四川省川大附中2024-2025學年高二數學上學期期中試題文

II卷（共90分）二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在答題卡上相應位置的橫線上。）已知直線與拋物線交于A，B兩點，則弦AB的長為__________．已知圓的方程為，設該圓過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則的值為______．已知函數若，使，則實數m的取值范圍是______．已知雙曲線的左、右焦點分別為，圓與雙曲線在第一象限內的交點為M，若，則該雙曲線的離心率為______．三、解答題（本題共6小題，共70分）（本小題12分）命題，，命題，使得成立．

若為真，為假，求實數a的取值范圍；

已知，若r是q的充分不必要條件，求實數k的取值范圍．（本小題12分）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上，且．求拋物線C的方程及的值；設點O為坐標原點，過拋物線C的焦點F作斜率為的直線l交拋物線于兩點，點Q為拋物線C上異于M、N的一點，若，求實數t的值．（本小題12分）已知圓C：，

求直線截圓C所得的弦長．

是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C所截得的弦AB為直徑的圓經過原點？若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．

（本小題12分）已知圓C1：(x＋eq\f(\r(6),2))2＋y2＝eq\f(25,8)，圓C2：(x－eq\f(\r(6),2))2＋y2＝eq\f(1,8)，動圓P與已知兩圓都外切．(1)求動圓的圓心P的軌跡E的方程；(2)直線l：y＝kx＋1與點P的軌跡E交于不同的兩點A，B，AB的中垂線與y軸交于點N，求點N的縱坐標的取值范圍．

（本小題12分）已知橢圓E：的左，右焦點分別為，，且，與短軸的一個端點Q構成一個等腰直角三角形，點在橢圓E上，過點作相互垂直且與x軸不重合的兩直線AB，CD分別交橢圓E于A，B，C，D且M，N分別是弦AB，CD的中點

求橢圓的方程；求證：直線MN過定點.

（本小題10分）已知命題p：實數m滿意，命題q：實數m滿意方程表示焦點在y軸上的橢圓，且非q是非p的充分不必要條件，求a的取值范圍。數學答案112題BBBADADCDABA13.814.15.．16.17.解：對隨意，不等式

恒成立，

，解得，即

p

為真命題時，；

存在：，使得成立，即成立，，即命題q

為真時，；

為真，為假，、q

一真一假，

當

p

真q

假時，則，且，即，

當p假q

真時，則或，且，即，

綜上所述，實數a的取值范圍為．

若，r是q的充分不必要條件，則，所以實數k的取值范圍．18.解：由題意知，拋物線的準線方程為：，依據拋物線的定義，，

所以，故拋物線方程為，當時，

由知，焦點，故直線l的方程為，聯立，得，解得，．所以，

設點Q的坐標為，則由，

得，所以又因為點Q在拋物線上，所以，解得或舍去．故

19.解：圓C：的圓心，半徑，

圓心到直線的距離，

弦長為：．

假設存在斜率為1的直線l，使以l被圓C所截得的弦AB為直徑的圓經過原點，

設直線l的方程為：，

由，得，設，，

則，，

，又，，，

解得或，把和分別代入式，驗證判別式均大于0，故存在或，

存在滿意條件的直線方程是：或．20.解:(1)已知兩圓的圓心、半徑分別為C1(－eq\f(\r(6),2)，0)，r1＝eq\f(5\r(2),4)；C2(eq\f(\r(6),2)，0)，r2＝eq\f(\r(2),4).設動圓P的半徑為r，由題意知|PC1|＝r＋eq\f(5\r(2),4)，|PC2|＝r＋eq\f(\r(2),4)，則|PC1|－|PC2|＝eq\r(2)<|C1C2|＝eq\r(6).所以點P在以C1，C2為焦點的雙曲線右支上，其中2a＝eq\r(2)，2c＝eq\r(6)，所以b2＝1.故軌跡E的方程為2x2－y2＝1(x>0)．(2)將直線y＝kx＋1代入雙曲線方程，并整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為M(x0，y0)，依題意，直線l與雙曲線的右支交于不同兩點，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－2≠0，,Δ＝2k2－8k2－2>0，,x1＋x2＝－\f(2k,k2－2)>0，,x1x2＝\f(2,k2－2)>0.))所以－2<k<－eq\r(2).且x0＝eq\f(－k,k2－2)，y0＝kx0＋1＝eq\f(－2,k2－2)，則AB的中垂線方程為y＋eq\f(2,k2－2)＝－eq\f(1,k)(x＋eq\f(k,k2－2))．令x＝0，得yN＝eq\f(3,2－k2).∵－2<k<－eq\r(2)，∴yN<－eq\f(3,2).21.解：橢圓E：經過點

且，與短軸的一個頂點Q構成一個等腰直角三角形，則，，

，解得，，橢圓方程為；

Ⅱ證明：設直線AB的方程為，，則直線CD的方程為，

聯立，消去x得，，

設，，則，，

，

由中點坐標公式得，

將M的坐標中的m用代換，得CD的