湖北省宜昌市示范高中教學(xué)協(xié)作體2025屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

湖北省宜昌市示范高中教學(xué)協(xié)作體2025屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與曲線的右支交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（）A. B.C. D.2．設(shè)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn).若，則的最小值為（）A. B.C.4 D.53．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.4．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線，點(diǎn)F為其左焦點(diǎn)，點(diǎn)B，若BF所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程的斜率是（）A. B.C. D.7．設(shè)函數(shù)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．設(shè)雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線C上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.9．過(guò)雙曲線Ω：(a＞0，b＞0)右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，與Ω在第一象限的交點(diǎn)為M，且直線AM的斜率大于2，其中A為Ω的左頂點(diǎn)，則Ω的離心率的取值范圍為()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)10．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明.經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.12．若隨機(jī)事件滿足，，，則事件與的關(guān)系是（）A.互斥 B.相互獨(dú)立C.互為對(duì)立 D.互斥且獨(dú)立二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，其四個(gè)面涂有不同的顏色，拋擲這個(gè)正四面體一次，觀察它與地面接觸的顏色得到樣本空間{紅，黃，藍(lán)，綠}，設(shè)事件{紅，黃}，事件{紅，藍(lán)}，事件{黃，綠}，則下列判斷：①E與F是互斥事件；②E與F是獨(dú)立事件；③F與G是對(duì)立事件；④F與G是獨(dú)立事件．其中正確判斷的序號(hào)是______（請(qǐng)寫出所有正確判斷的序號(hào)）14．已知雙曲線C：的一條漸近線與直線l：平行，則雙曲線C的離心率是______15．若函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，則實(shí)數(shù)k=___________.16．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且（1）求證；、、成等差數(shù)列；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)18．（12分）已知函數(shù)，且a0（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：19．（12分）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)（1）求證：平面MND⊥平面PCD；（2）求點(diǎn)P到平面MND的距離20．（12分）已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線：截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.①求的方程，并說(shuō)明是什么圖形；②試探究：在直線上是否存在定點(diǎn)(異于原點(diǎn))，使得對(duì)于上任意一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)是圓與軸的一個(gè)交點(diǎn).（1）求拋物線的方程;（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.22．（10分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大??；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，當(dāng)弦垂直于軸時(shí)，即可求出三角形的周長(zhǎng)的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長(zhǎng)為.當(dāng)軸時(shí),周長(zhǎng)最小值為故選：C2、C【解析】作出圖形，過(guò)點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義得，從而得出，再由、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值得解.【詳解】，所以在拋物線的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義得，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：C.3、A【解析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A4、D【解析】的準(zhǔn)線方程為.【詳解】的準(zhǔn)線方程為.故選：D.5、C【解析】設(shè)出雙曲線半焦距c，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合垂直關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，直線BF的斜率為，雙曲線的漸近線為：，因直線BF與雙曲線的一條漸近線垂直，則有，即，于是得，而，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C6、D【解析】求解導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線的斜率.【詳解】求導(dǎo)得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，所以函數(shù)在處切線的斜率為.故選：D7、D【解析】有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來(lái)，圖象的應(yīng)用常見(jiàn)的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)8、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長(zhǎng)，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】線段的中點(diǎn)在y軸上,設(shè)的中點(diǎn)為M，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.9、B【解析】求點(diǎn)A和M的坐標(biāo)，進(jìn)而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，從而可解得離心率的范圍.【詳解】F(c,0)，設(shè)M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.10、C【解析】對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.11、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A12、B【解析】利用獨(dú)立事件，互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷即可【詳解】解：因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以有，所以事件與相互獨(dú)立，不互斥也不對(duì)立故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解析】由對(duì)立和互斥事件的定義判斷①③；由獨(dú)立事件的性質(zhì)判斷②④.【詳解】{紅}，則E與F不是互斥事件；且，則F與G是對(duì)立事件；，則E與F是獨(dú)立事件；，，則F與G不是獨(dú)立事件故答案為：②③14、【解析】先用兩直線平行斜率相等求出，再利用離心率的定義求解即可.【詳解】由題意可得雙曲線C的一條漸近線方程為，則，即，則，故雙曲線C的離心率故答案為：.15、2【解析】由題可求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求.【詳解】∵，∴，，又函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，∴.故答案為：2.16、9【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：9.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，可求得的值，即可證得結(jié)論成立；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合余弦定理可求得的值，進(jìn)而可求得的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】證明：由正弦定理及，得，所以，，所以，，，則，所以，，又，，，因此，、、成等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】解：，，又，，故的周長(zhǎng)為.18、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】（1）求導(dǎo)，求解可得導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數(shù)的單調(diào)性，由有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可求解；②由（1）得2lnxx?，再利用其放縮可得，由此有，問(wèn)題得證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】（i）由已知可得方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根記，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)k(x)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)k(x)是減函數(shù)，所以，故（ii）易知，當(dāng)x1時(shí)，，故．由（1）可知，當(dāng)0x1時(shí)，，所以2lnxx?由，得，所以因?yàn)?，所?9、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）作出如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得、、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法算出平面、平面的法向量分別為，，和，1，，算出，可得，從而得出平面平面；（2）由（1）中求出的平面法向量，，與向量，2，，利用點(diǎn)到平面的距離公式加以計(jì)算即可得到點(diǎn)到平面的距離【詳解】（1）證明：平面，，、、兩兩互相垂直，如圖所示，分別以、、所在直線為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，2，設(shè)，，是平面的一個(gè)法向量，可得，取，得，，，，是平面的一個(gè)法向量，同理可得，1，是平面的一個(gè)法向量，，，即平面的法向量與平面的法向量互相垂直，可得平面平面；（2）解：由（1）得，，是平面的一個(gè)法向量，，2，，得，點(diǎn)到平面的距離20、（1）；（2）①，圓；②存在，.【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)題意，得到半徑，根據(jù)弦長(zhǎng)的幾何表示，由題中條件，列出方程求解，得出，從而可得圓心和半徑，進(jìn)而可得出結(jié)果；（2）①設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，由題中條件，得到，代入圓的方程，即可得出結(jié)果；②假設(shè)存在一點(diǎn)滿足（其中為常數(shù)），設(shè)，根據(jù)題意，得到，再由①，得到，兩式聯(lián)立化簡(jiǎn)整理，得到，推出，求解得出，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓心，則由圓與軸正半軸相切，可得半徑.∵圓心到直線的距離，由，解得.故圓心為或，半徑等于.∵圓與軸正半軸相切圓心只能為故圓的方程為；（2）①設(shè)，則：，，∵點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)即：所以點(diǎn)的軌跡方程為，它是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓；②假設(shè)存在一點(diǎn)滿足（其中為常數(shù)）設(shè)，則：整理化簡(jiǎn)得：，∵在軌跡上，化簡(jiǎn)得：，所以整理得，解得：；存在滿足題目條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查求圓的方程，考查圓中的定點(diǎn)問(wèn)題，涉及圓的弦長(zhǎng)公式等，屬于?？碱}型.21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由