專題02二次根式計算的兩種壓軸題全攻略(原卷版+解析)

專題02二次根式計算的兩種壓軸題全攻略類型一、分母有理化問題例．已知，則的值為___________．【變式訓練1】閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知ab2，ab3，求．我們可以把ab和ab看成是一個整體，令xab，yab，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結果．(1)計算：；(2)m是正整數，a，b且．求m．(3)已知，求的值．【變式訓練2】在進行二次根式化簡時，我們有時會遇到形如，這樣的式子可以用如下的方法將其進一步化簡：；以上這種化簡的方法叫做分母有理化．(1)化簡：①＝，②＝，③＝；(2)已知n是正整數，化簡＝；(3)利用（2）的啟示，請化簡：；(4)聯系與拓廣：，則．【變式訓練3】先閱讀，再解答:由可以看出，兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式，在進行二次根式計算時，利用有理化因式，有時可以化去分母中的根號，例如：，請完成下列問題：(1)的有理化因式是_______；(2)化去式子分母中的根號：_____．（直接寫結果）(3)（填或）(4)利用你發(fā)現的規(guī)律計算下列式子的值：【變式訓練4】小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式進行了以下探索：．請你仿照小明的方法解決下列問題：（1），則______，_______；（2）已知是的算術平方根，求的值；（3）當時，化簡_______．【變式訓練5】閱讀下述材料：我們在學習二次根式時，熟悉的分母有理化以及應用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較和的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢海?/p>

，因為，所以．再例如：求的最大值．做法如下：解：由可知，而，當時，分母有最小值2，所以y的最大值是2．解決下述問題：（1）比較和的大??；（2）求的最大值和最小值．類型二、規(guī)律性問題例．閱讀材料已知下面一列等式：；；；(1)請用含的等式表示你發(fā)現的規(guī)律___________________；(2)證明一下你寫的等式成立；(3)利用等式計算：；(4)計算：．【變式訓練1】閱讀下列材料，解答后面的問題：；；(1)寫出下一個等式；(2)計算的值；(3)請求出的運算結果．【變式訓練2】觀察下列各式及證明過程：①；②；③．驗證：；．（1）按照上述等式及驗證過程的基本思想，猜想的變形結果，并進行驗證；（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用（為正整數，且）表示的等式．【變式訓練3】觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：，，，…（1）填空：＝；（2）請你用含n（n為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律．并證明你的結論．（3）利用上面的結論，求下列式子的值：．【變式訓練4】（1）用計算器計算：________________；_______________；_____________；____________．（2）觀察（1）中各式的計算結果，你能發(fā)現什么規(guī)律？（3）試運用發(fā)現的規(guī)律猜想出下式的結果，并用計算器驗證你的猜想__________．專題02二次根式計算的兩種壓軸題全攻略類型一、分母有理化問題例．已知，則的值為___________．【答案】【詳解】解：∵，∴，∴故答案為：【變式訓練1】閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知ab2，ab3，求．我們可以把ab和ab看成是一個整體，令xab，yab，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結果．(1)計算：；(2)m是正整數，a，b且．求m．(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)m=2(3)【詳解】（1）原式，（2）∵a，b，∴，∵，∴，∴，∴，∴2，∵m是正整數，∴m=2．（3）由得出，∴，∵，∵，∴．【變式訓練2】在進行二次根式化簡時，我們有時會遇到形如，這樣的式子可以用如下的方法將其進一步化簡：；以上這種化簡的方法叫做分母有理化．(1)化簡：①＝，②＝，③＝；(2)已知n是正整數，化簡＝；(3)利用（2）的啟示，請化簡：；(4)聯系與拓廣：，則．【答案】(1)；；(2)(3)(4)727【詳解】（1）解：①;②;③故答案為：；；;（2）解：=；（3）==；（4）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：727．【變式訓練3】先閱讀，再解答:由可以看出，兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式，在進行二次根式計算時，利用有理化因式，有時可以化去分母中的根號，例如：，請完成下列問題：(1)的有理化因式是_______；(2)化去式子分母中的根號：_____．（直接寫結果）(3)（填或）(4)利用你發(fā)現的規(guī)律計算下列式子的值：【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017.【詳解】解：（1）-1的有理化因式是+1；（2）；（3），，∵∴>∴<；（4）原式===2018-1=2017．【變式訓練4】小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式進行了以下探索：．請你仿照小明的方法解決下列問題：（1），則______，_______；（2）已知是的算術平方根，求的值；（3）當時，化簡_______．【答案】（1）2，1；（2）－2018；（3）2．【詳解】解：（1）∵，∴a＝2，b＝1；故答案為：2,1（2）∵是的算術平方根，∴，∴；（3）∵，∴，，．故答案為：2【變式訓練5】閱讀下述材料：我們在學習二次根式時，熟悉的分母有理化以及應用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較和的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢海?/p>

，因為，所以．再例如：求的最大值．做法如下：解：由可知，而，當時，分母有最小值2，所以y的最大值是2．解決下述問題：（1）比較和的大??；（2）求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）的最大值為2，最小值為．【詳解】解：（1），，而，，，；（2）由，，得，，∴當時，有最小值，則有最大值1，此時有最大值1，所以的最大值為2；當時，有最大值，則有最小值，此時有最小值0，所以的最小值為．類型二、規(guī)律性問題例．閱讀材料已知下面一列等式：；；；(1)請用含的等式表示你發(fā)現的規(guī)律___________________；(2)證明一下你寫的等式成立；(3)利用等式計算：；(4)計算：．【答案】(1)(2)見解析(3)(4)【詳解】（1）解：根據題意，由規(guī)律可得：它的一般性等式為；（2）證明：原式成立；（3）解：；（4）解：．【變式訓練1】閱讀下列材料，解答后面的問題：；；(1)寫出下一個等式；(2)計算的值；(3)請求出的運算結果．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：（2）解：．（3）解：【變式訓練2】觀察下列各式及證明過程：①；②；③．驗證：；．（1）按照上述等式及驗證過程的基本思想，猜想的變形結果，并進行驗證；（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用（為正整數，且）表示的等式．【答案】（1），驗證見解析；（2）（為正整數，）．【詳解】解：（1）猜想：驗證：；（2）（為正整數，）．【變式訓練3】觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：，，，…（1）填空：＝；（2）請你用含n（n為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律．并證明你的結論．（3）利用上面的結論，求下列式子的值：．【答案】（1）；（2）（n為正整數），證明見解析；（3）2007【詳解】解：（1）原式＝=；故答案為：；（2）規(guī)律為（n為正整數）．證明如下：=＝=（n為正整數）；（3）原式＝()＝（﹣1）（+1）＝2008﹣1＝2007.【變式訓練4】（1）用計算器計算：________________；_______________；_____________；____________．（2）觀察（1）中各式的計算結果，你能發(fā)現什么規(guī)律？（3）試運用發(fā)現的規(guī)律猜想