2023-2024學年九年級數(shù)學上冊3.7二次函數(shù)與一元二次方程第2課時教案

2023-2024學年九年級數(shù)學上冊3.7二次函數(shù)與一元二次方程(第2課時）教案授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學內(nèi)容為二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，包括如何將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，以及如何通過一元二次方程求解二次函數(shù)的零點。

2.教學內(nèi)容與九年級學生已有知識緊密聯(lián)系，學生在之前已經(jīng)學習了二次函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)，以及一元二次方程的求解方法。本節(jié)課將這兩部分知識結(jié)合起來，使學生能夠更好地理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。本節(jié)課內(nèi)容來源于2023-2024學年九年級數(shù)學上冊第三章第七節(jié)，具體包括二次函數(shù)的一般式與頂點式之間的轉(zhuǎn)換，以及通過一元二次方程求解二次函數(shù)的零點等。核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和數(shù)學應用能力。通過將二次函數(shù)與一元二次方程相結(jié)合，學生將提升對數(shù)學模型的理解和運用，能夠?qū)嶋H問題抽象為數(shù)學問題，并運用數(shù)學知識解決實際問題。此外，通過探究二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，學生將增強空間想象力和數(shù)據(jù)分析能力，為未來學習更高級數(shù)學打下堅實基礎(chǔ)。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的基本概念、圖像特點以及一元二次方程的求解方法。他們對二次函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點等性質(zhì)有一定的理解，并能夠繪制簡單的二次函數(shù)圖像。

2.九年級的學生具有較強的邏輯思維和學習興趣，他們喜歡探索數(shù)學問題，對圖形和方程有較高的好奇心。在能力上，學生能夠獨立完成基礎(chǔ)的數(shù)學運算，具備一定的解題技巧和問題解決能力。在風格上，學生傾向于通過實例和練習來加深理解，喜歡直觀和互動的學習方式。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：

-對二次函數(shù)與一元二次方程之間關(guān)系的理解可能不夠深入，需要通過具體例子來強化。

-在將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式時，可能會混淆配方法的步驟，需要通過練習來熟練掌握。

-在求解二次函數(shù)的零點時，可能會在一元二次方程的求解過程中出現(xiàn)計算錯誤，需要加強計算能力和檢查習慣。

-對于一些復雜的二次函數(shù)問題，學生可能缺乏解題策略和思路，需要教師的引導和啟發(fā)。教學資源-教科書（2023-2024學年九年級數(shù)學上冊）

-黑板和粉筆

-投影儀或智能板

-二次函數(shù)圖像模型

-練習題和作業(yè)紙

-計算器

-教學PPT

-在線數(shù)學學習平臺（如學校指定的教學系統(tǒng)）教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預習任務(wù)：通過在線平臺發(fā)布預習資料，包括本節(jié)課的PPT和預習指南，明確要求學生預習二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，特別是頂點式的轉(zhuǎn)換。

-設(shè)計預習問題：設(shè)計問題如“如何從二次函數(shù)的一般式推導出頂點式？”“一元二次方程的解與二次函數(shù)的零點有何關(guān)聯(lián)？”

-監(jiān)控預習進度：通過平臺的數(shù)據(jù)統(tǒng)計功能監(jiān)控學生的預習情況，對進度慢的學生進行個別指導。

學生活動：

-自主閱讀預習資料：學生根據(jù)預習指南，閱讀相關(guān)內(nèi)容，理解二次函數(shù)與一元二次方程的基本關(guān)系。

-思考預習問題：針對預習問題進行思考，嘗試用自己的語言解釋問題，記錄疑問。

-提交預習成果：學生將預習筆記和思考的答案通過在線平臺提交。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：鼓勵學生自主探索，培養(yǎng)獨立思考能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺，實現(xiàn)資源的有效共享。

-作用與目的：為課堂學習打下基礎(chǔ)，讓學生對重難點有初步理解。

2.課中強化技能

教師活動：

-導入新課：通過一個實際生活中的例子，如投籃時籃球的運動軌跡，引出二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。

-講解知識點：詳細講解二次函數(shù)的頂點式推導過程，通過例題演示如何將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論活動，讓學生合作探討二次函數(shù)的圖像變化與一元二次方程的根的關(guān)系。

-解答疑問：對學生在學習和討論中提出的問題進行解答。

學生活動：

-聽講并思考：學生認真聽講，跟隨老師的思路思考問題。

-參與課堂活動：積極參與小組討論，通過合作學習深化理解。

-提問與討論：對不懂的問題提出疑問，與同學和老師討論。

教學方法/手段/資源：

-講授法：通過講解，幫助學生理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。

-實踐活動法：通過小組討論，讓學生在實踐中學習如何應用知識。

-合作學習法：培養(yǎng)團隊合作精神，提高溝通能力。

作用與目的：突破本節(jié)課的重難點，即二次函數(shù)的頂點式轉(zhuǎn)換和與一元二次方程的關(guān)系。

3.課后拓展應用

教師活動：

-布置作業(yè)：布置針對性的練習題，包括二次函數(shù)的圖像分析和一元二次方程的根的求解。

-提供拓展資源：提供相關(guān)的數(shù)學網(wǎng)站鏈接，讓學生進一步探索二次函數(shù)的應用。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，對學生的作業(yè)情況進行反饋。

學生活動：

-完成作業(yè)：學生獨立完成作業(yè)，鞏固課堂所學。

-拓展學習：利用老師提供的資源進行深入學習，拓寬知識面。

-反思總結(jié)：對作業(yè)中的錯誤進行反思，總結(jié)學習方法和解題技巧。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：鼓勵學生自主完成作業(yè)，培養(yǎng)自我學習能力。

-反思總結(jié)法：通過反思總結(jié)，提高學生的自我監(jiān)控和調(diào)整能力。

作用與目的：通過作業(yè)和拓展學習，鞏固和深化學生對二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的理解，提高解決問題的能力。拓展與延伸1.拓展閱讀材料

-《二次函數(shù)的性質(zhì)與應用》：深入探討二次函數(shù)的各種性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等，并介紹二次函數(shù)在實際問題中的應用。

-《一元二次方程的解法研究》：詳細解析一元二次方程的求解方法，包括配方法、公式法、圖像法等，并探討各種方法的優(yōu)缺點。

-《數(shù)學之美——二次函數(shù)與自然界》：介紹二次函數(shù)在自然界中的廣泛應用，如拋物線運動、生長規(guī)律等，讓學生感受數(shù)學與自然的聯(lián)系。

-《數(shù)學思維訓練——二次函數(shù)問題解決》：通過一系列具有挑戰(zhàn)性的二次函數(shù)問題，訓練學生的數(shù)學思維和解題技巧。

2.課后自主學習和探究

-探索二次函數(shù)的圖像變化：學生可以自主繪制不同參數(shù)的二次函數(shù)圖像，觀察參數(shù)變化對圖像的影響，如頂點位置、開口方向等。

-二次函數(shù)在實際問題中的應用：學生可以收集生活中的實際問題，嘗試用二次函數(shù)模型來描述和解決問題，如物體拋射、投資收益等。

-一元二次方程的根與二次函數(shù)的交點：學生可以通過計算和繪圖，探究一元二次方程的根與二次函數(shù)圖像交點之間的關(guān)系。

-二次函數(shù)的性質(zhì)探究：學生可以自主選擇一個二次函數(shù)的性質(zhì)進行深入研究，如最值問題、對稱性問題等，并撰寫研究報告。

-數(shù)學實驗：學生可以進行數(shù)學實驗，如使用物理實驗器材模擬拋物線運動，通過實驗數(shù)據(jù)驗證二次函數(shù)的性質(zhì)。

-數(shù)學競賽題目：鼓勵學生參加數(shù)學競賽，挑戰(zhàn)更高難度的二次函數(shù)問題，提高解題能力和數(shù)學素養(yǎng)。

-在線學習平臺：利用學校指定的在線學習平臺，學生可以觀看額外的教學視頻，參與在線討論，與同學交流學習心得。典型例題講解例題1：將二次函數(shù)的一般式\(y=x^2-4x+3\)轉(zhuǎn)化為頂點式。

解：通過配方法，我們可以將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式。首先，找到一次項系數(shù)的一半，即\(-4/2=-2\)，然后平方得到\(4\)。接著，將這個平方項添加到原方程中，并從常數(shù)項中減去同樣的數(shù)，保持等式不變：

\[y=x^2-4x+4-1\]

\[y=(x-2)^2-1\]

所以，頂點式為\(y=(x-2)^2-1\)。

例題2：已知二次函數(shù)的頂點坐標為(3,-2)，求該二次函數(shù)的一般式。

解：由于頂點坐標為(3,-2)，頂點式可以直接寫為：

\[y=a(x-3)^2-2\]

為了找到\(a\)的值，我們需要另一個點。假設(shè)我們知道當\(x=0\)時，\(y=1\)，代入頂點式得：

\[1=a(0-3)^2-2\]

\[1=9a-2\]

\[9a=3\]

\[a=\frac{1}{3}\]

所以，一般式為\(y=\frac{1}{3}(x-3)^2-2\)。

例題3：求解二次函數(shù)\(y=-2x^2+4x+2\)的零點。

解：為了找到零點，我們需要解一元二次方程\(-2x^2+4x+2=0\)。使用配方法或公式法，我們得到：

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

\[x=\frac{-4\pm\sqrt{16-4(-2)(2)}}{2(-2)}\]

\[x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{-4}\]

\[x=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{-4}\]

\[x=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}\]

所以，零點為\(x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}\)和\(x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}\)。

例題4：已知二次函數(shù)的圖像開口向下，且頂點在x軸上，求該二次函數(shù)的一般式。

解：由于頂點在x軸上，頂點的y坐標為0。設(shè)頂點坐標為(h,0)，則頂點式為\(y=a(x-h)^2\)。因為圖像開口向下，所以\(a<0\)。假設(shè)我們知道當\(x=1\)和\(x=3\)時，\(y\)的值都為0，代入頂點式得：

\[0=a(1-h)^2\]

\[0=a(3-h)^2\]

由于\(a\neq0\)，我們得出\(h=1\)和\(h=3\)。但是，這不可能，因為頂點只能有一個。這意味著頂點實際上在\(x=2\)的位置，因此\(h=2\)。我們可以選擇任意一個點來解\(a\)，比如\(x=0\)時，\(y=-1\)：

\[-1=a(0-2)^2\]

\[-1=4a\]

\[a=-\frac{1}{4}\]

所以，一般式為\(y=-\frac{1}{4}(x-2)^2\)。

例題5：二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像經(jīng)過點(1,2)和(2,5)，且頂點在y軸上，求該二次函數(shù)的一般式。

解：由于頂點在y軸上，頂點的x坐標為0。這意味著\(b=0\)，因此二次函數(shù)簡化為\(y=ax^2+c\)。現(xiàn)在我們有兩個方程：

\[2=a(1)^2+c\]

\[5=a(2)^2+c\]

\[2=a+c\]

\[5=4a+c\]

解這個方程組，我們得到\(a=1\)和\(c=1\)。所以，一般式為\(y=x^2+1\)。教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：觀察學生在課堂上的參與度和積極性，包括提問、回答問題、參與討論等，以評估學生對二次函數(shù)與一元二次方程的理解程度。

2.小組討論成果展示：評估學生在小組討論中的合作能力和解決問題的能力，通過展示討論成果，了解學生對知識點的掌握情況。

3.隨堂測試：通過隨堂測試，評估學生對二次函數(shù)與一元二次方程的基礎(chǔ)知識和技能的掌握程度，以及解題能力的提高情況。

4.課后作業(yè)：評估學生對課后作業(yè)的完成情況，包括正確率、解題思路、解答過程的規(guī)范性等，以了解學生對知識點的鞏固和應用情況。

5.教師評價與反饋：針對學生在課堂表現(xiàn)、小組討論、隨堂測試和課后作業(yè)中的表現(xiàn)，教師進行及時的評價和反饋，指出學生的優(yōu)點和不足，提供改進建議，幫助學生提高學習效果。同時，教師根據(jù)學生的反饋，調(diào)整教學方法和策略，以提高教學質(zhì)量。板書設(shè)計①二次函數(shù)的一般式與頂點式的關(guān)系：展示二次函數(shù)的一般式\(y=ax^2+bx+c\)和頂點式\(y=a(x-h)^2+k\)，并說明如何通過配方法將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式。

②一元二次方程的解法：列出解一元二次方程的方法，包括配方法、公式法、圖像法等，并簡要說明每種方法的步驟和適用條件。

③二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)：展示二次函數(shù)的圖像，并標注出頂點、對稱軸、開口方向等關(guān)鍵要素，同時列舉二次函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等。教學反思與總結(jié)教學反思：

今天的教學過程讓我對學生的理解能力和學習態(tài)度有了更深的認識。在教學方法上，我嘗試了多種方式來激發(fā)學生的學習興趣，例如通過生活中的實例引入二次函數(shù)的概念，以及通過小組討論來加深學生對一元二次方程解法的理解。我發(fā)現(xiàn)，學生在面對實際問題時的學習興趣更濃，也更愿意主動參與討論和思考。

在教學策略上，我注重了理論與實踐的結(jié)合，通過實例和練習來鞏固學生對知識點的理解。例如，在講解二次函數(shù)的頂點式時，我不僅講解了推導過程，還讓學生通過實際計算來驗證和理解。這種方式有效地提高了學生的學習效果。

在教學管理上，我注重了課堂紀律和學生學習習慣的培養(yǎng)。例如，我要求學生在課堂上保持專注，積極參與討論，并在課后認真完成作業(yè)。我發(fā)現(xiàn)，良好的學習習慣對學生的學習效果有著重要的影響。

教學總結(jié)：

本節(jié)課的教學效果總體來說是比較好的。學生在課堂上積極參與，對二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系有了更深的理解，同時也掌握了一些基本的