專題14三角形與全等三角形(精講精練)(原卷版+解析)

第14講三角形與全等三角形（精講）理解三角形、理解三角形的內(nèi)角、外角理解三角形的中線、高線、角平分線、了解三角形的穩(wěn)定性探索并證明三角形的內(nèi)角和定理掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角掌握基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等掌握基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等掌握基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個(gè)三角形全等探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上TOC\o"1-2"\h\u第14講三角形與全等三角形（精講） 1考點(diǎn)1：與三角形有關(guān)的邊 3考點(diǎn)2：與三角形有關(guān)的角 12考點(diǎn)3：全等三角形 21課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 32分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 33

考點(diǎn)1：與三角形有關(guān)的邊①三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．②角平分線：（1）角平線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等（2）三角形的三條角平分線的相交于一點(diǎn)（內(nèi)心）③中線：（1）將三角形的面積等分（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半④高：銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn)；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部｛三角形的分類★｝如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是A．表示等腰三角形，表示等邊三角形，表示三邊均不相等的三角形 B．表示等邊三角形，表示等腰三角形，表示三邊均不相等的三角形 C．表示三邊均不相等的三角形，表示等腰三角形，表示等邊三角形 D．表示三邊均不相等的三角形，表示等邊三角形，表示等腰三角形｛三角形的高★｝如圖，在中，邊上的高是A．線段 B．線段 C．線段 D．線段｛與三角形有關(guān)的線段★｝在學(xué)完八上《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課，老師讓同學(xué)們自己談?wù)剬θ切蜗嚓P(guān)知識的理解．小峰說：“存在這樣的三角形，他的三條高的比為．”小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半．”對以上兩位同學(xué)的說法，你認(rèn)為A．兩人都不正確 B．小慧正確，小峰不正確 C．小峰正確，小慧不正確 D．兩人都正確｛三角形的角平分線★｝甲、乙兩位同學(xué)分別用尺規(guī)作圖法作的平分線，則他們兩人的作圖方法A．甲、乙兩人均正確 B．甲正確，乙錯(cuò)誤 C．甲錯(cuò)誤，乙正確 D．甲、乙兩人均錯(cuò)誤｛三角形的中線★｝如圖，已知中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)．若的面積等于8，則的面積等于A．2 B．3 C．4 D．5｛與三角形有關(guān)的線段★★｝如圖，在中，，為的中點(diǎn)，延長交于．為上一點(diǎn)，于，下面判斷正確的有①是的角平分線；②是邊上的中線；③是邊上的高；④是的角平分線和高．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)｛與三角形有關(guān)的線段★★｝如圖，直角三角形中，，于點(diǎn)，，，，，，則點(diǎn)到的距離是．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝中，下列說法正確的有（填序號）①三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等；②三條中線的交點(diǎn)到三邊的距離相等；③三條中垂線的交點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等；④三邊的高的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝的兩條邊的長度分別為2和5，若第三條邊為奇數(shù)，則的周長為．｛三角形的分類★｝下列關(guān)于三角形的分類，正確的是A．B．C．D．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝如圖，中，邊上的高是線段A． B． C． D．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝下列說法中：①三角形的角平分線、中線、高線都是線段；②直角三角形只有一條高線；③三角形的中線可能在三角形的外部；④三角形的高線可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，其中說法正確的有個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4｛與三角形有關(guān)的線段★★｝（2021春?信都區(qū)期末）如圖，的角平分線，中線交于點(diǎn)，則結(jié)論：①是的角平分線；②是的中線．其中A．①、②都正確 B．①、②都不正確 C．①正確②不正確 D．①不正確，②正確｛與三角形有關(guān)的線段★★｝已知：如圖所示，在中，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積為．｛三角形的三邊關(guān)系★★｝三角形的三邊長分別為2，5，，則的取值范圍是．（2017?永州）小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃打碎了，需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡，工人師傅在一塊如圖所示的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點(diǎn)，，，給出三角形，則這塊玻璃鏡的圓心是A．，邊上的中線的交點(diǎn) B．，邊上的垂直平分線的交點(diǎn) C．，邊上的高所在直線的交點(diǎn) D．與的角平分線的交點(diǎn)（2021?淮安）一個(gè)三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是．（2019?南京）在中，，，，則的長的取值范圍是．考點(diǎn)2：與三角形有關(guān)的角（1）內(nèi)角和定理：①三角形的內(nèi)角和等180°；②推論：直角三角形的兩銳角互余.（2）外角的性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.②三角形的任意一個(gè)外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角.｛與三角形有關(guān)的角★★｝在中，，的平分線交于點(diǎn)，若，則度．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，平分，平分，與交于，若，，則的度數(shù)為．｛與三角形有關(guān)的角★★｝（2021秋?仙居縣期中）如圖，將一角折疊，若，則．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，平分，平分，已知，，則．｛與三角形有關(guān)的角★★｝當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的時(shí)，我們稱此三角形為“希望三角形”，其中稱為“希望角”，如果一個(gè)“希望三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為，那么這個(gè)“希望三角形”的“希望角”度數(shù)為．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，是中的平分線，是的外角的平分線，如果，，則．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，的平分線與的平分線相交于．若，，則．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使得點(diǎn)落在四邊形的外部的位置，且與點(diǎn)在直線的異側(cè)，折痕為，已知，．若保持△的一邊與平行，則的度數(shù)．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，將三角形紙片沿折疊，若，，則的度數(shù)為．（2021?梧州）在中，，，則等于A． B． C． D．（2021?本溪）一副三角板如圖所示擺放，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．（2020?湖北）將一副三角尺按如圖擺放，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，，，，，則的度數(shù)是A． B． C． D．考點(diǎn)3：全等三角形①全等三角形的性質(zhì)：(1)全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等．(2)全等三角形的對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、對應(yīng)高相等．(3)全等三角形的周長等、面積等．②三角形全等的判定｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝下列說法正確的是（）A．兩個(gè)面積相等的圖形是全等圖形 B．兩個(gè)等邊三角形是全等圖形 C．兩個(gè)周長相等的圓是全等圖形 D．形狀相同的兩個(gè)圖形是全等圖形｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正確的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如果△ABC的三邊長分別為3，5，7，△DEF的三邊長分別為3，3x﹣2，2y﹣1，若這兩個(gè)三角形全等，則x+y＝（）A．8 B．173或6 C．10 D．19｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，AD和BC相交于O點(diǎn)，已知OA＝OC，以“ASA”為依據(jù)說明△AOB≌△COD還需添加（）A．AB＝CD B．∠A＝∠C C．OB＝OD D．∠AOB＝∠COD｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，若AB＝DE，BC＝EF，則下列條件中能滿足△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠EDF B．AD＝CF C．∠BCA＝∠F D．BC∥EF｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，已知△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分線，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，則∠E的度數(shù)是（）A．26° B．22° C．34° D．30°｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，已知△ABC≌△DEC，點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥CD交CD于點(diǎn)F，若∠BCE＝60°，則∠CAF的度數(shù)為（）A．35° B．30° C．60° D．65°｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，△AOB≌△ADC，點(diǎn)B和點(diǎn)C是對應(yīng)頂點(diǎn)，∠O＝∠D＝90°，若∠OAD＝64°，當(dāng)BC∥OA時(shí)，∠ABO的度數(shù)為（）A．26° B．32° C．36° D．38°｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠C＝90°，∠B＝30° D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，點(diǎn)E，C，F(xiàn)，B在同一條直線上，AC∥DF，EC＝BF，則添加下列條件中的一個(gè)條件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．AB∥DE｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，點(diǎn)C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了CN∥OA，連接EN，作圖痕跡中，△ODM≌△CEN根據(jù)的是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，A、C、E三點(diǎn)在向一直線上，△ABC、△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE，OC，則有以下四個(gè)結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求證：∠A＝∠D．（2021?哈爾濱）如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)A和點(diǎn)D是對應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為（）A．30° B．25° C．35° D．65°（2020?淄博）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED（2021?重慶）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E共線，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一個(gè)條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD（2021?攀枝花）如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，他帶（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③（2020?黑龍江）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．（2021?福建）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在AC的延長線上．（1）求證：∠ADE＝∠DFC；（2）求證：CD＝BF．（2021?福建）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，CE＝BF．求證：∠B＝∠C．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖

分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固1．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下面說法正確的是①的面積的面積；②；③；④．A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④2．已知為的中線，且，，則與的周長之差為A． B． C． D．3．下列說法：①直線外一點(diǎn)到該直線的垂線段，是這個(gè)點(diǎn)到該直線的距離；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；④三角形三條高至少有一條在三角形的內(nèi)部；⑤垂直于同一條直線的兩條直線平行；⑥三角形的角平分線是線段．其中說法正確的有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．如圖，在中，邊上的高為A． B． C． D．5．如圖，在中，，分別是邊上的中線和高，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，已知，，，A． B． C． D．6．如圖，是的中線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、，若的面積是8，則陰影部分的面積為A．4 B．2 C．6 D．87．如圖所示，在中，、、分別為、、的中點(diǎn)，且，則的面積等于A． B． C． D．8．的三邊分別為，，，若，，的長為偶數(shù)，則A．2 B．4 C．6 D．89．如圖，中，，沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，若，則等于A． B． C． D．10．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，將沿折疊至位置，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．11．以下說法正確的有①三角形的中線、角平分線都是射線；②三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)；③三角形的三條角平分線在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)；④三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；⑤直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn)．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)12．如圖，把沿翻折，疊合后的圖形如圖，若，，則的度數(shù)是A． B． C． D．13．如圖，是的角平分線，，垂足為．若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．14．如圖，一副直角三角板如圖所示擺放，，，．頂點(diǎn)在邊上，且，則的度數(shù)是A． B． C． D．15．如圖，是的角平分線和的交點(diǎn)，于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是A． B． C． D．16．如圖，已知，，，則等于A． B． C． D．17．如圖，在中，平分，平分，平分的外角，連接，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．18．如圖，已知中，，，為上一點(diǎn)，將沿折疊后，點(diǎn)落在點(diǎn)處，且，則的度數(shù)是．1．如圖，在中，，，是上兩點(diǎn)，且，平分，那么下列說法中不正確的是A．是的中線 B．是的角平分線 C． D．是的高2．如圖，于，于，于，于，在中，邊上的高為A． B． C． D．3．如圖，中，平分，點(diǎn)在線段上，且交的延長線于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．4．中，，和的平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，則為A． B． C． D．5．如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，且平分，平分，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．6．如圖在中，，分別平分，，交于，為外角的平分線，的延長線交于點(diǎn)，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④正確的是A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④7．如圖，，，，、相交于點(diǎn)，則度數(shù)是A． B． C． D．8．在中，，分別是、上的點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別是點(diǎn)，，連接，若，，則下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中正確的是A．①③ B．②③ C．①② D．①②③9．如圖，抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀敵人的碉堡，需要測出我軍陣地與敵人碉堡的距離，我軍戰(zhàn)士想到一個(gè)辦法．他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點(diǎn)；然后轉(zhuǎn)過身，保持剛才的姿勢，這時(shí)視線落在了我軍陣地的點(diǎn)上；最后，他用步測的辦法量出自己與點(diǎn)的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離，這里判定的理由是A． B． C． D．10．如圖，在等腰三角形中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)是的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，，下面的結(jié)論：①；②是正三角形；③；④．其中正確的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④11．如圖，在中，，，于，于，與交于，則．12．有一張三角形紙片，已知，，點(diǎn)在邊上，請?jiān)谶吷险乙稽c(diǎn)，將紙片沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若與三角形紙片的邊平行，則的度數(shù)為．13．如圖，在中有兩個(gè)內(nèi)角相等，且是的角平分線，，．若，則．14．如圖，將沿方向平移到、、在同一條直線上），若，與相交于點(diǎn)，和的平分線、相交于點(diǎn)，則．15．如圖，已知長方形的邊長，，點(diǎn)在邊上，，如果點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上以的速度向點(diǎn)向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)與全等時(shí)，時(shí)間為．16．已知點(diǎn)、，以點(diǎn)、、（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）為頂點(diǎn)的三角形與全等，則符合要求的點(diǎn)坐標(biāo)可以是．1．如圖，在等邊中，于，延長到，使，是的中點(diǎn)，連接并延長交于，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的個(gè)數(shù)是A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．在中，，于，的平分線交于點(diǎn)，交于，于，的延長線交于點(diǎn)．以下說法正確的有個(gè)①；②；③；④；⑤若，則A．2 B．3 C．4 D．53．如圖，在中，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于，交于，過點(diǎn)作于，下列四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的是A．①② B．②③ C．①②③ D．①③4．如圖，為的角平分線，為上一點(diǎn)，且于，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④連接，則；⑤四邊形的面積是面積的2倍．其中正確的有個(gè)A．5 B．4 C．3 D．25．如圖，在中，，、是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接，下列結(jié)論：①；②；③的面積等于四邊形的面積；④⑤其中正確的是A．①②④ B．③④⑤ C．①③④ D．①③⑤6．如圖，在鈍角中，分別以和為斜邊向的外側(cè)作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接、、．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．已知：如圖，和都是等邊三角形，是延長線上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，，則下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形；⑤平分．其中，正確的是②③④⑤（只填寫序號）8．如圖，和都是等腰直角三角形，，，，分別與、交于點(diǎn)、．下列結(jié)論：①；②；③；④．所有正確結(jié)論的序號是．9．如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓分別交、于點(diǎn)、，與交于點(diǎn)．并與交于點(diǎn)，連結(jié)、．給出下列四個(gè)結(jié)論．其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）．（1）是的中點(diǎn)（2）（3）（4）第14講三角形與全等三角形（精講）理解三角形、理解三角形的內(nèi)角、外角理解三角形的中線、高線、角平分線、了解三角形的穩(wěn)定性探索并證明三角形的內(nèi)角和定理掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角掌握基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等掌握基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等掌握基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個(gè)三角形全等探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上TOC\o"1-2"\h\u第14講三角形與全等三角形（精講） 1考點(diǎn)1：與三角形有關(guān)的邊 3考點(diǎn)2：與三角形有關(guān)的角 14考點(diǎn)3：全等三角形 24課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 37分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 38

考點(diǎn)1：與三角形有關(guān)的邊①三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．②角平分線：（1）角平線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等（2）三角形的三條角平分線的相交于一點(diǎn)（內(nèi)心）③中線：（1）將三角形的面積等分（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半④高：銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn)；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部｛三角形的分類★｝如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是A．表示等腰三角形，表示等邊三角形，表示三邊均不相等的三角形 B．表示等邊三角形，表示等腰三角形，表示三邊均不相等的三角形 C．表示三邊均不相等的三角形，表示等腰三角形，表示等邊三角形 D．表示三邊均不相等的三角形，表示等邊三角形，表示等腰三角形【分析】根據(jù)三角形按邊的分類可直接選出答案．【解答】解：三角形根據(jù)邊分類如下：三角形故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的分類，關(guān)鍵是掌握分類方法．三角形按邊的關(guān)系分為兩類：不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分為底和腰不等的等腰三角形以及等邊三角形．另外，三角形還可以按角進(jìn)行分類．｛三角形的高★｝如圖，在中，邊上的高是A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【分析】根據(jù)三角形的高的定義解答即可．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)到邊的垂線段是，所以邊上的高是，故選：．【點(diǎn)評】此題考查三角形的高，關(guān)鍵是根據(jù)從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高解答．｛與三角形有關(guān)的線段★｝在學(xué)完八上《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課，老師讓同學(xué)們自己談?wù)剬θ切蜗嚓P(guān)知識的理解．小峰說：“存在這樣的三角形，他的三條高的比為．”小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半．”對以上兩位同學(xué)的說法，你認(rèn)為A．兩人都不正確 B．小慧正確，小峰不正確 C．小峰正確，小慧不正確 D．兩人都正確【分析】要判斷是否存在這樣的三角形，可以利用反證法，從各自的已知條件入手進(jìn)行推理，看能否推出矛盾，得出矛盾的說明不存在這樣的三角形，不出現(xiàn)矛盾的說明存在這樣的三角形．【解答】解：假設(shè)存在這樣的三角形，它的三條高的比是，根據(jù)等積法，得到此三角形三邊比為，這與三角形三邊關(guān)系相矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以這樣的三角形不存在；假設(shè)存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半，延長中線成2倍，利用三角形全等，可得到三角形中中線的2倍不小于其它兩邊和，這與三角形三邊關(guān)系矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以這樣的三角形不存在．故兩人都不正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高；反證法是一種很重要的方法，在解決一些特殊問題時(shí)非常有用，注意學(xué)習(xí)掌握．｛三角形的角平分線★｝甲、乙兩位同學(xué)分別用尺規(guī)作圖法作的平分線，則他們兩人的作圖方法A．甲、乙兩人均正確 B．甲正確，乙錯(cuò)誤 C．甲錯(cuò)誤，乙正確 D．甲、乙兩人均錯(cuò)誤【分析】根據(jù)用尺規(guī)作圖作的平分線的作法即可得到結(jié)論．【解答】解：由圖知，甲、乙兩位同學(xué)分別用尺規(guī)作圖法作的平分線，則他們兩人的作圖方法甲正確，乙正確，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了作圖基本作圖，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．｛三角形的中線★｝如圖，已知中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)．若的面積等于8，則的面積等于A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，的面積等于8，，是的中點(diǎn)，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的中線，三角形的面積的計(jì)算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝如圖，在中，，為的中點(diǎn)，延長交于．為上一點(diǎn)，于，下面判斷正確的有①是的角平分線；②是邊上的中線；③是邊上的高；④是的角平分線和高．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念進(jìn)行判斷．連接三角形的頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的線段即為三角形的中線；三角形的一個(gè)角的角平分線和對邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫三角形的角平分線；從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫三角形的高．【解答】解：①根據(jù)三角形的角平分線的概念，知是的角平分線，故此說法錯(cuò)誤；②根據(jù)三角形的中線的概念，知是的邊上的中線，故此說法錯(cuò)誤；③根據(jù)三角形的高的概念，知為的邊上的高，故此說法正確；④根據(jù)三角形的角平分線和高的概念，知是的角平分線和高線，故此說法正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分線、中線、高都是線段，且都是頂點(diǎn)和三角形的某條邊相交的交點(diǎn)之間的線段．透徹理解定義是解題的關(guān)鍵．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝如圖，直角三角形中，，于點(diǎn)，，，，，，則點(diǎn)到的距離是1.8．【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念解答即可．【解答】解：，，點(diǎn)到的距離為1.8，故答案為：1.8．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝中，下列說法正確的有①③（填序號）①三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等；②三條中線的交點(diǎn)到三邊的距離相等；③三條中垂線的交點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等；④三邊的高的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部．【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，三角形的高的交點(diǎn)的位置對各小題分析判斷即可得解．【解答】解：①三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，正確；②三條中線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，錯(cuò)誤；③三條中垂線的交點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等，正確；④三邊的高的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部，錯(cuò)誤，只有銳角三角形的高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部；綜上所述，說法正確的是①③．故答案為：①③．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，是基礎(chǔ)題，熟記概念與與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝的兩條邊的長度分別為2和5，若第三條邊為奇數(shù)，則的周長為12．【分析】設(shè)第三邊長為，利用三邊關(guān)系確定的范圍，然后再確定的值，進(jìn)而可得周長．【解答】解：設(shè)第三邊長為，由題意得：，解得：，第三條邊為奇數(shù)，，的周長為：，故答案為：12．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊．｛三角形的分類★｝下列關(guān)于三角形的分類，正確的是A．B．C．D．【分析】根據(jù)三角形的分類可直接選出答案．【解答】解：、等腰直角三角形應(yīng)該是直角三角形，不符合題意；、該選項(xiàng)中的三角形的分類正確，符合題意；、等腰三角形包括等邊三角形，不符合題意；、等腰三角形包括等邊三角形，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的分類，關(guān)鍵是掌握分類方法．按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝如圖，中，邊上的高是線段A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的定義解答即可．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)到邊的垂線段是，所以邊上的高是，故選：．【點(diǎn)評】此題考查三角形的高，關(guān)鍵是根據(jù)從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高解答．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝下列說法中：①三角形的角平分線、中線、高線都是線段；②直角三角形只有一條高線；③三角形的中線可能在三角形的外部；④三角形的高線可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，其中說法正確的有個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)三角形的高線、中線、角平分線的定義對各小題分析判斷即可得解．【解答】解：①三角形的角平分線、中線、高都是線段，故本小題正確；②直角三角形有三條高，故本小題錯(cuò)誤；③三角形的中線一定在三角形的內(nèi)部，一定不在三角形外部，故本小題錯(cuò)誤；④銳角三角形的高都在三角形內(nèi)部，鈍角三角形有兩條在三角形的外部，故本小題正確．說法正確的有2個(gè)．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的角平分線、中線、高線，注意三角形的高所在的直線的交點(diǎn)要根據(jù)三角形的形狀而確定．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝（2021春?信都區(qū)期末）如圖，的角平分線，中線交于點(diǎn)，則結(jié)論：①是的角平分線；②是的中線．其中A．①、②都正確 B．①、②都不正確 C．①正確②不正確 D．①不正確，②正確【分析】根據(jù)三角形的角平分線的定義，三角形的中線的定義可知．【解答】解：是三角形的角平分線，則是的角平分線，所以是的角平分線，故①正確；是三角形的中線，則是是中點(diǎn)，而不一定是的中點(diǎn)，故②錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】考查了三角形的角平分線和中線的概念．｛與三角形有關(guān)的線段★★｝已知：如圖所示，在中，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積為1．【分析】易得，為面積的一半，同理可得的面積等于面積的一半，那么陰影部分的面積等于的面積的一半．【解答】解：為中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，，同理，，為中點(diǎn)，．故答案為1．【點(diǎn)評】此題考查了三角形中線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是知道同底等高的三角形面積相等．｛三角形的三邊關(guān)系★★｝三角形的三邊長分別為2，5，，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列不等式，計(jì)算可求解．【解答】解：由題意得，解得．故答案為．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．（2017?永州）小紅不小心把家里的一塊圓形玻璃打碎了，需要配制一塊同樣大小的玻璃鏡，工人師傅在一塊如圖所示的玻璃鏡殘片的邊緣描出了點(diǎn)，，，給出三角形，則這塊玻璃鏡的圓心是A．，邊上的中線的交點(diǎn) B．，邊上的垂直平分線的交點(diǎn) C．，邊上的高所在直線的交點(diǎn) D．與的角平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)題意可知所求的圓形玻璃是的外接圓，從而可以解答本題．【解答】解：由題意可得，所求的圓形玻璃是的外接圓，這塊玻璃鏡的圓心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：．【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確三角形外接圓的圓心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)．（2021?淮安）一個(gè)三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是4．【分析】利用三角形三邊關(guān)系定理，先確定第三邊的范圍，再根據(jù)第三邊是偶數(shù)這一條件，求得第三邊的值．【解答】解：設(shè)第三邊為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，，即，又第三邊的長是偶數(shù)，為4．故答案為：4．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，掌握第三邊滿足：大于已知兩邊的差，且小于已知兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．（2019?南京）在中，，，，則的長的取值范圍是．【分析】作的外接圓，求出當(dāng)時(shí)，是直徑最長；當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，，而，即可得出答案．【解答】解：作的外接圓，如圖所示：，，當(dāng)時(shí)，是直徑最長，，，，，，；當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，，，長的取值范圍是；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)；作出的外接圓進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)2：與三角形有關(guān)的角（1）內(nèi)角和定理：①三角形的內(nèi)角和等180°；②推論：直角三角形的兩銳角互余.（2）外角的性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.②三角形的任意一個(gè)外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角.｛與三角形有關(guān)的角★★｝在中，，的平分線交于點(diǎn)，若，則84度．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易得，利用角平分線定義可得，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理可得度數(shù)．【解答】解：，，，的平分線相交于點(diǎn)，，，，，故答案為：84．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是是解答此題的關(guān)鍵．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，平分，平分，與交于，若，，則的度數(shù)為．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及三角形角平分線的定義可求得的度數(shù)，從而不難求得的度數(shù)．【解答】解：連接，如圖，，，，，是的平分線，是的平分線，，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形是解答此題的關(guān)鍵．｛與三角形有關(guān)的角★★｝（2021秋?仙居縣期中）如圖，將一角折疊，若，則144．【分析】利用三角形的外角的性質(zhì)求出，再利用三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：連接．，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查翻折變換，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，平分，平分，已知，，則．【分析】連接并延長到點(diǎn)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)角平分線的定義得到，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接并延長到點(diǎn)，，，，，，，，平分，平分，，，，同理，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．｛與三角形有關(guān)的角★★｝當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的時(shí)，我們稱此三角形為“希望三角形”，其中稱為“希望角”，如果一個(gè)“希望三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為，那么這個(gè)“希望三角形”的“希望角”度數(shù)為或或．【分析】分角是、和既不是也不是三種情況，根據(jù)希望角的定義以及三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：①角是，則希望角度數(shù)為；②角是，則，所以，希望角；③角既不是也不是，則，所以，，解得，綜上所述，希望角度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，讀懂題目信息，理解希望角的定義是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于分情況討論．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，是中的平分線，是的外角的平分線，如果，，則35．【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出，再求出答案即可．【解答】解：是中的平分線，，，是的外角的平分線，，，，故答案為：35．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，注意：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，的平分線與的平分線相交于．若，，則．【分析】延長，與交于點(diǎn)．設(shè)與相交于，則，可得，代入計(jì)算即可．【解答】解：延長，與交于點(diǎn)．是的外角，，．是的外角，，，整理得．設(shè)與相交于，則，，即．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識，解題的關(guān)鍵學(xué)會添加常用輔助線，利用“8字型”基本圖形解決問題．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使得點(diǎn)落在四邊形的外部的位置，且與點(diǎn)在直線的異側(cè)，折痕為，已知，．若保持△的一邊與平行，則的度數(shù)或．【分析】分或兩種情況，分別畫出圖形，即可解決問題．【解答】解：當(dāng)時(shí)，如圖，，沿折疊到，，當(dāng)時(shí)，如圖，，由（1）知，，，沿折疊到，，綜上所述，的度數(shù)為：或．故答案為：或．【點(diǎn)評】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，能根據(jù)題意，運(yùn)用分類討論思想分別畫出圖形是解題的關(guān)鍵．｛與三角形有關(guān)的角★★｝如圖，將三角形紙片沿折疊，若，，則的度數(shù)為20．【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：如圖，將三角形紙片沿折疊，，，，，，故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，明確折疊前后對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．（2021?梧州）在中，，，則等于A． B． C． D．【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可得：，再結(jié)合所給的條件，可得，從而可求解．【解答】解：，，在中，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是對三角形的內(nèi)角和定理的掌握與熟練運(yùn)用．（2021?本溪）一副三角板如圖所示擺放，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出，根據(jù)對頂角相等求出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．（2020?湖北）將一副三角尺按如圖擺放，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，，，，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】由，，，利用三角形內(nèi)角和定理可得出，由，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出的度數(shù)，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：，，．，，．，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：全等三角形①全等三角形的性質(zhì)：(1)全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等．(2)全等三角形的對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、對應(yīng)高相等．(3)全等三角形的周長等、面積等．②三角形全等的判定｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝下列說法正確的是（）A．兩個(gè)面積相等的圖形是全等圖形 B．兩個(gè)等邊三角形是全等圖形 C．兩個(gè)周長相等的圓是全等圖形 D．形狀相同的兩個(gè)圖形是全等圖形【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，進(jìn)而判斷得出答案．【解答】解：A．兩個(gè)面積相等的圖形不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．兩個(gè)等邊三角形不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．兩個(gè)周長相等的圓是全等圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．形狀相同的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等圖形，正確掌握全等圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正確的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等，即可進(jìn)行判斷．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正確；AD的對應(yīng)邊是AE而非DE，所以D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知的對應(yīng)角正確確定對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如果△ABC的三邊長分別為3，5，7，△DEF的三邊長分別為3，3x﹣2，2y﹣1，若這兩個(gè)三角形全等，則x+y＝（）A．8 B．173或6 C．10 D．19【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列出方程，解方程分別求出x、y，計(jì)算即可．【解答】解：∵兩個(gè)三角形全等，∴3x﹣2＝5，2y﹣1＝7或3x﹣2＝7，2y﹣1＝5，解得：x=73，y＝4或x＝3，y＝3，則x+y=19【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，AD和BC相交于O點(diǎn)，已知OA＝OC，以“ASA”為依據(jù)說明△AOB≌△COD還需添加（）A．AB＝CD B．∠A＝∠C C．OB＝OD D．∠AOB＝∠COD【分析】由全等三角形的判定定理可求解．【解答】解：由題意可得：∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∴當(dāng)∠A＝∠C時(shí)，可根據(jù)“ASA”可證△AOB≌△COD，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，若AB＝DE，BC＝EF，則下列條件中能滿足△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠EDF B．AD＝CF C．∠BCA＝∠F D．BC∥EF【分析】利用全等三角形的判定解決問題即可．【解答】解：∵AB＝DE，BC＝EF，∴添加∠B＝∠E或AD＝CF或AC＝DF，即可證明△ABC≌△DEF．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，屬于中考?？碱}型．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，已知△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分線，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，則∠E的度數(shù)是（）A．26° B．22° C．34° D．30°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠DCG＝180°﹣∠D﹣∠CGD＝66°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACB＝2∠DCG＝132°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DFE＝∠ACB＝132°，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵∠D＝22°，∠CGD＝92°，∴∠DCG＝180°﹣∠D﹣∠CGD＝66°，∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACB＝2∠DCG＝132°，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝132°，∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝26°，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，已知△ABC≌△DEC，點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥CD交CD于點(diǎn)F，若∠BCE＝60°，則∠CAF的度數(shù)為（）A．35° B．30° C．60° D．65°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DCE＝∠ACB，進(jìn)而求出∠ACD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE＝∠ACB，∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，∵∠BCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，△AOB≌△ADC，點(diǎn)B和點(diǎn)C是對應(yīng)頂點(diǎn)，∠O＝∠D＝90°，若∠OAD＝64°，當(dāng)BC∥OA時(shí)，∠ABO的度數(shù)為（）A．26° B．32° C．36° D．38°【分析】據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB＝AC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)表示出∠OBC，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝64°，在△ABC中，∠ABC=12（180°﹣64°）＝58°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABO+58°＝90°，∴∠ABO＝32°．故選：【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠C＝90°，∠B＝30° D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理以及全等三角形的判定定理，即可判斷能否畫出唯一△ABC，從而可以解答本題．【解答】解：A、∵AB+BC＝3+4＝7＜8＝AC，∴不能畫出△ABC；故本選項(xiàng)不符合題意；B、已知兩邊及其中一邊的對角，不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、已知三個(gè)角，不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、已知兩角及其夾邊，能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，點(diǎn)E，C，F(xiàn)，B在同一條直線上，AC∥DF，EC＝BF，則添加下列條件中的一個(gè)條件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．AB∥DE【分析】先證明∠ACB＝∠DFE，EF＝BC，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵EC＝BF，∴EC+CF＝BF+CF，即EF＝BC，∴當(dāng)添加AC＝DF時(shí)，可根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加∠A＝∠D時(shí)，可根據(jù)“AAS”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加AB∥DE時(shí)，∠B＝∠E，可根據(jù)“ASA”判定△ABC≌△DEF．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，點(diǎn)C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了CN∥OA，連接EN，作圖痕跡中，△ODM≌△CEN根據(jù)的是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【分析】由尺規(guī)作圖可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，用（SSS）證明兩個(gè)三角形全等，推∠O＝∠NCB，推CN∥OA．【解答】解：由尺規(guī)作圖可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，在△OMD與△CEN中OM=CNOD=CE∴△OMD≌△CEN（SSS）；∴∠O＝∠NCB，∴CN∥OA．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法，掌握用（SSS）證明兩個(gè)三角形全等，看懂尺規(guī)作圖的方法是解題關(guān)鍵．｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝如圖，A、C、E三點(diǎn)在向一直線上，△ABC、△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE，OC，則有以下四個(gè)結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【分析】通過全等三角形的性質(zhì)和判定求解．【解答】解：∵△ABC、△CDE都是等邊三角形．∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE＝120°．∠BCQ＝60°．∴△ACD≌△BCE．故①正確．由①知△ACD≌△BCE．∴∠CAP＝∠CBQ．∵∠ACP＝∠BCQ＝60°，AC＝BC．∴△ACP≌△BCQ．∴CP＝CQ．∵∠BCQ＝60°．∴△BCQ是等邊三角形．故②正確．由①知△ACD≌△BCE．∴∠CAP＝∠CBQ．∵∠BOE是△AOB的外角．∴∠BOE＝∠BAP+∠ABO＝∠BAP+∠ABC+∠CBQ＝∠BAP+∠ABC+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝120°．∵∠PCQ＝60°．∴∠POQ+∠PCQ＝180°．∴點(diǎn)P，O，Q，C四點(diǎn)共圓．∵CP＝CQ．∴∠POC＝∠COQ．∴CO平分∠AOE．故③正確．△BPO與△EDO中無法確定邊相等，故不能確定它們?nèi)龋盛苠e(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判｛全等三角形的判定與性質(zhì)★｝已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求證：∠A＝∠D．【分析】根據(jù)SAS證明△ABF≌△DCE，由全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】證明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，在△ABF和△DCE中，AB=CD∠B=∠CBF=CE,∴△ABF≌△DCE（SAS）,∴∠A＝∠【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考基礎(chǔ)題．（2021?哈爾濱）如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)A和點(diǎn)D是對應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為（）A．30° B．25° C．35° D．65°【分析】由全等三角形的性質(zhì)可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，進(jìn)而可求解∠CAF的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠BCE＝65°，∴∠ACD＝∠BCE＝65°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，由全等三角形的性質(zhì)求解∠ACD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．（2020?淄博）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2021?重慶）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E共線，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一個(gè)條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，可以判斷添加各個(gè)選項(xiàng)中的條件是否能夠判斷△ABC≌△DEF，本題得以解決．【解答】解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，又∵∠B＝∠E，∴當(dāng)添加條件AB＝DE時(shí)，△ABC≌△DEF（SAS），故選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)添加條件∠A＝∠D時(shí)，△ABC≌△DEF（AAS），故選項(xiàng)B不符合題意；當(dāng)添加條件AC＝DF時(shí)，無法判斷△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)C符合題意；當(dāng)添加條件AC∥FD時(shí)，則∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（2021?攀枝花）如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，他帶（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法結(jié)合圖形判斷出帶③去．【解答】解：由圖形可知，③有完整的兩角與夾邊，根據(jù)“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是帶③去．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（2020?黑龍江）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF），使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的條件是：AB＝ED，理由是：∵在Rt△ABC和Rt△EDF中∠B=∠DAB=ED∠A=∠DEF，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA），故答案為：AB＝【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：兩直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．（2021?福建）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在AC的延長線上．（1）求證：∠ADE＝∠DFC；（2）求證：CD＝BF．【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，得∠EDF＝90°，∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，由等量代換得∠ADE＝∠DFC；（2）證明四邊形ABEF是平行四邊形，得∠DAE＝∠FCD，AE＝BF，再證△ADE≌△CFD，得AF＝CD，由等量代換得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，∵△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，∴∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DFC；（2）連接AE，∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EF∥AB，EF＝AB，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AE∥BC，AE＝BF，∴∠DAE＝∠BCA＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，在△ADE和△CFD中，∠DAE=∠FCD∠ADE=∠DFCDE=FD，∴△ADE≌△CFD（AAS），∴AE＝CD，∵AE＝BF，∴CD＝【點(diǎn)評】本題考查了三角形全等判定與性質(zhì)、等腰直角三角形和平移的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2021?福建）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，CE＝BF．求證：∠B＝∠C．【分析】由垂直的定義，DE＝DF，CE＝BF證明△BDF≌△CDE，得出對應(yīng)角相等即可．【解答】證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，DF=DE∠BFD=∠CEDBF=CE，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠證明△BDF≌△CDE是解決問題的關(guān)鍵．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖

分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固1．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下面說法正確的是①的面積的面積；②；③；④．A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可證明①；根據(jù)三角形的高線可得，利用三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解，可判定②；根據(jù)角平分線的定義可求解③；根據(jù)已知條件無法判定④．【解答】解：是的中線，，的面積等于的面積，故①正確；是的高線，，，，，，為的角平分線，，，，，故②正確；，，，即，故③正確；過點(diǎn)作于點(diǎn)，平分，，在中，，，故④錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的中線，高線，角平分線，靈活運(yùn)用三角形的中線，高線，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．已知為的中線，且，，則與的周長之差為A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得，然后求出與的周長之差．【解答】解：為中線，，與的周長之差，，，與的周長之差．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的中線，熟記概念并求出兩個(gè)三角形的周長的差等于兩邊的差是解題的關(guān)鍵．3．下列說法：①直線外一點(diǎn)到該直線的垂線段，是這個(gè)點(diǎn)到該直線的距離；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；④三角形三條高至少有一條在三角形的內(nèi)部；⑤垂直于同一條直線的兩條直線平行；⑥三角形的角平分線是線段．其中說法正確的有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)三角形的高、點(diǎn)到直線的距離定義、平行公理、平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行分析即可．【解答】解：①直線外一點(diǎn)到該直線的垂線段的長度，是這個(gè)點(diǎn)到該直線的距離；故原命題錯(cuò)誤；②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；故原命題錯(cuò)誤；③過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；故原命題錯(cuò)誤；④三角形三條高至少有一條在三角形的內(nèi)部；故原命題正確；⑤在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；故原命題錯(cuò)誤；⑥三角形的角平分線是線段．故原命題正確；其中說法正確的有2個(gè)，故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的高、平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是注意點(diǎn)到直線的距離的定義．4．如圖，在中，邊上的高為A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高線的定義解答．【解答】解：根據(jù)三角形的高的定義，為中邊上的高．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的高的定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高，熟記概念是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，分別是邊上的中線和高，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，已知，，，A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的面積公式求出，根據(jù)中線的概念求出，計(jì)算即可．【解答】解：，，即，解得：，是邊上的中線，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的中線、高的概念、三角形的面積計(jì)算，掌握三角形的中線的概念是解題的關(guān)鍵．6．如圖，是的中線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、，若的面積是8，則陰影部分的面積為A．4 B．2 C．6 D．8【分析】根據(jù)是的中線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，得出三角形的面積三角形的面積與三角形的面積的關(guān)系即可．【解答】解：是的中線，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的面積，推導(dǎo)出陰影部分的面積跟三角形的面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．如圖所示，在中，、、分別為、、的中點(diǎn)，且，則的面積等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，先求得的面積，再求得的面積，即可求得的面積．【解答】解：，為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，掌握三角形中線平分三角形的面積是解題的關(guān)鍵．8．的三邊分別為，，，若，，的長為偶數(shù)，則A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊解答即可．【解答】解：由三角形三邊關(guān)系可得：，即，故選：．【點(diǎn)評】此題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊解答．9．如圖，中，，沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，若，則等于A． B． C． D．【分析】由中，，，可求得的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)可得：，，由三角形外角的性質(zhì)，可求得的度數(shù)．【解答】解：中，，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，故選：．【點(diǎn)評】此題考查了折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，將沿折疊至位置，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，由鄰補(bǔ)角定義可解得，繼而解得，再由三角形內(nèi)角和解得，最后由折疊的性質(zhì)解答即可．【解答】解：由題意得，，，，，，，沿折疊至位置，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查三角形的內(nèi)角和、折疊的性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．11．以下說法正確的有①三角形的中線、角平分線都是射線；②三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)；③三角形的三條角平分線在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)；④三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；⑤直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn)．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【分析】三角形的高，中線，角平分線都是線段．【解答】解：①三角形的中線，角平分線都是線段；②三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)；③三角形的三條角平分線在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)；④三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；⑤直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn)；正確的有②③④⑤，共四個(gè)，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形高，中線，角平分線等相關(guān)知識，解題關(guān)鍵在于建立模型意識．12．如圖，把沿翻折，疊合后的圖形如圖，若，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義運(yùn)用合理的推理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【解答】解：沿翻折，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于根據(jù)軸對稱變化關(guān)系找到對應(yīng)邊，對應(yīng)角．13．如圖，是的角平分線，，垂足為．若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可解決問題．【解答】解：是的角平分線，，，，，，，在和中，．，在和中，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．14．如圖，一副直角三角板如圖所示擺放，，，．頂點(diǎn)在邊上，且，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】延長，交于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)可得，由三角形的外角性質(zhì)可求得，再由三角形的內(nèi)角和即可求的度數(shù)．【解答】解：延長，交于點(diǎn)，如圖，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是作出正確的輔助線．15．如圖，是的角平分線和的交點(diǎn)，于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】由已知條件可求得，則由三角形的內(nèi)角和可得，由角平分線可得，，從而可求得，再次利用三角形的內(nèi)角和即可求的度數(shù)．【解答】解：，，，在中，，是的角平分線和的交點(diǎn)，，，，在中，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．16．如圖，已知，，，則等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和，可以得到和的和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，可以得到和的關(guān)系，然后即可求得的度數(shù)．【解答】解：連接，如右圖所示，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．17．如圖，在中，平分，平分，平分的外角，連接，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理和角平分線的定義和性質(zhì)解答即可．【解答】解：，，，，．故選：．【點(diǎn)評】此題考查三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形外角性質(zhì)和角平分線的定義解答．二．填空題（共1小題）18．如圖，已知中，，，為上一點(diǎn)，將沿折疊后，點(diǎn)落在點(diǎn)處，且，則的度數(shù)是25．【分析】由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到與間關(guān)系，再由三角形的內(nèi)角和定理先求出，利用角的和差關(guān)系求出的度數(shù)．【解答】解：是由折疊的，．．，．．，，．，，．故答案為：25．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，題目綜合性較強(qiáng)，掌握平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．1．如圖，在中，，，是上兩點(diǎn)，且，平分，那么下列說法中不正確的是A．是的中線 B．是的角平分線 C． D．是的高【分析】根據(jù)三角形的高、中線、角平分線的定義對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：、，是的中線，正確；、平分，是的角平分線，正確；、是的角平分線，，是中線，，不正確，符合題意；、，是的高，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的角平分線，高線，中線的定義，熟記概念并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．2．如圖，于，于，于，于，在中，邊上的高為A． B． C． D．【分析】從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高，由此即可判定．【解答】解：邊上的高是指過頂點(diǎn)向所在直線作的垂線段，在于，于，于，于中，只有符合上述條件．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對三角形的高這一知識點(diǎn)的理解和掌握，鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．3．如圖，中，平分，點(diǎn)在線段上，且交的延長線于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】先依據(jù)三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求出，再有角平分線性質(zhì)求出，再由垂直、對頂角關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，是三角形的一個(gè)外角，，即；平分，，，，，，在直角三角形中，，與互為對頂角，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，對頂角，做題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系、角平分線的性質(zhì)、對頂角的定義．4．中，，和的平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，則為A． B． C． D．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得，找出規(guī)律即可求出．【解答】解：平分，平分，，，，同理可得，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)與規(guī)律的綜合，涉及三角形外角性質(zhì)，找出和之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，且平分，平分，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由、是的兩個(gè)外角知、，據(jù)此得，推出得到，根據(jù)平分，平分知．利用可得答案．【解答】解：、是的兩個(gè)外角，，，，，即，，，平分，平分，．，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，屬于中考?？碱}型．6．如圖在中，，分別平分，，交于，為外角的平分線，的延長線交于點(diǎn)，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④正確的是A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到，，．【解答】解：為外角的平分線，平分，，，又是的外角，，，故①正確；，分別平分，，，，，故②、③錯(cuò)誤；平分，平分，，，，是的外角，，故④正確；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及角平分線的定義．7．如圖，，，，、相交于點(diǎn)，則度數(shù)是A． B． C． D．【分析】先根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等求出，，所以，然后求出的度數(shù)，再根據(jù)和的內(nèi)角和都等于，所以．【解答】解：，，，又，，，，，，在和中，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要利用全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，解題時(shí)注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．8．在中，，分別是、上的點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別是點(diǎn)，，連接，若，，則下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中正確的是A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【分析】連接，根據(jù)垂直定義可得，再根據(jù)證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，即可判斷①，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，即可判斷②，最后根據(jù)，即可判斷③．【解答】解：連接，，，，，，，，故①正確；，，，，，，故②正確；，，，和不全等，故③不正確；所以，上面三個(gè)結(jié)論，其中正確的是①②，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀敵人的碉堡，需要測出我軍陣地與敵人碉堡的距離，我軍戰(zhàn)士想到一個(gè)辦法．他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點(diǎn)；然后轉(zhuǎn)過身，保持剛才的姿勢，這時(shí)視線落在了我軍陣地的點(diǎn)上；最后，他用步測的辦法量出自己與點(diǎn)的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離，這里判定的理由是A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：戰(zhàn)士的視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點(diǎn)；然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時(shí)視線落在了我軍陣地的點(diǎn)上；得，，，判定的理由是．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有等．10．如圖，在等腰三角形中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)是的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，，下面的結(jié)論：①；②是正三角形；③；④．其中正確的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】如圖，設(shè)交于點(diǎn)．由，推出，推出，可證①②正確，延長到，使得，證明，推出，可得③正確，推出四邊形的面積是定值，可得④錯(cuò)誤．【解答】解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)．，，，，，，，，，，，，，故①正確，，，，是正三角形，故②正確，如圖，延長到，使得，連接，，，是等邊三角形，，，在和中，，，，，，故③正確，，，定值，是變化的，是錯(cuò)誤（與