用數(shù)學(xué)的眼光三角形外角和的探究

用數(shù)學(xué)的眼光刻畫(huà)世界

——三角形外角和的探究晚上散步時(shí)，張大爺繞著一個(gè)三角形花壇走了一圈，可以看出，他在每一個(gè)拐彎處都轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。當(dāng)張大爺回到原來(lái)的位置時(shí)，他一共轉(zhuǎn)了多少度？張大爺CHUANGYISHOUHUI180°學(xué)生迅速給出答案

那，對(duì)不對(duì)呢？顯然，把轉(zhuǎn)過(guò)的角度當(dāng)做三角形的內(nèi)角了。用幾何畫(huà)板演示一下大家認(rèn)識(shí)到，當(dāng)一個(gè)人沿著三角形走時(shí)，在每個(gè)頂點(diǎn)處轉(zhuǎn)過(guò)的角，指的是三角形的一條邊的延長(zhǎng)線與另一條邊所成的角是三角形的外角你覺(jué)得三角形的外角和是多少度？你是怎么得到的？看誰(shuí)想的方法多？常規(guī)做法方法一

利用每個(gè)外角和其相鄰的的內(nèi)角互補(bǔ)，這樣可以得到三個(gè)平角。外角和等于三個(gè)平角減去一個(gè)內(nèi)角和?！?+∠4=180°，∠2+∠5=180°，∠3+∠6=180°，∠1+∠2+∠3=180°，∠4+∠5+∠6=180°×3-180°=360°將外角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為內(nèi)角問(wèn)題

方法二:∠4=∠2+∠3，∠5=∠1+∠3，∠6=∠1+∠2，∠4+∠5+∠6=2∠1+2∠2+2∠3=360°利用平行轉(zhuǎn)化角方法三:過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC，∴∠1=∠4，∠3=∠MBC，∵∠4+∠2+∠MBC=360°，∴三角形外角是360°利用平行線將角轉(zhuǎn)換位置，拼成周角。將∠1拆分成∠4和∠5，運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將∠4轉(zhuǎn)移到C處，與∠3拼成一個(gè)平角。將∠5轉(zhuǎn)移到點(diǎn)B處，與∠2拼成一個(gè)平角。方法四利用平行，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平角的和。

方法五：過(guò)邊上任意一點(diǎn)做平行過(guò)AC邊上一點(diǎn)E作兩條平行線，將∠1、∠2、∠3都轉(zhuǎn)移到點(diǎn)E處。過(guò)點(diǎn)E作DE∥AB，EF∥BC，∵∠1=∠4，∠2=∠5=∠DEF,∠3=∠6?！唷?+∠2+∠3=360°方法六：三角形外一點(diǎn)作平行在三角形的外部取點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DM∥AB,DN∥BC,DP∥AC,∴∠1=∠4=∠PDM，∠2=∠5=∠6，∠3=∠7=∠8∴∠1+∠2+∠3=360°過(guò)三角形內(nèi)部一點(diǎn)O作三邊平行線，應(yīng)用兩直線平行同位角相等。

把∠1平移兩次到點(diǎn)O處，同理將∠2和∠3也平移到點(diǎn)O處，從而證明。方法七：在三角形內(nèi)部找一點(diǎn)作平行過(guò)A、B、C作三條互相平行的直線，將∠2拆分成∠4和∠5，由平行可將∠4轉(zhuǎn)移到點(diǎn)A處，同樣將∠3拆成∠6和∠7，將∠6轉(zhuǎn)移到點(diǎn)A處，∠1、∠4和∠6拼成一個(gè)平角?！?的對(duì)頂角和∠5組成平行線間的同旁?xún)?nèi)角，又一個(gè)180°，從而證明。方法八：分別過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)作平行線再換個(gè)角度思考方法九:外角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角在△ADE中，∠1+∠4+∠5=180°，在△BEF中，∠2+∠6+∠7=180°，在△DCF中，∠3+∠8+∠9=180°，在△DEF中，∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°前