專題11與角相關(guān)的旋轉(zhuǎn)(翻折)問題專項(xiàng)講練(原卷版+解析)

專題11與角相關(guān)的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題專項(xiàng)講練與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題屬于北師大版七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學(xué)生對角度旋轉(zhuǎn)問題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等結(jié)合得很緊密，思考性強(qiáng)，難度大。本專題重點(diǎn)研究與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題（求值問題；定值問題；探究問題；分類討論問題）和與角有關(guān)的翻折問題?！九c角相關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題】【解題技巧】1、角度旋轉(zhuǎn)問題解題步驟：①找——根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；②表——表示出目標(biāo)角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大：變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間—起始角③列——根據(jù)題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。常見的三角板旋轉(zhuǎn)的問題：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。總之不管這個角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來?！局匾}型】題型1：求值問題例1．（2022·江蘇·七年級期中）已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當(dāng)α=0°時，如圖1，則∠POQ=；②當(dāng)α=80°時，如圖2，求∠POQ的度數(shù)；③當(dāng)α=130°時，如圖3，請先補(bǔ)全圖形，然后求出∠POQ的度數(shù)；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請用含m、n的代數(shù)式表示）．變式1．（2022?高新區(qū)期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側(cè)：（1）保持∠AOB不動，將∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分鐘5°的速度繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∠AOB按每分鐘2°的速度也繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)到射線ON上時都停止運(yùn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)t分鐘，計(jì)算∠MOC﹣∠AOD（用t的代數(shù)式表示）．（3）保持∠AOB不動，將∠COD繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°（n≤360），若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．變式2.（2022?浙江七年級期中）如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結(jié)果）．（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？（直接寫結(jié)果）題型2：定值問題（角度不變問題）例2．（2022·江蘇南京·七年級期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC＝∠AOD，射線OM從OB開始繞O點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s，運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜12，本題出現(xiàn)的角均小于平角）（1）圖中一定有個直角；當(dāng)t＝2時，∠MON的度數(shù)為，∠BON的度數(shù)為；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當(dāng)∠EOF為直角時，請求出t的值；（3）當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且是定值時，求t的取值范圍，并求出這個定值．變式1．（2022?渝中區(qū)七年級期中）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當(dāng)OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點(diǎn)O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長線時停止運(yùn)動．整個運(yùn)動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OC′，OD旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①當(dāng)OC′平分∠BON′時，求出對應(yīng)的t的值；②請問在整個運(yùn)動過程中，是否存在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應(yīng)的t的取值范圍（包含運(yùn)動的起止時間）；若不存在，請說明理由．變式2．（2022?碑林區(qū)七年級開學(xué)）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請直接寫出結(jié)論：直線ON（平分或不平分）∠AOC．（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為．（直接寫出結(jié)果）（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄?，?dāng)ON始終在∠AOC的內(nèi)部時（如圖3），∠AOM與∠NOC的差是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請舉例說明．題型3：探究類問題（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系）例3．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．變式1．（2022·廣東七年級期中）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，則∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；（3）如圖（b），若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關(guān)系，請說明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點(diǎn)O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關(guān)系，請說明理由．變式2．（2022?喀喇沁旗七年級期中）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使點(diǎn)N在OC的反向延長線上，請直接寫出圖中∠MOB的度數(shù)；（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數(shù)；（3）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖4，使ON在∠AOC內(nèi)部，請?zhí)骄俊螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型4：分類討論問題例4．（2022·成都市七中育才學(xué)校七年級月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，與重合，且，，，．將三角板繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數(shù)．（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)還有其他可能嗎？如果有，請研究證明結(jié)論，若沒有，請說明理由．（3）類比拓展：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時，其他條件不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出的度數(shù)．（用含的式子來表示）變式1.（2022?廣東七年級期末）如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當(dāng)，時，______，______，______；②______（用含有或的代數(shù)式表示）．(2)如圖（3），P為∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PQ過點(diǎn)O，點(diǎn)Q在∠AOB外部：①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；（∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示）(3)如圖（4），當(dāng)，時，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點(diǎn)O開始逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點(diǎn)O逆時針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°？變式2．（2022·成都市七年級階段練習(xí)）定義：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角，如圖1，若，則是的內(nèi)半角．（1）如圖1，已知，，是的內(nèi)半角，則________；（2）如圖2，已知，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度得，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度為何值時，是的內(nèi)半角；（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點(diǎn)以3度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖4），問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線，，，能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請求出旋轉(zhuǎn)的時間；若不能，請說明理由．

【折疊（翻折）問題】【解題技巧】折疊前后對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等；出現(xiàn)角的比值或無角的具體度數(shù)卻求度數(shù)常設(shè)列方程。在旋轉(zhuǎn)問題中求解角度是初一數(shù)學(xué)的難點(diǎn)題型，需要熟悉并靈活運(yùn)用角度求解的方法，本文就例題詳細(xì)解析這類題型的解題思路，希望能給初一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來幫助。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的角度或角與角之間的關(guān)系，確定射線旋轉(zhuǎn)的角度，再根據(jù)射線的旋轉(zhuǎn)速度，就可以求得射線旋轉(zhuǎn)的時間，特別要注意在角的兩邊所處位置不明確的情況下，必須要考慮多解的可能。例1．（2022·山東東營·期末）如圖，長方形紙片，點(diǎn)、分別在邊、上，連接．將對折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，得折痕；將對折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，得折痕．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．不能確定變式1．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）將一張長方形紙片按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為、，若，則的度數(shù)為（

）A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°例2．（2022·遼寧西豐縣·七年級期中）利用折紙可以作出角平分線．（1）如圖1，若∠AOB＝58°，則∠BOC＝．（2）折疊長方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'，連接OA'．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B'在OA'上時，判斷∠AOC與∠BOD的關(guān)系，并說明理由；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B'在∠COA'的內(nèi)部時，連接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度數(shù)．變式2．（2022·湖南長沙·七年級月考）已知長方形紙片ABCD，E、F分別是AD、AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)I在射線BC上、連接EF，F(xiàn)I，將∠A沿EF所在的直線對折，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，∠B沿FI所在的直線對折，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處．(1)如圖1，當(dāng)HF與GF重合時，則∠EFI＝_________°；(2)如圖2，當(dāng)重疊角∠HFG＝30°時，求∠EFI的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)∠GFI＝α，∠EFH＝β時，∠GFI繞點(diǎn)F進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)，且∠GFI總有一條邊在∠EFH內(nèi)，PF是∠GFH的角平分線，QF是∠EFI的角平分線，旋轉(zhuǎn)過程中求出∠PFQ的度數(shù)(用含α，β的式子表示)．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·四川成都市·成都實(shí)外）如圖，將長方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊（點(diǎn)F在BC上，不與B，C重合），使點(diǎn)C落在長方形內(nèi)部點(diǎn)E處，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，則∠GFH的度數(shù)是（）A．85° B．90° C．95° D．100°2．（2022·成都市初一月考）如圖，將一張長方形紙片的角A、E分別沿著BC、BD折疊，點(diǎn)A落在A'處，點(diǎn)E落在邊BA'上的E'處，則∠CBD的度數(shù)是（）A．85° B．90° C．95° D．100°3．（2022·重慶七年級期中）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿對角線BD折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接BE交AD于F，再將三角形DEF沿DF折疊后，點(diǎn)E落在點(diǎn)G處，若DG剛好平分∠ADB，那么∠ADB的度數(shù)是（）A．18° B．20° C．36° D．45°4．（2022·黑龍江·七年級期末）請仔細(xì)觀察如圖所示的折紙過程，然后回答下列問題：（1）的度數(shù)為__________；（2）與有何數(shù)量關(guān)系：______；（3）與有何數(shù)量關(guān)系：__________；5．（2022·廣東南山區(qū)·蛇口育才二中七年級期中）如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，,將一直角三角板（∠M＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，另一邊OM與OC都在直線AB的上方，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周．（1）幾秒后ON與OC重合？（2）如圖2，經(jīng)過秒后，MN∥AB；（3）若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時間OC與OM重合？請并說明理由．（4）在（3）的條件下，求經(jīng)過多長時間OC平分∠MOB？請說明理由．6．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)七年級期中）新定義問題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線這個角的“幸運(yùn)線”；（填“是”或“不是”）【初步應(yīng)用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”，則∠AOC的度數(shù)為；【解決問題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運(yùn)線”，求出所有可能的t值．7．（2022?香坊區(qū)七年級期中）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝90°，在直線AB上方有射線OM、ON分別從OA和OC開始繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．（1）如圖1，證明：ON平分∠MOB；（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠CON＝2∠MOQ時，求∠CON的度數(shù)；（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOM是銳角，射線OD在∠MON內(nèi)部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射線OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度數(shù)8．（2022·重慶八中七年級期末）一副三角板按如圖1所示放置，邊在直線上，．(1)求圖1中的度數(shù)；(2)如圖2，將三角板繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，同時將三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到射線上時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動．設(shè)轉(zhuǎn)動時間為．①在范圍內(nèi)，當(dāng)時，求t的值；②如圖3，旋轉(zhuǎn)過程中，作的角平分線，當(dāng)時．直接寫出時間的值．9．（2022·安徽·宿城第一初級中學(xué)七年級期中）以直線上一點(diǎn)為端點(diǎn)作射線，使，將一個直角三角板的直角頂點(diǎn)放在處，即．(1)如圖1，若直角三角板的一邊放在射線上，則______；(2)如圖2，將直角三角板繞點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)動到某個位置，①若恰好平分，則______；②若在內(nèi)部，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______；(3)將直角三角板繞點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)動（與重合時為停止）的過程中，恰好有，求此時的度數(shù)．10．（2022·福建福州·七年級期末）在一次數(shù)學(xué)活動課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板、按如圖1放置，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，（°、），并將三角板繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，且始終保持．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一直線上時，則____；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3，當(dāng)時．請說明平分；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當(dāng)時，求此時的度數(shù)．11．（2022·山東·煙臺市福山區(qū)教學(xué)研究中心期中）如圖，將一副三角板放到一起可以擦除怎樣的數(shù)學(xué)火花呢？福山區(qū)某學(xué)校兩個數(shù)學(xué)興趣小組對一副三角板進(jìn)行了以下兩種方式的擺放組合．已知一副三角板重合的頂點(diǎn)記為點(diǎn)O，作射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，來研究一下45°三角板不動，30°三角板繞重合的頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，∠EOF的度數(shù)如何變化．【A組研究】在同一平面內(nèi)，將這副三角板的的兩個銳角頂點(diǎn)重合（圖中點(diǎn)O），此時∠AOB=45°，∠COD=30°將三角板OCD繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動．（1）如圖①，當(dāng)射線OB與OC重合時，則∠EOF的度數(shù)為___________；（2）如圖②，將∠COD繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)，∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請根據(jù)圖②求出∠EOF的度數(shù)；如果變化，請簡單說明理由．【B組研究】在同一平面內(nèi)，將這副直角三角板中的一個直角頂點(diǎn)和一個銳角頂點(diǎn)重合(圖中點(diǎn)O)，此時∠AOB=90°，∠COD=30°，將三角板OCD繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動．（3）如圖③，當(dāng)三角板OCD擺放在三角板AOB內(nèi)部時，則∠EOF的度數(shù)為___________；（4）如圖④，當(dāng)三角板OCD轉(zhuǎn)動到三角板AOB外部，設(shè)∠BOC=β，∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請根據(jù)圖④求出∠EOF的度數(shù)；如果變化，請簡單說明理由．12．（2022·貴州遵義·七年級期末）【閱讀理解】在學(xué)習(xí)《角的比較與運(yùn)算》內(nèi)容時，教材設(shè)置這樣的一個探究：借助三角尺拼出15°，75°的角，即通過一副三角尺可以拼出一些特殊度數(shù)的角．(1)【實(shí)踐】在度數(shù)分別為①135°，②120°，③105°，④25°的角中，小明同學(xué)利用一副三角尺拼不出來的是__________．（填序號）(2)【操作】七（1）班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組用一副三角尺進(jìn)行拼角．如圖1，巧巧把30°和90°的角拼在一起，如圖2，嘉琪把60°和90°的角拼在一起，他們兩人各自所拼的兩個角均在公共邊OC的異側(cè)，并在各自所拼的圖形中分別作出的平分線OE和的平分線OF．【探究】通過上述操作，巧巧計(jì)算出圖1中的，請你直接寫出圖2中的__________°．(3)【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)有公共頂點(diǎn)的兩個角和有一條邊重合，且這兩個角在公共邊的異側(cè)時，這兩個角的平分線的夾角的度數(shù)是__________（用含，的代數(shù)式表示）．(4)【拓展】巧巧把圖1中的三角尺AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°到圖3的位置，使O，D，B三點(diǎn)在同一條直線上，并求出了的度數(shù)為．嘉琪把圖2中的三角尺AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°到圖4的位置，使O，D，B三點(diǎn)在同一條直線上．請你仿照巧巧的做法，求出圖4中的度數(shù)．(5)【歸納】根據(jù)上述探究，可以歸納出：當(dāng)有公共頂點(diǎn)的兩個角和有（其中）有一條邊重合，且這兩個角在公共邊的同側(cè)時，這兩個角的平分線的夾角的度數(shù)是__________（用含，的代數(shù)式表示）．13．（2022·四川資陽·七年級期末）如圖-1，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一直角邊在射線上，另一邊在直線的下方．(1)如圖-2，將圖-1中的三角形繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使一邊在的內(nèi)部，且恰好平分，此時直線是否平分？請說明理由；(2)如圖-3，繼續(xù)將圖-2中三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使得在的內(nèi)部，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)將圖-1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，若直線恰好平分，此時三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時間是多少秒？14．（2022·四川成都·七年級期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點(diǎn)的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點(diǎn)P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運(yùn)用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點(diǎn)O在直線MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運(yùn)動停止．①當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時，∠AOB繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OD平分∠AOB．當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數(shù)．15．（2022·四川成都·七年級期末）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，OM，ON，ON始終在OM的右側(cè)，∠BOC=112°，∠MON=α．(1)如圖1，當(dāng)α=70°，OM平分∠BOC時，求∠NOB的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)OM與OB邊重合，ON在OB的下方時，α=80°，將∠MON繞O點(diǎn)按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)n（0°＜n＜180°），使射線ON與∠BOC的角平分線形成夾角為30°，求此時旋轉(zhuǎn)一共用了多少秒；(3)當(dāng)∠MON在直線AB上方時，若α=90°，點(diǎn)F在射線OB上，射線OF繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，請直接寫出此時n的值．16．（2022·廣東茂名·七年級期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分別平分∠AOC、∠BOD．（1）如圖1，OC在∠AOB內(nèi)部時，∠AOD+∠BOC＝，∠BOD﹣∠AOC＝；（2）如圖2，OC在∠AOB內(nèi)部時，求∠MON的度數(shù)；（3）如圖3，∠AOB，∠COD的邊OA、OD在同一直線上，將∠AOB繞點(diǎn)O以每秒3°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)直至OB邊第一次與OD邊重合為止，整個運(yùn)動過程時間記為t秒．若∠MON＝5∠BOC時，求出對應(yīng)的t值及∠AOD的度數(shù)．專題11與角相關(guān)的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題專項(xiàng)講練與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)（翻折）問題屬于北師大版七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學(xué)生對角度旋轉(zhuǎn)問題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等結(jié)合得很緊密，思考性強(qiáng)，難度大。本專題重點(diǎn)研究與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題（求值問題；定值問題；探究問題；分類討論問題）和與角有關(guān)的翻折問題?！九c角相關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題】【解題技巧】1、角度旋轉(zhuǎn)問題解題步驟：①找——根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；②表——表示出目標(biāo)角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大：變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間—起始角③列——根據(jù)題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。常見的三角板旋轉(zhuǎn)的問題：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度?？傊还苓@個角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來?！局匾}型】題型1：求值問題例1．（2022·江蘇·七年級期中）已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當(dāng)α=0°時，如圖1，則∠POQ=；②當(dāng)α=80°時，如圖2，求∠POQ的度數(shù)；③當(dāng)α=130°時，如圖3，請先補(bǔ)全圖形，然后求出∠POQ的度數(shù)；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請用含m、n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°【分析】（1）根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角的和差和角平分線的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案為：50°；②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；

③解：補(bǔ)全圖形如圖3所示，∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；（2）當(dāng)∠AOB=m°，∠COD=n°時，如圖2，∴∠AOC=m°+°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+°)，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+°)-(-n°+°)=m°+n°，當(dāng)∠AOB=m°，∠COD=n°時，如圖3，∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=180°(m°+°)，∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+°)+(-n°+°)=180°-m°-n°，綜上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，則∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．故答案為：m°+n°或180°-m°-n°．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022?高新區(qū)期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側(cè)：（1）保持∠AOB不動，將∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分鐘5°的速度繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∠AOB按每分鐘2°的速度也繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)到射線ON上時都停止運(yùn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)t分鐘，計(jì)算∠MOC﹣∠AOD（用t的代數(shù)式表示）．（3）保持∠AOB不動，將∠COD繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°（n≤360），若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．【解題思路】（1）①將∠AOC+∠BOD拆分、轉(zhuǎn)化為∠COD+∠AOB即可得；②依據(jù)∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，將原式拆分、轉(zhuǎn)化為∠AOB﹣∠COD計(jì)算可得；（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD與OA相遇前、后表達(dá)式不同，故需分OD與OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36兩種情況求解；（3）設(shè)OC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)n°，則OD也繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)n°，再分①射線OE、OF在射線OB同側(cè)，在直線MN同側(cè)；②射線OE、OF在射線OB異側(cè)，在直線MN同側(cè)；③射線OE、OF在射線OB異側(cè)，在直線MN異側(cè)；④射線OE、OF在射線OB同側(cè)，在直線MN異側(cè)；四種情況分別求解．【解答過程】解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案為：150°、30°；（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，①0＜t≤20時，OD與OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；②20＜t≤36時，OD與OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；（3）設(shè)OC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)n°，則OD也繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)n°，①0＜n°≤150°時，如圖4，射線OE、OF在射線OB同側(cè)，在直線MN同側(cè)，∵∠BOF=12[90°﹣（n﹣60°）]=12（150﹣n）°，∠BOE＝（90?12∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；②150°＜n°≤180°時，如圖5，射線OE、OF在射線OB異側(cè)，在直線MN同側(cè)，∵∠BOF=12(n?150)°，∠BOE＝（90?12n∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；③180°＜n°≤330°時，如圖6，射線OE、OF在射線OB異側(cè)，在直線MN異側(cè)，∵∠DOF=12(n?150)∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；④330°＜n°≤360°時，如圖7，射線OE、OF在射線OB同側(cè)，在直線MN異側(cè)，∵∠DOF=12[360﹣（n﹣150）]°=12（510﹣∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；綜上，∠EOF＝15°或165°．變式2.（2022?浙江七年級期中）如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結(jié)果）．（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？（直接寫結(jié)果）【答案】（1），5；（2），；（3）經(jīng)過秒平分【解析】（1），∵，∴∵平分，，∴，∴∴，解得：秒（2）度∵，平分，∴∴，∴解得：秒（3）如圖：∵，由題可設(shè)為，為，∴∵，，解得：秒答：經(jīng)過秒平分．題型2：定值問題（角度不變問題）例2．（2022·江蘇南京·七年級期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC＝∠AOD，射線OM從OB開始繞O點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s，運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜12，本題出現(xiàn)的角均小于平角）（1）圖中一定有個直角；當(dāng)t＝2時，∠MON的度數(shù)為，∠BON的度數(shù)為；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當(dāng)∠EOF為直角時，請求出t的值；（3）當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且是定值時，求t的取值范圍，并求出這個定值．【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值為10s；(3)當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且是定值時，t的取值范圍為＜t＜6，這個定值是3【分析】(1)由直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4個直角；當(dāng)t＝2時求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度數(shù)；(2)用t分別表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根據(jù)OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分別求得∠COE、∠DOF,由∠EOF為直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.(3)先確定∠MON＝180°時，∠BOM＝90°時t的值，再分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，得到0＜t＜時不是定值，當(dāng)＜t＜6時，=3是定值.【詳解】（1）如圖所示，∵兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴圖中一定有4個直角；當(dāng)t＝2時，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；故答案為：4；144°，114°；（2）如圖所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，∵當(dāng)∠EOF為直角時，∠COE+∠DOF＝90°，∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，∴當(dāng)∠EOF為直角時，t的值為10s；（3）當(dāng)∠MON＝180°時，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝，當(dāng)∠BOM＝90°時，15t＝90°，解得t＝6，①如圖所示，當(dāng)0＜t＜時，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，∴＝，（不是定值）②如圖所示，當(dāng)＜t＜6時，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，∴＝=3，（是定值）綜上所述，當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且是定值時，t的取值范圍為＜t＜6，這個定值是3．【點(diǎn)睛】此題考察圖形中的運(yùn)動問題，(3)先確定∠MON＝180°時，∠BOM＝90°時t的值，再分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，得到0＜t＜時不是定值，當(dāng)＜t＜6時，=3是定值.變式1．（2022?渝中區(qū)七年級期中）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當(dāng)OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點(diǎn)O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長線時停止運(yùn)動．整個運(yùn)動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OC′，OD旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①當(dāng)OC′平分∠BON′時，求出對應(yīng)的t的值；②請問在整個運(yùn)動過程中，是否存在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應(yīng)的t的取值范圍（包含運(yùn)動的起止時間）；若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合圖形根據(jù)已知條件求角的大??；（2）①分類討論順時針、逆時針轉(zhuǎn)兩種情況，根據(jù)角平分線的定義用t表示出角的度數(shù)，列出等量關(guān)系式求出t；②分類討論順時針、逆時針轉(zhuǎn)兩種情況，當(dāng)C′在B下方時，當(dāng)C′在B上方時，根據(jù)角平分線的定義用t表示出角的度數(shù)，求在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變，求出這個定值及其對應(yīng)的t的取值范圍．【解答過程】解：（1）∵OM為∠AOB的角平分線、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．∵ON為∠BOD的角平分線，∴∠BON＝∠DON＝50°．∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案為：40°．（2）如圖①：①逆時針旋轉(zhuǎn)時：當(dāng)C′在B上方時，根據(jù)題意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．∠BON′=12∠BOD′=1∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=12∠BON'，即40°﹣4t=12（50°﹣2t當(dāng)C′在B下方時，此時C′也在N′下方，此時不存在OC′平分∠BON′．順時針旋轉(zhuǎn)時：如圖②，同理當(dāng)C′在B下方時，此時C′也在N′下方，此時不存在OC′平分∠BON′．當(dāng)C′在B上方時，即OC′與OB重合，由題意可求OC′與OB重合用的時間＝∠AOC÷4+∠AOB÷6＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6=803（∴OC′與OB重合之后，∠BOC′＝6（t?803）（∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t?803）+60°＝6∴∠BON′=12∠BOD'=12∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=1∴6（t?803）=1解得：t＝30（s）綜上所述t的值為5或30．②逆時針旋轉(zhuǎn)時：當(dāng)C′在B上方時，如圖③根據(jù)①可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，∴∠AOP=12∠AOD'=∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°﹣2t，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，此段時間0≤t≤10s；如圖④當(dāng)C′在B下方時，設(shè)經(jīng)過OB后運(yùn)動時間為t2，同理可知，∠BOC′＝4t2，∠BOD′＝60°﹣4t2，∴∠MON'=1∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t2，∴∠AOP=1∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t2，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t2，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此時：10＜t≤20；順時針旋轉(zhuǎn)時：當(dāng)C′在B下方時，如圖⑤，設(shè)經(jīng)過OB后運(yùn)動時間為t1，同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，∴∠BON'=1∴∠AOD′＝60°+6t1，∠AOP＝30°+3t1，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，此時：20＜t≤80當(dāng)C′在B上方時，如圖⑥，設(shè)經(jīng)過OB后運(yùn)動時間為t3，同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，∴∠BON′=12∠BON'=50°+3∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3t3，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此時：803＜綜上所述：存在且定值為40°，0≤t≤50．變式2．（2022?碑林區(qū)七年級開學(xué)）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請直接寫出結(jié)論：直線ON平分（平分或不平分）∠AOC．（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為10或40．（直接寫出結(jié)果）（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄?，?dāng)ON始終在∠AOC的內(nèi)部時（如圖3），∠AOM與∠NOC的差是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請舉例說明．【解題思路】（1）設(shè)ON的反向延長線為OD，由角平分線的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；（2）由直線ON恰好平分銳角∠AOC可知旋轉(zhuǎn)60°或240°時直線ON平分∠AOC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)速度可求得需要的時間；（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得兩角的差，從而可做出判斷．【解答過程】解：（1）直線ON平分∠AOC．理由如下：設(shè)ON的反向延長線為OD，∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，∴∠MOC＝∠MOB=12∠又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∴∠COD=12∠∴OD平分∠AOC，即直線ON平分∠AOC，故答案為：平分；（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠BON＝∠COD＝30°．即旋轉(zhuǎn)60°或240°時直線ON平分∠AOC．由題意得，6t＝60或240．解得：t＝10或40，故答案為：10或40；（3）∠AOM﹣∠NOC的差不變．∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．∴∠AOM與∠NOC的差不變，這個差值是30°．題型3：探究類問題（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系）例3．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】（1）20°；（2）；（3），理由見解析【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠BPE的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；（2）解法與（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；（3）把∠APC的度數(shù)作為已知量，求得∠BPC的度數(shù)，然后根據(jù)角的平分線的定義求得∠BPE的度數(shù)，再根據(jù)即可解決．【詳解】（1）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（2）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（3）結(jié)論：．理由如下：設(shè)，則，∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，正確理解角平分線的定義，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．變式1．（2022·廣東七年級期中）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，則∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；（3）如圖（b），若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關(guān)系，請說明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點(diǎn)O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關(guān)系，請說明理由．【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由見解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由見解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由見解析．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根據(jù)∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（3）根據(jù)∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根據(jù)∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【詳解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案為：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．【點(diǎn)睛】本題考查了角的運(yùn)算，理解角的和差運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022?喀喇沁旗七年級期中）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使點(diǎn)N在OC的反向延長線上，請直接寫出圖中∠MOB的度數(shù)；（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數(shù)；（3）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖4，使ON在∠AOC內(nèi)部，請?zhí)骄俊螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)對頂角求出∠BON，代入∠BOM＝∠MON﹣∠BON求出即可；（2）求出∠BOC＝120°，根據(jù)角平分線定義請求出∠COM＝∠BOM＝60°，代入∠CON＝∠MON+∠COM求出即可；（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解．【解答過程】解：（1）如圖2，∵∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠AOC＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠BOM＝∠MON﹣∠BON＝30°，故答案為：30°；（2）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOM＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠CON＝∠MON+∠COM＝90°+60°＝150°；（3）∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由是：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC，∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，故∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系為：∠AOM﹣∠NOC＝30°．題型4：分類討論問題例4．（2022·成都市七中育才學(xué)校七年級月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，與重合，且，，，．將三角板繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數(shù)．（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)還有其他可能嗎？如果有，請研究證明結(jié)論，若沒有，請說明理由．（3）類比拓展：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時，其他條件不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出的度數(shù)．（用含的式子來表示）【答案】（1）150；75（2）有，105°（3）或【分析】（1）利用兩個角的和的定義,角的平分線的定義計(jì)算即可；（2）利用分類思想，確定不同方式計(jì)算即可；（3）利用特殊與一般的思想，分類將問題抽象即可．【詳解】（1）如圖，由與重合，∵，，∴．又∵平分，平分，∴，，∴．故答案為：150°；75°；（2）如圖，∵平分，平分，∴+30°+30°+30°．∴，∴．（3）如圖，∵平分，平分，∴，，∴=+60°-=；如圖，∵OE平分，平分，∴，∴．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩個角的和，角的平分線，周角的定義，靈活運(yùn)用分類思想，角的平分線定義，角的和，差定義計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式1.（2022?廣東七年級期末）如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當(dāng)，時，______，______，______；②______（用含有或的代數(shù)式表示）．(2)如圖（3），P為∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PQ過點(diǎn)O，點(diǎn)Q在∠AOB外部：①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；（∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示）(3)如圖（4），當(dāng)，時，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點(diǎn)O開始逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點(diǎn)O逆時針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°？【答案】(1)；(2)，；(3)分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°【解析】(1)①OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，當(dāng)，時，，，②，故答案為：(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，故答案為：，(3)根據(jù)題意OM平分∠POQ，如圖，當(dāng)在的外部時，MON的度數(shù)是40°ON平分∠POA，，，則旋轉(zhuǎn)了分，即分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°如圖，在的內(nèi)部時，即此情況不存在，綜上所述，分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°變式2．（2022·成都市七年級階段練習(xí)）定義：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角，如圖1，若，則是的內(nèi)半角．（1）如圖1，已知，，是的內(nèi)半角，則________；（2）如圖2，已知，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度得，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度為何值時，是的內(nèi)半角；（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點(diǎn)以3度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖4），問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線，，，能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請求出旋轉(zhuǎn)的時間；若不能，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或．【分析】（1）根據(jù)內(nèi)半角的定義解答即可；（2）根據(jù)內(nèi)半角的定義解答即可；（3）設(shè)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度，旋轉(zhuǎn)的時間為，根據(jù)內(nèi)半角的定義列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵是的內(nèi)半角，，∴，∵，∴，故答案為：．（2）∵，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)的角度為時，是的內(nèi)半角．（3）設(shè)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度，旋轉(zhuǎn)的時間為，如圖1，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，解得：，∴；如圖2，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，∴，∴；如圖3，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，∴，∴；如圖4，∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，解得：，∴，綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的時間為或或或時，射線，，，能構(gòu)成內(nèi)半角．【點(diǎn)睛】本題考查了與角的有關(guān)的計(jì)算，涉及到角的和差，準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【折疊（翻折）問題】【解題技巧】折疊前后對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等；出現(xiàn)角的比值或無角的具體度數(shù)卻求度數(shù)常設(shè)列方程。在旋轉(zhuǎn)問題中求解角度是初一數(shù)學(xué)的難點(diǎn)題型，需要熟悉并靈活運(yùn)用角度求解的方法，本文就例題詳細(xì)解析這類題型的解題思路，希望能給初一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來幫助。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的角度或角與角之間的關(guān)系，確定射線旋轉(zhuǎn)的角度，再根據(jù)射線的旋轉(zhuǎn)速度，就可以求得射線旋轉(zhuǎn)的時間，特別要注意在角的兩邊所處位置不明確的情況下，必須要考慮多解的可能。例1．（2022·山東東營·期末）如圖，長方形紙片，點(diǎn)、分別在邊、上，連接．將對折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，得折痕；將對折，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，得折痕．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】由翻折可得∠FEN＝∠AEN，∠FEM＝∠BEM，從而可得∠NEM＝∠AEB，進(jìn)而求解．【詳解】解：由翻折可得∠FEN＝∠AEN＝∠AEF，∠FEM＝∠BEM＝∠BEF，∴∠NEM＝∠FEN＋∠FEM＝（∠AEF＋∠BEF）＝×180°＝90°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算，解題關(guān)鍵通過翻折得到角相等．變式1．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）將一張長方形紙片按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為、，若，則的度數(shù)為（

）A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°【答案】B【分析】由長方形和折疊的性質(zhì)結(jié)合題意可求出．再根據(jù)，即可求出答案．【詳解】由長方形的性質(zhì)可知：．∴，即．由折疊的性質(zhì)可知，∴．∵，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查長方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想找到角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．例2．（2022·遼寧西豐縣·七年級期中）利用折紙可以作出角平分線．（1）如圖1，若∠AOB＝58°，則∠BOC＝．（2）折疊長方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'，連接OA'．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B'在OA'上時，判斷∠AOC與∠BOD的關(guān)系，并說明理由；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B'在∠COA'的內(nèi)部時，連接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度數(shù)．【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由見解析；②30°【分析】（1）由折疊得出∠AOC＝∠BOC，即可得出結(jié)論；（2）①由折疊得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由點(diǎn)B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出結(jié)論；②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由折疊知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案為：29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由：由折疊知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，由折疊知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，∵點(diǎn)B'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；②由折疊知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度數(shù)為30°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，平角的定義，角的和差的計(jì)算，從圖形中找出角之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·湖南長沙·七年級月考）已知長方形紙片ABCD，E、F分別是AD、AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)I在射線BC上、連接EF，F(xiàn)I，將∠A沿EF所在的直線對折，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，∠B沿FI所在的直線對折，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處．(1)如圖1，當(dāng)HF與GF重合時，則∠EFI＝_________°；(2)如圖2，當(dāng)重疊角∠HFG＝30°時，求∠EFI的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)∠GFI＝α，∠EFH＝β時，∠GFI繞點(diǎn)F進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)，且∠GFI總有一條邊在∠EFH內(nèi)，PF是∠GFH的角平分線，QF是∠EFI的角平分線，旋轉(zhuǎn)過程中求出∠PFQ的度數(shù)(用含α，β的式子表示)．

【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根據(jù)∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，，推導(dǎo)出x與y的和即可求得答案；（3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，根據(jù)，即可得到答案.【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，∵30°∴30°+x，30+y，∴180°，即90°，∴45°，∴75°；（3）,，∴180°，∴90°，又∵，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·四川成都市·成都實(shí)外）如圖，將長方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊（點(diǎn)F在BC上，不與B，C重合），使點(diǎn)C落在長方形內(nèi)部點(diǎn)E處，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，則∠GFH的度數(shù)是（）A．85° B．90° C．95° D．100°【答案】D【分析】根據(jù)折疊求出∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，根據(jù)∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，即可求出∠GFH＝∠GFE+∠HFE的度數(shù)．【詳解】解：∵將長方形紙片ABCD的角C沿著GF折疊（點(diǎn)F在BC上，不與B，使點(diǎn)C落在長方形內(nèi)部點(diǎn)E處，∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFE＝120°，∴∠GFE＝60°，∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH，∴∠EFH＝＝40°，∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，折疊的性質(zhì)，角度的倍數(shù)關(guān)系，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．2．（2022·成都市初一月考）如圖，將一張長方形紙片的角A、E分別沿著BC、BD折疊，點(diǎn)A落在A'處，點(diǎn)E落在邊BA'上的E'處，則∠CBD的度數(shù)是（）A．85° B．90° C．95° D．100°【答案】B【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°．∴∠A′BC+∠E′BD=90°．∴∠CBD=90°．故選B．【點(diǎn)睛】由折疊的性質(zhì)，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定義，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，則可求∠CBD的度數(shù)．此題考查了折疊的性質(zhì)與平角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．3．（2022·重慶七年級期中）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿對角線BD折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接BE交AD于F，再將三角形DEF沿DF折疊后，點(diǎn)E落在點(diǎn)G處，若DG剛好平分∠ADB，那么∠ADB的度數(shù)是（）A．18° B．20° C．36° D．45°解：由折疊可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，∵DG平分∠ADB，∴∠BDG＝∠GDF，∴∠EDF＝∠BDG，∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，∴∠GDF＝18°，∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．故選：C．4．（2022·黑龍江·七年級期末）請仔細(xì)觀察如圖所示的折紙過程，然后回答下列問題：（1）的度數(shù)為__________；（2）與有何數(shù)量關(guān)系：______；（3）與有何數(shù)量關(guān)系：__________；【答案】（1）90°；（2）；（3）.【分析】（1）由圖中第三個圖形可知，折疊后∠1+∠3=∠2，再根據(jù)B、E、C三點(diǎn)共線可求得結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）可知∠1+∠3=∠2=90°，兩角之和為90°，兩角互余；（3）由B、E、C三點(diǎn)共線可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)折疊的過程可知：∠2=∠1+∠3，

∵∠1+∠2+∠3=∠BEC，B、E、C三點(diǎn)共線∴∠2=180°÷2=90°．故答案是：90°．

（2）∵∠1+∠3=∠2，∴∠1+∠3=90°．故答案是：∠1+∠3=90°．

（3）∵B、E、C三點(diǎn)共線，∴∠1+∠AEC=180°，故答案是：∠1+∠AEC=180°．【點(diǎn)睛】本題考查的角的計(jì)算以及折疊問題，解題的關(guān)鍵是依據(jù)折疊的特性找到∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．5．（2022·廣東南山區(qū)·蛇口育才二中七年級期中）如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，,將一直角三角板（∠M＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，另一邊OM與OC都在直線AB的上方，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周．（1）幾秒后ON與OC重合？（2）如圖2，經(jīng)過秒后，MN∥AB；（3）若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時間OC與OM重合？請并說明理由．（4）在（3）的條件下，求經(jīng)過多長時間OC平分∠MOB？請說明理由．【答案】（1）10秒；（2）20；（3）20秒，詳情見解析；（4）秒，詳情見解析【分析】（1）直接用的度數(shù)除以運(yùn)動速度即可得出時間；（2）利用平行的性質(zhì)得到的度數(shù)，利用角的等量代換求出度數(shù)即可求解；（3）運(yùn)用含的式子分別表示出和，再根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角的性質(zhì)建立方程運(yùn)算求解即可；（4）利用角的等量代換建立方程求解即可．【詳解】（1）∵∴秒后與重合；（2）∵∴∵∴∴∴∴經(jīng)過秒后，（3）當(dāng)與重合時，如圖3所示：∵，∵三角板在以每秒轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè),則∵∴解得：∴經(jīng)過秒后與重合（4）當(dāng)OC平分∠MOB時，如圖4所示：∵，∴,則∵∴∴解得：∴經(jīng)過秒后OC平分∠MOB【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的計(jì)算，平行線的性質(zhì)，認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)七年級期中）新定義問題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線是這個角的“幸運(yùn)線”；（填“是”或“不是”）【初步應(yīng)用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”，則∠AOC的度數(shù)為15°或22.5°或30°；【解決問題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運(yùn)線”，求出所有可能的t值．【解題思路】（1）根據(jù)幸運(yùn)線定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)幸運(yùn)線定義得到方程求解即可；（3）分3種情況，根據(jù)幸運(yùn)線定義得到方程求解即可．【解答過程】解：（1）一個角的平分線是這個角的“幸運(yùn)線”；故答案為：是；（2）①設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝2x，由題意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝x，由題意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC=12由題意得，x+12x＝45°，解得故答案為：15°或22.5°或30°；（3）當(dāng)0＜t≤4時，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，若OA是射線OM與ON的幸運(yùn)線，則∠AON=12∠MON，即60﹣15t=12（60+5∠AON=13∠MON，即60﹣15t=13（60+5t∠AON=23∠MON，即60﹣15t=23（60+5t當(dāng)4＜t＜9時，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，若ON是射線OM與OA的幸運(yùn)線，則∠AON=12∠MOA即15t﹣60=12×∠AON=13∠MOA，即15t﹣60=13×20∠AON=23∠MOA，即15t﹣60=23×故t的值是127或125或12117．（2022?香坊區(qū)七年級期中）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝90°，在直線AB上方有射線OM、ON分別從OA和OC開始繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．（1）如圖1，證明：ON平分∠MOB；（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠CON＝2∠MOQ時，求∠CON的度數(shù)；（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOM是銳角，射線OD在∠MON內(nèi)部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射線OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度數(shù)【解題思路】（1）設(shè)∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，則∠AON＝90°+α，由補(bǔ)角的定義可求得∠MOB＝＝2∠NOB，即可證明結(jié)論；（2）分兩種情況：若射線OM在∠AOQ內(nèi)時，若射線OM在∠BOQ內(nèi)時，由角平分線的定義求解∠MOQ，結(jié)合∠CON＝2∠MOQ可得關(guān)于α的等式，計(jì)算可求解；（3）由（1）（2）結(jié)論可得∠MOP＝45°?12α，可分兩種情況：情況1：射線OM在∠AOQ內(nèi)，情況2：射線OM在∠【解答過程】解：（1）設(shè)∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝90°+α，∵∠AOB＝180°，∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝