江西省南昌大學附屬學校2024-2025學年高一上學期第一次月考數(shù)學試題（解析）

第第頁南昌大學附屬學校2024-2025學年度高一上學期第一次月考數(shù)學試卷時間：120分鐘總分：150分注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂；非選擇題使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰.3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.保持答題卡卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.1.已知命題p：，，命題q：，，則（）A.：， B.：，C.：， D.：，【答案】B【解析】【分析】由含有一個量詞的命題的否定求解.【詳解】命題p：，，則：，，A錯誤B正確；命題q：，，則：，，CD錯誤.故選：B.2.已知數(shù)集滿足：，，若，則一定有：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集、并集的概念及運算結(jié)合元素與集合的關(guān)系判定選項即可.【詳解】因為，，且，所以必有，可能且，也可能且，故A正確，B、C、D錯誤.故選：A.3.已知命題，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出命題和命題，再利用充分條件與必要條件判斷方法，即可求解.【詳解】由，得到，所以，由，得到，所以，若成立，則成立，充分性成立；若成立，則不一定成立，必要性不成立所以是的充分不必要條件，故選：A.4.如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡集合A，再結(jié)合韋恩圖求出陰影部分表示的集合.【詳解】依題意，集合或，而，則或，由韋恩圖知，圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.5.已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)可得.【詳解】由，得，又，則，又由得，故.故選：B.6.某單位采用新工藝將二氧化碳轉(zhuǎn)化為化工產(chǎn)品，其月處理成本y（元）與月處理量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式為.請問：當月處理量為（）噸時，可以使每噸的平均處理成本最低？A.100噸 B.150噸 C.200噸 D.250噸，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.【詳解】依題意，每噸的平均處理成本，當且僅當，即時取等號，所以當月處理量為100噸時，可以使每噸的平均處理成本最低.故選：A7.在數(shù)學漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象.數(shù)學黑洞：無論怎樣設(shè)值，最終都將得到固定的一個值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣.目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)學黑河有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等.定義：若一個n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù).已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合，則的子集個數(shù)為（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】【分析】由自戀數(shù)定義可得集合的一個子集，解不等式可得集合，求得中的元素個數(shù)即可得出其子集個數(shù).【詳解】根據(jù)自戀數(shù)定義可知，所有一位正整數(shù)都是自戀數(shù)，即；解不等式可得，即；所以，即中共有5個元素，因此的子集個數(shù)為個.故選：C8.已知，，，且，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】B【解析】【分析】運用基本不等式，通過已知條件進行變形，構(gòu)造基本不等式求最值即可.【詳解】，由于，則，由于，當且僅當，時取等號.則，當且僅當時取等號，則的最小值為3.故選：B.二、多項選擇題：共3小題，每小題6題，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列各組中表示不同集合的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)集合相等的概念依次分析各選項即可得答案.【詳解】選項A中，是數(shù)集，是點集，二者不是同一集合,故；選項B中，與表示不同的點，故；選項C中，，，故；選項D中，是二次函數(shù)的所有組成的集合，而集合是二次函數(shù)圖象上所有點組成的集合，故.故選：ABD.10.設(shè)正實數(shù)m，n滿足，則（）A.的最小值為3 B.的最大值為2C.的最大值為1 D.的最小值為【答案】BC【解析】【分析】由基本不等式逐項求解判斷即可.【詳解】因為正實數(shù)m，n滿足，所以，當且僅當，即，，等號成立，故A錯誤；，當且僅當時，等號成立，所以，故B正確；，所以，當且僅當時，等號成立，故C正確；，當且僅當時，等號成立，故D錯誤；故選：BC11.為配制一種藥液，進行了兩次稀釋，先在體積為V的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出5升后用水補滿，攪拌均勻，第二次倒出3升后用水補滿，若在第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的75％，則V的可能取值為（）．A.4 B.40 C.8 D.28【答案】CD【解析】【分析】求出第一次、第二次稀釋后的濃度，根據(jù)第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的列式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】第一次稀釋后，藥液濃度為，第二次稀釋后，藥液濃度為，依題意有，即，解得，又，即，所以.故選：CD.三、填空題：共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合相等的定義求解即可．【詳解】由題意得，，解得或，當時，集合為，不滿足集合中元素的互異性，舍去，當時，集合為，滿足題意，故答案為：．13.已知，則的最大值為___________.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式計算即可.【詳解】由知1?2x>0,x1?2x=當且僅當，即時取得等號，即的最大值為18，故答案為：14.設(shè)全集，集合，，若集合中有且僅有個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】或或【解析】【分析】根據(jù)條件，求得或，再利用數(shù)軸，結(jié)合條件，列出方程組，即可求解.【詳解】由，得到，所以，得到或，因為中有且僅有個整數(shù)，如圖，由圖知，或或，解得或或，故答案為：或或.四、解答題：共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.15.設(shè)全集，，.（1）求；（2）寫出集合所有的真子集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出全集和集合，再利用補集和交集的運算求出.（2）根據(jù)子集的定義可寫出集合所有的真子集.【小問1詳解】（1）由題意可得，由，則，，則，所以.【小問2詳解】由，則集合所有的真子集為：.16.已知集合，.（1）當時，求和；（2）是否存在實數(shù)a，使得，若存在，求實數(shù)a的取值范圍，否則，說明理由.【答案】（1），；（2）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）把代入，利用集合的并集、交集的定義求解即得.（2）假定存在，再結(jié)合集合的包含關(guān)系，列式求解即得.【小問1詳解】當時，，而，所以，【小問2詳解】假定存在實數(shù)a，使得，即，而，因此，即，無解，所以不存在實數(shù)a，使得成立.17.已知恒成立，.如果中有且僅有一個為真命題，求實數(shù)取值范圍.【答案】【解析】【分析】分別求出命題和命題為真命題時的取值范圍，再根據(jù)題意即可得出.【詳解】若為真命題，當時，可得恒成立，滿足題意；當時，則，解得，當為真命題，實數(shù)的取值范圍是.若為真命題，則有，解得，當為真命題，實數(shù)的取值范圍是.中有且僅有一個為真命題，當為真命題，為假命題時，實數(shù)的取值范圍是;當為假命題，為真命題時，實數(shù)的取值范圍是.綜上，當中有且僅有一個為真命題時，實數(shù)的取值范圍是.18.（1）已知關(guān)于x的不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若，解關(guān)于x的不等式.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用解集為，得出的關(guān)系，再解關(guān)于的不等式；（2）由，然后分，，，進行分類討論即可.【詳解】（1）的解集為，，且，，，，，，解得或解集為；（2）由，且，當，即時，不等式的解集為，當，即時，不等式的解集為，當，即時，不等式的解集為，綜上知，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為.19.設(shè)集合，.（1）若，求實數(shù)a的值；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若全集，，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，得，由此可得關(guān)于的方程求解并驗證即可得；（2）由得，按集合中元素的個數(shù)分類討論即可求；（3）由得，轉(zhuǎn)化為均不是方程的根，解不等式可得.【小問1詳解】，.，，則，即，解得或.驗證：當時，，則，滿足題意；當時，，則，不滿足題意.綜上