核心考點02一次方程（組）和一次不等式（組）

核心考點02一次方程（組）和一次不等式（組）目錄考點一：方程的定義考點二：方程的解考點三：等式的性質(zhì)考點四：一元一次方程的定義考點五：一元一次方程的解考點六：解一元一次方程考點七：由實際問題抽象出一元一次方程考點八：一元一次方程的應(yīng)用考點九：二元一次方程的定義考點十：二元一次方程的解考點十一：解二元一次方程考點十二：二元一次方程的應(yīng)用考點十三：二元一次方程組的定義考點十四：二元一次方程組的解考點十五：解二元一次方程組考點十六：由實際問題抽象出二元一次方程組考點十七：二元一次方程組的應(yīng)用考點十八：解三元一次方程組考點十九：三元一次方程組的應(yīng)用考點二十：不等式的性質(zhì)考點二十一：不等式的解集考點二十二：一元一次不等式的定義考點二十三：解一元一次不等式考點二十四：一元一次不等式的整數(shù)解考點二十五：由實際問題抽象出一元一次不等式考點二十六：一元一次不等式的應(yīng)用考點二十七：解一元一次不等式組考點二十八：一元一次不等式組的應(yīng)用考點考點考向一、方程的解與一元一次方程1.方程的解和解方程2.一元一次方程3.等式的性質(zhì)4.一元一次方程的應(yīng)用二、一元一次不等式（組）1.不等式的概念2.不等式的基本性質(zhì)3.一元一次不等式的解法4.一元一次不等式組三、一次方程組1.二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程；具備兩個條件：2.二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫二元一次方程的解；二元一次方程的解集：二元一次方程的解有無數(shù)個，它們的解的全體叫二元一次方程的解集.3.二元一次方程組：如果方程組中含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次；注意：二元一次方程組的解：使二元一次方程組中的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值.二元一次方程組的解法4.三元一次方程組5.一次方程組的應(yīng)用利用表格、圓形示意圖或柱狀圖等作為建模策略解決問題.考點考點精講一．方程的定義（共1小題）1．下列各式中屬于方程的是（）A．3x﹣4＝1 B．3+2＝9﹣4 C．3x+1﹣ D．y﹣2≠1【分析】方程是指含有未知數(shù)的等式．所以方程必須具備兩個條件：①含有未知數(shù)；②等式．由此進行選擇．【解答】解：A、3x﹣4＝1既含有未知數(shù)又是等式，具備了方程的條件，因此是方程，故本選項正確；B、3+2＝9﹣4不含有未知數(shù)，不是方程，故本選項錯誤；C、3x+1﹣不是方程，故本選項錯誤；D、y﹣2≠1是不等式，不是方程，故本選項錯誤．故選：A．【點評】此題主要考查方程的意義，要具備兩個條件，一含有未知數(shù)，二必須是等式．二．方程的解（共3小題）2．（2021春?楊浦區(qū)期中）已知x＝﹣3是關(guān)于x的方程k（x+4）＝x+5的解，則k＝2．【分析】根據(jù)方程解的概念，將x＝﹣3代入方程k（x+4）＝x+5，求k的值即可．【解答】解：∵x＝﹣3是關(guān)于x的方程k（x+4）＝x+5的解，∴把x＝﹣3代入方程k（x+4）＝x+5，∴k＝2，故答案為2．【點評】本題考查了方程解的概念，將為指數(shù)的值代入即可得出關(guān)于k的方程．3．（2021春?普陀區(qū)期中）在有理數(shù)范圍內(nèi)定義一個新的運算法則“*”；當a≥b時，a*b＝ab；當a＜b時，a*b＝ab．根據(jù)這個法則，方程4*（4*x）＝256的解是x＝1，3，16．【分析】根據(jù)運算法則當a≥b時，a*b＝ab；當a＜b時，a*b＝ab，分類討論4與x的大小關(guān)系求解．【解答】解：由題意得①當x≤4時，4*（4*x）＝4*（4x），當4≥4x時，4*（4x）＝4＝256，解得x＝1．當4＜4x時，4*（4x）＝4x+1＝256，解得x＝3．②當x＞4時，4*（4*x）＝4*（4x）＝16x＝256，解得x＝16．故答案為：1，3，16．【點評】本題考查新定義計算，解題關(guān)鍵是嚴格按照題干所給運算法則分類討論運算．4．（2021春?浦東新區(qū)月考）x＝2是方程ax﹣4＝0的解，檢驗x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解．【分析】x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由為：由x＝2為已知方程的解，把x＝2代入已知方程求出a的值，再將a的值代入所求方程，檢驗即可．【解答】解：x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由為：∵x＝2是方程ax﹣4＝0的解，∴把x＝2代入得：2a﹣4＝0，解得：a＝2，將a＝2代入方程2ax﹣5＝3x﹣4a，得4x﹣5＝3x﹣8，將x＝3代入該方程左邊，則左邊＝7，代入右邊，則右邊＝1，左邊≠右邊，則x＝3不是方程4x﹣5＝3x﹣8的解．【點評】此題考查了方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．三．等式的性質(zhì)（共2小題）5．（2022春?閔行區(qū)校級期中）下面各式的變形正確（）A．由2x﹣7＝3x+2，得2x﹣3x＝2+7 B．由56%x﹣19%＝33%x+0.35，得56x﹣19＝33x+0.35 C．由＝﹣5，得6x＝4x﹣8﹣5 D．由5（x﹣8）+33＝﹣6（x+5），得5x﹣40+33＝﹣6x﹣5【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)對各選項進行分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、由2x﹣7＝3x+2，得2x﹣3x＝2+7，原變形正確，故此選項符合題意；B、由56%x﹣19%＝33%x+0.35，得56x﹣19＝33x+35，原變形錯誤，故此選項不符合題意；C、由＝﹣5，得6x＝4x﹣8﹣45，原變形錯誤，故此選項不符合題意；D、由5（x﹣8）+33＝﹣6（x+5），得5x﹣40+33＝﹣6x﹣30，原變形錯誤，故此選項不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查了等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或式子，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．6．（2022春?普陀區(qū)校級期中）由2x﹣7＝3x+2，得2x﹣3x＝2+7，在此變形中方程的兩邊同時加上（）A．3x+7 B．﹣3x+7 C．3x﹣7 D．﹣3x﹣7【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，即可解答．【解答】解：由2x﹣7＝3x+2，得2x﹣3x＝2+7，在此變形中方程的兩邊同時加上：﹣3x+7，故選：B．【點評】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四．一元一次方程的定義（共2小題）7．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）已知下列方程：①；②0.3x＝1；③；④x2﹣4x＝3；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．【解答】解：①是分式方程，故①不符合題意；②0.3x＝1，即0.3x﹣1＝0，符合一元一次方程的定義．故②符合題意；③，即9x+2＝0，符合一元一次方程的定義．故③符合題意；④x2﹣4x＝3的未知數(shù)的最高次數(shù)是2，它屬于一元二次方程．故④不符合題意；⑤x＝6，即x﹣6＝0，符合一元一次方程的定義．故⑤符合題意；⑥x+2y＝0中含有2個未知數(shù)，屬于二元一次方程．故⑥不符合題意．綜上所述，一元一次方程的個數(shù)是3個．故選：B．【點評】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點．8．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）已知方程（k﹣1）x3m+1+12＝0是關(guān)于x的一元一次方程，則m＝0，k≠1．【分析】根據(jù)一元一次方程的定義解答即可．【解答】解：∵當方程（k﹣1）x3m+1+12＝0是關(guān)于x的一元一次方程，∴k﹣1≠0，3m+1＝1，∴k≠1，m＝0．故答案為：0，1．【點評】本題考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．五．一元一次方程的解（共2小題）9．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的方程3（a﹣x）+2x＝5的解是1，則a＝2．【分析】根據(jù)方程的解滿足方程，可得關(guān)于a的方程，從而可得a的值．【解答】解：將x＝1代入3（a﹣x）+2x＝5，得3（a﹣1）+2＝5，解得a＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了一元一次方程的解，把方程的解代入方程得出a的方程是解題關(guān)鍵．10．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）定義：若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b+a，則稱該方程為“和解方程”，例如：2x＝﹣4的解為x＝﹣2，且﹣2＝﹣4+2，則該方程2x＝﹣4是和解方程．（1）判斷﹣3x＝是否是和解方程，說明理由；（2）若關(guān)于x的一元一次方程5x＝m﹣2是和解方程，求m的值．【分析】（1）求出方程的解，再根據(jù)和解方程的意義得出即可；（2）根據(jù)和解方程得出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵﹣3x＝，∴x＝﹣，∵﹣3＝﹣，∴﹣3x＝是和解方程；（2）∵關(guān)于x的一元一次方程5x＝m﹣2是和解方程，∴m﹣2+5＝，解得：m＝﹣．故m的值為﹣．【點評】本題考查了一元一次方程的解的應(yīng)用，能理解和解方程的意義是解此題的關(guān)鍵．六．解一元一次方程（共4小題）11．（2022春?閔行區(qū)校級期中）解方程：9﹣2（x+3）＝x﹣（3+6x）【分析】去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1即可求解方程．【解答】解：9﹣2（x+3）＝x﹣（3+6x）9﹣2x﹣6＝x﹣3﹣6x，﹣2x﹣x+6x＝﹣3﹣9+6，3x＝﹣6，x＝﹣2．【點評】本題考查解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．12．（2022春?普陀區(qū)校級期中）解方程：＝+2．【分析】方程去分母，去括號，移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【解答】解：去分母得：x＝3（2x+1）+12，去括號得：x＝6x+3+12，移項得：x﹣6x＝3+12，合并得：﹣5x＝15，系數(shù)化為1得：x＝﹣3．【點評】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項，合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1．13．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）解方程：．【分析】方程去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1即可．【解答】解：去括號，得2x+1+2＝20﹣3x+3，移項，得2x+3x＝20+3﹣1﹣2，合并同類項，得5x＝20，系數(shù)化為1，得x＝4．【點評】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022春?寶山區(qū)校級月考）解方程：14%x﹣9%（x+10）＝7%x﹣0.2．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，方程的兩邊同時乘100，再去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1即可．【解答】解：14%x﹣9%（x+10）＝7%x﹣0.2，整理，得14x﹣9（x+10）＝7x﹣20，去括號，得14x﹣9x﹣90＝7x﹣20，移項，得14x﹣9x﹣7x＝90﹣20，合并同類項，得﹣2x＝70，系數(shù)化為1，得x＝﹣35．【點評】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．七．由實際問題抽象出一元一次方程（共2小題）15．（2022春?閔行區(qū)校級期中）某寄宿制學校，開學安排宿舍時，如果每間宿舍安排4人，將會空出5間宿舍；如果每間宿舍安排3人，就會有100人沒床位．問該校有多少學生住宿？如果設(shè)該校有x人住宿，那么依題意可以列出的方程（）A．+5＝ B．+5＝ C．﹣5＝ D．﹣5＝【分析】設(shè)該校有x人住宿，根據(jù)房間數(shù)不變即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)該校有x人住宿，根據(jù)題意得：．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，根據(jù)房間數(shù)不變列出關(guān)于x的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．16．（2022春?普陀區(qū)校級期中）若銀行定期存款的年利率為2.25%，小麗的媽媽取出一年到期的本利和為20450元，設(shè)小麗的媽媽存入的本金為x元，則可列方程為（1+2.25%）x＝20450．【分析】直接利用本金×（1+年利率）＝本利和，即可得出等式．【解答】解：根據(jù)題意可列方程為（1+2.25%）x＝20450．故答案為：（1+2.25%）x＝20450．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確掌握利率求法是解題關(guān)鍵．八．一元一次方程的應(yīng)用（共7小題）17．（2022春?閔行區(qū)期末）某生產(chǎn)教具的廠家準備生產(chǎn)正方體教具，教具由塑料棒和金屬球組成（一條棱用一根塑料棒，一個頂點由一個金屬球鑲嵌），安排一個車間負責生產(chǎn)這款正方體教具，該車間共有34名工人，每個工人每天可生產(chǎn)塑料棒100根或金屬球75個，如果你是車間主任，你會如何分配工人成套生產(chǎn)正方體教具？【分析】設(shè)分配x個工人生產(chǎn)塑料棒，則分配（34﹣x）個工人生產(chǎn)金屬球，由每個正方體有12條棱及8個頂點，且生產(chǎn)的塑料棒和金屬球正好配套，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出分配生產(chǎn)塑料棒的工人數(shù)，再將其代入（34﹣x）中即可求出分配生產(chǎn)金屬球的工人數(shù)．【解答】解：設(shè)分配x個工人生產(chǎn)塑料棒，則分配（34﹣x）個工人生產(chǎn)金屬球，依題意得：＝，解得：x＝18，∴34﹣x＝34﹣18＝16．答：應(yīng)分配18個工人生產(chǎn)塑料棒，16個工人生產(chǎn)金屬球．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．18．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）甲以每小時30千米的速度由A地行駛到B地，如果以比原速度多20%的速度行駛，則甲花了原來時間的多20分鐘到達B地，求甲原來需要行駛的時間與A、B兩地間的距離．【分析】設(shè)甲原來需要行駛的時間為x小時，利用提速前后所行駛的路程不變列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：30×（1+20%）＝36（千米/時），設(shè)甲原來需要行駛的時間為x小時，由題意得：30x＝36（x+），解得：x＝1，30×1＝30（千米），答：甲原來需要行駛的時間是1小時，A、B兩地間的距離30千米．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，利用提速前后所行駛的路程不變列出方程是解決問題的關(guān)鍵．19．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）（列方程解應(yīng)用題）小明一年前存入銀行一筆錢，年利率為2.25%，到期共獲得本息和為10225元，求小明一年前存入銀行的本金是多少元？【分析】設(shè)小明一年前存入銀行的本金是x元，根據(jù)到期共獲得本息和為10225元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小明一年前存入銀行的本金是x元，依題意得：x+2.25%x＝10225，解得：x＝10000．答：小明一年前存入銀行的本金是10000元．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．20．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）（列方程解應(yīng)用題）某種商品按成本加50%定價，后因換季準備打折出售，如果按定價的六折出售將虧20元，這種商品的成本是多少？【分析】設(shè)這種商品的成本是x元，利用利潤＝銷售價格﹣成本價格，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這種商品的成本是x元，依題意得：60%×（1+50%）x﹣x＝﹣20，解得：x＝200．答：這種商品的成本是200元．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．21．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）（列方程解應(yīng)用題）甲、乙兩人練習跑步，從同一地點同時同向出發(fā)，甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米，甲比乙早3分鐘到達終點，求兩人所跑的路程．【分析】根據(jù)甲比乙早3分鐘到達終點，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可．【解答】解：設(shè)兩人所跑的路程為x米，由題意可得：﹣＝3，解得x＝3000，答：兩人所跑的路程為3000米．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．22．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）某商店銷售一種電器，先將成本價提高30%作為標價進行出售，結(jié)果每銷售一件該電器可以獲利60元利潤．（1）求這種電器的成本價為多少？（2）因市場調(diào)整原因，商品需要下架，所以當這批電器銷售出100臺時，剩下的40臺按照標價的五折進行銷售，請問：商店是賺了還是虧了？賺了或虧了多少錢，為什么？【分析】（1）設(shè)這種電器的成本價為x元，根據(jù)利潤＝售價﹣成本價，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總利潤＝銷售收入﹣總成本，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)這種電器的成本價為x元，依題意，得：（1+30%）x﹣x＝60，解得：x＝200．答：這種電器的成本價為200元．（2）（1+30%）×200×100+（1+30%）×200×0.5×40﹣200×（100+40）＝3200（元）．答：賺了，賺了3200元錢．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．23．（2022春?閔行區(qū)校級期中）一種節(jié)能型冰箱，商家計劃按進價加價20%作為售價，為了促銷，商家現(xiàn)在按原售價的九折出售了40臺，降價后的新售價是每臺2430元．（1）按照新售價出售，商家每臺冰箱還可賺多少元？（2）售完這批冰箱后，商家將購進40臺冰箱的進貨款存入銀行，存期一年，不扣利息稅到期可得人民幣92025元，求這項儲蓄的年利率是多少？【分析】（1）設(shè)這種節(jié)能型冰箱的進價是x元，則原售價是1.2x元，根據(jù)降價后的新售價是每臺2430元列方程，即可解得進價為2250元，再用2430減去進價即得答案；（2）這項儲蓄的年利率是y，根據(jù)到期可得人民幣92025元，可列方程，解得這項儲蓄的年利率是2.25%．【解答】解：（1）設(shè)這種節(jié)能型冰箱的進價是x元，則原售價是1.2x元，根據(jù)題意得：0.9×1.2x＝2430，解得x＝2250，按降價后的新售價出售，商店每臺還可賺：2430﹣2250＝180（元），答：按降價后的新售價出售，商店每臺還可賺180元；（2）這項儲蓄的年利率是y，根據(jù)題意得：2250×40（1+y）＝92025，解得y＝0.0225＝2.25%，答：這項儲蓄的年利率是2.25%．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列一元一次方程．九．二元一次方程的定義（共1小題）24．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）若3xm+1+yn﹣2＝0是關(guān)于x，y的二元一次方程，則4m+5n的值是15．【分析】利用二元一次方程的定義解答即可．【解答】解：∵3xm+1+yn﹣2＝0是關(guān)于x，y的二元一次方程，∴m+1＝1，n﹣2＝1，解得m＝0，n＝3，則4m+5n＝4×0+5×3＝15．故答案為：15．【點評】此題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．一十．二元一次方程的解（共1小題）25．（2022春?寶山區(qū)校級月考）一個二元一次方程的一個解是，這個二元一次方程可以是x+y＝1．（只要寫出一個符合條件的方程即可）．【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義，比如把x與y的值相加得1，即x+y＝1是一個符合條件的方程．【解答】解：本題答案不唯一，只要寫出的二元一次方程的解為即可，如x+y＝1．故答案是：x+y＝1．【點評】本題考查了二元一次方程的解．此題抓住二元一次方程和方程的解的定義即可解決問題．一十一．解二元一次方程（共1小題）26．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）把方程7x﹣4y＝8變形為用含y的式子表示x的形式：x＝．【分析】將y看作已知數(shù)求出x即可．【解答】解：7x﹣4y＝8，7x＝4y+8，解得：x＝，故答案為：x＝．【點評】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將y看作已知數(shù)求出x．一十二．二元一次方程的應(yīng)用（共1小題）27．（2022春?閔行區(qū)校級期中）在一次學校組織的知識競賽中，根據(jù)競賽規(guī)則：本次比賽共30道題，每題選對了得3分，選錯或不選倒扣2分，已知小明最后總計65分，請問他共答對了多少題？【分析】設(shè)他共答對了x道題，選錯或不選y道題，根據(jù)“本次比賽共30道題，小明最后總計65分”列二元一次方程組，求解即可．【解答】解：設(shè)他共答對了x道題，選錯或不選y道題，根據(jù)題意，得，解得，答：他共答對了25道題．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．一十三．二元一次方程組的定義（共1小題）28．（2022春?崇明區(qū)校級期中）下列方程組中是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組”逐一判斷即可得．【解答】解：A．此方程組含有3個未知數(shù)，不是二元一次方程組；B．此方程組中第2個方程不是整式方程，不是二元一次方程組；C．此方程組符合二元一次方程組的定義；D．此方程組中第二個方程的最高次數(shù)為2，不是二元一次方程組；故選：C．【點評】本題主要考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組滿足三個條件：①方程組中的兩個方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個未知數(shù)．③每個方程都是一次方程一十四．二元一次方程組的解（共1小題）29．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如果是方程組的解，那么m﹣n＝﹣1．【分析】將代入原方程組，可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值，再將其代入m﹣n中，即可求出結(jié)論．【解答】解：將代入原方程組得，解得：，∴m﹣n＝﹣5﹣（﹣4）＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關(guān)鍵．一十五．解二元一次方程組（共2小題）30．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）解方程組：．【分析】根據(jù)加減消元進行求解即可【解答】解：，①×2得：8x+10y＝28③，②×5得：25x﹣10y＝5④，③+④得：33x＝33，解得：x＝1，把x＝1代入②得：5﹣2y＝1，解得：y＝2，故原方程組的解是：．【點評】本題主要考查解二元一次方程組，解答的關(guān)鍵是對解二元一次方程組的解法的掌握．31．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）解方程組：．【分析】①﹣②×3，可消去未知數(shù)x，求出未知數(shù)y，再把y的值代入②求出x即可．【解答】解：，①﹣②×3，得14y＝14，解得y＝1，把y＝1代入②，得x＝﹣1，故原方程組的解為．【點評】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．一十六．由實際問題抽象出二元一次方程組（共1小題）32．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）六（6）班學生進行小組合作學習，老師給他們分組：如果每組6人，那么會多出3人；如果每組7人，那么有一組少4人．如果六（6）班學生數(shù)為x人，分成y組，那么可得方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“如果每組6人，那么會多出3人；如果每組7人，那么有一組少4人”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵如果每組6人，那么會多出3人，∴6y＝x﹣3；∵如果每組7人，那么有一組少4人，∴7y＝x+4．∴根據(jù)題意可列出方程組．故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．一十七．二元一次方程組的應(yīng)用（共5小題）33．（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖是一個長方形花圃的平面圖，其中陰影部分種植牡丹，空白部分種植芍藥，已知長方形的寬是2米，那么種植牡丹的面積是（6﹣π）平方米．【分析】由圖可知長方形的長為4米，根據(jù)陰影部分的面積＝長方形的面積﹣空白的面積求解即可．【解答】解：∵長方形的寬是2米，∴長方形的長是4米，則陰影部分的面積＝2×4﹣﹣（2×2﹣π×12）＝（6﹣π）平方米，故答案為：（6﹣π）．【點評】本題考查了陰影部分的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．34．（2022春?寶山區(qū)校級月考）學生課桌裝配車間共有木工9人，每個木工每天能裝配雙人課桌4張或者單人椅10只．一張雙人課桌與兩只單人椅配為一套．問幾人裝配雙人課桌、幾人裝配單人椅才能使每天裝配的課桌椅配套？【分析】設(shè)x個人裝配課桌，y個人裝配椅子，由題意：一張課桌需要配兩把椅子，結(jié)合木工人數(shù)為9人，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)x個人裝配課桌，y個人裝配椅子，才能使每天裝配的課桌椅配套，由題意得：，解得：，答：5人裝配雙人課桌、4人裝配單人椅才能使每天裝配的課桌椅配套．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．35．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）某生產(chǎn)教具的廠家準備生產(chǎn)正方體教具，教具由塑料棒與金屬球組成（一條棱用一根塑料棒，一個頂點由一個金屬球鑲嵌），并且根據(jù)材質(zhì)優(yōu)劣分為高檔、中檔和低檔三種檔次進行包裝．（1）該廠家的一個車間負責生產(chǎn)正方體教具，該車間共有33名工人，每個工人每天可生產(chǎn)塑料棒100根或者金屬球80個，如果你是車間主任，你會如何分配工人成套生產(chǎn)正方體教具？（2）現(xiàn)某中學購買兩種檔次的正方體教具共100套（價格如表所示），若恰好用了1800元，請問該學校應(yīng)該如何購買該教具？品種高檔中檔低檔價格（元/套）302010【分析】（1）設(shè)安排x人生產(chǎn)塑料棒，則安排（33﹣x）人生產(chǎn)金屬球，根據(jù)生產(chǎn)的塑料棒和金屬球正好配套，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）利用均價＝總價÷數(shù)量，可求出每套教具的均價，結(jié)合三檔教具的單價可得出只有購買高、低檔和購買中、低檔兩種情況，當購買高、低兩檔時，設(shè)購買高檔正方體教具a套，低檔正方體教具b套，根據(jù)購買兩檔教具共花費1800元，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；當購買中、低檔時，設(shè)購買中檔正方體教具m套，低檔正方體教具n套，根據(jù)購買兩檔教具共花費1800元，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)安排x人生產(chǎn)塑料棒，則安排（33﹣x）人生產(chǎn)金屬球，依題意得：＝，解得：x＝18，∴33﹣x＝33﹣18＝15．答：應(yīng)安排18人生產(chǎn)塑料棒，15人生產(chǎn)金屬球．（2）∵每套教具的均價為1800÷100＝18（元/套），∴只有購買高、低檔和購買中、低檔兩種情況．當購買高、低兩檔時，設(shè)購買高檔正方體教具a套，低檔正方體教具b套，依題意得：，解得：．∴學校購買高檔正方體教具40套，低檔正方體教具60套．當購買中、低檔時，設(shè)購買中檔正方體教具m套，低檔正方體教具n套，依題意得：，解得：．∴學校購買中檔正方體教具80套，低檔正方體教具20套．答：該學校應(yīng)購買高檔正方體教具40套，低檔正方體教具60套或購買中檔正方體教具80套，低檔正方體教具20套．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組．36．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）某飲料加工廠生產(chǎn)的A、B兩種飲料均需加入同種派加劑，A飲料每瓶需加該添加劑2克，B飲料每瓶需加該添加劑3克，已知270克該添加劑恰好生產(chǎn)了A、B兩種飲料共100瓶，問A、B兩種飲料各生產(chǎn)多少瓶？【分析】本題需先根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程組，求出結(jié)果即可．【解答】解：設(shè)A飲料生產(chǎn)了x瓶，B飲料生產(chǎn)了y瓶，由題意，得解得：答：A飲料生產(chǎn)了30瓶，B飲料生產(chǎn)了70瓶．【點評】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，要能根據(jù)題意得出等量關(guān)系，列出方程組是解答本題的關(guān)鍵．37．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）為倡導節(jié)約用電，某地決定對居民家庭用電實行“階梯電價”，電力公司規(guī)定：居民家庭每月用電量在80千瓦時以下（含80千瓦時，1千瓦時俗稱1度）時，實行“基本電價”；當居民家庭月用電量超過80千瓦時時，超過部分實行“提高電價”．（1）小張家2014年2月份用電100千瓦時，上繳電費68元；3月份用電120千瓦時，上繳電費88元．問“基本電價”和“提高電價”分別為多少元/千瓦時？（2）若4月份小張家預計用電130千瓦時，請預算小張家4月份應(yīng)上繳的電費．【分析】（1）設(shè)“基本電價”為x元/千瓦時，“提高電價”為y元/千瓦時，根據(jù)用電100千瓦時，上繳電費68元，用電120千瓦時，上繳電費88元，列方程組求解；（2）根據(jù)（1）求出的結(jié)果，將130代入求出4月份應(yīng)上繳的電費．【解答】解：（1）設(shè)“基本電價”為x元/千瓦時，“提高電價”為y元/千瓦時，根據(jù)題意，得：，解得：，答：“基本電價”為0.6元/千瓦時，“提高電價”為1元/千瓦時；（2）4月份應(yīng)上繳的電費為：80×0.6+（130﹣80）×1＝98（元）．答：小張家4月份上繳的電費為98元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．一十八．解三元一次方程組（共3小題）38．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如果三元一次方程組為，那么x+y+z＝9．【分析】三個方程相加可得結(jié)論．【解答】解：將三元一次方程組中的三個方程相加得2x+2y+2z＝18，∴x+y+z＝9．故答案為：9．【點評】本題考查三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是學會用整體思想解決問題，屬于中考常考題型．39．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）解方程組：．【分析】根據(jù)加減消元法可以解答此方程組．【解答】解：，①﹣②得﹣x+2y＝1④，①+③，得3y＝3，即y＝1，把y＝1代入④得x＝1，把x＝1，y＝1代入①，得z＝2，故原方程組的解為．【點評】本題考查解三元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確解三元一次方程組的方法．40．（2022春?寶山區(qū)校級月考）解方程組：．【分析】由①+②和①+③可消去z，再組成二元一次方程，求解即可．【解答】解：在方程組中，①+②可得3x﹣y＝1④，①+③可得4x＝4，解得x＝1，把x＝1代入④可得y＝2，把x＝1、y＝2代入①可得z＝3，∴原方程組的解為．【點評】本題主要考查三元一次方程組的解法，解方程組即“轉(zhuǎn)化”，化高次為低次，注意消元的方法．一十九．三元一次方程組的應(yīng)用（共2小題）41．（2022春?寶山區(qū)校級月考）某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進50臺電視機．已知該廠家生產(chǎn)兩種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元．若家電商場同時購進A、B兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，求商場購進這兩種型號的電視機各多少臺？【分析】設(shè)商場購進A種家電x臺，B家電y臺，則，再解方程組即可．【解答】解：設(shè)商場購進A種家電x臺，B家電y臺，則，解得答：商場購進A種家電25臺，B家電25臺．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，找到等量關(guān)系列出方程組是解題關(guān)鍵．42．（2022春?崇明區(qū)校級期中）火鍋是重慶的一張名片，深受廣大市民的喜愛．重慶某火鍋店采取堂食、外賣、店外擺攤（簡稱擺攤）三種方式經(jīng)營，6月份該火鍋店堂食、外賣、擺攤?cè)N方式的營業(yè)額之比為3：5：2．隨著促進消費政策的出臺，該火鍋店老板預計7月份總營業(yè)額會增加，其中擺攤增加的營業(yè)額占總增加的營業(yè)額的，則擺攤的營業(yè)額將達到7月份總營業(yè)額的，為使堂食、外賣7月份的營業(yè)額之比為8：5，則7月份外賣還需增加的營業(yè)額與7月份總營業(yè)額之比是1：8．【分析】設(shè)6月份堂食、外賣、擺攤?cè)N方式的營業(yè)額為3a，5a，2a，設(shè)7月份總的增加營業(yè)額為5x，擺攤增加的營業(yè)額為2x，7月份總營業(yè)額20b，擺攤7月份的營業(yè)額為7b，堂食7月份的營業(yè)額為8b，外賣7月份的營業(yè)額為5b，由題意列出方程組，可求a，b的值，即可求解．【解答】解：設(shè)6月份堂食、外賣、擺攤?cè)N方式的營業(yè)額為3a，5a，2a，設(shè)7月份總的增加營業(yè)額為5x，擺攤增加的營業(yè)額為2x，7月份總營業(yè)額20b，擺攤7月份的營業(yè)額為7b，堂食7月份的營業(yè)額為8b，外賣7月份的營業(yè)額為5b，由題意可得：，解得：，∴7月份外賣還需增加的營業(yè)額與7月份總營業(yè)額之比＝（5b﹣5a）：20b＝1：8，故答案為：1：8．【點評】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，找到正確的等量關(guān)系是本題的關(guān)鍵．二十．不等式的性質(zhì)（共3小題）43．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如果a＞b，那么下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)﹣b＜0 B．a(chǎn)+3＜b﹣3 C．a(chǎn)c2＞bc2 D．﹣＜﹣【分析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0，a+3＞b+3，a﹣3＞b﹣3，當c≠0時，ac2＞bc2，﹣＜﹣，故選：D．【點評】此題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．44．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）已知a＞b，若c是任意實數(shù)，則下列不等式中總成立的是（）A．a(chǎn)+c＜b+c B．a(chǎn)﹣c＞b﹣c C．a(chǎn)c＜bc D．a(chǎn)c＞bc【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分別對每一項進行分析，即可得出答案．【解答】解：A、∵a＞b，c是任意實數(shù)，∴a+c＞b+c，故本選項錯誤；B、∵a＞b，c是任意實數(shù)，∴a﹣c＞b﹣c，故本選項正確；C、當a＞b，c＜0時，ac＜bc，而此題c是任意實數(shù)，故本選項錯誤；D、當a＞b，c＞0時，ac＞bc，而此題c是任意實數(shù)，故本選項錯誤；故選：B．【點評】此題考查了不等式的性質(zhì)，注意解此題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．45．（2022春?普陀區(qū)校級期中）如果x＜y，那么2x﹣3＜2y﹣3．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【解答】解：不等式x＜y的兩邊乘2，不等號的方向不變，即2x＜2y，不等式2x＜2y的兩邊都減去3，不等號的方向不變，即2x﹣3＜2y﹣3．故答案為：＜．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變是解題的關(guān)鍵．二十一．不等式的解集（共2小題）46．（2022春?閔行區(qū)期末）若不等式組無解，則a的取值范圍是a≥1．【分析】根據(jù)已知和找不等式組解集的規(guī)律得出答案即可．【解答】解：∵不等式組無解，∴a的取值范圍是a≥1，故答案為：a≥1．【點評】本題考查了不等式的解集和解不等式組，能熟記找不等式組解集的規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．47．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）若不等式組的解集是x＞2．（1）m的取值范圍是m≤2；（2）試化簡：|2m﹣5|+|3﹣m|．【分析】（1）根據(jù)不等式的解集的計算方法進行求解即可得出答案；（2）根據(jù)（1）中m的取值范圍，根據(jù)絕對值的意義進行化簡即可得出答案．【解答】解：（1）∵不等式組的解集是x＞2，∴m≤2．故答案為：m≤2；（2）∵m≤2，∴2m﹣5＜0，3﹣m＞0，∴|2m﹣5|+|3﹣m|＝﹣（2m﹣5）+3﹣m＝﹣3m+8．【點評】本題主要考查了不等式的解集及絕對值，熟練掌握不等式的解集的求法及絕對值的意義進行求解是解集本題的關(guān)鍵．二十二．一元一次不等式的定義（共1小題）48．（2022春?普陀區(qū)校級期中）下列不等式中，是一元一次不等式的為（）A．3x+5≤﹣2（x﹣1） B．x﹣3y＞6 C．x2+4≥2x+3 D．xy＞1【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義解答即可．【解答】解：A、該不等式符合一元一次不等式的定義，故此選項不符合題意；B、該不等式中含有2個未知數(shù)，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；C、未知數(shù)的次數(shù)是2，不是一元一次不等式，故此選項符合題意；D、該不等式中含有2個未知數(shù)，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了一元一次不等式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的定義．一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．二十三．解一元一次不等式（共2小題）49．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）解不等式：（1）11﹣3y＜2；（2）+3；（3）2x+﹣1．【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項、合并同類項，系數(shù)化為1可得；（2）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、移項、合并同類項可得；（3）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去分母、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得．【解答】解：（1）移項，得﹣3y＜2﹣11，合并同類項，得﹣3y＜﹣9，系數(shù)化為1，得y＞3；（2）去分母，得2x≤x+3+24，移項，得2x﹣x≤3+24，合并同類項，得x≤27；（3）去分母，得12x+2（x﹣2）≤3（x+1）﹣6，去括號，得12x+2x﹣4≤3x+3﹣6，移項，得12x+2x﹣3x≤3﹣6+4，合并同類項，得11x≤1，系數(shù)化為1，得x≤，【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．50．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）當m為何值時，關(guān)于x的方程的解是非負數(shù)．【分析】本題首先要解這個關(guān)于x的方程，求出方程的解，根據(jù)解是非負數(shù)，可以得到一個關(guān)于m的不等式，就可以求出m的范圍．【解答】解：解關(guān)于x的方程得x＝﹣5m﹣6，由題意，得﹣5m﹣6≥0解這個不等式，得m≤﹣．【點評】此題考查了解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，熟練掌握方程及不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．二十四．一元一次不等式的整數(shù)解（共3小題）51．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）不等式3x﹣5≤3+x的正整數(shù)解是1、2、3、4．【分析】移項、合并同類項、系數(shù)化成1求得不等式的解集，然后確定正整數(shù)解即可．【解答】解：3x﹣5≤3+x，移項，得3x﹣x≤3+5，合并同類項，得2x≤8，系數(shù)化為1得x≤4．則不等式3x﹣5≤3+x的正整數(shù)解是1、2、3、4．故答案為：1、2、3、4．【點評】本題考查了一元一次不等式的解法，移項過程中需要注意移項要變號，系數(shù)化成1的過程中注意不等號方向的變化．52．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）解不等式y(tǒng)﹣，并把解集在數(shù)軸上表示出來，寫出它的非正整數(shù)解．【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得．【解答】解：去分母，得：10y﹣2（y﹣6）≥5（y+3）﹣10，去括號，得：10y﹣2y+12≥5y+15﹣10，移項，得：10y﹣2y﹣5y≥15﹣10﹣12，合并同類項，得：3y≥﹣7，系數(shù)化為1，得：x≥﹣，將解集表示在數(shù)軸上如下：，所以不等式的非正整數(shù)解為：﹣2，﹣1，0．【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．53．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的方程﹣2x2m﹣3+1＝0是一元一次方程，求不等式4x﹣5m＜15x﹣（8x﹣m）的負整數(shù)解．【分析】根據(jù)一元一次方程的定義求得m＝2，代入不等式，然后解不等式即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程﹣2x2m﹣3+1＝0是一元一次方程，∴2m﹣3＝1，∴m＝2，∴不等式4x﹣10＜15x﹣（8x﹣2），解得x＞﹣4，∴不等式4x﹣5m＜15x﹣（8x﹣m）的負整數(shù)解為：﹣3，﹣2，﹣1．【點評】本題考查一元一次方程的定義以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元一次不等式的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．二十五．由實際問題抽象出一元一次不等式（共2小題）54．（2022春?普陀區(qū)校級期中）“x的一半減去5所得的差不大于1”，用不等式表示為x﹣5≤1．【分析】抓住題干中的“不大于3”，是指“小于”或“等于3”，由此即可解決問題．【解答】解：根據(jù)題干“x的一半減去5所得的差”可以列式為：x﹣5；“不小于1”是指“大于等于1”；那么用不等號連接起來是：x﹣5≤1．故答案為：x﹣5≤1．【點評】此題考查了由實際問題抽象一元一次不等式的知識，屬于基礎(chǔ)題，理解“不大于”的含義是解答本題的關(guān)鍵．55．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）“x的3倍減去﹣4的差是一個非負數(shù)”，用不等式表示為3x﹣（﹣4）≥0．【分析】x的3倍即3x，由非負數(shù)≥0即可列出不等式．【解答】解：x的3倍減去﹣4的差是一個非負數(shù)，用不等式表示為3x﹣（﹣4）≥0，故答案為：3x﹣（﹣4）≥0．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，掌握非負數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二十六．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）56．（2022春?奉賢區(qū)校級月考）小明準備用20元錢買鋼筆和筆記本，鋼筆每支3元，筆記本每本5元，他買了2本筆記本，則他最多還可以買鋼筆3支．【分析】設(shè)小明還可以買x支鋼筆，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過20元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小明還可以買x支鋼筆，依題意得：3x+5×2≤20，解得：x≤．又∵x為正整數(shù)，∴x的最大值為3．故答案為：3．【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．二十七．解一元一次不等式組（共2小題）57．（2022春?寶山區(qū)校級月考）解不等式組：．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣2，解不等式②，得：x≤4，∴不等式組的解集為﹣2＜x≤4．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．58．（2022春?閔行區(qū)期末）求不等式組．【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分即可求解．【解答】解：，解不等式①得x≥﹣3，解不等式②得x＞1故不等式組的解集為x＞1．【點評】主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解，求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．二十八．一元一次不等式組的應(yīng)用（共1小題）59．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）某校學生志愿服務(wù)小組在“學雷鋒”活動中購買了一批牛奶到敬老院慰問老人．如果分給每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．問該敬老院的老人至少有多少人？【分析】設(shè)該敬老院的老人有x人，根據(jù)“如果分給每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再取其中最小的整數(shù)值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該敬老院的老人有x人，依題意，得：，解得：29＜x≤32，又∵x為正整數(shù)，∴x可以取的最小值為30．答：該敬老院的老人至少有30人．【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022春·上海普陀·六年級?？计谥校┯?，得，在此變形中方程的兩邊同時加上（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：由，得，在此變形中方程的兩邊同時加上：，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·上海普陀·六年級?？计谥校┫铝胁坏仁街校且辉淮尾坏仁降臑椋ǎ〢． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義解答即可．【詳解】解：A、該不等式符合一元一次不等式的定義，故此選項不符合題意；B、該不等式中含有2個未知數(shù)，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；C、未知數(shù)的次數(shù)是2，不是一元一次不等式，故此選項符合題意；D、該不等式中含有2個未知數(shù)，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的定義．一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．3．（2022春·上海普陀·六年級?？计谥校┫铝蟹匠讨衅浣馐堑氖?

)A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出各項中方程的解，即可作出判斷．【詳解】解：A、方程，移項合并得：，∴，符合題意；B、方程，解得：，不合題意；C、方程，去分母得：，不合題意；D、方程，去括號，移項合并得：，解得：，不合題意，故選：A．【點睛】此題考查的是一元一次方程，掌握一元一次方程解的概念是解決此題關(guān)鍵．4．（2022春·上海嘉定·六年級?？计谥校┎坏仁浇M的整數(shù)解的和是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】分別求出每個不等式的解集，然后求出所有整數(shù)解的和即可．【詳解】解：，解不等式①得，解不等式①得，不等式組的解集為，則不等式組的整數(shù)解的和為：，故選：D．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次不等式組的方法進行計算．5．（2022春·上海寶山·六年級?？茧A段練習）給x位學生分配宿舍，x正好是12的倍數(shù)．如果每間宿舍住4人，最后多余1間宿舍；如果每間宿舍住3人，最后還缺2間，求學生人數(shù)．可列方程（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：學生數(shù)量÷4+1間=學生數(shù)量÷32間，根據(jù)題意可得方程．【詳解】解：由題意得：，故選：B．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．二、填空題6．（2022春·上海閔行·六年級?？计谀⒎匠套冃螢橛煤瑇的式子表示y：______．【答案】【分析】要用含x的代數(shù)式表示y，或用含y的代數(shù)式表示x，就要將二元一次方程變形，用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)．先移項，再將系數(shù)化為1即可．【詳解】解：

.故答案是：.【點睛】本題考查了二元一次方程的變形，用其中一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，解題時可以參照一元一次方程的解法，把一個未知數(shù)當做已知數(shù)，利用等式的性質(zhì)解題．7．（2022春·上海閔行·六年級?？计谀┓匠探M的解是______．【答案】##【分析】本題運用加減消元法即可求出方程組的解．【詳解】解：①+②得，解得，把代入①得，解得．故原方程組的解為．故答案為：【點睛】本題考查用加減消元法解方程組，熟練掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·上海閔行·六年級校考期末）不等式組的自然數(shù)解是______．【答案】0，1，2，3，4【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，∴不等式組的自然數(shù)解是：0，1，2，3，4，故答案為：0，1，2，3，4．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．9．（2021秋·上海嘉定·六年級統(tǒng)考期末）方程的解是______．【答案】【分析】系數(shù)化1，求解即可．【詳解】解：，兩邊同除，得：；故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次方程．熟練掌握等式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋·上海嘉定·六年級統(tǒng)考期中）如果，那么a=__________．【答案】6【分析】由分數(shù)的基本性質(zhì)可得，再解簡單方程即可．【詳解】解：因為，所以，解得：．故答案為：6【點睛】本題考查的是分數(shù)的基本性質(zhì)，簡單方程的解法，掌握“分數(shù)的基本性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．11．（2022春·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）不等式組的解集是______.【答案】【分析】分別求出兩個不等式的解集，即可求解．【詳解】∵，∴，∴不等式組的解集為：，故答案為：【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·上海崇明·六年級?？计谥校盁o體育，不巴蜀”，在即將開始的中考體育測試中，初三學生正在全力以赴做最后的沖刺訓練．若年級所有班級中人數(shù)最少的有61人，最多的有77人，在一次體育測試中，某班男生的平均分比女生多了0.25分，小瑩抱怨道：“我們女生就是15分的小佳拖了后腿，要是沒有她，我們女生的平均分會比男生還多1分．”小峰反駁說：“我們男生要是不算得了9分的小友，平均分也會再多1分．”班長小偉聽到他們的對話后說：“讓我們一起幫助他們，如果小佳和小友的體育成績都能提高到_________分，那么男生和女生的平均分就一樣了．”【答案】50【分析】設(shè)該班女生有x人，男生有y人，女生的平均分為a分，則男生的平均分為（a+0.25）分，小佳和小友的體育成績都能提高到m分，那么男生和女生的平均分就一樣了；根據(jù)小瑩、小峰及小偉的言論，即可得出關(guān)于a，x，y的方程組，由①②變形后代入③可得a=m1.25⑥，分別將⑥代入①②可得出x=m12，y=m9，結(jié)合x為正整數(shù)且61≤x+y≤77，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再由m為正整數(shù)且m為5的倍數(shù)，即可求出m的值．【詳解】解：設(shè)該班女生有x人，男生有y人，女生的平均分為a分，則男生的平均分為（a+0.25）分，依題意，得：，由①，得：ax15=（a+1.25）（x1）④；由②，得：（a+0.25）y=（a+1.25）（y1）+9⑤．將④⑤代入③，得：，∴（a+1.25）[（x1）y（y1）x]=m（xy），∴m=a+1.25，∴a=m1.25⑥．將⑥代入①，得：；∴；將⑥代入②，得：，∴y=m9．∵x為正整數(shù)，∴m＞15，m為5的倍數(shù)．∵，即，∴．又∵m為正整數(shù)，且m為5的倍數(shù)，∴m=50．故答案為：50．【點睛】本題考查了二元一次不定方程的應(yīng)用，根據(jù)班級人數(shù)的要求，找出關(guān)于m的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·上海崇明·六年級?？计谥校┘?、乙兩車同時從A地出發(fā)，沿同一條筆直的公路勻速前往相距360km的B地，半小時后甲發(fā)現(xiàn)有東西落在A地，于是立即以原速返回A地取物品，當甲車到達A地時，兩車相距60千米，取到物品后立即以比原來速度每小時快10km繼續(xù)前往B地（所有掉頭時間和領(lǐng)取物品的時間忽略不計），當乙車行駛了3小時的時候被甲車追上，則甲車到達B地時，乙車離B地的距離是________km．【答案】60【分析】先求出乙的速度，再列方程求出甲重新出發(fā)后的速度，然后計算出甲行走的總時間，可得此時乙行駛的路程，然后可得結(jié)果．【詳解】∵甲出發(fā)到返回用時0.5小時，返回后速度不變，∴返回到A地的時間為1，此時乙跑了60km，∴乙的速度為60千米/時．設(shè)甲重新出發(fā)后的速度為v千米/時，列得方程：（3﹣1）（v﹣60）＝60，解得：v＝90．設(shè)甲在第t小時到達B地，列得方程：90（t﹣1）＝360，解得：t＝5．∴此時乙行駛的路程為：60×5＝300（千米）．離B地距離為：360﹣300＝60（千米）．故答案為60【點睛】本題考查了列一元一次方程解決行程問題的應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．三、解答題14．（2022秋·上海楊浦·六年級統(tǒng)考期中）解方程：【答案】【分析】利用解一元一次方程的步驟解答即可．【詳解】解：移項得：合并同類項得：系數(shù)化為1得：．【點睛】本題考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1．15．（2022秋·上海閔行·七年級校聯(lián)考期中）解方程：．【答案】【分析】先去括號，再移項合并得到，然后把的系數(shù)化為1即可．．【詳解】解：去括號得，移項得，合并得，系數(shù)化為得．【點睛】本題考查了解一元一次方程：熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．16．（2022春·上?！ち昙壭？茧A段練習）解方程組：【答案】【分析】根據(jù)加減消元法求解即可．【詳解】解：由①+②得：，∴，把代入②得：，所以原方程組的解是：．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，常見的解法有代入消元法和加減消元法，靈活選用合適的解法是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·上海閔行·六年級?？计谀┙獠坏仁浇M：【答案】【分析】分別解出兩個不等式的解集，最后結(jié)合兩個不等式的解集進行判斷即可．【詳解】解：解不等式，解不等式，∴不等式組的解集為．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確的計算是解決本題的關(guān)鍵．18．（2022春·上海閔行·六年級?？计谀┙夥匠蹋骸敬鸢浮俊痉治觥肯热シ帜?，再移項，再合并同類項，最后系數(shù)化為1求解即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了一元一次方程求解，正確的計算是解決本題的關(guān)鍵．19．（2022春·上海嘉定·六年級?？计谥校┙夥匠探M【答案】【分析】先用加減消元法消去z，變?yōu)殛P(guān)于x、y的二元一次方程組，解三元一次方程組即可．【詳解】解：，②?①，得：，②+③，得：，解方程組，得：，將代入①，得：，解得：，∴原方程組的解為：【點睛】本題考查了三元一次方程組的解法，解題關(guān)鍵是熟練運用消元法把三元化為二元，再解二元一次方程組．20．（2022秋·上海浦東新·六年級?？计谥校┮粋€數(shù)的是5與的和，求這個數(shù)．【答案】10【分析】設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意列出方程求解方程即可得到x的值．【詳解】解：設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意得，解得，所以，這個數(shù)是10【點睛】本題主要考查了列方程解決問題，正確找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．21．（2022秋·上海寶山·六年級校聯(lián)考期末）玩具廠商把每套成本為50元的玩具以80元賣給零售商．(1)求玩具廠商的盈利率；(2)零售商希望出售這套玩具可賺20%，求零售商出售這套玩具的定價．【答案】(1)(2)96元【分析】（1）根據(jù)“利潤率＝（售價－成本）÷成本×100%”求解即可；（2）根據(jù)“利潤率＝（售價－成本）÷成本×100%”列一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)“利潤率＝（售價－成本）÷成本×100%”可得：玩具廠商的盈利率為．答：玩具廠商的盈利率為60%．（2）解：設(shè)零售商出售這套玩具的定價為x元，則，解得．答：零售商出售這套玩具的定價為96元．【點睛】本題主要考查了利潤率的定義、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，理解利潤率的定義是解答本題的關(guān)鍵．22．（2022秋·上海金山·六年級校聯(lián)考期末）一件商品按的利潤定價，后因換季打八折出售，最終以元售出．(1)這件商品的成本是多少元？(2)這件商品是盈利還是虧損，求盈（虧）率？【答案】(1)(2)虧損，【分析】（1）設(shè)這件商品的成本是元，則進而得出結(jié)論；（2）根據(jù)可以得出虧損，由虧損率，得出最后結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)這件商品的成本是元，則，解得：，答：這種商品的成本是800元；（2）解：∵∴虧損，虧損率，答：這件商品是虧損的，虧損率．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習）一個長方形的長與寬之比為15∶7，現(xiàn)截去一個邊長與原長方形的寬相等的正方形，得到的新長方形的周長是30厘米，求原長方形的長與寬各是多少厘米？【答案】長方形長為厘米，寬為7厘米．【分析】設(shè)長方形長為厘米寬為厘米，根據(jù)正方形周長列方程即可得到答案．【詳解】