第13講解直角三角形的應(yīng)用（原卷版）

第13講解直角三角形的應(yīng)用理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解決實際問題．模塊一：仰角與俯角仰角與俯角在測量過程中，常常會遇到仰角和俯角．如圖，當我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角．仰角仰角視線水平線視線俯角鉛垂線如圖，兩建筑物水平距離為a米，從點A測得點C的俯角為，測得點D的俯角 為，則較低建筑物CD的高為（ ） A．a(chǎn)米 B．（）米 C．米 D．米AABCDE如圖，河對岸有一座鐵塔AB，若在河這邊C、D處分別用測角儀器測得頂部A的 仰角為30°、45°，已知CD=30米，求鐵塔的高．（結(jié)果保留根號）ABABCD如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為60°，看這棟高樓 底部的俯角為30°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，請問：這棟高樓有多高？ABCDABCD模塊二：方向角方向角指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的角叫做方向角．如圖：北偏東30°，北偏西70°，南偏東50°，南偏西45°．北北北偏東30°南偏西45°北偏西70°南偏東50°30°70°45°50°如果由點A測得點B在北偏東15°的方向，則由B測點A的方向為（） A．北偏東15° B．北偏西75° C．南偏西15° D．南偏東75°ABC東南西北D如圖，小明從A地沿北偏東30°方向走米到ABC東南西北D200米到C地，此時小明離A地_____米．如圖，某船以36海里/時的速度向正東方向航行，在點A測得某島C在北偏 東北ABCD60°方向上，航行半小時后到達點B，測得該島在北偏東30東北ABCD（1）試說明點B是否在暗礁區(qū)域外？（2）若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險？請說明理由．如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其與環(huán) 城路AC的交叉路口分別是A、B、C．經(jīng)測量，花卉世界D位于點A的北偏東45°方向、點B的北偏東30°方向上，AB=2千米，．ABCDEFABCDEF環(huán)城路和平路文化路中山路G（2）求C、D之間的距離．模塊三：坡度（坡比）坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、開渠等設(shè)計圖紙上，都需要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i，即．hl坡度通常寫成1:m的形式，如．hl坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作．坡度i與坡角之間的關(guān)系：．

如圖，坡角為30°的斜坡上兩樹間的水平距離AC為2米，則兩樹間的坡面距離AB為（）ABCA．4米 B．米 C．米 D．米ABCABCD如圖，燕尾槽的橫斷面中，槽口的形狀是等腰梯形，其外口寬ADABCD的深度為12毫米，的正切值為，則它的里口寬BC=______．如圖，斜坡的坡度為，坡長為26米，在坡頂A處的同一水平面ABCPQDE上有一座古塔BC，在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，在坡頂ABCPQDE（1）坡頂A到地面PQ的距離；（2）古塔BC的高度．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：，，）如圖，小智所住的樓房在一個不高的斜坡EF上，樓房旁邊不遠處有一棵筆直而垂直于水平地面BE的大樹HD．小智想要測量這棵大樹HD的高度．在下午的某個時刻，他觀察到這棵大樹樹梢H的影子落在樓房的外墻面上的點G處．同時，他又觀察到在大樹旁邊有一根筆直而垂直于水平地面BE的木柱AB，它在水平地面BE上的影子BC也清晰可見．小智通過測量得到以下一些數(shù)據(jù)：AB=1.6米，BC=3.2米，DE=7.2米，EF=2.6米，斜坡EF的坡度i=1:2.4，F(xiàn)G=1.6米．試求大樹HD的高．AABCDEFGHMN一、單選題（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖所示，先鋒村準備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（

）A．5米 B．米 C．米 D．米（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如果某個斜坡的坡度是，那么這個斜坡的坡角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為，它把物體從地面點處送到離地面3米高的處，則物體從到所經(jīng)過的路程為（

）A．米 B．米 C．米 D．9米（2022秋·上海浦東新·九年級上海民辦建平遠翔學(xué)校校考期中）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為，若它把物體從地面點A處送到離地面2米高的B處，則物體從A到B所經(jīng)過的路程為（）A．6米 B．米 C．米 D．米（2023·上?！ひ荒＃┮阎Ｃ嫔弦凰邑涊喸跓羲谋逼珫|方向，海監(jiān)船在燈塔的正東方向海里處，此時海監(jiān)船發(fā)現(xiàn)貨輪在它的正北方向，那么海監(jiān)船與貨輪的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里（2022秋·上海閔行·九年級統(tǒng)考期中）如圖，一艘船從處向北偏東的方向行駛千米到處，再從處向正西方向行駛千米到處，這時這艘船與的距離（）A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，為測量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距米的、兩點處，觀測對岸的標志物，測得、，那么這條河的寬度是（

）A．米 B．米C．米 D．米（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔2海里的點處.若海輪沿正南方向航行到燈塔的正東位置處，則海輪航行的距離的長是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里二、填空題（2023·上海·一模）小明沿著坡度的斜坡行走了米，那么他上升的高度是_____米．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）某商場營業(yè)廳自動扶梯的示意圖如圖所示，自動扶梯坡度，自動扶梯的長度為12米，那么大廳兩層之間的高度_________米．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）已知一斜坡的坡度，高度為20米，那么這一斜坡的坡長約____________米．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的長度是________米．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）飛機離水平地面的高度為3千米，在飛機上測得該水平地面上的目標點的俯角為，那么此時飛機與目標點的距離為________千米．（用的式子表示）（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，一條細繩系著一個小球在平面內(nèi)擺動，已知細繩從懸掛點O到球心的長度為50厘米，小球在左右兩個最高位置時，細繩相應(yīng)所成的角為，那么小球在最高和最低位置時的高度差為___________厘米．（參考數(shù)據(jù)：，，．）（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）小球沿著坡度為的坡面滾動了，則在這期間小球滾動的水平距離是___________．（2023·上海·一模）小杰沿坡比為的山坡向上走了130米．那么他沿著垂直方向升高了________米．三、解答題（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）“小房子”是一種常見的牛奶包裝盒（如圖1），圖2是其一個側(cè)面的示意圖，由“盒身”矩形和“房頂”等腰三角形組成．已知厘米，厘米，厘米．(1)求“房頂”點A到盒底邊的距離；(2)現(xiàn)設(shè)計了牛奶盒的一個新造型，和原來相比較，折線段的長度（即線段與的和）及矩形的面積均不改變，且，，求新造型“盒身”的高度（即線段的長）．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在修建公路時，需要挖掘一段隧道，已知點A、B、C、D在同一直線上，，，米；(1)求隧道兩端B、C之間的距離（精確到個位）；（參考數(shù)據(jù)：，，）．(2)原計劃單向開挖，但為了加快施工進度，從B、C兩端同時相向開挖，這樣每天的工作效率提高了20%，結(jié)果提前2天完工．問原計劃單向開挖每天挖多少米？（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）圖1是某地下商業(yè)街的入口的玻璃頂，它是由立柱、斜桿、支撐桿組成的支架撐起的，圖2是它的示意圖．經(jīng)過測量，支架的立柱與地面垂直（），米，點A、C、M在同一水平線上，斜桿與水平線的夾角，支撐桿，垂足為，該支架的邊與的夾角，又測得米．(1)求該支架的邊的長；(2)求支架的邊的頂端D到地面的距離．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）如圖，一艘輪船位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔5海里的點處，如果輪船沿正南方向航行到燈塔的正東方向，輪船航行的距離的長是（

）A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里小杰在一個高為的建筑物頂端，測得一根高出此建筑物的旗桿頂端的仰角為，旗桿與地面接觸點的俯角為，那么該旗桿的高度是（

）A． B． C． D．如圖，在平地上種植樹木時，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為，如果在坡比為的山坡上種樹，也要求株距為，那么相鄰兩樹間的坡面距離為______米．

如圖，某地下停車庫入口的設(shè)計示意圖，已知，坡道AB的坡比，的長為7.2米，的長為0.4米．按規(guī)定，車庫坡道口上方需張貼限高標志，以便告知停車人車輛是否能安全駛?cè)?，根?jù)所給數(shù)據(jù)，確定該車庫入口的限高，即點D到AB的距離的值為________米．為了測量某建筑物的高度，從與建筑物底端B在同一水平線的點A出發(fā)，沿著坡比為的斜坡行走一段路程至坡頂D處，此時測得建筑物頂端E的仰角為，再從D處沿水平方向繼續(xù)行走100米后至點C處，此時測得建筑物頂端E的仰角為，建筑物底端B的俯角為，如圖，已知點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，求建筑物的高度與的長．（參考數(shù)據(jù)：）

小明