2025屆安徽省定遠(yuǎn)縣四中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆安徽省定遠(yuǎn)縣四中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某商場(chǎng)為了解銷售活動(dòng)中某商品銷售量與活動(dòng)時(shí)間之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某次銷售活動(dòng)中的商品銷售量與活動(dòng)時(shí)間，并制作了下表：活動(dòng)時(shí)間銷售量由表中數(shù)據(jù)可知，銷售量與活動(dòng)時(shí)間之間具有線性相關(guān)關(guān)系，算得線性回歸方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，的值為（）A B.C. D.2．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線l過(guò)點(diǎn)E，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為A.10 B.12C.16 D.203．若拋物線焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為A. B.C. D.4．?dāng)?shù)列，，，，…，是其第（）項(xiàng)A.17 B.18C.19 D.205．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式解集是A. B.C. D.6．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.7．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.8．如圖，兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切.已知時(shí)，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.9．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.10．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關(guān)系不確定11．若直線與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.1 B.C.4 D.012．若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，，則______.14．如圖所示，二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，且，，，，，則的長(zhǎng)______15．已知數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和___________.16．如圖，SD是球O的直徑，A、B、C是球O表面上的三個(gè)不同的點(diǎn)，，當(dāng)三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形時(shí)，則球O的半徑為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知：，橢圓，雙曲線.（1）若的離心率為，求的離心率；（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若恰好是的中點(diǎn)，求直線的方程.19．（12分）北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件.（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入萬(wàn)作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).20．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC中點(diǎn)，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.21．（12分）已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)（1）求圓A的方程（2）當(dāng)時(shí)，求直線l方程22．（10分）設(shè)橢圓E：（a，b>0）過(guò)M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，將樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當(dāng)時(shí)，.故選：C.2、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結(jié)果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長(zhǎng)，，所以：周長(zhǎng)，由橢圓的第一定義，，所以，周長(zhǎng)故選D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，三角形的周長(zhǎng)的求法，屬于基本知識(shí)的考查3、D【解析】解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D4、D【解析】根據(jù)題意，分析歸納可得該數(shù)列可以寫成，，，……，，可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，，，…，，可寫成，，，……，，對(duì)于，即，為該數(shù)列的第20項(xiàng)；故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了由數(shù)列的項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查歸納能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】設(shè)．由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減．由為奇函數(shù)，所以．不等式等價(jià)于，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而不等式的解集為，故答案為B.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)晴】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，閱讀分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．常見(jiàn)的構(gòu)造思想是使含有導(dǎo)數(shù)的不等式一邊變?yōu)?，即得，?dāng)是形如時(shí)構(gòu)造；當(dāng)是時(shí)構(gòu)造，在本題中令，（），從而求導(dǎo)，從而可判斷單調(diào)遞減，從而可得到不等式的解集6、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設(shè)，；∴時(shí)，是增函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù)；故時(shí)，，∴；故選：B.7、A【解析】根據(jù)點(diǎn)斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A8、C【解析】設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，求得,在中，可得.進(jìn)而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.9、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.10、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因?yàn)?，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C11、B【解析】?jī)芍本€平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B12、C【解析】由函數(shù)的圖象可知其單調(diào)性情況，再由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，從左向右函數(shù)先增后減，故時(shí)，從左向右導(dǎo)函數(shù)先正后負(fù)，故排除AB；當(dāng)時(shí)，從左向右函數(shù)先減后增，故時(shí)，從左向右導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正，故排除D.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1023【解析】由數(shù)列遞推公式求特定項(xiàng)，依次求下去即可解決.【詳解】數(shù)列中，則，，，，，，故答案為：102314、【解析】推導(dǎo)出，從而，結(jié)合，，，能求出的長(zhǎng)【詳解】二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面、內(nèi)，且所以,所以，，，的長(zhǎng)故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的運(yùn)算法則以及數(shù)量積的運(yùn)算法則，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，是中檔題15、135【解析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式寫出相鄰四項(xiàng)之和，進(jìn)而求出數(shù)列的和.【詳解】數(shù)列滿足，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：135.16、【解析】由三棱錐是正三棱錐，利用正弦定理得出三角形外接圓的半徑，進(jìn)而求出，再由余弦定理得出球O的半徑.【詳解】因?yàn)?，所以平面，三棱錐是正三棱錐，設(shè)為三角形外接圓的圓心，則在上，連接，，由得出，所以，在中，，即，解得，則球O的半徑為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的極大值和極小值.（2）由不等式分離常數(shù)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，可得或2所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.故當(dāng)時(shí)．函數(shù)有極大值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；【小問(wèn)2詳解】由，有，可化為，令，有，令，有，令，可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可知，有函數(shù)為減函數(shù)，有，故當(dāng)時(shí)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】求解不等式恒成立問(wèn)題，可利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值來(lái)求解.在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的過(guò)程中，如果一階導(dǎo)數(shù)無(wú)法解決，可考慮利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行求解.18、（1）（2）或【解析】（1）有橢圓的離心率可以得到，的關(guān)系，在雙曲線中方程是非標(biāo)準(zhǔn)的方程，注意套公式時(shí)容易出錯(cuò).（2）聯(lián)立方程分別解得P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解得斜率值.【小問(wèn)1詳解】橢圓的離心率為，，在雙曲線中因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí),橢圓，雙曲線.當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P,Q恰好重合，坐標(biāo)為，所以不符合條件；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程得，利用韋達(dá)定理，所以；同理聯(lián)立方程，韋達(dá)定理得，所以由于是的中點(diǎn)，所以,所以，即，化簡(jiǎn)得，所以直線方程為或.19、（1）40；（2）a至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí),才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.【解析】（1）設(shè)每件定價(jià)為x元,可得提高價(jià)格后的銷售量，根據(jù)銷售的總收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價(jià)；（2）依題意，x>25時(shí)，不等式有解，等價(jià)于x>25時(shí),有解,利用基本不等式,可以求得a.【詳解】（1）設(shè)每件定價(jià)為t元,依題意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價(jià)最多為40元.（2）依題意知：當(dāng)x>25時(shí),不等式有解，等價(jià)于x>25時(shí),有解.由于,當(dāng)且僅當(dāng),即x=30時(shí)等號(hào)成立,所以a≥10.2.當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí),才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件推導(dǎo)證得，再借助直角三角形中銳角的正切列式求解作答.(2)由給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解面面角作答【小問(wèn)1詳解】連結(jié)BD，如圖，因底面ABCD，且平面ABCD，則，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，則，有，又，則有，有，則，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】依題意，DA，DC，DP兩兩垂直，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由(1)知，，，，，，，，設(shè)平面AMP的法向量為，則，令，得，設(shè)平面BMP的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角A-PM-B的平面角為，則，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值為.21、（1）；（2）或.【解析】（1）利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；（2）根據(jù)相交弦長(zhǎng)公式，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式確定直線方程【詳解】（1）由題意知到直線的距離為圓A半徑r，所以，所以圓A的方程為（2）設(shè)的中點(diǎn)為Q，則由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知，設(shè)動(dòng)直線l方程為：或，顯然符合題意由到直線l距離為1知得所以或?yàn)樗笾本€方程【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題22、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（a，b>0）過(guò)M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，直接代入方程解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算，同時(shí)滿足，則存在，否則不存在，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證即可；在該圓的方程存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理得到求解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓E：（a，b>0）過(guò)M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且.因