2025屆江蘇省蘇州市立達中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達標檢測試題含解析

2025屆江蘇省蘇州市立達中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．有關(guān)橢圓敘述錯誤的是（）A.長軸長等于4 B.短軸長等于4C.離心率為 D.的取值范圍是2．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數(shù)列 D.,,成等比數(shù)列3．若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（）A. B.C. D.4．如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.5．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.6．已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.7．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于A.2 B.3C.6 D.98．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.9．已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.11．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（）A.1 B.3C.9 D.8112．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關(guān)系不確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定點，，P是橢圓上的動點，則的的最小值為______.14．已知橢圓的右頂點為P，右焦點F與拋物線的焦點重合，的頂點與的中心O重合.若與相交于點A，B，且四邊形為菱形，則的離心率為___________.15．已知等比數(shù)列滿足，，公比，則的前2021項和______16．直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，若，則直線l的斜率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，是的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點到面的距離.（3）求二面角的平面角的正切值.19．（12分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，且.（1）求的面積；（2）若a、b、c成等差數(shù)列，求b的值.20．（12分）已知動點在橢圓：（）上，，為橢圓左、右焦點．過點作軸的垂線，垂足為，點滿足，且點的軌跡是過點的圓（1）求橢圓方程；（2）過點，分別作平行直線和，設(shè)交橢圓于點，，交橢圓于點，，求四邊形的面積的最大值21．（12分）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預(yù)計以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).設(shè)第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為萬元.（1）用x表示，，并寫出與的關(guān)系式；.（2）若企業(yè)希望經(jīng)過5年后，使企業(yè)剩余資金達3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值（精確到萬元）.22．（10分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意求出，進而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得答案.【詳解】橢圓方程化為：，則，則長軸長為8，短軸長為4，離心率，x的取值范圍是.即A錯誤，B,C,D正確.故選：A.2、C【解析】寫出數(shù)列前幾項，觀察規(guī)律，找到數(shù)列變化的周期，再依次去判斷各項的說法即可解決.【詳解】數(shù)列中，，，，則此數(shù)列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數(shù)列的各項是周期為6數(shù)值循環(huán)重復(fù)的一列數(shù)，選項A：，，則.判斷錯誤；選項B：由，可知當時，.判斷錯誤；選項C：，則，即,,成等差數(shù)列.判斷正確；選項D：,,則，,即,,不能構(gòu)成等比數(shù)列.判斷錯誤.故選：C3、B【解析】求得傾斜角的正切值即得【詳解】k=tan120°=.故選：B4、D【解析】利用空間向量的加、減運算即可求解.詳解】由題意可得故選：D5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式直接得出結(jié)果.【詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B6、B【解析】設(shè)點P到準線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點到直線的距離最短求出【詳解】如圖所示：設(shè)點P到準線的距離為，準線方程為，所以，當且僅當點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標為故選：B7、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因為在x=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當且僅當a=b=3時取等號所以ab的最大值等于9故選D點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等8、C【解析】，，若，則，項，符合條件，故選9、A【解析】求出、的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.10、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長，然后取外心，作，取H為的中點，使得，則易得，求出的長即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過各面外心且與此面垂直的直線上11、A【解析】根據(jù)條件，利用橢圓標準方程中長半軸長a，短半軸長b，半焦距c關(guān)系列式計算即得.【詳解】由橢圓的一個焦點坐標為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以值為1.故選：A12、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】因為平面，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因為，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)橢圓的定義可知，化簡并結(jié)合基本不等式可求的的最小值.【詳解】由題可知：點，是橢圓的焦點，所以，所以，即，當且僅當時等號成立，即時等號成立.所以的最小值為，故答案為：.14、【解析】設(shè)拋物線的方程為得到，把代入橢圓的方程化簡即得解.【詳解】設(shè)拋物線的方程為.由題得，代入橢圓的方程得，所以，所以，所以因為，所以.故答案為：【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（根據(jù)已知求出代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到關(guān)于離心率的方程解方程即得解）.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.15、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因為等比數(shù)列滿足，，公比，所以，故答案為：16、【解析】如圖，設(shè)，兩點的拋物線的準線上的射影分別為，，過作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，利用在直角三角形中，求得，從而得出直線的斜率【詳解】解：如圖，當在第一象限時，設(shè)，兩點的拋物線的準線上的射影分別為，，過作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，由拋物線的定義可知：設(shè)，則，，，在直角三角形中，，所以，則直線的斜率；當在第四象限時，同理可得，直線的斜率，綜上可得直線l的斜率為；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）【解析】(1)求函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)結(jié)合已知條件，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，極值結(jié)合零點存在性定理列不等式求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，當時，恒成立，上單調(diào)遞增，當時，在遞減，在遞增【小問2詳解】當時，恒成立，上單調(diào)遞增，所以至多存一個零點，不符題意，故舍去.當時，在遞減，在遞增；所以有極小值為構(gòu)造函數(shù)，恒成立，所以在單調(diào)遞減，注意到①當時，，則函數(shù)至多只有一個零點，不符題意，舍去.②當時，函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，的極小值為，又函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在上存在唯一一個零點；，令，構(gòu)造函數(shù)，恒成立.在單調(diào)遞增，所以，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在上存在唯一一個零點；當時，函數(shù)怡有兩個零點，即在上各有一個零點.綜上，函數(shù)有兩個不同的零點，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）首先以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用向量求；（2）首先求平面的法向量，再利用公式求解；（3）求平面的法向量為，先求，再求二面角的正切值.【詳解】（1）以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系.則有、、、.，，所以異面直線與所成角的余弦為（2）設(shè)平面的法向量為，則知：；知取，又，點到面的距離所以點到面的距離為.（3）（2）中已求平面的法向量，設(shè)平面的法向量為∵；∴取..設(shè)二面角的平面角為，則.【點睛】本題考查空間直角坐標系求解空間角和點到平面的距離，重點考查計算能力，屬于中檔題型.19、（1）；（2）.【解析】（1）先利用數(shù)量積和余弦值得到，再利用面積公式計算即得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列得到，再結(jié)合余弦定理進行運算得到關(guān)于b的關(guān)系，求值即可.【詳解】（1）由得，所以，所以，所以，所以；（2）因為a、b、c成等差數(shù)列，所以，由余弦定理得，即，解得.20、（1）；（2）【解析】(1)設(shè)點和，由題意可得點的軌跡方程，將點Q的坐標代入T的方程計算出即可；(2)設(shè)的方程，和，聯(lián)立橢圓方程并消元得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理得到，進而求出和，根據(jù)平行線間的距離公式可得與的距離，得出所求四邊形面積的表達式，結(jié)合換元法和基本不等式化簡求值即可.【詳解】解：（1）設(shè)點，，則點，，，∵，∴，∴，∵點在橢圓上，∴，即為點的軌跡方程又∵點的軌跡是過的圓，∴，解得，所以橢圓的方程為（2）由題意，可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，得設(shè)，，則，且，所以，同理，又與的距離為，所以，四邊形的面積為，令，則，且，當且僅當，即時等號成立所以，四邊形的面積最大值為21、（1）；（2）x=348【解析】(1)根據(jù)題意直接得，，進而歸納出；(2)由(1)可得，利用等比數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合即可計算出d的值.【小問1詳解】由題意知，，，；【小問2詳解】由(1)可得，，則，所以，即，當時，，解得，當時，萬元.故該企業(yè)每年年底扣除消費資金為348萬元時，5年后