5.1 任意角和弧度制-(必修第一冊) (教師版)

任意角和弧度制1任意角①角的定義與分類(1)角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.如下圖，一條射線的端點是O，從起始位置OA按逆時針旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成角α，射線OA,OB分別是角α的始邊和終邊.(2)逆時針旋轉(zhuǎn)為正角，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，不旋轉(zhuǎn)為零角.如下圖②終邊相等的角與角α終邊相同的角的集合為βPS表達式中的k∈Z不能漏?、巯笙藿堑母拍罱铅恋捻旤c與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱α為第幾象限角.PSα終邊落在坐標(biāo)軸上，不能稱α為象限角.2弧度制①弧度的定義弧長等于半徑時，所對的圓心角為1弧度的圓心角，記作1rad.即:半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角為αrad|α|=②角度與弧度的轉(zhuǎn)化180③特殊角的角度與弧度對應(yīng)表角度030456090120135150180270360弧度0ππππ2π3π5ππ3π2π④弧長與扇形面積計算公式弧長l=|α|?R；扇形面積S=12lR=注α為弧度制.【題型一】角的集合表示及象限角的判定【典題1】已知集合M={銳角}，N={小于90°的角}，P={第一象限的角}①P?N，②N∩P=M，③M?P，④(M∪N)?P.其中正確的是．【解析】銳角的范圍為0°<θ<90°，小于90°第一象限角為k?360∴P與N之間沒有包含的關(guān)系，故①錯；?300°∈N∩P，但M∪N=N，不一定包含于P，故④錯；③M?P對.∴其中正確的是：③【典題2】寫出如圖所示陰影部分的角α的范圍．【解析】(1)因為與45°角終邊相同的角可寫成45°+k??180°+30°所以圖(1)陰影部分的角α的范圍可表示為{α|?150(2)因為與45°角終邊相同的角可寫成45360°?60°=300所以圖(2)中角α的范圍為{α|45°+k?【點撥】表示與角α終邊相同的角的集合時不要把k∈Z漏了.【典題3】若α是第三象限的角，則α3可能是第象限角【解析】方法1不等式法∵α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+32kπ3+π3≤α3當(dāng)k=3n,n∈Z時，α3∈當(dāng)k=3n+1,n∈Z時，α3∈當(dāng)k=3n+2,n∈Z時，α3∈所以α3可能是第一、三、四象限角.方法2八卦圖法先把直角坐標(biāo)系每個象限平均分成3份，從x軸正半軸上方各區(qū)域標(biāo)上1、2、3、4，找到標(biāo)有α所在象限數(shù)字“3”所在的區(qū)域，該區(qū)域在哪個象限，則α3故α3可能是第一、三、四象限角【點撥】①方法1中令k=3n、3n+1、3n+2,n∈Z，是從3的余數(shù)“0、1、2”角度思考，故也可令k=0、1、2.②方法2中的解題套路判斷αn①每個象限平分n份；②從x軸上方逆時針開始標(biāo)數(shù)；③找到α所在象限數(shù)字.例：判斷α3的象限(α是第二①每個象限平分3份；②從x軸上方逆時針開始標(biāo)數(shù)；③找到α所在象限數(shù)字“2”.【題型二】扇形的弧長及面積公式【典題1】?3弧度的角終邊在第象限.【解析】因為?π＜?3＜?π【點撥】1=180π°【典題2】已知2rad的圓心角所對的弦長為2，求這個圓心角所對的弧長．【解析】如圖，∠AOB=2，過O點作OC⊥AB于C，并延長OC交于∠AOD=∠BOD=1，且AC=AB=在Rt△AOC中，AO=ACsin∠AOC=1【典題3】已知一扇形的中心角是α(α>0)，所在圓的半徑是R．(1)若α=60°，(2)若扇形的周長是一定值c(c>0)，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形有最大面積？【解析】(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓∵α=60°=∴S(2)法一∵扇形周長c=2R+l=2R+αR，∴R=c∴S(利用基本不等式)∴當(dāng)且僅當(dāng)α=4α，即α=2時，扇形面積有最大值法二：由已知2R+l=c，∴R=c?l∴S=1∴當(dāng)l=c2時，Smax∴當(dāng)扇形圓心角為2弧度時，扇形面積有最大值c2【點撥】①弧長l=|α|?R，扇形面積S=12lR=②求函數(shù)fx=ax鞏固練習(xí)1(★)下列說法正確的是()A．終邊相同的角相等 B．相等的角終邊相同 C．小于90°的角是銳角 D．第一象限的角是正角【答案】B【解析】終邊相同的角相差周角的整數(shù)倍，A不正確；相等的角終邊一定相同；所以B正確；小于90°的角是銳角可以是負(fù)角；第一象限的角是正角，也可以是負(fù)角．故選：B．2(★)－870°的終邊在第幾象限()A．一 B．二C．三 D．四【答案】C【解析】選C因－870°=－2×360°－150°.－150°是第三象限角．3(★)2100°化成弧度是()A．353π B．10π C．28【答案】A【解析】2100°=2100×π1804(★★)已知α是第二象限角，則α2A．銳角 B．第一象限角 C．第一、三象限角 D．第二、四象限角【答案】C【解析】∵α是第二象限角，所以π2+2k∴π4+k∴α故選：C．5(★★)已知圓O與直線l相切于點A，點P,Q同時從A點出發(fā)，P沿著直線l向右、Q沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當(dāng)Q運動到點A時，點P也停止運動，連接OQ,OP(如圖)，則陰影部分面積S1A．S1=S2 B．S1【答案】A【解析】如圖所示，∵直線l與圓O相切，∴OA∴S扇形AOQ=∵AQ∴S扇形AOQ=∴S故選：A．6(★★)與－2014°終邊相同的最小正角是．【答案】146°【解析】∵∴146°與－2014°終邊相同，又終邊相同的兩個角相差360°∴在[0°，360°)上，只有146°與－2014°終邊相同，∴與－2014°終邊相同的最小正角是146°，故答案為：146°．7(★★)中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜在扇面上寫字作畫．如圖，是書畫家唐寅(1470－1523)的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為cm【答案】704【解析】如圖，設(shè)∠AOB=θ，由題意可得：24=rθ64=(r+16)θ，解得：r=所以S扇面故答案為：704．8(★★)已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2cm，圓心角為2π3為cm．【答案】423【解析】設(shè)此圓的底面半徑為r，高為?，母線為l，∵圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2cm，圓心角為2π3∴l(xiāng)=2，得2πr=因此，此圓錐的高?=l故答案為：42挑戰(zhàn)學(xué)霸河南大學(xué)自招真題我們知道當(dāng)12點時，鬧鐘的3個指針完全重合，請說出除了12點外，是否還有其他時間，3針完全重合.如有請舉出；若無，給出理由.【解析】每小時時針、分針旋轉(zhuǎn)一次，速度為時針0.5°/min,分針6故在n時00分至(n+1)時00分之間，時針和分針完全重合的時刻為n時1時5分27.27秒

2時10分54.54秒3時16分21.82秒4時21分49