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文檔簡介

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)知識整理

第四章統(tǒng)計(jì)量及其分布

4.1總體與個(gè)體

總體:研究對象的總體

個(gè)體:總體的每個(gè)成員

我們對每一研究對象可能要觀測兩個(gè)或多個(gè)數(shù)量指標(biāo),則可用多維隨機(jī)向量

(X1,X2,...,XQ去描述總體,可用其聯(lián)合分布函數(shù)R(x,/,…,與)去描述總體,稱

為p維總體。

樣本:從總體中抽出的部分個(gè)體組成的集合

樣本的要求:代表性;獨(dú)立性

用簡單隨機(jī)抽樣方法獲得的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本,簡稱樣本。這時(shí)X1,

Xz,…,x“可以看成是相互獨(dú)立的具有同一分布的隨機(jī)變量,簡稱它們?yōu)楠?dú)立

同分布(簡記為江d)樣本。設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(z),則樣本X1,Xz,…,X"

的聯(lián)合分布函數(shù)為

n

F(?,生,…,X")=JJF(J7;)

?=1

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

定義4.1.1設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(H),從中獲得的樣本觀測值為

X),Xz,…,了”,將它們從小到大排列成⑵<…,令

.1??之》

則稱"(1)為該樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。、

定理4.1.1(格里汶科定理)對任給的自然數(shù)”,設(shè)為,”,…,工是取自

總體分布函數(shù)FG)的一個(gè)樣本的觀測值,F(xiàn),(z》為其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),又記

Dn=_\u?—F(Z)|(4.1.3)

則有

P(limD=0)=1

n-*oon

這一定理中的D?是衡量F.Qr)與F(z)在z的一切值上的最大差異.定理表

明隨著n的逐漸增大,對一切H,F.(Z)與F(z)之差的最大絕對值趨于°這一

事件發(fā)生的概率等于1.

4.2統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布

定義4.2.1設(shè)X=(X-Xz,…,X”)是取自某總體的一個(gè)容量為n的樣

本,假如樣本函數(shù)

T=T(X)=T(X1,X2,-,X?)

中不含任何未知參數(shù),則稱T為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。

上述定義中規(guī)定“不含任何未知參數(shù)”是強(qiáng)調(diào)在獲得了樣本的觀察值x=

(q,生,“?,馬)后,代入統(tǒng)計(jì)量立即可以算得統(tǒng)計(jì)量的觀察值

i=T(x)=T(jr1,x2,???,x?)

樣本均值:x^-Yx,

ni=1

定理4.2.1設(shè)X|,Xz,…,X,是從某總體隨機(jī)抽取的一個(gè)樣本,該總體

的分布未知(可能是離散的,也可能是連續(xù)的,可能是均勻分布,也可能生偏態(tài)

分布等),但知其均值為方差為,(有限旦不為0),則當(dāng)樣本量n充分大時(shí),

樣本均值X近似服從正態(tài)分布,其均色仍為〃,方差為記為

(4.2.5)

譬如,樣本X-Xz,…,X”來自指數(shù)分布Exp。),2>0,則總體期望為},

方差為親,那么當(dāng)"充分大時(shí),樣本均值

又譬如,樣本X,Xz,…,X”來自6(1,2),OV?V1,則總體期望為,方差

為力(1一2),那么當(dāng)〃充分大時(shí),樣本均值(力,四亍包)。

(1)分組樣本均值的近似計(jì)算

樣本方差:樣本關(guān)于樣本均值的平均偏差平方和S;=工汽

〃Z=1

“不大時(shí),常用無偏方差S;=T[(X廠又)2

樣本標(biāo)準(zhǔn)差:s“=病

樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)取值分散與集中的程度,即反映了總體方差與

標(biāo)準(zhǔn)差的信息。

Q=2(M—苒產(chǎn)=x?—2?三+

?=*]i=li1i-l

=2J一標(biāo)2

i-=l

=次君-:(卞二)2

.=1ni-1

分組樣本:s

=.n一元?2

⑵樣本方差的抽樣分布

定理4.2.2設(shè)X],X2,…,X”是來自正態(tài)總體N(〃d)的一個(gè)樣本,則

去火(X,-X)2=蓍=?犬3—D,且與X獨(dú)立。

證明:

Zi=-^z-Xi----^z-X2

V2V2

Zz=7,1(X「+X2)----2-X3

72X3/2X3

1

z3=—.(Xt+Xz+XQ-/_3=x,

,3X4,3x\

n—1

Zi=1(Xi+X2+…+XiKn

Vy(n-i)n\/(n—l)n

ZH=%(X1+Xz+…+X“)

土£(XLX)2=/[£x.點(diǎn)2]

T部y)=W(到

(3)樣本的高階矩

定義4.2.4設(shè)X,,X2,-,X.是來自某總體的一個(gè)樣本,則稱

A*=*=1,2,-(4.2.12)

為樣本的4階原點(diǎn)矩,稱

B*=]£(X,-¥?,k=1,2,-(4.2.13)

為樣本的&階中心短。

它們分別反映了總體左階原點(diǎn)矩4與4階中心矩外的信息.特別Ai=又,

Bi=09B2=S"

4.3次序統(tǒng)計(jì)量及其分布

定義4.3.1設(shè)X,,Xz,…,X.是取自總體X的一個(gè)樣本,X“,稱為該樣本

的第i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量,它是樣本X-Xz,…,X”的滿足如下條件的函數(shù):每當(dāng)樣

本得到一組觀測值皿,工2,??,,心時(shí),將它們從小到大排列為

,X(o<X<2)<???&x(,)

第i個(gè)值工S便是x<?的觀測值,稱X⑴,X⑵,…,Xs為該樣本的次序統(tǒng)計(jì)量,

X⑴又稱為該樣本的最小次序統(tǒng)計(jì)盤,X(“>又稱為該樣本的最大次序統(tǒng)計(jì)量。

X(i)的分布是不同的;

任意兩個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布也是不同的;

任意兩個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量是不獨(dú)立的。

(1)次序統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布

6(力=7\K1~一v1?)T!7~——R)!~-(幻(4.3.1)

對于樣本最大次序統(tǒng)計(jì)量X⑻

n1

pn(x)=np(x)[F(x)]~

Fn(x)=[F(x)Y

對于樣本最小次序統(tǒng)計(jì)量X。)

1

pl(x)=np(x)\l-F(x)r

^(x)=l-[l-F(x)]n

(2)兩個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合密度函數(shù)

n\

pQ,z)=[p(y)]T[/(z)—F(y)]^[l-F(z)r-j

(z-l)!(j-z-l)!(n-j)!

其中X(1),X(.)的可表示為

p(.yi>y?)=n(n—l)p(yi)[F(y.)—F(y>?

a4“&y.&b

(3)樣本極差

定義4.3.2樣本最大次序統(tǒng)計(jì)量與樣本最小次序統(tǒng)計(jì)量之差稱為樣本

極差,簡稱極差,常用R表示?!?,

如果樣本容量為”;則樣本極差

(4.3.7)

R=X(?)—X(1)

極差表示樣本取值范圍的大小,也反映了總體取值分散于集中的程度。

極差常在小樣本5410)的場合使用,因?yàn)闃颖救萘看蟮臅r(shí)候丟棄的信息也多,

使用價(jià)值不大。

當(dāng)總體分布為N",/)時(shí),由(4.3.6)式可求出容量為n時(shí)的樣本極差

母=X(.)-X(1)的密度函數(shù)為

g-=啼也B5E亍)廠產(chǎn)上守加

x>0(4.3.8)

從極差去估算標(biāo)準(zhǔn)差很方便,但極差也有缺點(diǎn),就是任意受個(gè)別異常值的干擾。

(4)樣本中位數(shù)與p分位數(shù)

定義4.3.3樣本按大小次序排列后處于中間位置上的統(tǒng)計(jì)量稱為樣本

中位數(shù),常用表示。

md

X(宇).

〃為奇數(shù)

nij=(4.3.11)

)+x(/+i)],〃為偶數(shù)

定義4.3.4設(shè)X-Xz,…,X”是來自某總體的一個(gè)樣本,其次序統(tǒng)計(jì)量

為Xa>《X⑵樣本的p分位數(shù)是指由下式求得的統(tǒng)計(jì)量:

fyk

Xg.中=?

7np=<(4.3.12)

X(*)+—X“)][(九+Dp-k~\,二、<P<~

n十1n+1

不難看出,(4.3.12)式中的人是不超過("+1”的最大整數(shù),0<p<1.

樣本的戶分位數(shù),“,表示容量為"的樣本中約有〃/>個(gè)數(shù)小于,”,,它也是一

種表示位置信息的統(tǒng)計(jì)量.

0:第一四分位數(shù)

。3:第三四分位數(shù)

x(i)Q\mjQi

第五章參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)的形式有兩種:點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì).

在參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)中,是要構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量9=以X、,Xz,x”),然后用e

去估計(jì)。,稱°為夕的點(diǎn)估計(jì)或估計(jì)量,簡稱估計(jì),將樣本觀測值代入后便得到了

6的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值點(diǎn)(為,工2,…,工”),在不致混淆的情況下均用0表示.

在參數(shù)的區(qū)間估計(jì)中,是要構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)與施,且瓦V訪,然后以區(qū)

問[或,的形式給出未知參數(shù)》的估計(jì),事件“區(qū)間[&,&]含有儼的概率稱

為置信水平。

5.1矩法估計(jì)

用樣本矩估計(jì)總體矩,用樣本矩的相應(yīng)函數(shù)估計(jì)總體矩的函數(shù)

nz=l

1nf1n2in

3?=4-4=-£x:-—乞Xj、=—£(X]-又)0

〃i=l1〃i=lJ〃i=l

矩估計(jì)的步驟

(1)先求總體的前人階矩,記E(XD=內(nèi),j=1,2,…次,并假定

勺=gj(,i,%,…,仇),i—,k(5.1.1)

(2)解方程組(5.1.D得

)

.4=①(出…,4),,=1,2,…,%(5.1.2)

(如果可能求解的話)

(3)在(5.1.2)式中,用A,代替%,j=1,2,…次,則得仇,&,…,4的矩法

估計(jì)為

。="(A】,Az,…,AJ,i=l,2,-,k(5.1.3)

(4)如果有樣本觀察值,則將它們代入(5.L3)式得口,&/“,4的估計(jì)值。

有時(shí)為方便起見,在(5.1.1)或(5.1.2)式中會(huì)出現(xiàn)總體的中心矩為等,這

時(shí)可用B,代替力。

舉例:

(1)均勻分布X~U(a㈤

(

%=E(X)=次=Var(X)=”產(chǎn)

Ja=X——X—>/3Sn

=X+,3S:=X+偌S”

(2)r分布rgu)

內(nèi)=E(X)=j-,v2=Var(X)=券

-X23X

Q=sF'A=sl

矩法估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是其統(tǒng)計(jì)思想簡單明確,易為人們接受,且在總體分布未

知場合也可使用。它的缺點(diǎn)是不唯一,譬如泊松分布P。),由于其均值和方差

都是3因而可以用X去估計(jì)人也可以用S:去估計(jì)3此時(shí)盡量使用低階樣本

矩,用X去估計(jì)入,而不用si去估計(jì)八此外樣本各階矩的觀測值受異常值影響

較大,從而不夠穩(wěn)健.

5.2點(diǎn)估計(jì)優(yōu)劣的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

1.無偏性

希望所得的估計(jì)。從平均意義上來講與。越接近越好

定義s.2.1設(shè)e=e(Xi,Xz,…,X,)是參數(shù)個(gè)的估計(jì)量,如果

E9=6(96@(5.2.1)

則稱J是<9的無偏估計(jì),否則稱為有偏估計(jì)。這里。是6的參數(shù)空間.

例5.2.1設(shè)總體X具有々階矩,EX-=4,則樣本的石階原點(diǎn)矩A-是以

的無偏估計(jì)。

例5.2.2設(shè)總體乂具有二階矩,E(X)=〃,Var(X)=/,從中獲得樣本

X-Xz,…,X”,則X是"的無偏估計(jì),但比不是/的無偏估計(jì),而S?是M的

無偏估計(jì)。

E(S2)=O-2

對比而言,盡管它不是/的無偏估計(jì),然而當(dāng)"f8時(shí),有

limES:=d

“―co

我們稱比是公的漸近無偏估計(jì)。

當(dāng)。是。的無偏估計(jì)時(shí),若用gM)去估計(jì)參數(shù)g(e),那么g(5)通常不再是

g(e)的無偏估計(jì)。在例5.2.?中,我們證明了s?是的無偏估計(jì),但是s不是

。的無偏估計(jì)…

2.有效性

希望找到的估計(jì)圍繞其真值的波動(dòng)越小越好,即要求估計(jì)量的方差小,這樣?與

。有較大偏差的可能性就小。

定義5.2.2設(shè)。=A(X],Xz,…,X")與①=E(Xi,Xz,…,X”)都是參

數(shù)夕的無偏估計(jì),如果

Var(&)<Var?92),t?€?(5.2.2)

直至少對一個(gè)仇€6>.有嚴(yán)格不等號成立,則稱&比①宥效。

盡量用樣本中所有數(shù)據(jù)的平均去估計(jì)總體均值,不要用部分?jǐn)?shù)據(jù)去估計(jì)總體均值,

澤陽可提高估計(jì)的有效性。

3.均方誤差準(zhǔn)則

對于有偏估計(jì),比較方差意義不大,關(guān)心的是估計(jì)值圍繞其真值波動(dòng)的大小。

定義5.2.3設(shè)&與①是參數(shù)。的兩個(gè)估計(jì)量,如果

E(優(yōu)-Oy<E電-嚀,6?60(5.2.3)

且至少對一個(gè)G6d有嚴(yán)格不等式成立,則稱在均方誤差意義下,見優(yōu)于良。

其中稱為瓦的均方誤差,常記為MSE也)。

若。是。的無偏估計(jì),則其均方誤差即為方差,即MSE?9)=Var(B)。

均方誤差還有如下一種分解:設(shè)石是。的任一估計(jì),則有

MSEC。)=E((?-5)2=E匚(。一E(b+(E點(diǎn)_。)了

=ECO-EG)2+(E0-0y=Var(的+爐

其中6=|E石一朗稱為偏差。由上式可見,均方誤差是由方差Var(的和偏差B

的平方組成。無偏估計(jì)可使6=0,有效性要求方差Va;(6盡量地小,而均方誤

差準(zhǔn)則要求兩者(方差和偏差平方)之和愈小愈好。下面的例子說明均方誤差

例5.2.5設(shè)Xi,&,…,X*是來自正態(tài)總體N(〃,d)的一個(gè)樣本,利用

X2分布的性質(zhì)可知其偏差平方和Q=*(X,-X)2的期望與方差分別為

E(Q)=(八-l),,Var(Q)=2(n-l)<r4

現(xiàn)構(gòu)造如下三個(gè)估計(jì):

這三個(gè)估計(jì)的偏差平方晉、方差Var(.)和均方誤差MSE(.)很容易從Q的期

望與方差算得,現(xiàn)列于表5.2.2中。

從最后三行數(shù)據(jù)可以看出:

?S2雖是/的無偏估計(jì),但方差(也是它的均方誤差)并不小,故從均方

誤差準(zhǔn)則看它并不優(yōu)良。

?比和S%都不是B的無偏估計(jì),但在均方誤差準(zhǔn)則下都優(yōu)于S2。

?理論上可以證明:在正態(tài)方差,的形如Q(c是常數(shù)).的估計(jì)類中,&+i

的均方誤差最?。ㄒ娏?xí)題5.2.7)0

從不同側(cè)面去考察估計(jì)量的好壞會(huì)得出不同的結(jié)論,在討論估計(jì)量的好壞,必須

明確我們所遵循的準(zhǔn)則是上面。

4.相合性

隨著樣本容量的增大,一個(gè)好的估計(jì)份應(yīng)該越來越靠近其真值。,使得偏差

酹-大的概率越來越小。

定義5.2.4設(shè)對每個(gè)自然數(shù)n,dn=,X?,…,X")是0的一個(gè)估計(jì)

量,如果對任意e>0,當(dāng)"f8時(shí),有

P(|0,-(?|>e)-0(5.2.4)

則稱“是夕的相合估計(jì)。

相和性是估計(jì)量的最基本的栗求。

定理5.2.1(切比曉夫大數(shù)定律)設(shè)X-Xz,…,X”,…是一列獨(dú)立同分布

的隨機(jī)變量,其數(shù)學(xué)期望為“,方差為<8,則對任意給定的e>。,有

>e)-*0-8)

定理5.2.2(辛欽大數(shù)定律)設(shè)Xi"…,X",…是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)

變量序列,若其具有有限的數(shù)學(xué)期望為〃,則對任意給定的e>0,有

F(;十—/r>e)-*0(n->oo)

定理5.2.3設(shè)。,①,…,良分別謔/M,…,”的相合估計(jì),若g(4,%,

…為&個(gè)參數(shù)的連續(xù)函數(shù),則g(A忌,…,幻是g(d,%,…,仇)的相合估

計(jì)。

矩估計(jì)都有相合性。

證;矩法估計(jì)都具有相合性,這是矩法估計(jì)的又一個(gè)優(yōu)點(diǎn).為說明這一點(diǎn),

我們分幾步進(jìn)行。

首先由辛欽大數(shù)定律知,當(dāng)歸階原點(diǎn)矩4=E(X")存在時(shí)■,則樣本的左階

原點(diǎn)矩A*=上±》是總體左階原點(diǎn)矩4的相合估計(jì).

ni-1

其次由于左階中心矩V*常是前左階原點(diǎn)矩的連續(xù)函數(shù)g(4…,4)(見

§2.5.1),故由定理5.-2.3知g(Ai,A2,…,A*)是丁=g(內(nèi),網(wǎng),…,㈣)的相合

估計(jì)。譬如:>

總體方差丫2=“2—謁=g(“l(fā)?Pz)是〃L,“2的連續(xù)函數(shù),只要“2存在,樣

本方差

g(A,Az)=A2-A;,=-xy=SJ

是總體方差的相合估計(jì)。從而

從A-Az)=3g(A],Az)=SW(X,-X)z=s?

九一I九一1百

也是總體方差的相合估計(jì)??梢娨粋€(gè)參數(shù)的相合估計(jì)不止一個(gè)。

一■個(gè)參數(shù)的相合估計(jì)不止一■個(gè)。

5.3極大似然估計(jì)

設(shè)總體含有待估參數(shù)。,它可以取很多值,要在。一切可能取值之中取出一個(gè)使

得樣本觀測值出現(xiàn)的概率為最大的。值(記為不)作為其估計(jì),并稱彼為。的極大

似然估計(jì)。

(1)離散分布場合的極大似然估計(jì)

設(shè)X的分布是高散的,分布中含有未知參數(shù)。,記為

P(X=a,)-i=1?2,-,8W矽

其中?為參數(shù)空間?,F(xiàn)從總體中抽取容量為?的樣本,其觀測值為為,孫,…,

工“,這里每個(gè)工,為…中的某個(gè)值,該樣本出現(xiàn)的概率為n?(H*夕)。由

于這一概率依賴于未知參數(shù)因而可將它看成是夕的函數(shù),稱為似然函數(shù),記

為L(?):?

M

L(8)=]]/>(xj;。),8W8(5.3.1)

對不同的夕,同一組樣本觀察值與,工2,…,工”出現(xiàn)的概率L2)也不一樣。如今

樣本觀察值為,工2,…,工”出現(xiàn)了,當(dāng)然就要求對應(yīng)的似然函數(shù)L⑹的值達(dá)到

最大,所以我們選取這樣的自作為。的估計(jì),使得

L(0)=maxL(O)

go

假如,存在的話,稱J為。的極大似然估計(jì)。

(2)連續(xù)分布場合的極大似然估計(jì)

當(dāng)X的分布是連續(xù)時(shí),其概率密度函數(shù)為/>(工;0),其中6為未知參數(shù),

660?,F(xiàn)從該總體中獲得容量為?的樣本觀測值叼,工z,…,占,則在X,=x,,

H

Xz=Hz,…,X”=xn時(shí)聯(lián)合密度函數(shù)值為它也是8的函數(shù),也稱

為似然函數(shù),記為

n

L(9)=0^0(5.3.2)

t-1

對不同的。,同一組樣本觀察值為,HZ,…,工”的聯(lián)合密度函數(shù)值也是不同的,因

而我們選擇夕的極大似然估計(jì)后應(yīng)滿足

L(。)=maxL(6)

eee

2.求極大似然估計(jì)的方法

⑴求導(dǎo)

為求方便常常隊(duì)似然函數(shù)取對數(shù),稱/(e)=lnL(6)為對數(shù)似然函數(shù),與L(6)在同

一點(diǎn)上達(dá)到最大。

31(.0yc

k二0,j=1,2,?r9k(5.3.3)

為似然方程,其中4是。的維數(shù)。

若似然函數(shù)可微的話,可以驗(yàn)證色笑<0,這表明力可使似然函數(shù)達(dá)到最大。

ap

例5.3.3設(shè)某機(jī)床加工的軸的直徑與圖紙規(guī)定的尺寸的偏差服從NS

,)?其中〃,/未知.為估計(jì)〃與。Z,從中隨機(jī)抽取100根軸,測得其偏差為

工1,工1,…,Hlg.試求〃,/的極大似然估計(jì).

解:(1)寫出似然函數(shù)

L(B,W)—IIyL-e'^T'=

i-iy/2n(J

(2)寫出對數(shù)似然函數(shù)

Igo2)=—勺ln(2")—親£(工,一“

(3)將/(〃,/)分別對"與。?求偏導(dǎo),并令它們都為0.得似然方程為:

.限72…。

、修一啟+嘉…』’

(4)解似然方程得

1=£,?(工'-)

(5)經(jīng)驗(yàn)證。,了使1(")達(dá)到極大.

(6)上述敘述也對一切樣本觀察值成立,故用樣本代替觀察值,便得//與,

的極大似然估計(jì)分別為:

A=x,?=7§(X,-X)2=s-

⑵不能求導(dǎo)的時(shí)候

黨似然函數(shù)鄢非零區(qū)域與未知參數(shù)有關(guān)時(shí),通常無法通過解似然方程來獲得參數(shù)

的極大似然估計(jì),這時(shí)可從定義出發(fā)直接求極大值點(diǎn)。

3.極大似然估計(jì)的不變原則

定理5.3.1(不變原則)設(shè)。是夕的極大似然估計(jì),g(e)是N的連續(xù)函數(shù),

則g(o)的極大似然估計(jì)為晨鈕.

例S.3.5設(shè)某元件失效時(shí)間,服從參數(shù)為A的指數(shù)分布,其密度函數(shù)為

p(x?A)=,J:》0

A未知?,F(xiàn)從中抽取了n個(gè)元件測得其失效時(shí)間為孫,耳,…,不,試求A及平均

壽命的MLE。

解:先求義的MLE。

(1)寫出似然函數(shù)

L(A)=JJXe~kti=入"cxp{—22勾)

i-li-l

(2)取對數(shù)得對數(shù)似然函數(shù)

H

Z(A)=wlnA-

21

<3)將/(A)對A求導(dǎo)得似然方程為:

d/(a)〃6

飛-=廠紂=°A

(4)解似然方程得

A=-2-=1

s-.T

經(jīng)驗(yàn)證它使Z(A)達(dá)到最大,由于上述過程對一切樣本觀察值成立,故人的MLE是

元件的平均壽命即為X的期望值,在指數(shù)分布場合,有E(X)=+,它是入

的函數(shù),其極大似然估計(jì)可用不變原則求得,即用久的MLE工代人便得E(X)

的MLE為E(X)=1=X。由于X也是E(X)的矩法估計(jì),故X是E(X)的

A

無偏相合估計(jì)。.;

4.極大似然估計(jì)的漸近正態(tài)性

定理5?3.2設(shè)總體X具有密度函數(shù)。(7田),未知參數(shù),。是一個(gè)非

退化區(qū)間。并假定

(1)對一切。€包偏導(dǎo)數(shù)''a特存在。

(2)對一切仇有

陶<F,Cz),|翻<F",|票|<F"

其中函數(shù)FKz),F(xiàn)式工)在(-8,8)上可積,而函數(shù)E〈工)滿足

[F3(x)p(xi^)dx<M

其中M與0無關(guān)。

(3)對一切。6d有

0〈E(需):匚(蜉),工"一

則在分布參數(shù)e的真值名為?的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的情況下,其似然方程嚅=。有一

個(gè)解點(diǎn)存在,并對任給.e>0,隨著"f8,有p(|石一4|>e)f0,且》漸近服

從正態(tài)分布

N(a,[回耨1%)

5.5三大分布

1.大分布

定義5.4.2如果X?N(O,1),Y?犬(“),且X與Y獨(dú)立,則

t=—^―(5.4.9)

的分布稱為自由度為”的,分布,記為

圖5.4.4幾個(gè),分布的密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)

方打的密度函數(shù)是偶函數(shù),且是關(guān)于縱軸對稱的單峰函數(shù),形狀與標(biāo)準(zhǔn)正太分布

相似,但其峰比N(O,1)大一些。隨著自由度〃的增大力分布與N(O,1)之間的差別

就越來越小。自由度為10的%分布已經(jīng)很接近N(O,1)了。

自由度為1的七分布是柯西分布,沒有方差和期望。

2.五分布

定義5.4.3?如果X?X(〃),丫?犬(相),且X與Y獨(dú)立,則

F=

Y/m

的分布稱為自由度是〃與m的F分布,記為F(n,m)0

「分布是是一中偏態(tài)分布,F(xiàn)/(篦,徵)=-=--5----T

(7W?Zl)

5.5區(qū)間估計(jì)

定義5.4.1設(shè)。是總體的一個(gè)參數(shù),其參數(shù)空間為8,X,,Xz,…,X”是來

自該總體的一個(gè)樣本,對給定的“0<a<D,確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)錄%=%(X、,

X?,…,X")與%=%(Xi,X?,…,X"),若對任意0E。,有

P(4&。&詼)>1一叫0(5.4.1)

則稱隨機(jī)區(qū)間[尻,詼1是0的置信水平為1-a的置信區(qū)間,或簡稱[/,詼[是6

的1—a置信區(qū)間,反與。u分別稱為1一。的置信區(qū)間的置信下限與置信上限。

(1)樞軸量法

(1)從。的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)在出發(fā),構(gòu)造@與。的一個(gè)函數(shù)G出,6),使得G的分

布(在大樣本場合,可以是G的漸近分布)是已知的,而且與6無關(guān)。通常稱這種

函數(shù)GS,。)為樞軸量。

(2)適當(dāng)選取兩個(gè)常數(shù)c與d,使對給定的。有‘

P<c<G06)<d)》l-a(5.4.2)

這里的概率大于等于號是專門為離散分布而設(shè)置的,當(dāng)G加,6)的分布是連續(xù)

分布時(shí),應(yīng)選。與d使(5.4.2)式中的等號成立,這樣就能充足地使用置信水平

1—a。

(3)利用不等式運(yùn)算,將不等式c《G(石進(jìn)行等價(jià)變形,使得最后能

得到形如玩詼的不等式。若這一切可能,則[%,跖1就是。的1一。置信

區(qū)間。因?yàn)檫@時(shí)有

P(%464跖)=P(c4G.,6)&d),l-a

樞軸量的確定方法

(1)對稱分布時(shí),取d為&分位數(shù),c=—d

1----

2

(2)非對稱分布時(shí)

P(GVc)=a/2,P(G4d)=l-Q/2(5.4.4)

即取c為G的分布的a/2分位數(shù)"為G的分布的1一。/2分位數(shù)(見圖

5.4.2(b)).

這樣得到的置信區(qū)間稱為等尾置信區(qū)間。

⑸正態(tài)均值的置信區(qū)間〃已知)

X一/“T,x+/k

7Ji22

當(dāng)總體不是正態(tài)分布而總體標(biāo)準(zhǔn)差已知,那么在大樣本場合(”>30),總

體均值;?■的置信區(qū)間仍可用(5.4.7)式求得,這是因?yàn)樵诖髽颖緢龊?,樣本均?/p>

X的漸近分布為N(“,9),從而

近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

當(dāng)b已知時(shí),正態(tài)總體均值〃的置信區(qū)間長度時(shí)樣本容量"的減函數(shù),可以通過

增加樣本容量n來達(dá)到提高精度的目的

(b)正態(tài)均值的置信區(qū)間〃(b未知)

樞軸量/=----夕

S/yJn

_S_S

置信區(qū)間X--『Ua,X+一尸”a

_7rl1-y7n1-y

定理5.4.1設(shè)X-Xz,…,X.是來自N(“,d)的一個(gè)樣本,X、S分別為

樣本均值與樣本方差,則t=X二q服從自由度為"-1的t分布.

S/布

5.6樣本量的確定

一是控制置信區(qū)間的長度2d(精確度)來確定樣本量”,其中d為區(qū)間的半

徑.

二是控制犯第二類錯(cuò)謾的概率F來確定樣本景n.

(1)標(biāo)準(zhǔn)差b已知的場合〃之[皆產(chǎn)J

⑵標(biāo)準(zhǔn)差〃未知的場合

若有近期的樣本可用的時(shí)候,”之(s°'-a/2("。—1)

1d

其中s0是根據(jù)容量為小的近期樣本求得的。一個(gè)估計(jì)

⑶Stein的兩步法

第一步:根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對。作一推測,譬如為/。根據(jù)此推測可用(D的方法確

亙一個(gè)樣本量即

/=*)'

為一個(gè)比n小得多的整數(shù)3作為第一樣本量。選擇小的一個(gè)粗略的規(guī)則是:

當(dāng)—260時(shí),可取〃i>30;

當(dāng)〃'V60時(shí),可取=0.5/與0.In中某個(gè)整數(shù)。

第二步:從總體中隨機(jī)取出容貴為小的樣品,并逐個(gè)測5b獲得小個(gè)數(shù)據(jù),

由此可算得第一個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差、,自由度為2對給定的叫可查得分位數(shù)

l-?/2(W)一1),然后算得

心(.j.-I),(5.4.15)

玄里也需要同前一樣取為整數(shù)。由此可得第二個(gè)樣本量如=〃一為。這兩個(gè)樣

本量之和便是我們所需要的樣本量。

(C)正態(tài)方差02與標(biāo)準(zhǔn)差。的置信區(qū)間

X="2W?/,_])(5.4.16)

斗(〃-1)&5號)W<x?_f(〃-1)(5.4.17)

可解得"的置信水平為1一。的置信區(qū)間是

r(〃一1對3-1對]

(5.4.18)

L尤_號(〃_1),褲(”一1)J

故從(5.4.19)式可得。的1一a置信區(qū)間為

(5.4.20)

(d)兩個(gè)正態(tài)均值差的置信區(qū)間

(1)已次口

此時(shí)可用X-y去估計(jì)出一小,由正態(tài)分布性質(zhì)可知X-Y?N5一也,

色+或),從而

nm

u二EF上幼二也?N(O,1)

置信區(qū)間又—

(2)o\=%但具體值未知

定理5.4.2設(shè)X,,Xa,…,X”是來自正態(tài)總體X?N3,d)的一個(gè)樣

本,Yi,K,…,匕.是來自正態(tài)總體丫?N(“z,,)的一個(gè)樣本,且兩樣本獨(dú)立,

兩個(gè)樣本的均值分別記為x,y,兩個(gè)樣本的方差分別記為si與?,則

I=?“”+吁2)

SwJi+m

c2(”一l)st+(m-l》sy

Sw=n+m-2(5.4.22)

置信區(qū)間X-丫±?_(?+-2)S.—I—

1a/2WVnm

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