳解】解：設(shè)前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數(shù)為.【小問2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線方程為，則當(dāng)時，，即估計(jì)該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度為80件/小時.19、（1）極大值為，無極小值（2）【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷極值點(diǎn)，代入原函數(shù)計(jì)算即可；（2）將變形，即對恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定實(shí)數(shù)a的取值范圍..【小問1詳解】對函數(shù)求導(dǎo)可得：,可知當(dāng)時，時，，即可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減由上可知，的極大值為，無極小值【小問2詳解】由對恒成立,當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，對恒成立,可變形為：對恒成立,令，則;求導(dǎo)可得：由（1）知即恒成立，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增;又，因，故，，所以在上恒成立，當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，從而可知的最大值為，即，因此，對都有恒成立，所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.20、(1)公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.(2)該公司平均每天的利潤有1000元．(3).【解析】（1）對于平均數(shù)，運(yùn)用平均數(shù)的公式即可；由于中位數(shù)將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，先確定中位數(shù)位于哪一組，然后建立關(guān)于中位數(shù)的方程即可求出.（2）利用每天的總收入減去工資的支出，即可得到公司每天的利潤.（3）該為古典概型，根據(jù)題意分別確定總的基本事件個數(shù)，以及事件“快遞費(fèi)為45元”包括的基本事件個數(shù)，即可求出概率.【詳解】（1）每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天數(shù)分別為6、6、30、12、6，所以每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為設(shè)中位數(shù)為x，易知，則，解得x=260.所以公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.（2）由（1）可知平均每天的攬件數(shù)為260，利潤為(元)，所以該公司平均每天的利潤有1000元（3）設(shè)四件禮物分為二個包裹E、F，因?yàn)槎Y物A、C、D共重（千克），禮物B、C、D共重（千克），都超過5千克，故E和F的重量數(shù)分別有，，，，共5種，對應(yīng)的快遞費(fèi)分別為45、45、50，45，50（單位：元）故所求概率為.【點(diǎn)睛】主要考查了頻率分布直方