專題7 曲線的公切線問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì) (人教B版2019)

專題7曲線的公切線問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì)(人教B版2019)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）專題7曲線的公切線問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì)(人教B版2019)設(shè)計(jì)思路本節(jié)課圍繞人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)中“專題7曲線的公切線問題”展開，結(jié)合學(xué)生所在年級(jí)的知識(shí)水平和認(rèn)知特點(diǎn)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決實(shí)際問題的能力為核心。課程設(shè)計(jì)遵循由淺入深、循序漸進(jìn)的原則，首先通過復(fù)習(xí)曲線的切線概念引入公切線的定義，然后通過具體的例題讓學(xué)生掌握求解曲線公切線的方法，最后通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的解題技巧。同時(shí)，注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)并解決生活中的曲線公切線問題，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生以下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：

1.邏輯推理能力：通過分析曲線的公切線問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用邏輯推理解決問題的能力。

2.數(shù)學(xué)建模意識(shí)：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)模型，提高數(shù)學(xué)建模意識(shí)。

3.數(shù)學(xué)抽象能力：在求解曲線公切線過程中，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和方法的抽象概括能力。

4.數(shù)據(jù)分析和應(yīng)用能力：通過例題和練習(xí)，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析數(shù)據(jù)、解決問題的能力。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：理解公切線的概念，掌握求曲線公切線的方法。

難點(diǎn)：1.曲線公切線的幾何意義理解；2.求解過程中參數(shù)方程的應(yīng)用；3.復(fù)雜曲線公切線問題的解決策略。

解決辦法：

1.通過實(shí)例講解，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受公切線的幾何特征，強(qiáng)化對(duì)概念的理解。

2.通過詳細(xì)解析例題，演示如何將曲線方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，以及如何利用導(dǎo)數(shù)求解公切線，幫助學(xué)生掌握方法。

3.設(shè)計(jì)針對(duì)性練習(xí)，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)，逐步形成解決復(fù)雜問題的策略，如分類討論、數(shù)形結(jié)合等，以突破難點(diǎn)。教學(xué)方法與策略1.采用講授與討論相結(jié)合的方法，講解公切線的基本概念和求解方法，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生提問和討論，以加深理解。

2.設(shè)計(jì)案例研究環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過分析具體曲線的公切線問題，實(shí)踐解題步驟，培養(yǎng)應(yīng)用能力。

3.利用多媒體教學(xué)，展示曲線圖形和動(dòng)態(tài)變化過程，增強(qiáng)直觀感受。通過小組合作解決問題，促進(jìn)學(xué)生的互動(dòng)與合作。教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)曲線公切線問題的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場(chǎng)提問：“同學(xué)們，我們?cè)谥暗恼n程中學(xué)習(xí)了曲線的切線，那么大家知道什么是公切線嗎？它在我們的生活中有什么應(yīng)用？”

展示一些曲線公切線在實(shí)際生活中的應(yīng)用圖片，如物理中的運(yùn)動(dòng)軌跡、工程中的設(shè)計(jì)圖等，讓學(xué)生初步感受曲線公切線的重要性。

簡(jiǎn)短介紹曲線公切線的基本概念，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.曲線公切線基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解曲線公切線的基本概念、定義和性質(zhì)。

過程：

講解曲線公切線的定義，包括切線、公切線的概念。

詳細(xì)介紹曲線公切線的性質(zhì)，如切線的斜率與曲線導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等。

3.曲線公切線案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解曲線公切線的求解方法和應(yīng)用。

過程：

選擇幾個(gè)典型的曲線公切線案例進(jìn)行分析，如圓的公切線、橢圓的公切線等。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、求解步驟和意義，讓學(xué)生全面了解曲線公切線的多樣性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，如工程制圖、物理運(yùn)動(dòng)分析等。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與曲線公切線相關(guān)的案例進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該案例的求解方法、可能遇到的困難和解決策略。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)曲線公切線的認(rèn)識(shí)和理解。

過程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括案例的求解方法、討論過程和結(jié)論。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)曲線公切線的重要性和意義。

過程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括曲線公切線的基本概念、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)曲線公切線在現(xiàn)實(shí)生活和學(xué)習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生選擇一個(gè)與曲線公切線相關(guān)的實(shí)際案例，分析其求解過程，并撰寫一篇短文或報(bào)告。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果如下：

1.知識(shí)掌握方面：

學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解曲線公切線的定義和性質(zhì)，掌握求解曲線公切線的方法和步驟。通過案例分析，學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，如求圓的公切線、橢圓的公切線等。

2.技能提升方面：

學(xué)生在解決曲線公切線問題時(shí)，能夠熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和參數(shù)方程，提高了解題效率。通過小組討論，學(xué)生的合作能力和解決問題的能力得到了鍛煉，能夠更好地與他人溝通和協(xié)作。

3.數(shù)學(xué)思維方面：

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，逐漸培養(yǎng)了邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的意識(shí)。他們能夠?qū)?shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析和求解，從而提高了數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)據(jù)分析能力。

4.應(yīng)用能力方面：

學(xué)生能夠?qū)⑶€公切線的知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活和學(xué)習(xí)中，如分析物理運(yùn)動(dòng)軌跡、解決工程制圖問題等。通過課后作業(yè)，學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)與實(shí)際案例相結(jié)合，進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

5.情感態(tài)度方面：

學(xué)生在學(xué)習(xí)曲線公切線的過程中，感受到了數(shù)學(xué)的趣味性和實(shí)用性，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。同時(shí)，學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)，體會(huì)到了數(shù)學(xué)知識(shí)的力量，提高了對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

6.綜合素質(zhì)方面：

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和自主學(xué)習(xí)能力。他們能夠主動(dòng)查閱資料、參與討論、總結(jié)歸納，提高了獨(dú)立解決問題的能力。此外，學(xué)生在課堂展示中，鍛煉了表達(dá)能力和自信心。教學(xué)反思與改進(jìn)今天的課程讓我看到了學(xué)生們對(duì)曲線公切線問題的熱情和努力，但同時(shí)也暴露出了一些教學(xué)上的不足，這讓我深感反思。

在設(shè)計(jì)課程時(shí)，我盡量將抽象的數(shù)學(xué)概念與實(shí)際生活相結(jié)合，希望通過實(shí)例讓學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)。然而，在課堂實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)公切線的幾何意義理解不夠深入，這可能是因?yàn)槲以谥v解過程中沒有足夠強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。未來，我會(huì)更多地使用直觀的圖形和動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生建立起清晰的幾何直觀。

在教學(xué)過程中，我也注意到一些學(xué)生在使用參數(shù)方程求解公切線時(shí)遇到了困難。我意識(shí)到，我在講解這一部分時(shí)可能過于側(cè)重于理論推導(dǎo)，而沒有足夠的時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐。下次教學(xué)時(shí)，我會(huì)增加一些課堂練習(xí)，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下逐步完成解題過程，以此來提高他們的實(shí)際操作能力。

小組討論環(huán)節(jié)是課堂中較為活躍的部分，學(xué)生們積極參與，提出了不少有創(chuàng)意的想法。但是，我也發(fā)現(xiàn)有些小組的討論深度不夠，可能是因?yàn)闀r(shí)間限制或者討論主題設(shè)置不夠深入。未來，我會(huì)調(diào)整小組討論的策略，比如給予更多的時(shí)間或者提前準(zhǔn)備更具有挑戰(zhàn)性的討論題目。

此外，我也反思了課堂點(diǎn)評(píng)環(huán)節(jié)。雖然我嘗試對(duì)所有學(xué)生的展示進(jìn)行了提問和點(diǎn)評(píng)，但我意識(shí)到我的反饋可能還不夠具體和深入。接下來，我會(huì)更加注重對(duì)學(xué)生的個(gè)性化反饋，指出他們解題過程中的亮點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方，以促進(jìn)他們的個(gè)性化發(fā)展。

改進(jìn)措施如下：

1.加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)，使用更多直觀教具和軟件來輔助教學(xué)。

2.增加課堂練習(xí)時(shí)間，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握解題技巧。

3.優(yōu)化小組討論主題，提前準(zhǔn)備討論題目，確保討論的深度和廣度。

4.提供更具體的課堂點(diǎn)評(píng)，注重個(gè)性化反饋，幫助學(xué)生提升解題能力。

我期待在未來的教學(xué)中，通過這些改進(jìn)措施，能夠讓學(xué)生們對(duì)曲線公切線問題有更深刻的理解和掌握，同時(shí)也能夠提高他們的數(shù)學(xué)思維能力和解決實(shí)際問題的能力。課堂課堂評(píng)價(jià)：

在課堂上，我采用了多種方式來評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。首先，通過提問，我能夠及時(shí)了解學(xué)生對(duì)曲線公切線概念的理解程度。我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)提問比較具體時(shí)，學(xué)生們往往能夠給出較為準(zhǔn)確的答案，但面對(duì)較為抽象的問題時(shí)，他們的回答則顯得有些模糊。這讓我意識(shí)到，需要進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解和應(yīng)用。

觀察學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)也是評(píng)價(jià)的重要手段。我注意到，在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生們能夠積極參與，提出自己的想法，但在解題過程中，一些學(xué)生對(duì)于公切線問題的解決策略還不夠清晰。我會(huì)針對(duì)這些觀察到的現(xiàn)象，調(diào)整教學(xué)策略，比如增加一些針對(duì)性的練習(xí)，幫助學(xué)生更好地掌握解題方法。

此外，我還會(huì)通過課堂小測(cè)驗(yàn)來評(píng)估學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。通過測(cè)試，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)谇蠼夤芯€方程時(shí)，對(duì)于參數(shù)方程的應(yīng)用還不夠熟練。針對(duì)這一問題，我計(jì)劃在后續(xù)教學(xué)中增加更多的練習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)踐中提高解題能力。

作業(yè)評(píng)價(jià)：

對(duì)于學(xué)生的作業(yè)，我堅(jiān)持認(rèn)真批改和詳細(xì)點(diǎn)評(píng)。我會(huì)在作業(yè)批改后，及時(shí)將反饋信息傳達(dá)給學(xué)生，指出他們?cè)诮忸}過程中存在的問題，并提供改進(jìn)的建議。通過這種方式，學(xué)生們能夠清楚地知道自己的不足之處，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。

在作業(yè)評(píng)價(jià)中，我特別注意鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力。對(duì)于那些在作業(yè)中表現(xiàn)出色的學(xué)生，我會(huì)給予表揚(yáng)，并鼓勵(lì)他們保持這種學(xué)習(xí)態(tài)度。對(duì)于作業(yè)完成情況不太理想的學(xué)生，我會(huì)鼓勵(lì)他們不要?dú)怵H，而是要找出問題所在，努力克服困難。

我還發(fā)現(xiàn)，通過作業(yè)評(píng)價(jià)，可以有效地幫助學(xué)生建立起自我反思的習(xí)慣。我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的作業(yè)進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，讓他們思考哪些地方做得好，哪些地方還需要改進(jìn)。這種方法不僅能夠提高學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力，還能夠增強(qiáng)他們的自信心。內(nèi)容邏輯關(guān)系①曲線公切線的定義與性質(zhì)

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：公切線的定義、切線的斜率與曲線導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

-重點(diǎn)詞：公切線、切線、斜率、導(dǎo)數(shù)

-重點(diǎn)句：曲線在某點(diǎn)的公切線是所有通過該點(diǎn)的切線中唯一的一條直線。

②求解曲線公切線的方法

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求解公切線、參數(shù)方程的應(yīng)用

-重點(diǎn)詞：導(dǎo)數(shù)、參數(shù)方程、斜率、切點(diǎn)

-重點(diǎn)句：通過求導(dǎo)數(shù)找到曲線在特定點(diǎn)的斜率，進(jìn)而求解出公切線的方程。

③曲線公切線問題的實(shí)際應(yīng)用

-重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：公切線在物理、工程等領(lǐng)域的應(yīng)用

-重點(diǎn)詞：實(shí)際應(yīng)用、物理運(yùn)動(dòng)、工程制圖、軌跡分析

-重點(diǎn)句：理解公切線問題在解決實(shí)際問題時(shí)的重要性和應(yīng)用價(jià)值。重點(diǎn)題型整理題型一：求曲線在某點(diǎn)的公切線方程

題目：求曲線y=x^3在點(diǎn)(1,1)處的公切線方程。

答案：首先求出曲線在點(diǎn)(1,1)處的導(dǎo)數(shù)，即斜率，y'=3x^2，代入x=1得斜率為3。然后利用點(diǎn)斜式方程y-y1=m(x-x1)，代入點(diǎn)(1,1)和斜率3，得到公切線方程y-1=3(x-1)，即y=3x-2。

題型二：求兩曲線的公切線

題目：求曲線y=x^2和y=x+2的公切線。

答案：設(shè)切點(diǎn)分別為(x1,x1^2)和(x2,x2+2)，兩曲線在切點(diǎn)的斜率分別為2x1和1。由于是公切線，斜率相等，即2x1=1，解得x1=1/2。將x1代入曲線方程得切點(diǎn)(1/2,1/4)，同理求出另一切點(diǎn)。利用兩點(diǎn)式方程求解公切線方程，得到y(tǒng)=x+1/2。

題型三：求曲線的公切線方程，已知切點(diǎn)坐標(biāo)

題目：已知曲線y=e^x的公切線經(jīng)過點(diǎn)(0,2)，求該公切線的方程。

答案：設(shè)切點(diǎn)為(x0,e^x0)，曲線在切點(diǎn)的斜率為e^x0。利用點(diǎn)斜式方程，得到y(tǒng)-e^x0=e^x0(x-x0)。由于公切線經(jīng)過點(diǎn)(0,2)，代入得2-e^x0=e^x0(0-x0)，解得x0=1。因此，切點(diǎn)為(1,e)，公切線方程為y=e(x-1)+e，即y=ex。

題型四：求曲線的公切線方程，已知切線斜率

題目：已知曲線y=sin(x)的公切線斜率為1，求該公切線的方程。

答案：設(shè)切點(diǎn)為(x0,sin(x0))，曲線在切點(diǎn)的斜率為cos(x0)。由于公切線斜率為1，有cos(x0)=1，解得x0=2kπ，其中k為整數(shù)。取k=0，得切點(diǎn)(0,0)。利用點(diǎn)斜式方程，得到公切線方程y-0=1(x-0)，即y=x。

題