2022年中考數學一輪復習：解直角三角形綜合壓軸題專項練習題（含答案）

2022年中考數學一輪復習：解直角三角形綜合壓軸題專項練習題

1、黔東南州某校吳老師組織九（1）班同學開展數學活動，帶領同學們測量學校

附近一電線桿的高.已知電線桿直立于地面上，某天在太陽光的照射下，電線桿

的影子（折線BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測得電線桿頂端A的仰

角為30°,在C處測得電線桿頂端A得仰角為45°,斜坡與地面成60°角，CD=4m,

請你根據這些數據求電線桿的高（AB）.

（結果精確到1m,參考數據：72^1.4,73^1.7）

2、“蘑菇石”是我省著名自然保護區(qū)梵凈山的標志，小明從山腳B點先乘坐纜車

到達觀景平臺DE觀景，然后再沿著坡腳為29°的斜坡由E點步行到達“蘑菇石”

A點，“蘑菇石”A點到水平面BC的垂直距離為1790m.如圖，DE〃BC,BD=1700m,

ZDBC=80°,求斜坡AE的長度.（結果精確到0.Im）

3、如圖，四邊形ABCD是一片水田，某村民小組需計算其面積，測得如下數據:

ZA=90°,ZABD=60°,ZCBD=54°,AB=200m,BC=300m.

請你計算出這片水田的面積.

（參考數據：sin54°^0.809,cos540心0.588,tan54°心1.376,1.732）

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D.

4、如圖，?是某市一座人行天橋的示意圖，天橋離地面的高BC是10米，坡面10

米處有一建筑物HQ,為了方便使行人推車過天橋，市政府部門決定降低坡度，

使新坡面DC的傾斜角NBDC=30°,若新坡面下D處與建筑物之間需留下至少3

米寬的人行道，問該建筑物是否需要拆除（計算最后結果保留一位小數）.（參

考數據：V2=1.414,V3=1.732）

5、如圖，某數學活動小組為測量學校旗桿AB的高度，沿旗桿正前方2b米處的

點C出發(fā)，沿斜面坡度i=l：遂的斜坡CD前進4米到達點D,在點D處安置測

角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37°,量得儀器的高DE為1.5米.已知A、B、

C、D、E在同一平面內，AB±BC,AB/7DE.求旗桿AB的高度.（參考數據：sin37°

cos370心言，tan37°計算結果保留根號）

554

6、金橋學?！翱萍俭w藝節(jié)”期間，八年級數學活動小組的任務是測量學校旗桿AB

的高.他們在旗桿正前方臺階上的點。處，測得旗桿頂端A的仰角為45°,朝著

第2頁共25頁

旗桿的方向走到臺階下的點F處，測得旗桿頂端A的仰角為60°.已知升旗臺的

高度席為1米，點。距地面的高度CD為3米，臺階的坡角為30°,且點

瓦在同一條直線上.求旗桿的高.（計算結果精確到0.1米，參考數據:

V2?1.41,73=1.73）

7、如圖所示，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°,沿山坡向

上走到P處再測得C的仰角為45°,已知OA=200米，山坡坡度為段（即tanN

PAB=費），且0,A,B在同一條直線上，求電視塔0C的高度以及此人所在的位

置點P的垂直高度.（側傾器的高度忽略不計，結果保留根號）

8、如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離BC為30m,在A點測得D

點的仰角ZEAD為45°,在B點測得D點的仰角ZCBD為60°,求這兩座建筑物

的高度（結果保留根號）

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9、如圖，海中有一小島A,它周圍8海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航

行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得

小島A在北偏東30°方向上.如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁

10、如圖，某校教學樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長為12米，坡角a為

60°,根據有關部門的規(guī)定，NaW39°時，才能避免滑坡危險，學校為了消除

安全隱患，決定對斜坡CD進行改造，在保持坡腳C不動的情況下，學校至少要

把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學樓的安全？（結果取整數）

（參考數據：sin39°*=0.63,cos39°?=0.78,tan39°心0.81,加弋1.41,M

-1.73,泥心2.24）

B

□

□D

11、如圖所示，我國兩艘海監(jiān)船A,8在南海海域巡航，某一時刻，兩船同時收

到指令，立即前往救援遇險拋錨的漁船。.此時，8船在A船的正南方向5海里

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處，A船測得漁船C在其南偏東45。方向，8船測得漁船。在其南偏東53。方向.

已知A船的航速為30海里/小時，3船的航速為25海里/小時，問。船至少要等

待多長時間才能得到救援？（參考數據：sin53。。？4，cos53°?3-,tan53°?4-,

553

0*1.41)

12、如圖是小強洗漱時的側面示意圖，洗漱臺（矩形ABCO）靠墻擺放，高

AD=80c，n,寬=48cm.小強身高166c加，下半身產G=100cm,洗漱時下半

身與地面成80°（ZFGK=80°）,身體前傾成125°（NEFG=125°）,腳與洗漱

臺距離GC=15cvw（點D,C,G,K在同一直線上）.

（1）此時小強頭部E點與地面。K相距多少？

（2）小強希望他的頭部E恰好在洗漱盆A3中點。的正上方，他應向前或后退

多少？

（sin80°?0.98,cos80°?0.17,VI?1.41,結果精確到0.1）

13、烏江快鐵大橋是快鐵渝黔線的一項重要工程，由主橋AB和引橋BC兩部分組

成（如圖所示），建造前工程師用以下方式做了測量；無人機在A處正上方97m

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處的P點，測得B處的俯角為30°（當時C處被小山體阻擋無法觀測），無人機

飛行到B處正上方的D處時能看到C處，此時測得C處俯角為80°36'.

（1）求主橋AB的長度；

（2）若兩觀察點P、D的連線與水平方向的夾角為30°,求引橋BC的長.

（長度均精確到1m,參考數據：＞/3^1.73,sin80°36z）0.987,cos80°36'

^0.163,tan80°36'^6.06)

D

14、風電已成為我國繼煤電、水電之后的第三大電源.風電機組主要由塔桿和葉

片組成（如圖1）,圖2是從圖1引出的平面圖.假設你站在A處測得塔桿頂端C

的仰角是55。，沿H4方向水平前進43米到達山底G處，在山頂8處發(fā)現(xiàn)正好一

葉片到達最高位置，此時測得葉片的頂端。（。、C、”在同一直線上）的仰

角是45。.已知葉片的長度為35米（塔桿與葉片連接處的長度忽略不計），山高

BG為10米，BG1HG,?！盻147,求塔桿?！ǖ母?（參考數據：tan55°?1.4,

tan35°a0.7,sin55°?0.8,sin35°?0.6）

15、小明想要測量學校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底，物處出

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發(fā)，向前走3米到達4處，測得樹頂端6的仰角為30°,他又繼續(xù)走下臺階到

達。處，測得樹的頂端￡的仰角是60°,再繼續(xù)向前走到大樹底〃處，測得食

堂樓頂平的仰角為45°.已知/點離地面的高度AB=2米，/8。=30°,且反C、

〃三點在同一直線上.

（1）求樹龍的高度;

（2）求食堂/腫的高度.

16、圖1是太陽能熱水器裝置的示意圖，利用玻璃吸熱管可以把太陽能轉化為熱

能，玻璃吸熱管與太陽光線垂直時，吸收太陽能的效果最好，假設某用戶要求根

據本地區(qū)冬至正午時刻太陽光線與地面水平線的夾角（9）確定玻璃吸熱管的傾

斜角（太陽光線與玻璃吸熱管垂直），請完成以下計算：

如圖2,AB_LBC,垂足為點B,EA1AB,垂足為點A,CD〃AB,CD=10cm,DE=120cm,

FG1DE,垂足為點垂

（1）若N?=37°50',則AB的長約為cm；

(參考數據：sin37°50'^0.61,cos37°50'^0.79,tan37°50z心0.78)

(2)若FG=30cm,N0=60°,求CF的長.

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參考答案

1、黔東南州某校吳老師組織九（1）班同學開展數學活動，帶領同學們測量學校

附近一電線桿的高.已知電線桿直立于地面上，某天在太陽光的照射下，電線桿

的影子（折線BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測得電線桿頂端A的仰

角為30°,在C處測得電線桿頂端A得仰角為45°,斜坡與地面成60°角，CD=4m,

請你根據這些數據求電線桿的高（AB）.

（結果精確到1m,參考數據：72^1.4,73^1.7）

【解答】解：延長AD交BC的延長線于G,作DH_LBG于H,如圖所示：

在RtZ^DHC中，ZDCH=60°,CD=4,

則CH=CD?cosNDCH=4Xcos60°=2,DH=CD?sinZDCH=4Xsin60°=2?,

VDH1BG,ZG=30°,

.jDH_詬.

??HG-......../--------------------b，

tan/Gtan30

ACG=CH+HG=2+6=8,

設AB=xm,

VAB1BG,ZG=30°,ZBCA=45°,

VBG-BC=CG,

/.V3X-x=8,

解得：x??ll(m)；

答:電線桿的高為Um.

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2、“蘑菇石”是我省著名自然保護區(qū)梵凈山的標志，小明從山腳B點先乘坐纜車

到達觀景平臺DE觀景，然后再沿著坡腳為29°的斜坡由E點步行到達“蘑菇石”

A點，“蘑菇石”A點到水平面BC的垂直距離為1790m.如圖，DE〃BC,BD=1700m,

ZDBC=80°,求斜坡AE的長度.（結果精確到0.Im）

【解答】解：過點D作DFJ_BC于點F,延長DE交AC于點M,

由題意可得：EM±AC,DF=MC,ZAEM=29°,

在RSDFB中，sin80°=黑，則DF=BD?sin80°，

DU

AM=AC-CM=1790-1700*sin80°,

在RtZSAME中，sin29°=受,

AM1790-1700'sin80

故AE=5!=:238.9(m),

sin290sin290

答：斜坡AE的長度約為238.9m.

3、如圖，四邊形ABCD是一片水田，某村民小組需計算其面積，測得如下數據:

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ZA=90°,ZABD=60°,ZCBD=54°,AB=200m,BC=300m.

請你計算出這片水田的面積.

(參考數據：sin54°^0.809,cos54°心0.588,tan54°心1.376,1.732)

n

【解答】解：作CM_LBD于M,如圖所示：

VZA=90°,ZABD=60°,

：.ZADB=30°,

.?.BD=2AB=400m,

AD=Z\Z^AB=200A/3ID,

.'.△ABD的面積=*X200X200?=20000?(m2),

,/ZCMB=90°,ZCBD=54°,

.*.CM=BC*sin54°=300X0.809=242.7m,

...△BCD的面積=*X400X242.7=48540(m2),

，這片水田的面積=20000?+48540p83180(m2).

4、如圖，?是某市一座人行天橋的示意圖，天橋離地面的高BC是10米，坡面10

米處有一建筑物HQ,為了方便使行人推車過天橋，市政府部門決定降低坡度，

使新坡面DC的傾斜角NBDC=30°,若新坡面下D處與建筑物之間需留下至少3

米寬的人行道，問該建筑物是否需要拆除（計算最后結果保留一位小數）.（參

考數據：圾=1.414,V3=L732）

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【解答】解：由題意得，AH=10米，BC=10米，

在Rt^ABC中，ZCAB=45°,

/.AB=BC=10,

在RtaDBC中，ZCDB=30°,

?叫還捺而=10仃

/.DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10-10?+10=20-10/弋2.7(米),

V2.7米V3米，

，該建筑物需要拆除.

5、如圖，某數學活動小組為測量學校旗桿AB的高度，沿旗桿正前方2b米處的

點C出發(fā)，沿斜面坡度i=l：晶的斜坡CD前進4米到達點D,在點D處安置測

角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37°,量得儀器的高DE為1.5米.已知A、B、

C、D、E在同一平面內，AB1BC,AB/7DE.求旗桿AB的高度.（參考數據：sin37°

^4,cos37°7,tan37°壬.計算結果保留根號）

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【解答】解：如圖，延長ED交BC延長線于點F,則NCFD=90°,

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.,.ZDCF=30°,

VCD=4,

DF=yCD=2,CF=CDcosZDCF=4X零=2?,

...BF=BC+CF=2?+2b=4?,

過點E作EG±AB于點G,

則GE=BF=4/，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5,

又?.?/AED=37°,

.?.AG=GEtanNAEG=4??tan37°,

則AB=AG+BG=4V3*tan37°+3.5=3?+3.5,

故旗桿AB的高度為(373+3.5)米.

6、金橋學?！翱萍俭w藝節(jié)”期間，八年級數學活動小組的任務是測量學校旗桿AB

的高.他們在旗桿正前方臺階上的點。處，測得旗桿頂端A的仰角為45°,朝著

旗桿的方向走到臺階下的點尸處，測得旗桿頂端A的仰角為60°.已知升旗臺的

高度5E為1米，點C距地面的高度CD為3米，臺階b的坡角為30°,且點

瓦￡力在同一條直線上.求旗桿AB的高.(計算結果精確到0.1米，參考數據:

V2?1.41,73=1.73)

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【答案】

試題解析：過點C作CM_LAB于M.則四邊形YEDC是矩形，

/.ME=DC=3.CM=ED,

在RiAAEF中，ZAFE=60°,設EFr,則AF=2x,AE=&x,

在Rt2kFCD中，CD=3,ZCFD=30°,.,.DF=3^3,

在Rt^AMC中，ZACM=45°,

/.ZMAC=ZACM=45°,/.MA=MC,

VED=CM,；.AM=ED,

VAM=AE-ME,ED=EF+DF,，&x-3=x+36,.?.x=6+36,

.,.AE=A/3(6+3G)=6G+9,.?.AB=AE-BE=9+6G-1-18.4米.

答：旗桿AB的高度約為18.4米.

7、如圖所示，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°,沿山坡向

上走到P處再測得C的仰角為45°,已知OA=200米，山坡坡度為段（即tanN

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PAB=藍），且0,A,B在同一條直線上，求電視塔0C的高度以及此人所在的位

置點P的垂直高度.（側傾器的高度忽略不計，結果保留根號）

在Rtz^AOC中，A0=200米，ZCA0=60°,

.，.C0=A0?tan60°=20073(米)

(2)設PE=x米，

tanNPAB=^^=!，

AE3

AE=3x.

在RtZkPCF中，

ZCPF=45°,CF=200?-x,PF=OA+AE=200+3x,

VPF=CF,

/.200+3x=200V3-x,

解得x=50(5/3-1)米.

答：電視塔0C的高度是200y米，所在位置點P的鉛直高度是50(蟲-1)米.

8、如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離BC為30m,在A點測得D

點的仰角NEAD為45°,在B點測得D點的仰角NCBD為60°,求這兩座建筑物

的高度（結果保留根號）

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【解答】解:

如圖，過A作AFLCD于點F,

在RtZSBCD中，ZDBC=60°,BC=30m,

VCD=tanZDBC,

BC

.?.CD=BC?tan60°=30/m,

，乙建筑物的高度為30&m；

在Rt^AFD中，ZDAF=45°，

.?.DF=AF=BC=30m>

.\AB=CF=CD-DF=(30A/3-30)m,

甲建筑物的高度為(3073-30)m.

9、如圖，海中有一小島A,它周圍8海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航

行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得

小島A在北偏東30°方向上.如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁

的危險？

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【解答】解：只要求出A到BD的最短距離是否在以A為圓心，以8海里的圓內

或圓上即可，

如圖，過A作AC1.BD于點C,則AC的長是A到BD的最短距離，

VZCAD=30°,ZCAB=60°,

/.ZBAD=60°-30°=30°,ZABD=90°-60°=30°,

/.ZABD=ZBAD,

，BD=AD=12海里,

VZCAD=30°,NACD=90°,

22

由勾股定理得：AC=^12-6=6V3%10.392>8,

即漁船繼續(xù)向正東方向行駛，沒有觸礁的危險.

10、如圖，某校教學樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長為12米，坡角a為

60°,根據有關部門的規(guī)定，NaW39°時，才能避免滑坡危險，學校為了消除

安全隱患，決定對斜坡CD進行改造，在保持坡腳C不動的情況下，學校至少要

把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學樓的安全？(結果取整數)

(參考數據：sin39°*=0.63,cos39°?=0.78,tan39°心0.81,M

^1.73,V5^2.24)

【解答】解：假設點D移到D，的位置時，恰好Na=39°,過點D作DELAC于

點E,作D'E'_LAC于點E',

?1D=12米,ZDCE=60°,

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...DE=CD-sin60°=12X率=6?米，CE=CD?cos60°=12X^=6米.

乙乙

VDE±AC,D'E'±AC,DD'〃CE'，

，四邊形DEE'D'是矩形,

.\DE=D/E'=6?米.

VZD/CE'=39°,

ACE,=—~~-——^^128,

tan390.81'

.'.EE'=CE'-CE=12.8-6=6.8（米）.

答：學校至少要把坡頂D向后水平移動6.8米才能保證教學樓的安全.

11、如圖所示，我國兩艘海監(jiān)船A,8在南海海域巡航，某一時刻，兩船同時收

到指令，立即前往救援遇險拋錨的漁船C.此時，3船在A船的正南方向5海里

處，A船測得漁船。在其南偏東45。方向，8船測得漁船。在其南偏東53。方向.

已知A船的航速為30海里/小時，8船的航速為25海里/小時，問C船至少要等

434

待多長時間才能得到救援？（參考數據：sin53。cos53°?-,tan53°?-,

553

V2?1.41）

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試題解析：過點C作C。_$8交AB的延長線于點D,則NCDA=90。

已知NCDA=45。，設CD=x,則AD=CD=x

..BI^AD-AB^x-S

在RtABDC中,CD=BD-tan53°)即x=(x-5)-tan530

5353。

tan530-137

3

，B船到達C船處約需時間：254-25=1（小時）

在Rt^ADC中，AC=V2x?1.41X20=28.2

...A船到達C船處約需時間：28.24-30=0.94（小時）

而0.94<］，所以C船至少要等待0.94小時才能得到救援.

12、如圖是小強洗漱時的側面示意圖，洗漱臺（矩形ABCO）靠墻擺放，高

AD=SOcm,寬AB=48c7〃.小強身高166cm,下半身FG=1005，洗漱時下半

身與地面成80°（ZFGK=80°）,身體前傾成125°（NE/G=125°）,腳與洗漱

臺距離GC=15cm（點￡>,C,G,K在同一直線上）.

（1）此時小強頭部E點與地面DK相距多少？

（2）小強希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB中點。的正上方，他應向前或后退

多少？

(sin80°?0.98,cos8()°?0.17,V2?1.41,結果精確到0.1)

【答案】：過點F作FN_LDK于點N,過點E作EM_LFN于點M,

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?.?EF+FG=166,FG=100,，EF=66,

VZFGK=80°,.*.FN=100sin80°心98,

XVZEFG=125°,ZEFM=180°-125°-10°=45°,

/.FM=66cos45°=33^^46.53,

，MN=FN+FM=144.5.

他頭部E點與地面DK相距約144.5cm。

（2）解：過點E作EP_LAB于點P,延長OB交MN于點H。

VAB=48,0為AB的中點,

/.AO=BO=24,

VEM=66sin45°勺46.53,即PH=46.53

GN=100cos800心1,8,CG=15,

.?.0H=24+15+18==57

0P=0H-PH=57-46.53=10.47心10.5,

.?.他應向前10.5cm。

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13、烏江快鐵大橋是快鐵渝黔線的一項重要工程，由主橋AB和引橋BC兩部分組

成（如圖所示），建造前工程師用以下方式做了測量；無人機在A處正上方97m

處的P點，測得B處的俯角為30°（當時C處被小山體阻擋無法觀測），無人機

飛行到B處正上方的D處時能看到C處，此時測得C處俯角為80°36'.

（1）求主橋AB的長度；

（2）若兩觀察點P、D的連線與水平方向的夾角為30°,求引橋BC的長.

（長度均精確到1m,參考數據:73^1.73,sin80°36'?=0,987,cos80°36'

^^0.163,tan80°36'-6.06）

【解析】

試題分析：（D在RtZkABP中，由AB=——=可得答案；（2）由/ABP=30°、APR7知PB=2PA=194,再

tanA7ATBP

r）p

證4PBD是等邊三角形得DB=PB=194m,根據BC=——-可得答案.

tanZC

試題解析：

(1)由題意知NABP=30°、AP=97,

AP9797-

--------=-------=—^=-=9Q，F(xiàn)j=68

.'.AB=tanZ^￡5Ptan30°J3cm.

3

答：主橋AB的長度約為168m;

(2)VZABP=30°、AP=97,；.PB=2PA=194,

XVZDBC=ZDBA=90°、ZPBA=30°,/.ZDBP=ZDPB=60°,

...△PBD是等邊三角形，.,.DB=PB=194,

在RtaBCD中,VZC=80°36',

Be-DB-194-32,

tanZCtan8O°36'

答：引橋BC的長約為32m.

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14、風電已成為我國繼煤電、水電之后的第三大電源.風電機組主要由塔桿和葉

片組成（如圖1）,圖2是從圖1引出的平面圖.假設你站在A處測得塔桿頂端C

的仰角是55。，沿方向水平前進43米到達山底G處，在山頂8處發(fā)現(xiàn)正好一

葉片到達最高位置，此時測得葉片的頂端。（。、C、”在同一直線上）的仰

角是45。.已知葉片的長度為35米（塔桿與葉片連接處的長度忽略不計），山高

BG為10米，BG1HG,?！╛147,求塔桿。”的高.（參考數據：tan55°?1.4,

tan35°?0.7,sin55°?0.8,sin35°?0.6）

（圖1）（圖2）

【答案】

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試題分析：作BE1DH,知GH=BE、BG=EH=10,設AH=x,貝"BE=GH=43+x,由CH=AHtanZCAH=tan550?x

知CE=CH-EH=tan55°-x-10,根據BE=DE可得關于x的方程，解之可得.

試題解析：如圖，作BE1DH于點E,

貝i」GH=BE、BG=EH=10,

設AH=x,則BE=GH=GA-AH=43+x,

在RtAACH中，CH=AHtanZCAH=tan550-x,

.,.CE=CH-EH=tan550-x-10,

,.,ZDBE=45°,.,.BE=DE=CE+DC,即43+x=tan55%x-10+35,解得：足45,

/.CH=tan55°?x=l.4X45=63,

答：塔桿CH的高為63米.

15、小明想要測量學校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底，"處出

發(fā)，向前走3米到達/處，測得樹頂端6的仰角為30°,他又繼續(xù)走下臺階到

達。處，測得樹的頂端E的仰角是60°,再繼續(xù)向前走到大樹底〃處，測得食

堂樓頂平的仰角為45°.已知力點離