2020-2021學(xué)年新人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)綜合九（含解析）

綜合九-【新教材】人教A版(2019)

高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)(含解析)

一、單選題

1.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)的是()

A.y=cos(]+x)B.y=-：C.y=ln蕓D.y=2X-2~x

2.已知i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿足2(1+2。=產(chǎn)。20+3則下面關(guān)于復(fù)數(shù)z的三個(gè)

命題：

①復(fù)數(shù)Z的虛部為-?；②|z|=3；③復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù)2對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.0

3.已知函數(shù)f(x)=sin2X-sin2(x—9,xeR,則下面結(jié)論中不正確的是()

A.“X)最小正周期為兀

B.函數(shù)/Q)在區(qū)間卜式]單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(x)在區(qū)間卜式]有最大值為,

D.函數(shù)關(guān)于％=次寸稱

x-2VxV3

,,則/(%)的值域?yàn)?)

IV104-3%—x2,-1<%<2

A.[V6,1]B.(33C.(3,5D.[V6,^]

5.在^ABC中，AC=48=3,點(diǎn)M,N分別在AC,48上，且4M=BN=2,BM1CN,

則AABC的面積為()

6.設(shè)/是直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()

A.若l〃a,I//p,則戊〃3B.若l〃a,/1/?,則a10

C.若alg,Sa,則[，夕D.若a_!./?,1〃a,則110

7.在給出的下列命題中，不正確的是()

A.設(shè)0,4,B,C是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，若鼐=巾?而+(l—m)?沃(meR),則

點(diǎn)4B,C必共線

B.若向量五花是平面a上的兩個(gè)向量，則平面a上的任一向量力都可以表示為m=

4五+4石（4,4eR），且表示方法是唯一的

C.已知平面向量砒麗辰滿足嬴OB=OAOC,AO=2喘+焉）則AABC為

等腰三角形

D.已知平面向量鼐，0B,前滿足|四=|0B|=|0C|=r（r>0）,且鼐+而+

OC=0,則△ABC是等邊三角形

8.某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生在線學(xué)習(xí)情況，統(tǒng)計(jì)了2020年2月18日―27日（共10

天）他們在線學(xué)習(xí)人數(shù)及其增長比例數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的條形圖與折線圖的組

合圖.

根據(jù)組合圖判斷，下列結(jié)論正確的是（）

A.前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差大于后5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差

B.前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長比例的極差大于后5天的在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長比例

的極差

C.這10天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長比例在逐日增大

D.這10天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)在逐日增加

二、多選題

9.如圖，點(diǎn)〃是正方體4BCD—4把心。1中的側(cè)面4。。送1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是（）

第2頁，共30頁

Di

Aj

KJ

AB

A.點(diǎn)M存在無數(shù)個(gè)位置滿足CM，45

B.若正方體的棱長為1,三棱錐B-GM。的體積最大值為5

C.在線段AD】上存在點(diǎn)使異面直線與CO所成的角是30°

D.點(diǎn)M存在無數(shù)個(gè)位置滿足〃平面當(dāng)。道

10.下列說法中錯(cuò)誤的為()

A.已知五=(1,2),3=(1,1)且行與五+4方夾角為銳角，We(-

B.已知方=(2,—3),3=G，—》不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.若五與石平行，五在石方向上的投影為|可

D.若非零區(qū)石滿足|方|=|石|=|五一方|則不與方的夾角是60。

%+2%>0

11.有關(guān)函數(shù)f(x)=x；，下列說法正確的是()

bx+-X,x<0

A.存在實(shí)數(shù)a,b,c,使f(x)是奇函數(shù)

B.若/(%)在(0,+8)上為單調(diào)增函數(shù)，則a<0

C.若f(x)是偶函數(shù)，則匕=一1,c=-a

D./⑶在區(qū)間吟2?上沒有最小值

12.已知函數(shù)f(X)=2COS(3X+0)(3>0,\(p\<》的圖象上，對稱中心與對稱軸x=

套的最小距離為a則下列結(jié)論正確的是()

人.於)+/學(xué)一行=0

B.當(dāng)xE碎，與時(shí)，兀r)>-V3

C.若g(x)=2cos2x,貝!|g(x-§=f(x)

D.若siMa—cos4a=—%a6(a,金，則,《a+》的值為萼

三、填空題

13.甲和乙兩個(gè)箱子各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8

個(gè)紅球、2個(gè)白球。擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1或2,從甲箱子隨

機(jī)摸出一個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6,從乙箱子隨機(jī)摸出一個(gè)球。則摸出紅球

的概率為。

14.(1)已知向量五=(1,2),石=(2,—2),蕓=(1,4),若(2直+及，則4=?

(2)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則竺竽12的最小值為.

(3)已知△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足a=4,asinB=

fibcosA,若的面積S=4g，則川+?2=.

(4)函數(shù)/(x)=cos2x+V3cos(y+x)+；(x6[o用)的最大值是.

15.如圖,正方體4BCD—4B1GD1的棱長為1,線段/A上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=￥，

則下列結(jié)論中正確的結(jié)論序號(hào)是.

9------邑i

DA

①4clBE；②EF11平面ABCD；③異面直線AE,B尸所成的角為定值；⑷直線AB

與平面BEF所成的角為定值；⑤以ABEF為頂點(diǎn)的四面體的體積隨EF位置的變化

而變化.

16.如圖，在三棱錐S—4BC中，若底面ABC是正三角形，側(cè)棱長SA=SB=SC=W，

M、N分別為棱SC、BC的中點(diǎn)，并且AM1MN,則異面直線MN與AC所成角為

三棱錐S—4BC的外接球的體積為.

第4頁，共30頁

四、解答題

17.在直角梯形ABC￡>中，已知AB〃CD,Z.DAB=90°,AB=6,AD=CD=3,對角

線AC交80于點(diǎn)O,點(diǎn)M在AB上，且OM1BD.

⑴求而??麗的值;

(2)若N為線段AC上任意一點(diǎn)，求崩.麗的取值范圍.

18.今年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，為了普及黨史知識(shí)，加強(qiáng)愛國主義教育，某校舉

辦了黨史知識(shí)競賽.經(jīng)過激烈角逐選拔，甲、乙、丙三名選手進(jìn)入決賽，決賽由必

答和搶答兩個(gè)環(huán)節(jié)，必答環(huán)節(jié)每人必須回答隨機(jī)抽簽的3道題目，全部答對者進(jìn)入

搶答環(huán)節(jié)，否則被淘汰；在搶答環(huán)節(jié)中采用積分制，共有3道題目，每人是否搶到

試題機(jī)會(huì)均等，搶到試題者必須作答，最后得分最高者獲得一等獎(jiǎng).若答對則得

100分，其他選手得0分；若答錯(cuò)則得0分，其他選手得100分.設(shè)甲、乙、丙在

必答環(huán)節(jié)中每道題答對的概率都是也在搶答環(huán)節(jié)中每道題答對的概率都是右且三

名選手每道題是否答對互不影響.

(1)求甲、乙進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)，且丙未進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)的概率；

(2)若甲、乙、丙都進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)，

①求在一次搶答中，甲得100分的概率；

②求丙以滿分獲得一等獎(jiǎng)的概率.

19.已知函數(shù)f(x)=2sin2(x——)—V3sin(—+2x)(x6R).

126

(1)將函數(shù)/(x)化為4sin(“x+3)+k形式,求/(x)的最小正周期T和單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若a為△ABC的內(nèi)角，f(a)恰為/(x)的最大值，求a：

(3)若tan(0_g=2,求/(。).

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20.如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABC￡＞為矩形，二面角4一C。一F為60。,

DE//CF,CD1DE,AD=2,DE=DC=3,CF=6.

(1)求證：BF〃平面ACE；

(2)求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值.

21.如圖，在直角梯形ABC。中，4B〃CD,AB且4B=4。==1.現(xiàn)以A。

為一邊向梯形外作正方形AOE凡然后沿邊AD將正方形ADE/折疊，使ED1DC,

M為的中點(diǎn)，如圖2.

圖1圖2

(1)求證：4M〃平面BEC;

(2)求證：平面BCD，平面BDE；

(3)若DE=1,求點(diǎn)。到平面BCE的距離。

22.函數(shù)/(x)=x|x-a|.

(1)根據(jù)a不同取值，討論函數(shù)y=f(x)的奇偶性；

(2)若aWO,對于任意的x6[0,1],不等式一1—xW6恒成立，求實(shí)數(shù)。的

取值范圍；

若己知。設(shè)函數(shù)。2存在與、&D,

(3)a=2,=[-1,4].0)=logi(%+x+/c)>xe0,e

使得/'(與)<。(右)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了誘導(dǎo)公式，正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的定義域與值域，對數(shù)函數(shù)

及其性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì).

利用誘導(dǎo)公式和正弦的奇偶性對4進(jìn)行判斷，再利用函數(shù)的定義域?qū)?進(jìn)行判斷，再利

用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對C進(jìn)行判斷，最后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性對。進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

【解答】

解：對于A,因?yàn)閥=cosg+x）=-sinx是（一1,1）上的減函數(shù)，

所以A不符合題目條件；

對于因?yàn)楹瘮?shù)曠=一;在x=0沒有定義，

所以8不符合題目條件；

對于C,因?yàn)閥=In蕓=In（專一1）是其定義域內(nèi)的減函數(shù)，

所以C不符合題目條件；

對于因?yàn)楹瘮?shù)'=2工-2一》是奇函數(shù)，且在（一1,1）上是增函數(shù)，

所以。符合題目條件.

故選D

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查復(fù)數(shù)的概念以與兒何意義、共輾復(fù)數(shù)，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模,

屬于基礎(chǔ)題.

先由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】

aM0

解：..［2020=i&xS05=1,...-(l+2i)=i+i,即z(l+2i)=1+i,

…=1+i=(l+i)(l-2i)=3_1.

'''=1+2i=(l+2i)(l-2i)=5-51'

對于①，?.?復(fù)數(shù)z的虛部為一%.?.①錯(cuò)誤；

對于②，???0=佰'不了=?，:②錯(cuò)誤；

對于③，?.-；'；+/，復(fù)數(shù)z的共粗復(fù)數(shù)2對應(yīng)的點(diǎn)為弓,§，則復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)，對

應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，.?.③正確；

因此，三個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)為1.

故選：A.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了函數(shù)y=Asin(3x+s)的圖象與性質(zhì)，二倍角公式及其應(yīng)用，輔助角公

式，考查學(xué)生的計(jì)算能力和推理能力，屬于中檔題.

根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡可得/(%)=:sin(2x-勺，從而即可根據(jù)正弦函數(shù)的

Z6

性質(zhì)分別對各選項(xiàng)求解.

【解答】

42陽.2-2/n、1-cos2x1-COS(2*一§1n

用牛：因「(x)=smx—sm(%——)=------------------=-(coszxcos-+

62223

sin2xsincos2x=-s\n2x--cos2x=-sin(2x--Y

3，2442\6/

f(%)的最小正周期T=y=7T,

當(dāng)“4*，郛寸，2”午卜雪，

當(dāng)2x_3=_］即*=_［時(shí),/(%)min=1sin(-0=-1；

當(dāng)"W即時(shí)，fCOmax=六嗚=g即在卜盟的最大值為%最小

第10頁，共30頁

值為在［-g,1先遞減后遞增；

又展)=；sin(2XU，所以函數(shù)/(%)關(guān)于％=g對稱，

故選B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)的值域以及復(fù)合函數(shù)，屬于中檔題.

先根據(jù)函數(shù)/(X)=X+；在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性得出第一段上/(X)的范圍，再利用二次

函數(shù)在閉區(qū)間上的值域以及復(fù)合函數(shù)的方法得出第二段上/(%)的范圍，最后求這兩個(gè)范

圍的并集即得.

【解答】

解：當(dāng)2<x43時(shí)，函數(shù)f(x)=x+：單調(diào)遞增，且/(2)=3,f(3)=藍(lán)，所以此時(shí)3<

當(dāng)-14久《2時(shí)，令t=10+3x--，該二次函數(shù)的對稱軸是：%=|,開口向下，因

2

為一1WxS2,所以tmin=10+3x(-1)-1=6,tmax=10+3x(|)-(|)=?，

所以6St士子，故遍《/(%)《(所以分段函數(shù)/(%)的值域?yàn)椋?3,曰］U［遙自=

［連爭

故選D

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查求三角形的面積公式，考查平面向量基本定理，向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于

?？碱}型.

先由題意，得到宿=|前，A/V=|AB,再由1CN得到前?麗=(|彳？一同)?

?南—正)=0,求出cos4=V，得至lJsinA=呼，再利用三角形面積公式，即可求出

結(jié)果.

【解答】

解：因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別在4C,4B上，

且AM=BN=2,AC=AB=3,

所以祠=|正，AN=^AB,

所以的=宿-而=:前-荏，

>..>,1,>

CN=AN-AC=-AB-AC

3f

又BM1CN,

所以前?麗=(^AC-AB)?(^AB-AC)=0,

即蓑荏.而號(hào)|荏「一||而『=o,

-AB=AC=3f

?,?日|荏||就|cosA-9=0,即cos/=.，

所以sin/=空電，

11

所以△ABC的面積為

01-c-19/10

SMBC=-\AB\\AC\sinA=—

故選A.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，面面垂直的

判定和性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題.

由線面平行的性質(zhì)和面面平行的判定，即可判斷A；由線面平行的性質(zhì)定理和面面垂直

的判定定理，即可判斷8；由面面垂直的性質(zhì)和線面的位置關(guān)系，即可判斷C；由面面

垂直的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)，即可判斷D

【解答】

解：對于A,若1〃a,〃/￡,則a〃。或a,0相交，故A錯(cuò)；

對于B,若l〃a,110,則由線面平行的性質(zhì)定理，得過/的平面yna=m,即有m〃/,

ml/?,再由面面垂直的判定定理，得a工0,故8對；

對于C,若al/?,11a,則〃//?或lu/?,故C錯(cuò)；

第12頁，共30頁

對于D,若al￡,l//a,若/平行于a,/7的交線，則”/￡,故。錯(cuò).

故選艮

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查平面向量的共線定理與平面向量基本定理，以及平面向量加法、減法與數(shù)量積

的運(yùn)算和幾何意義，屬于中檔題.

根據(jù)向量共線定理可判斷A，根據(jù)平面向量基本定理判斷8,利用向量減法和數(shù)量積的

運(yùn)算以及加法和共線的幾何意義來判斷C與D.

【解答】

解：對于4設(shè)。,4B,C是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，

Yr0A——m,OB+(1-Tn),OC(jnG/?)>

則a-OC=zn(OB-OC),

:.~CA.=mCBr

???點(diǎn)4B,C必共線，故A正確；

對于8,當(dāng)五=6或石=6時(shí)，結(jié)論不成立，故8錯(cuò)誤；

對于c,若平面向量萬4,而，能滿足萬4?麗=萬心元，

則方?(而一記)=0,即市?方=0，

o^4ice；

又方=端+款

???。在NBAC的平分線所在直線上，

???2L4BC為等腰三角形，故C正確；

對于D,若平面向量力［,而，而滿足|西=\0B\=|0C|=r(r>0),

貝ljO是zL4BC的夕卜心；

又初+話+記=0，

貝I］。又是ZL4BC重心；

??.△ABC是等邊三角形，故。正確.

故選民

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查統(tǒng)計(jì)圖表等基礎(chǔ)知識(shí)，屬基礎(chǔ)題.

直接根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表可知，4B,C項(xiàng)錯(cuò)誤，。項(xiàng)正確.

【解答】

解：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表可知，

前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的比較穩(wěn)定，后5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的波動(dòng)較大，前5天在線學(xué)習(xí)人

數(shù)的方差小于后5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差，A錯(cuò)誤：

前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長比例的極差小于后5天的在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長比例的極差，

8錯(cuò)誤：

這10天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)在逐日增加，但是增長比例并不是逐日增大項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，

。項(xiàng)正確.

故選。.

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查空間垂直關(guān)系的證明和判斷，考查幾何體體積的計(jì)算，異面直線所成角的計(jì)算,

線面平行的判斷，屬于中檔題.

通過證明ADi_L面4DC,可得當(dāng)點(diǎn)MCAiD上時(shí)，有CMIAD1，可判斷A；由已知

—^M-C1BD'當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)4],重合時(shí),點(diǎn)"到面GB。的距禺最大,計(jì)算〃1-。止。

可判斷B；連接力iM,因?yàn)閯tN&BiM為異面直線當(dāng)時(shí)與CO所成的角，求

出4M的長，可判斷C；證明平面/CD1〃平面&BD,即可判斷D

【解答】

解：對于A,連接ADi，4D，4C,

由正方體的性質(zhì)可得仍;1。,皿1DC,ArDC\DC=D,ArD,DCu平面4。。

則_L平面&OC

第14頁，共30頁

當(dāng)點(diǎn)MWaD時(shí)，有CMu平面4DC,所以CMlZDi

故點(diǎn)M存在無數(shù)個(gè)位置滿足CM14D1，故A正確;

對于B,由已知VB-GMO=^M-CXBD

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)4重合時(shí)，點(diǎn)M到面C1B。的距離最大

則三棱錐B-QMD的體積最大值為以MBD=13-4*拉打”1*1=/故B正確;

對于C,連接

因?yàn)镃ZV/4B1，所以為異面直線BiM與CQ所成的角

設(shè)正方體棱長為1,4IM=K(X>0),則8W2=/+1

點(diǎn)到線4。1的距離為守.-.^<%<1

COK.=cos30=

v/^^n2

解得x=q任仔,1]

所以在線段AD1上不存在點(diǎn)使異面直線與C。所成的角是30°,故C錯(cuò)誤;

對于連接&D,DiC,DiBi，8iC

vA1D1//BCfA1D1=BC

???四邊形&BCD1為平行四邊形，貝〃。傳

仁平面&CD1，DiCu平面&CD1

???&8〃平面當(dāng)。。1，同理可證DB〃平面BiCDi

?:A$CDB=B,u平面4/。

二平面BiCDi〃平面&BD

若MeAiD,MBu平面&B。，則BM〃平面&D1C,故。正確;

故選：ABD.

第16頁，共30頁

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查平面向量基本定理及向量的數(shù)量積，向量的夾角等知識(shí)，對知識(shí)廣度及準(zhǔn)確度

要求比較高，屬于拔高題.

由向量的數(shù)量積、向量的投影、基本定理與向量的夾角等基本知識(shí),逐個(gè)判斷即可求解.

【解答】

解：對于4???五=(1,2)石=(1,1),2與N+篇的夾角為銳角，

a-(a+Ah)=(1,2)-(1+A,2+A)

=1+a+4+2A—3a+5＞0,

且；I40(4=。時(shí)五與五+2石的夾角為0),

所以4＞一!且；1彳0,故A錯(cuò)誤；

對于B.?.?向量不=(2,-3)=4后，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B

正確；

對于C.若五〃B，貝弧在方方向上的投影為土國，故C錯(cuò)誤；

對于。.因?yàn)镮五1=1五-孫兩邊平方得，

\b\2=2a-b,

則日?(a+b)-\a\2+a-b=^\a\2,

\a+b\=J(a+b)2=J|a|2+2a-K+|b|2=V3|ap

故8s〈優(yōu)五+方＞=料=卷=阻

\a\\a+b\|a|-V3|a|2

而向量的夾角范圍為［0°,180。］,

得五與R+方的夾角為30。，故。項(xiàng)錯(cuò)誤.

故錯(cuò)誤的選項(xiàng)為ACD.

故選ACD.

11.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性及函數(shù)y=X+￡(a>0)的性質(zhì)，屬于中檔

題.

根據(jù)函數(shù)y=X+?(a>0的圖像與性質(zhì)即可判斷得出.

【解答】

對于4:當(dāng)a=b=c=1時(shí)/(二)是奇函數(shù)，故A正確；

對于&若/(%)在(0,+8)上為單調(diào)增函數(shù)，則a<0,故8錯(cuò)誤；

對于C:.若/?(%)是偶函數(shù)，則/(7?)：恒成立，

即工+-=-bx-2恒成立，

xx

則g+1)Z+上L=(恒成立，

X

???F：l=：,即F=_l故c正確；

IQ+c=0lc=-a

對于。：Q>0時(shí)，

/(工)=H+￡在區(qū)間(0,西)單調(diào)遞減，在區(qū)間(西,+8)單調(diào)遞憎.

X

/(X)在區(qū)間(日,2日)上有最小值/(VH),故。錯(cuò)誤；

故選：AC.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角差的余弦公式，屬于

中檔題.

根據(jù)對稱中心與對稱軸的最小距離求出周期T,得到3=2,再根據(jù)對稱軸方程求出w=

一3再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)對四個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可，選項(xiàng)。先利用同角三角

函數(shù)關(guān)系及二倍角公式化簡，再求出/(a+W).

【解答】

解：由題有7=乃，則3=2,又由對稱軸x=V可得，2x^+w="，fcGZ,

又則3=故(fx)=2cos(2x_孩)，

對于A,因?yàn)?/p>

第18頁，共30頁

57r7T57TTT

/(工)+/(小一工)=2cus(2x--)+2<x?s(^7r-2x--)=2cos(2x--)-2sin2x

6b*5o6

2<x)?2xcos；+2sin2xsin；—2sin2xy/iico?2x—sin2x

則"%)+/年一%)=0錯(cuò)誤，故A選項(xiàng)不正確.

對于8,%6日外，則2%—江日引，WlJ/Cx)e[-V3,V3](故8選項(xiàng)正確；

對于C,/(%)=2cos2(%-芻，應(yīng)將g(x)=2cos2x的圖象向右平移2個(gè)單位，故C

選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對于￡),sin4a-cos4a=—cos2a=且a€(05,則2ae(0,兀),故cos2a=%

sin2a=

而/(a+§=2cos(2a+=cos2a—百sin2a=匕子，故0選項(xiàng)正確；

故選BQ.

13.【答案】0.7

【解析】

【分析】

本題主要考查了獨(dú)立事件和互斥事件的概率知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

事件"摸出紅球”可以分成“從甲中摸紅球”和“從乙中摸到紅球”兩個(gè)互斥事件之

和，而每個(gè)事件又是獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，按照乘法即可計(jì)算.

【解答】

解：：

擲到1或2的概率為;=；,再從甲中摸到紅球的概率為

631U2

故從甲中摸到紅球的概率為P1=：X；=g

擲到3,4,5,6的概率為：=|,則再從乙中摸到紅球的概率為白=士

o31U5

故從乙中摸到紅球的概率為P2=|X合2

綜上所述摸到紅球的概率為：

故答案為0.7.

14.【答案】(1)一2；

(2)473;

(3)24；

(4)2.

【解析】

(1)【分析】

本題考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意可得2五+左

再由不1(2五+3),即可得到

【解答】

解:由題意得2五+%=(4,2),因?yàn)?>L(2五+方)，c=(1,2),

所以4+2/1=0,解得;1=一2；

(2)【分析】

本題考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.先化簡原式為智，在利用基本不等式

vxy

即可求解.

【解答】

解：因?yàn)樵O(shè)x>0,y>0,x+2y=4,

所以竺瞥U=2xy+x+2y+l_2xy+6》曙=4后

VxyVxy-y/xy

所以1+%y+i.).的最小值為4存

(3)【分析】

本題考查正弦定理和余弦定理解三角形的應(yīng)用，三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)

正弦定理，得sinAsinB=百sinBcos4進(jìn)而得到4=p結(jié)合三角形的面積公式得到

be=8,由余弦定理得：16=爐+?2-比，即可求解.

【解答】

解：由正弦定理，得sinAsinB=BsinBcosA，又sinB4O,所以tan4=遍，

所以4=全

因?yàn)椤鰽BC的面積S=4V3,

所以S=-bcX—=4百，所以be=8,

22

又由余弦定理：16=力2+。2-be,

所以爐+c2=16+be=24；

第20頁，共30頁

(4)【分析】

本題考查誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，定義域

和值域，涉及二次函數(shù)的最值，屬于中檔題.利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

化簡/(%)=—(sinx—Y)2+2,根據(jù)x6用,得到sinx6[0,1]>進(jìn)而可知sinx=亨時(shí)，

f(x)取得最大值.

【解答】

解：依題意，/(%)=COS2X+V3cos(y+x)4-

115

=cos2%+V3sin%+-=1—sin2%+V3sinx+-=—sin2x+V3sinx+-

444

——(sinx-y)2+2,

因?yàn)椋[o,外，

所以sinx6[0,1],

因此當(dāng)sinx=當(dāng)時(shí)，f(x)max=2.

15.【答案】①②④

【解析】

【分析】

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，解答本題關(guān)犍是正確理解正方體的幾何性質(zhì)，且能根據(jù)這些

幾何特征，對其中的點(diǎn)線面和位置關(guān)系作出正確判斷.熟練掌握線面平行的判斷方法,

異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的知識(shí)保證.

@AC1BE,可由線面垂直證兩線垂直；

②由面面平行的定義可證得結(jié)論正確；

③可由兩個(gè)極端位置說明兩異面直線所成的角不是定值；

④把線面角轉(zhuǎn)化為線線角即N4BD,即可得知④正確；

⑤可證明棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值.

【解答】

解：①4C_L平面BB15D,又BEu平面BB\D\D，：,ACLBE,故①正確；

②?：平面ABCD//平面A\B[CiD\,EFU平面4BQ1D1,，EF〃平面ABCO,故②

正確；

③由圖知，當(dāng)F與當(dāng)重合時(shí)，令上底面中心為O,則此時(shí)兩異面直線所成的角是乙414。，

當(dāng)E與劣重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與0重合，則兩異面直線所成的角是OBCi，此二角不相等，

故異面直線4瓜B廠所成的角不為定值，故③錯(cuò)誤；

④直線AB與平面BEF所成的角也就是直線AB與平面BBi/D所成的角，

?.7。，平面8場。1。，：.直線”與平面88山山所成的角就是乙48。為45，因此，直

線AB與平面8E尸所成的角為定值，故④正確；

⑤由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值,4點(diǎn)到面DD1/B距離是定值，

故可得三棱錐4-BEF的體積為定值，故⑤錯(cuò)誤.

16.【答案】\

97r

~2

【解析】

【分析】

本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)與判定、異面直線所成的角、正三棱錐的外接球的體積.

根據(jù)三棱錐的底面為正三角形且側(cè)棱長相等得到正三棱錐，得到SO_L面ABC,接著根

據(jù)線面垂直的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定得到4C1面SBE,進(jìn)而得到SB1

AC,最后根據(jù)中位線的性質(zhì)證明出AC1MN;根據(jù)已知及線面垂直的判定得到SB1面

SAC,從而結(jié)合正三棱錐得到其為相應(yīng)正方體的一部分，求出球的半徑及球的體積.

【解答】

解：如圖所示,

在三棱錐S—ABC中，若底面ABC是正三角形,

側(cè)棱長S4=SB=SC=通知，三棱錐S—ABC

是正三棱錐，

則點(diǎn)S在底面A8C中的投影為底面的中心O,

所以S。_L面ABC,

因止匕S。1AC,又E為AC中點(diǎn),4C1BE,SOn

BE=0,所以4C_L平面SBE,SBu平面SBE,

???SB1AC,

又M、N分別為棱SC、8C的中點(diǎn)，則MN〃SB,

因此MN1AC,異面直線MN與AC所成角為以

???AM1MN,MNLAC,AMQAC=A,

：.MN_L平面SAC,又MN//SB,則SB，平面SAC,

第22頁，共30頁

又三棱錐S—ABC是正三棱錐，因此三棱錐S—ABC可以看成正方體的一部分且S,A,

B,C為正方體的四個(gè)頂點(diǎn)，故球的直徑為J(百)2+(國)2+(遮)2=3,

則球的體積為疑(|)3=y.

故答案為：:；9：.

17.【答案】解：⑴因?yàn)镹D4B=90。,

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、A。分別為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖:

因?yàn)?B〃CD,AB=6,AD=CD=3,

所以4(0,0),B(6,0),C(3,3),以0,3).

又因?yàn)閷蔷€AC交8。于點(diǎn)O,

所以由而=t而得刀=(3t,3t),即。(3t,3t),

因此前=(3t,3t-3)，DB=(6,-3).

而麗〃麗，所以-3x3t—6x(3t-3)=0,解得t=|.

因此0(2,2).

又因?yàn)辄c(diǎn)M在AB上，所以設(shè)M(m,0),

因此亦=0—2,—2)，BD=(-6,3),

而。MJ.BD,所以西?同=-6(m-2)-6=0，

解得m=1,即M(l,0),

因此德=(1,0),而前=(一6,3)，

所以祠?前=-6，

即詢?前的值為一6；

(2)因?yàn)镹為線段4c上任意一點(diǎn)，

所以由(1)知:可設(shè)N(n,n)(0<n<3)(包括端點(diǎn)),

因此前=(n,n)，MN=(n-1,n)>

所以^Z-MN=n(n-1)+n2=2n2—n-

因?yàn)楹瘮?shù)y=2M-n的圖象開口上，對稱軸為幾=%

而047143,

所以函數(shù)y=2n2-n的值域?yàn)椴?5],

即AN-MN的取值范圍是卜15]

【解析】本題考查了二次函數(shù)，向量的數(shù)量積，相等向量的概念，向量垂直的判斷與

證明，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量共線的充要條件和向量的幾何運(yùn)用，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題目條件，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AO分別為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

利用相等向量的概念的坐標(biāo)運(yùn)算得函=(3t,3t)，從而得O(3t,3t),再利用向量的坐標(biāo)

運(yùn)算得前=(3t,3t-3)和麗=(6,-3)，再利用平面向量共線的充要條件得得1=|.

從而得。(2,2),設(shè)M(ni,O),從而得的=(加一2,-2)，前=(一6,3)，再利用向量垂直

的判斷的坐標(biāo)運(yùn)算得m=1,從而得M(1,O)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得㈤0=(1,0)，再

利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算得結(jié)論；

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合題目條件設(shè)N(n,n)(03)(包括端點(diǎn))，再利用向量的坐標(biāo)

運(yùn)算得麗=(n,n)和MN'=(n—l,n)?再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得而■MN=

2n2-n,最后利用二次函數(shù)，計(jì)算得結(jié)論.

18.【答案】解：(1)甲、乙進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)的概率均為(；)3=；,

No

丙未進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)的概率為1一弓)3=I，

故甲、乙進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)，且丙未進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)的概率為:Xgxgn等.

ooo51/

(2)記“在一次搶答中，甲搶到題目并答對”的事件為A,“在一次搶答中，乙搶到題

目并答錯(cuò)”事件為8,“在一次搶答中，丙搶到題目并答錯(cuò)”的事件為C.

①”在一次搶答中，甲得100分”的事件為。，則D=4+B+C,

所以P(D)=PG4)+P(B)+P(C)=：xq+5x(l-9+;x(l—9=q；

②由①知，在一次搶答中，丙搶到題目并且得100分的概率為2；

在一次搶答中，丙沒有搶到題目并且得100分的概率為￡

丙得300分有四種情況:

1、丙沒有搶到題目且得300分，概率為(》3=我;

2、丙搶到一道題目且得300分,概率為券;

3、丙搶到兩道題目且得300分，概率為C貂)2x合哉;

4、丙搶到三道題目且得300分，概率為或?)3=/;

第24頁，共30頁

因此丙以滿分獲得一等獎(jiǎng)的概率為粵+普+亮++=黑

【解析】本題主要考查獨(dú)立事件、互斥事件、對立事件的概率，考查數(shù)據(jù)分析、邏輯推

理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

(1)由題意，求出甲、乙進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)的概率，則可得丙未進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)的概率，進(jìn)而

可得所求概率；

(2)①根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解即可；

②②由①知，在一次搶答中，丙搶到題目并且得100分的概率為S；在一次搶答中，丙

沒有搶到題目并且得100分的概率為右進(jìn)而看求得丙以滿分獲得一等獎(jiǎng)的概率.

19.【答案】解：(l)/(x)=2sin2(x--V3sin(^+2x)(xGR)

=2x1co，：，6)+冉sin(2x-￡)=V3sin(2x——cos(2x-^)+1

=2[ysin(2x-2)-iCos(2x-^)]+1

—2sin(2x————)+1—2sin(2x-—)4-1,

所以f(%)的最小正周期T=y=

由一日+2kn<2x-^<5+2/CTT,得一弓+/CTT<%<^+/CTT,

/ONININ

所以/㈤的單調(diào)遞增區(qū)間為[一號(hào)+kn,g+時(shí)(k6Z),

(2)/(a)=2sin(2a-g)+1,

因?yàn)?<a<7r,所以一g<2a—g<3兀,

所以當(dāng)2a-W=]

即當(dāng)。=工時(shí)，/'(a)恰為/⑴的最大值,

4sin(0~)cos(0~)如(喈

(3)/(0)=2sin(20-^)+l=sin2(0--)+cos2(0--)+1

tan2(0--)+l

4tan(0--)

因?yàn)閠an(。一?=2,所以f(0)=

【解析】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)y=4sin(3x+s)的圖象與性質(zhì),

以及三角函數(shù)的化簡和求值問題，屬于中檔題.

(1)先利用二倍角公式和輔助角公式對函數(shù)/(x)進(jìn)行化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性

質(zhì)求解即可；

(2)由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)先由二倍角公式和同角三角函數(shù)中的平方和關(guān)系對函數(shù)外。)進(jìn)行化簡，再結(jié)合題意

求值即可.

20.【答案】(1)證明：???四邊形ABCD是矩形，

BC//AD.

X-.-ADu平面ADE,BCC平面ADE,

：.BC〃平面ADE,

■■■DE//CF,CFADE,DEu平面AOE,

CF〃平面AOE.4

而BFu平面BCF,

：.BF〃平面ADE;

(2)解：???CD14D,CD1DE,

.?.乙4DE即為二面角A-CD-F的平面角，

???AADE=60",

XvADC\DE=D,4Du平面4￡>E,DEADE,

CD_L平面ADE,

第26頁，共30頁

又?:CDu平面CDEF,

二平面CDEF_L平面AQE,作4。J.DE于。，連接CO，

???平面CDEF_L平面ADE,平面CDEFCl平面ADE=DE,

AO1DE,AOu平面ADE,則40L平面CDEF.

所以直線AC與平面CCE尸所成角為NACO,

由幾何關(guān)系知AC=ylAD2+CD2=V13.AO=AD-sin60°=W,

所以sin/AC。=—=

AC13

因此，直線AC與平面CZ)所所成角的正弦值為理.

13

【解析】本題考查直線與平面，平面與平面平行及垂直的判定定理，性質(zhì)定理，考查直

線與平面所成的角以及二面角，屬于中檔題.

(1)由已知條件，利用直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系先推導(dǎo)出平面BCF〃平面ADE,

由此能證明BF〃平面4DE;

(2)根據(jù)已知條件可得CD_L平面ADE,由面面垂直的判定可得平面CCEF，平面ADE,

進(jìn)而可得4。1平面COEF,于是可知直線AC與平面CDEF所成角為N/1C0,再計(jì)算

sin乙4C。的值即可.

21.【答案】(1)證明：取EC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,BN,

在AEDC中，M,N分別為E￡>,EC的中點(diǎn),

所以MN//CD,且MN=^CD,

由已知4B〃CD,AB=|CD,

所以MN〃AB,且MN=48,

所以四邊形ABNM為平行四邊形，

所以BN〃AM,

又因?yàn)锽Nu平面BEC,^.AMC平面BEC,

所以AM〃平面BEC.

(2)證明：在正方形AOEF中，EDI40,

因?yàn)镋DJLDC,ADODC=D,AD,DCu平面ABC。，

所以ED，平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以ED1BC.

又在直角梯形ABC。中，AB=AD=1,CD=2,乙BDC=45。,

所以BC=&,

在△BCD中，BD=BC=&,CD=2,

所以BZ52+BC2=CD2,

所以BC1BD,

因?yàn)镋0nBD=D,ED,8。u平面BOE,

所以BC工平面8OE.

因?yàn)锽Cu平面BCD,

所以平面BCDJ_平面BDE.

(3)解：設(shè)點(diǎn)。到平面BCE的距離為h,

由(2)BCJ■平面BOE,可知8clBE,

因?yàn)镈E=1,AB=AD=1CD=1,所以