5.6 三角函數(shù)倍角公式 -(必修第一冊) (教師版)

三角函數(shù)倍角公式(本專題僅為公式求值、公式變換等鞏固練習(xí)，其應(yīng)用在另一專題講解)1二倍角的正弦余弦正切公式①sin2α=2sinαcosα②cos2α=co③tαn2α=(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推導(dǎo)出sin2α，cos2α，2降冪公式co(由余弦倍角公式可得)3?sin(由降冪公式可得)4?sin(由倍角公式可得)5?sinα?cosβ=cosα?cosβ=sinα?sinβ=(由和差公式可得)6?sinα+sinβ=2cosα+cosβ=2(由和差公式可得)

【題型一】倍角公式的運用【典題1】求值cos20°cos35°1?sin20°=【解析】cos20°===cos10°+sin10°=2【典題2】計算4cos50°【解析】4cos50°=4cos===【點撥】①正切化弦；②注意角度之間的關(guān)系，比如互余(50°與40°、80°與10°)、倍數(shù)關(guān)系、角度相差值是特殊值(10°【典題3】如果1+tanα1?tanα=2013，那么1cos2α【解析】1cos2α=1cos2α+=cos=cos=1+tanα【點撥】①本題的思路有二，一是先化簡所求式子再利用已知條件，化二倍角為一倍角；二是由已知可求tanα，進而可得sinα,cosα，再求②化切為弦是常見思路，也可1+2tanα【典題4】已知sin(π12?α2)=【解析】∵sin(π∴cosπ∴sin2【點撥】α2與2α是四倍關(guān)系，故可用借助【典題5】若α∈(0,π2)，且cos2α=25sin(α+【解析】∵α∈(0,π2)∴cos2α=2∴cos∴cosα?sinα=∴①式兩邊平方可得：1?2sinαcosα=125，解得∴2sinαcosαsin2α+co可得12tan2α－25tanα+12=0，解得由①可知cosα>sinα，即tanα<1，(注意對最后求值的取舍)∴tanα=3【點撥】本題的處理方法很多，平時要多注意一題多解，提高對公式靈活運用的能力.比如湊角cos2α=25sinα+π4?鞏固練習(xí)1(★)計算3?tan12°(2cos【答案】8【解析】原式=32(★)已知θ∈(0,π2),sinθ=55，則cos2θ【答案】65【解析】∵θ∈(0，π2)，sin則cos2θtanθ3(★)若tanα+1tanα=3，則cos4α=【答案】19【解析】∵tanα∴sin2α∴cos4α4(★★)設(shè)tanα=12，cos(π+β)=?45(β∈(0,π))【答案】724【解析】∵tanα=cos(π+β)=?cosβ=?45，∴cosβ=4∴tan(2α?β)=tan2α?tanβ5(★★)已知α∈(0,π)，且3cos2α－8cosα=5，則sinα=【答案】53【解析】由3cos2α－8cosα即3cos2α－4cosα∵α∈(0，π則sinα6(★★)已知α∈(0,π2)，若sin2α－2cos2α=2，則sinα【答案】25【解析】∵sin2α∴sin2α=2(cos2α∵α∈(0，π2∴sinα∵sin解得sin2α=7(★★)已知α∈(π2,π),tan2α=34,則【答案】?1【解析】∵tan2α=2tanα∴tanα=－3或∴sin2α8(★★)已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ，則cos2α【答案】?14【解析】∵已知sinα=2sinβ，∴sinβ∵tanα=3tanβ，∴sinαcosα=3sinβ若②成立，則把①、②平方相加可得1=1解得cos2α=若③成立，則有cos2α=1綜上可得，cos2α=?1故答案為：?14或1．【題型二】降冪公式的運用【典題1】在?ABC中，若3cos2A?B【解析】在?ABC中，若3co∴3×即3即3(cosAcosB+sinAsinB)=5(cosAcosB?sinAsinB)，即2cosAcosB=8sinAsinB,∴tαnAtαnB=【點撥】式子中出現(xiàn)“平方”形式，想到降冪公式cos2α=鞏固練習(xí)1(★★)若cos2θ=14，則sin2θ+2cos【答案】138【解析】∵cos2θ∴sin2(★★)已知tanθ是方程x2－6x+1=0的一根，則cos【答案】13【解析】∵tanθ是方程x∴tan2θ可得sin2θ－6sin∴sin2θ∴cos3(★★)已知cos2αsinα+cosα=24，則cos2【答案】78【解析】∵cos2α∴兩邊平方，可得1－sin2α=1∴cos【題型三】角的變換【典題1】若sin(θ+π8)=13，則【解析】∵2θ?π4∴sin2θ?【點撥】因為已知角θ+π8和所求角2θ?π4中θ的系數(shù)是2倍的關(guān)系，故想到2θ+π8【典題2】已知sin(α+3π4)=45【解析】由?π4<α<所以cos(α+3由π4<β<3所以sin(π4所以cos[(α+=cos(α+=即－cos所以cos2【點撥】本題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)兩個已知角之和α+34π+π【總結(jié)】①當(dāng)已知角只有一個時，可已知角與所求角的和或差的值是否為一固定特殊角，或看已知角(所求角)的2倍與所求角(已知角)和或差的值是否為一固定特殊角；當(dāng)已知角有兩個時，主要看兩個已知角的和或差形式與所求角的關(guān)系；特殊角為0、π②常見的角變換有：α=2?α2，α=β=1③在運用和差角公式和倍角公式時，要注意“整體思想”的運用.鞏固練習(xí)1(★★)若cos(α+π12)=23，則sin(【答案】?5【解析】∵cos(α∴cos[2(α+π即cos[π2(★★)已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2【答案】?31【解析】∵cos(α+π∴(α+π6)∈(0，cos(2α+π∴sin(2α+π∴cos(2α=cos(2α+π=?7=?313(★★)已知cos(θ+π6)=?33，則sin(【答案】?1【解析】∵cos(θ+π∴sin(π=2(?4(★★)已知cosα=255，cos(β－α)=31010【答案】π4【解析】由于0<α<β<π所以sinα=55．cos(β所以cosβ所以β=π5(★★★)已知π2<β<α<3π4，且cos(α－β)=【答案】?3365【解析】∵π2<β<∵cos(α－β∴sin(α－β則cos2＝cos(α=1213×6(★★★)設(shè)0<x1<x2<π，若【答案】3【解析】設(shè)0<x1∵sin(2∴0<2∴∴?∴cos(2∴cos2(=cos2∴co∴co∴cos(x【題型四】簡單的三角恒等變換(選學(xué)內(nèi)容)【典題1】若α∈(0,π)，且sinα+2cosα【解析】∵α∈(0,π設(shè)tanα2=∵sinα=2tan∴sinα即x+1?x2【點撥】本題利用萬能公式，也可利用sinα+2cosα=2求出sinα【典題2】在△ABC中，B=π4，則sinAsinC的最大值是【解析】方法一兩角和差公式、二倍角公式sinAsinC=sinAsin(=sinAsin(3π=2∵0<A<3π4∴當(dāng)2A?π4=π2，即A=3π方法二積化和差sinAsinC==1∵?1≤cos∴?2?當(dāng)A?C=0，即A=C=3π8時，sinAsinC取得最大值【點撥】掌握積化和差公式，對于處理含涉及sinAsinB,鞏固練習(xí)1(★★)sin220°【答案】14【解析】sin=sin=sin=sin=1?1=12(★★)sin(α+30°)?sin(α?30°)cosα的值為【答案】1【解析】sin(α+30°)?sin(α?30°)cosα3(★★)已知θ為第二象限角，25sin2θ+sinθ?24=0【答案】±4【解析】∵θ∴sinθ則2kπ則kπ<θ當(dāng)k是偶數(shù)，設(shè)k=2n，則2nπ<θ2<當(dāng)k是奇數(shù)，設(shè)k=2n+1，則2nπ+π<θ則θ2∵25sin∴sinθ=?∴cosθ=?7∴sinθ2=4(★★)若sinα=?35，α是第三象限角，則1?tanα【答案】?2【解析