2025屆東北三省四市教研聯合體數學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆東北三省四市教研聯合體數學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已如雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．設，則的一個必要不充分條件為（）A. B.C. D.3．數列滿足且，則的值是（）A.1 B.4C.－3 D.64．設數列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.5．設雙曲線的左、右頂點分別為、，點在雙曲線上第一象限內的點，若的三個內角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線，過點作直線l，若l與該雙曲線只有一個公共點，這樣的直線條數為（）A.1 B.2C.3 D.47．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為O，點M在上，且，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.8．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.10．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.11．設，分別是雙曲線：的左、右焦點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，，為坐標原點，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.12．橢圓以坐標軸為對稱軸，經過點，且長軸長是短軸長的倍，則橢圓的標準方程為（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且，則的最小值為___________14．如圖，在等腰直角中，，為半圓弧上異于，的動點，當半圓弧繞旋轉的過程中，有下列判斷：①存在點，使得；②存在點，使得；③四面體的體積既有最大值又有最小值：④若二面角為直二面角，則直線與平面所成角的最大值為45°.其中正確的是______（請?zhí)钌纤心阏J為正確的結果的序號）.15．不大于100的正整數中，被3除余1的所有數的和是___________16．曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，過點作交于點.求證：（1）平面；（2）平面.18．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因為影片中母女間的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內心柔軟的地方，打動了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動的淚水．影片結束后，某電影院工作人員當日隨機抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計流淚20沒有流淚520合計（1）完成表格中的數據，并判斷是否有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，19．（12分）已知等差數列}的公差為整數，為其前n項和，，（1）求{}的通項公式：（2）設，數列的前n項和為，求20．（12分）已知函數（1）求單調增區(qū)間；（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時的燃料費與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數為k，當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元（1）求比例系數k（2）當時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為多少？（3）當（x為大于8的常數）時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為多少？22．（10分）已知數列的首項為，且滿足.（1）求證：數列為等比數列；（2）設，記數列的前項和為，求，并證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先作輔助線，設出邊長，結合題干條件得到，，利用勾股定理得到關于的等量關系，求出離心率.【詳解】連接，設，則根據可知，，因為，由勾股定理得：，由雙曲線定義可知：，，解得：，，從而，解得：，所以，，由勾股定理得：，從而，即該雙曲線的離心率為.故選：A2、C【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】A選項：，，，所以是的充分不必要條件，A錯誤；B選項：，，所以是的非充分非必要條件，B錯誤；C選項：，，，所以是必要不充分條件，C正確；D選項：，，，所以是的非充分非必要條件，D錯誤.故選：C.3、A【解析】根據題意，由于，可知數列是公差為-3的等差數列，則可知d=-3,由于=，故選A4、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當時，.當時，.故選：C.5、B【解析】設點，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點、，設點，其中，，且，，且，，，所以，，，因為，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.6、D【解析】先確定雙曲線的右頂點，再分垂直軸、與軸不垂直兩種情況討論，當與軸不垂直時，可設直線方程為，聯立直線與拋物線方程，消元整理，再分、兩種情況討論，即可得解【詳解】解：根據雙曲線方程可知右頂點為，使與有且只有一個公共點情況為：①當垂直軸時，此時過點的直線方程為，與雙曲線只有一個公共點，②當與軸不垂直時，可設直線方程為聯立方程可得當即時，方程只有一個根，此時直線與雙曲線只有一個公共點，當時，，整理可得即故選：D7、D【解析】根據平行六面體的幾何特點，結合空間向量的線性運算，即可求得結果.【詳解】因為平行六面體中，點M在上，且故可得故選：D.8、C【解析】利用函數在上單調遞減即可求解.【詳解】解：因為函數在上單調遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.9、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D10、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.【考點定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質.11、D【解析】先求過右焦點且與漸近線垂直的直線方程，與漸近線方程聯立求點P的坐標，再用兩點間的距離公式，結合已知條件，得到關于a，c的關系式.【詳解】雙曲線的左右焦點分別為、，一條漸近線方程為，過與這條漸近線垂直的直線方程為，由，得到點P的坐標為，又因為，所以，所以，所以.故選：D12、C【解析】分情況討論焦點所在位置及橢圓方程.【詳解】當橢圓的焦點在軸上時，由題意過點，故，，橢圓方程為，當橢圓焦點在軸上時，，，橢圓方程為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、25【解析】根據，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為25，故答案為：2514、①②④【解析】①當D為中點，且A，B，C，D四點共面時,可證得四邊形ABCD為正方形即可判斷①；②當D在平面ABC內的射影E在線段BC上（不含端點）時，可知平面ABC，可證得平面CDB，即可判斷②；③，研究臨界值即可判斷③；④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點時，直線DB與平面ABC所成角的最大，作圖分析驗證可判斷④.【詳解】①當D為中點，且A，B，C，D四點共面時,連結BD，交AC于，則為AC中點，此時，且,所以四邊形ABCD為正方形，所以AB//CD，故①正確；②當D在平面ABC內的射影E在線段BC上（不含端點）時，此時有：平面ABC，，又因為，所以平面CDB，所以，故②正確；③，當平面平面ABC，且D為中點時，h有最大值；當A，B，C，D四點共面時h有最小值0，此時為平面圖形，不是立體圖形，故四面體D-ABC無最小值，故③錯誤.④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點時，直線DB與平面ABC所成角的最大，取AC中點O，連結DO，BO，則，AC=平面平面ACD，平面平面ACD，所以平面ABC，所以為直線DB與平面ABC所成角，設，則，，所以為等腰直角三角形，所以，直線與平面所成角的最大值為45°，故④正確.故答案為：①②④.15、1717【解析】利用等差數列的前項和公式可求所有數的和.【詳解】100以內的正整數中，被3除余1由小到大構成等差數列，其首項為1，公差為3，共有項，它們的和為，故答案為：.16、【解析】先求導數，得出切線斜率，寫出切線方程，然后可求三角形的面積.【詳解】，當時，，所以切線方程為，即；令可得，令可得；所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連結、，交于點，連結，通過即可證明；（2）通過，

可證平面，即得，進而通過平面得，結合即證.詳解】證明：（1）連結、，交于點，連結，底面正方形，∴是中點，點是的中點，.平面，

平面，∴平面.（2），點是的中點，.底面是正方形，側棱底面，∴，

，且

，∴平面，∴，又，∴平面，∴，，，平面.【點睛】本題考查線面平行和線面垂直的證明，屬于基礎題.18、（1）填表見解析；有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關；（2）【解析】（1）由已知數據可完善列聯表，然后計算可得結論；（2）根據分層抽樣定義求出5人中流淚與沒有流淚的觀眾人數并編號，用列舉法寫出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計數后可計算概率【詳解】解：（1）男性觀眾女性觀眾合計流淚206080沒有流淚15520合計3565100所以有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，則流淚的觀眾抽到人，記為，，，，沒有流淚的觀眾抽到人，記為從這5人中抽2人有10種情況，分別是，，，，，，，，，其中這2人都流淚有6種情況，分別是，，，，，所以所求概率19、（1）（2）【解析】（1）根據題意利用等差數列的性質列出方程，即可解得答案；（2）根據（1）的結果，求出的表達式，利用裂項求和的方法求得答案.小問1詳解】設等差數列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數，解得，從而，所以數列{}的通項公式為：;【小問2詳解】由（1）知，，所以20、（1）單調增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求導由求解.（2）將時，恒成立，轉化為時，恒成立，令用導數法由求解即可.【詳解】（1）因為函數所以令，解得，所以單調增區(qū)間為.（2）因為時，恒成立，所以時，恒成立，令則令因為時，恒成立，所以在單調遞減.當時，在單調遞減，故符合要求；當時，單調遞減，故存在使得則當時單調遞增，不符合要求；當時，單調遞減，故存在使得則當時單調遞增，不符合要求.綜上.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數，即將問題轉化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；21、（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解析】（1）列出關系式，根據當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元即可求解;（2）列出燃料費的函數解析式，利用導數求其最值即可；（3）討論x的范圍，結合（2）的結論可得答案.【小問1詳解】設每小時的燃料費為，則當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元，代入得.【小問2詳解】由（1）得.設全程燃料費為y，則（），所以,令，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以當時，；當時，，所以當v＝16時，y取得最小值，故為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為8km/h【小問3詳解】由（2）得，若時，則y