專(zhuān)題17二次函數(shù)中幾何存在性的問(wèn)題(重點(diǎn)突圍)(原卷版+解析)

專(zhuān)題17二次函數(shù)中幾何存在性的問(wèn)題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一二次函數(shù)中構(gòu)成等腰三角形存在性問(wèn)題】 1【考向二二次函數(shù)中構(gòu)成直角三角形存在性問(wèn)題】 8【考向三二次函數(shù)中構(gòu)成三角形相似存在性問(wèn)題】 16【考向四二次函數(shù)中構(gòu)成矩形存在性問(wèn)題】 23【考向五二次函數(shù)中構(gòu)成菱形存在性問(wèn)題】 33【考向六二次函數(shù)中構(gòu)成正方形存在性問(wèn)題】 42【直擊中考】【考向一二次函數(shù)中構(gòu)成等腰三角形存在性問(wèn)題】例題：（2022秋·青海西寧·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)(3)在坐標(biāo)軸是否存在一點(diǎn)．使得是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·陜西商洛·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若為拋物線上一點(diǎn)，連接，是否存在以為底的等腰？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及這個(gè)最小周長(zhǎng)；(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考向二二次函數(shù)中構(gòu)成直角三角形存在性問(wèn)題】例題：（2022秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(1)求出點(diǎn)A點(diǎn)、點(diǎn)D的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，并與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求拋物線的解析式；(2)連接、，判斷是什么特殊三角形，并說(shuō)明理由；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使為以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．3．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線與x軸交于點(diǎn)和，與y軸交于點(diǎn)C，連接．點(diǎn)P是線段下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交于M，交x軸于N．(1)求該拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，，①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②連接，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考向三二次函數(shù)中構(gòu)成三角形相似存在性問(wèn)題】例題：（2022秋·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，和坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：是直角三角形；(3)若點(diǎn)是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線的表達(dá)式為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在直線上存在一點(diǎn)P，使的值最小，求此最小值；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線相交于點(diǎn)C，與拋物線對(duì)稱軸DF交于點(diǎn)E，．(1)求該拋物線解析式；(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)A、E、M為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線軸交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)與的最大值．【考向四二次函數(shù)中構(gòu)成矩形存在性問(wèn)題】例題：（2023秋·貴州遵義·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線解析式；(2)如圖①，若點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的最大值(3)如圖②，若點(diǎn)是拋物線上另一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)，且以為邊的矩形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．(1)求直線的解析式；(2)如圖，直線上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，求線段的最大值；(3)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．2．（2023秋·廣東江門(mén)·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交x軸于、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為，(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)C作交x軸于點(diǎn)Q，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，得到新拋物線，點(diǎn)E在新拋物線的對(duì)稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點(diǎn)F，使得以A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考向五二次函數(shù)中構(gòu)成菱形存在性問(wèn)題】例題：（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市廣全學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，，，．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____；拋物線的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____；(2)點(diǎn)D是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、O重合），過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)G，在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：已知直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與x軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接、，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，四邊形的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；(3)若點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)Q在直線上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P使得以O(shè)，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)n的取值范圍；(3)連接，點(diǎn)Q是直線上不與A、B重合的點(diǎn)，若，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(4)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)H，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、H、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考向六二次函數(shù)中構(gòu)成正方形存在性問(wèn)題】例題：（2022秋·遼寧撫順·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1)求直線及拋物線的解析式；(2)C為拋物線上的一點(diǎn)，的面積為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)P在拋物線上，Q在直線上，M在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以A，P，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校考期末）如圖，拋物線與x軸交于，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E，P為拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且M在x軸上方，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，M，N，使得以A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2022春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖．已知拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)連接，交直線于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F；①是否存在點(diǎn)P使與相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)H在拋物線上，過(guò)H作軸，交直線于點(diǎn)K．點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)E，H，K，Q為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．專(zhuān)題17二次函數(shù)中幾何存在性的問(wèn)題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一二次函數(shù)中構(gòu)成等腰三角形存在性問(wèn)題】 1【考向二二次函數(shù)中構(gòu)成直角三角形存在性問(wèn)題】 8【考向三二次函數(shù)中構(gòu)成三角形相似存在性問(wèn)題】 16【考向四二次函數(shù)中構(gòu)成矩形存在性問(wèn)題】 23【考向五二次函數(shù)中構(gòu)成菱形存在性問(wèn)題】 33【考向六二次函數(shù)中構(gòu)成正方形存在性問(wèn)題】 42【直擊中考】【考向一二次函數(shù)中構(gòu)成等腰三角形存在性問(wèn)題】例題：（2022秋·青海西寧·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)(3)在坐標(biāo)軸是否存在一點(diǎn)．使得是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】(1)(2)直線，(3)或或或或或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解；（3）分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)，，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）解：∵點(diǎn)，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；若點(diǎn)P在y軸上，或，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P在x軸上，或，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P在x軸上，連接，如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∴，在中，，∴，解得：，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；若點(diǎn)P在y軸上，連接，如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∴，在中，，∴，解得：，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，或或或或或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，還涉及了求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·陜西商洛·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若為拋物線上一點(diǎn)，連接，是否存在以為底的等腰？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）將點(diǎn)，代入解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而令，得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若存在以為底的等腰，則，點(diǎn)在的垂直平分線上，如圖，設(shè)的垂直平分線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，勾股定理得出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式求得直線的解析式，聯(lián)立組成方程組即可求解．【詳解】（1）解：∵已知拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線解析式為：，令，解得：，∴；（2）存在，∵，∴，若存在以為底的等腰，則，點(diǎn)在的垂直平分線上，如圖，設(shè)的垂直平分線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵為的中點(diǎn)，∴，設(shè)直線得到的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，聯(lián)立解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與拋物線交點(diǎn)問(wèn)題，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及這個(gè)最小周長(zhǎng)；(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)坐標(biāo)為；的周長(zhǎng)最小值為(3)存在符合條件的點(diǎn)，且坐標(biāo)為，，，．【分析】（1）把、代入拋物線解析式，即可求解；（2）連結(jié)交于，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得，從而得到，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，再求出直線解析式，即可求解；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：把、代入拋物線解析式得：解得：，∴拋物線解析式為．（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，連結(jié)交于，如圖，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線解析式為，把，代入得：解得：，∴直線解析式為．把代入得：，則坐標(biāo)為．∵，，，∴，∴，則的周長(zhǎng)最小值．（3）解：存在，理由如下：設(shè)，已知，，則，，，①若，則，即，解得，．②若，則，得，，解得，．③若，則，得，，解得，，，當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，舍去．綜上可知，存在符合條件的點(diǎn)，坐標(biāo)為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了拋物線的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識(shí)，在判定等腰三角形時(shí)，一定要根據(jù)不同的腰和底分類(lèi)進(jìn)行討論，以免漏解．【考向二二次函數(shù)中構(gòu)成直角三角形存在性問(wèn)題】例題：（2022秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，坐標(biāo)為或或或【分析】（1）把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程組求出b，c的值即可；（2）分三種情形：B是直角頂點(diǎn)，C是直角頂點(diǎn)，P是直角頂點(diǎn)，分別求解即可．【詳解】（1）∵拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，∴，解得∴拋物線的解析式為．（2）∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．如圖，連接．∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，可得．當(dāng)時(shí)，同理可得．當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，．∵，∴，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．綜上可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(1)求出點(diǎn)A點(diǎn)、點(diǎn)D的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，；(2)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，得到關(guān)于b，c的方程組，解方程組，即可得到拋物線的解析式，令，得到，解方程即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，把拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出，設(shè)的中點(diǎn)為E，則，設(shè)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．∴解得，∴，令，，∴，∴，∵D是拋物線的頂點(diǎn)，，∴，（2）存在，理由如下：當(dāng)時(shí)，，∴，∴,∵，∴，∴，設(shè)的中點(diǎn)為E，則，設(shè)，∵是以為斜邊的直角三角形，∴，∴，∴，，∴或，∴使是以為斜邊的直角三角形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何綜合題，用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、拋物線的頂點(diǎn)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，并與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求拋物線的解析式；(2)連接、，判斷是什么特殊三角形，并說(shuō)明理由；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使為以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或【分析】（1）由題意可設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為，然后將點(diǎn)代入求解即可；（2）先求出直線的解析式，然后聯(lián)立直線的解析式和拋物線的解析式得出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用勾股定理證明即可；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴可設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為，將點(diǎn)代入頂點(diǎn)式得，解得，∴；（2）是直角三角形，理由如下：∵直線過(guò)點(diǎn)，∴設(shè)直線的解析式為，∵點(diǎn)是對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，∴，把點(diǎn)代入，并解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立，并解得，，∴，∴，，，∴，∴是直角三角形；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．①當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)，∴，，，若為斜邊，則有，解得，∴，若為斜邊，則有，解得，∴；②當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)，∴，，，若為斜邊，則有，解得，∴，若為斜邊，則有，解得（與點(diǎn)重合舍去），綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能夠利用勾股定理證明直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）拋物線與x軸交于點(diǎn)和，與y軸交于點(diǎn)C，連接．點(diǎn)P是線段下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交于M，交x軸于N．(1)求該拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，，①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②連接，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①)②或【分析】（1）用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；（2）①由題可得為矩形，根據(jù)，可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求出坐標(biāo)；②分和兩種情況解題即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)和代入得：，解得：，∴（2）①解：∵，軸，∴四邊形為矩形，∴∵∴當(dāng)時(shí)∴點(diǎn)P的坐標(biāo))②由題可知，顯然不能為如圖，當(dāng)時(shí)，在中，，∴，∵軸，∴∴，即，即：解得：，∴∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)時(shí)，顯然，為矩形，∴，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，勾股定理和三角函數(shù)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考向三二次函數(shù)中構(gòu)成三角形相似存在性問(wèn)題】例題：（2022秋·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，和坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：是直角三角形；(3)若點(diǎn)是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)，，，代入求出，，的值即可；（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)，分別求出、、，利用勾股定理逆定理判定即可；（3）分和表示出和，從而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入求得的拋物線的解析式即可求得的值，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)，，，代入可得：，解得：，所以函數(shù)解析式為：；（2）證明：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，，∴，，，∴，∴是直角三角形；（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，如圖，設(shè)，由題意知，，且，由（2）知，為直角三角形，，且，①若，則，即，得，（舍去），當(dāng)時(shí)，，即，；②若，，即：，得：，（舍去）當(dāng)時(shí)，，即．∴存在，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為或，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與相似．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間距離、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，同時(shí)也考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線的表達(dá)式為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在直線上存在一點(diǎn)P，使的值最小，求此最小值；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)10(3)當(dāng)Q的坐標(biāo)為或時(shí)，以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似【分析】（1）先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）由正方形的性質(zhì)和判定求出點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)就是，進(jìn)一步推出有最小值且等于的長(zhǎng)度，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．（3）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是直角三角形，再證明，得到，則分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：把代入，得：，∴，

把代入得：，∴，

由點(diǎn)B、C在拋物線上可得：，∴，∴拋物線的解析式為；（2）解：由（1）所得，可知以線段為鄰邊的四邊形為正方形，其第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，記為．由正方形的性質(zhì)可知點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)就是．∵與O關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴當(dāng)在一條直線上時(shí)，有最小值且等于的長(zhǎng)度．

當(dāng)，即時(shí)，解得或，∴，∴，∴的最小值為10；（3）解：∵拋物線解析式為，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，又∵，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，則，即，∴，∴；當(dāng)時(shí)，則，即，∴，∴綜上所述，當(dāng)Q的坐標(biāo)為或時(shí)，以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，勾股定理和勾股定理的逆定理，正方形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線相交于點(diǎn)C，與拋物線對(duì)稱軸DF交于點(diǎn)E，．(1)求該拋物線解析式；(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)A、E、M為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線軸交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)與的最大值．【答案】(1)或(2)存在，或(3)，【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為可設(shè)，再把A的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；（2）如圖，的對(duì)稱軸為直線，先求解直線；；由，，結(jié)合勾股定理可得，．，，再分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，從而可得答案；（3）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【詳解】（1）解：由題意可設(shè)，將代人解析式中得，，∴或．（2）如圖，的對(duì)稱軸為直線，∴，而，∴，∵，∴，∴，設(shè)為，∴，解得：，∴直線；令，解得，，所以；由，，結(jié)合勾股定理可得，．，，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，則，∴．當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，此時(shí)，重合，∴．∴存在點(diǎn)或；（3）如圖，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，PQ最大，最大值為此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，清晰的分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合的方法都是解本題的關(guān)鍵．【考向四二次函數(shù)中構(gòu)成矩形存在性問(wèn)題】例題：（2023秋·貴州遵義·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線解析式；(2)如圖①，若點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的最大值(3)如圖②，若點(diǎn)是拋物線上另一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)，且以為邊的矩形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)拋物線解析式為(2)的長(zhǎng)的最大值為(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線解析式為，再把代入，計(jì)算即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)題意，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出，再根據(jù)對(duì)頂角相等，得出，進(jìn)而得出是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式，然后設(shè)點(diǎn)，則，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，得出，再根據(jù)，得出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；（3）根據(jù)題意，設(shè)，然后分兩種情況：當(dāng)、在直線的上方時(shí)和當(dāng)、在直線的下方時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)、，∴設(shè)拋物線解析式為，又∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴把代入，可得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)直線的解析式為，∵，，∴可得：，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)的最大值為；（3）解：存在以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)，且以為邊的矩形，理由如下：設(shè)，如圖1，當(dāng)、在直線的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴；如圖2，當(dāng)、在直線的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，同理可得：，∴，即，解得：（舍去）或，∴，∴，∴，∵，∴，∴，綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余、等腰直角三角形的性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式、兩點(diǎn)之間的距離公式、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，并正確作出輔助線．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．(1)求直線的解析式；(2)如圖，直線上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，求線段的最大值；(3)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)直線的解析式為；(2)的最大值為：；(3)或．【分析】（1）先求解A，B，C的坐標(biāo)，再求解D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；（2）記于y軸的交點(diǎn)為，證明為等腰直角三角形，過(guò)作軸交于，為等腰直角三角形，則，設(shè)，則，再建立二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題即可；（3）如圖，當(dāng)在的右邊，記直線交y軸于R，，則，求解直線的解析式為，可得，設(shè)，而四邊形為矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，結(jié)合平移的性質(zhì)可得：；如圖，當(dāng)在的左邊，同理可得：，結(jié)合平移的性質(zhì)可得：．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，解得，，則，，∵，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，而點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，∴，設(shè)直線的解析式為，把，分別代入得，解得，∴直線的解析式為；（2）記于y軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，則，∴，∴為等腰直角三角形，∴，過(guò)作軸交于，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，∴，當(dāng)時(shí)，有最大值，∴的最大值為：；（3）如圖，當(dāng)在的右邊，記直線交y軸于R，，則，設(shè)直線的解析式為，把、分別代入得，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，而四邊形為矩形，∴，∴，解得：，即，由平移的性質(zhì)可得：；如圖，當(dāng)在的左邊，同理可得：，解得：，即，由平移的性質(zhì)可得：；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練的建立二次函數(shù)模型再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·廣東江門(mén)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交x軸于、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為，(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)C作交x軸于點(diǎn)Q，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，得到新拋物線，點(diǎn)E在新拋物線的對(duì)稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點(diǎn)F，使得以A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)面積的最大值為4，此時(shí)P的坐標(biāo)為(3)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得到，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸，得出a和b的關(guān)系式，即可求解；（2）連接，過(guò)P點(diǎn)作平行于y軸的直線交于H點(diǎn)，根據(jù)可得，從而求面積的最大值即可，通過(guò)設(shè)P的坐標(biāo)，得到H的坐標(biāo)，從而建立關(guān)于面積的二次函數(shù)表達(dá)式，最終結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）通過(guò)（2）的結(jié)論首先確定出平移后拋物線的解析式，設(shè)出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行分類(lèi)討論即可．【詳解】（1）將，代入得：，∵拋物線對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為，∴，即，把代入得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：；（2）如圖所示，連接PC，PB，BC，過(guò)P點(diǎn)作平行于y軸的直線交BC于H點(diǎn)，∵，∴，即求面積的最大值即可，把代入得，∴C坐標(biāo)為，設(shè)直線BC的解析式為：，將，代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為：，設(shè)，則，∴，∴，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，取得最大值為4，將代入，得到此時(shí)P的坐標(biāo)為，∴面積的最大值為4，此時(shí)P的坐標(biāo)為；（3）存在，理由如下：由（2）可知，當(dāng)面積的最大值為4時(shí)，P的坐標(biāo)為，∵，∴，則，∵原拋物線解析式為：，∴設(shè)向右平移后的解析式為：，將代入求得：（舍負(fù)值），∴平移后拋物線的解析式為：，其對(duì)稱軸為直線，∴設(shè)，，則結(jié)合A、P的坐標(biāo)可得：，，，①當(dāng)時(shí)，如圖所示，此時(shí)根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，即：，此時(shí)根據(jù)A、P、E、F四點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系可得：，解得：，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖所示，此時(shí)根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，即：，此時(shí)根據(jù)A、P、E、F四點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系可得：，解得：，∴；③當(dāng)AE⊥PE時(shí)，根據(jù)勾股定理得：，即：，整理得：，∵，∴上述方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，即不存在的情況，綜上所述，所有可能的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合運(yùn)用，以及矩形的性質(zhì)，準(zhǔn)確求得拋物線的解析式，并靈活根據(jù)矩形的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．【考向五二次函數(shù)中構(gòu)成菱形存在性問(wèn)題】例題：（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市廣全學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，，，．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____；拋物線的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____；(2)點(diǎn)D是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、O重合），過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)G，在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在：，，【分析】（1）證明，得到，求出，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式即可；（2）待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)，分別表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，利用，列式計(jì)算即可；（3）分是邊和是對(duì)角線兩種情況，進(jìn)行討論求解．【詳解】（1）解：由題意，，，，∵，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，分別把，，代入，得解得，∴；故答案為：，；（2）解：設(shè)直線函數(shù)關(guān)系式為，代入，得，，解得，∴，設(shè)，則：，∴，，由題意，解得，或（舍去），將代入得；∴；（3）解：存在，理由如下：當(dāng)以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，是等腰三角形．由題意，，，對(duì)稱軸為：，在中，由勾股定理得：，①當(dāng)是邊時(shí)：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到直線l的距離是：，∴此時(shí)點(diǎn)M不存在．當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)菱形為：，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，，，在中，由勾股定理得，，∴或，∴；當(dāng)點(diǎn)時(shí)：由得：，即：，解得：，同理可得：，故點(diǎn)；同理可得：；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)，即，此時(shí)菱形為，即，設(shè)，則：，解得，∴，即點(diǎn)在軸上，則：，解得：，，∴；綜上：，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：已知直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與x軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接、，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，四邊形的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；(3)若點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)Q在直線上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P使得以O(shè)，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)，；(3)，，，；【分析】（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可得到答案；（2）連接，表示出M的坐標(biāo)，根據(jù)列出S與m的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；（3）設(shè)點(diǎn)，分、、分別為對(duì)角線三類(lèi)討論，根據(jù)對(duì)角線互相平分得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后根據(jù)菱形的鄰邊相等即可得到答案；【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，將，代入拋物線解析式可得，，解得：，∴該拋物線的解析式為：；（2）解：連接，∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，∴，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，S最大，；（3）解：設(shè)點(diǎn)，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，∵O，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴與互相平分，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，解得：，∴；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，∵O，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴與互相平分，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，解得：，∴，；③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，∵O，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴與互相平分，，∴P的坐標(biāo)為，∴，解得：（與B重合舍去），，∴；綜上所述存在4點(diǎn)使以O(shè)，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形：，，，；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，主要有求解析式、圍成圖形最大面積、圍成特殊菱形問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求出解析式，根據(jù)特殊圖形性質(zhì)設(shè)點(diǎn)表示出所有點(diǎn)根據(jù)線段相等列式求解．2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)n的取值范圍；(3)連接，點(diǎn)Q是直線上不與A、B重合的點(diǎn)，若，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(4)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)H，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、H、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或；(4)或或或．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；（2）根據(jù)對(duì)稱軸直線求出對(duì)稱軸直線，即可得出最小值，再分別求出當(dāng)和時(shí)的函數(shù)值即可得出n的取值范圍；（3）先計(jì)算出，再求出解析式，設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式即可求解；（4）分類(lèi)討論，分別當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，畫(huà)出圖形即可求解．【詳解】（1）解：把代入得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可知，二次函數(shù)解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸直線，∴當(dāng)時(shí)，n取最小值，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，；（3）∵、∴，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)、代入得：，解得，∴的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為∴解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；（4）存在一點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、H、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：①當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖所示，由（3）可知，，∴，∴，∴菱形為正方形，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為②如圖所示，當(dāng)為菱形對(duì)角線時(shí)，C、N關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)N坐標(biāo)為；③，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如圖所示，，∴，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為或綜上所示，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)值，三角形面積，菱形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造出相應(yīng)圖形解決問(wèn)題．【考向六二次函數(shù)中構(gòu)成正方形存在性問(wèn)題】例題：（2022秋·遼寧撫順·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1)求直線及拋物線的解析式；(2)C為拋物線上的一點(diǎn)，的面積為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)P在拋物線上，Q在直線上，M在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以A，P，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)直線的解析式為，拋物線的解析式是(2)，(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）討論C在直線上方時(shí)，作軸交于D，，求出t的值，C在直線下方時(shí)，作軸交于D，，求出t的值，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）分是正方形的邊和是正方形的對(duì)角線兩種情況分析，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）∵直線與拋物線交于點(diǎn)∴，，∴，∴直線的解析式為，拋物線的解析式是；（2）聯(lián)立方程組，解得或，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，當(dāng)C在直線上方時(shí)，作軸交于D，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴，解得，∴或，∴，當(dāng)C在直線下方時(shí)，作軸交于D，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴，∴，∴或，∴，∴，；（3）如圖，當(dāng)是正方形的邊時(shí)，∵∴直線的解析式為∴∴M點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱∴∵在拋物線上，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)M點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，；如圖，當(dāng)是正方形的對(duì)角線時(shí)，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-1∴∴∵∴綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形和正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，拋物線與x軸交于，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E，P為拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且M在x軸上方，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，M，N，使得以A，P，M，N為頂