專題4 球的切、接問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步教學(xué)設(shè)計 (人教A版2019)

專題4球的切、接問題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步教學(xué)設(shè)計(人教A版2019)課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)必修第二冊——“球的切、接問題”

2.教學(xué)年級和班級：2023-2024學(xué)年新高二年級（2）班

3.授課時間：2023年10月15日，星期五，第3節(jié)課

4.教學(xué)時數(shù)：1課時（45分鐘）二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。通過研究球的切接問題，學(xué)生將能夠運(yùn)用空間幾何知識，分析球的內(nèi)外切接關(guān)系，培養(yǎng)空間觀念和幾何直觀。同時，通過對實(shí)際問題的抽象和建模，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。在推理過程中，學(xué)生將學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯，進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-球的內(nèi)外切接條件的理解與應(yīng)用：重點(diǎn)講解球與平面、球與球之間的內(nèi)外切接條件，如兩球相切時半徑和距離的關(guān)系。例如，講解當(dāng)兩球外切時，兩球心距離等于兩球半徑之和；內(nèi)切時，兩球心距離等于兩球半徑之差。

-空間幾何圖形的識別與繪制：強(qiáng)調(diào)如何識別空間幾何中的球體及其切接關(guān)系，并能夠繪制相關(guān)的圖形來輔助解題，如球體與平面、球體與球體之間的切接圖形。

-數(shù)學(xué)模型的建立與求解：指導(dǎo)學(xué)生如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解。例如，給定一個實(shí)際問題，要求計算兩球相切時的位置關(guān)系，需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并求解。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-空間想象能力的培養(yǎng)：學(xué)生往往難以在腦海中構(gòu)建空間圖形，理解球與平面、球與球之間的空間關(guān)系。例如，對于球體與平面相切的情況，學(xué)生可能難以想象球體在空間中的位置和切點(diǎn)位置。

-球的切接問題中的幾何證明：學(xué)生在進(jìn)行幾何證明時，可能會遇到邏輯不清晰、證明步驟不完整的問題。例如，證明兩球內(nèi)切時，學(xué)生可能難以準(zhǔn)確表達(dá)球心、切點(diǎn)與球面之間的關(guān)系。

-實(shí)際問題的抽象和建模：學(xué)生在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時，可能會遺漏關(guān)鍵信息或錯誤理解問題背景，導(dǎo)致建模不準(zhǔn)確。例如，在解決實(shí)際物體包裝問題中，學(xué)生可能無法準(zhǔn)確抽象出球體的切接關(guān)系，影響解題過程。四、教學(xué)資源-硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備、投影儀、黑板

-軟件資源：幾何畫板軟件、PPT教學(xué)課件

-課程平臺：學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)

-信息化資源：數(shù)學(xué)教學(xué)視頻、電子版習(xí)題庫

-教學(xué)手段：小組討論、問題驅(qū)動、案例分析五、教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

-教師活動：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括球的切接問題的概念介紹和相關(guān)例題。

-設(shè)計預(yù)習(xí)問題：設(shè)計如“如何判斷兩球是否相切？”“球與平面相切的條件是什么？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過系統(tǒng)查看學(xué)生提交的預(yù)習(xí)筆記和問題，了解預(yù)習(xí)情況。

-學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解球與平面、球與球之間切接的基本概念。

-思考預(yù)習(xí)問題：針對預(yù)習(xí)問題，學(xué)生獨(dú)立思考并記錄疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)筆記和思考的問題通過教學(xué)管理系統(tǒng)提交給老師。

-教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生自主探索和思考的習(xí)慣。

-信息技術(shù)手段：利用教學(xué)管理系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)資源的共享和預(yù)習(xí)監(jiān)控。

-作用與目的：

-幫助學(xué)生提前掌握球切接問題的基本概念，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

-教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過生活中的實(shí)例，如球的包裝問題，引出球的切接問題。

-講解知識點(diǎn)：詳細(xì)講解球的切接條件，通過例題展示如何應(yīng)用這些條件解題。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學(xué)生探討不同切接情況下球的位置關(guān)系。

-解答疑問：對學(xué)生提出的問題進(jìn)行解答，幫助理解球切接問題的本質(zhì)。

-學(xué)生活動：

-聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，對球的切接條件進(jìn)行思考。

-參與課堂活動：積極參與小組討論，通過實(shí)例分析球的切接情況。

-提問與討論：對不理解的地方提出問題，并參與課堂討論。

-教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過講解和例題，幫助學(xué)生理解球的切接條件。

-實(shí)踐活動法：通過小組討論，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握球切接問題的解題技巧。

-合作學(xué)習(xí)法：通過小組合作，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

-作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解球的切接條件，掌握解題方法。

-培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和團(tuán)隊(duì)合作能力。

3.課后拓展應(yīng)用

-教師活動：

-布置作業(yè)：根據(jù)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容，布置與球的切接問題相關(guān)的習(xí)題，鞏固學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握。

-提供拓展資源：提供相關(guān)的數(shù)學(xué)網(wǎng)站和視頻，幫助學(xué)生進(jìn)一步探索球的切接問題在實(shí)際中的應(yīng)用。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生具體的反饋和指導(dǎo)。

-學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：學(xué)生認(rèn)真完成作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容。

-拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的資源，進(jìn)行更深入的學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)：對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，總結(jié)學(xué)習(xí)心得和不足之處。

-教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生利用課后時間進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，促進(jìn)自我提升。

-作用與目的：

-鞏固課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容，提高學(xué)生對球切接問題的理解和應(yīng)用能力。

-拓寬學(xué)生的知識視野，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果顯著，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.理解并掌握了球的切接條件：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠清晰地理解并掌握球與平面、球與球之間的內(nèi)外切接條件。在課堂練習(xí)和課后作業(yè)中，學(xué)生能夠正確判斷兩球是否相切，以及確定球心、切點(diǎn)和平面之間的關(guān)系。

2.提升了空間想象能力：通過解決球的切接問題，學(xué)生的空間想象能力得到了鍛煉和提升。他們能夠更好地在腦海中構(gòu)建空間幾何圖形，理解球體在空間中的位置關(guān)系，這對于后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的空間幾何問題具有重要意義。

3.增強(qiáng)了邏輯推理能力：在解決球的切接問題時，學(xué)生需要運(yùn)用邏輯推理來證明切接條件，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。學(xué)生在證明過程中學(xué)會了如何有條理地組織思路，清晰地表達(dá)自己的推理過程。

4.學(xué)會了數(shù)學(xué)建模和實(shí)際應(yīng)用：通過將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，學(xué)生學(xué)會了如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題。例如，在討論球的包裝問題時，學(xué)生能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用切接條件計算出最優(yōu)解。

5.提高了自主學(xué)習(xí)和解決問題的能力：在課前預(yù)習(xí)和課后拓展環(huán)節(jié)，學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)，提高了獨(dú)立思考和解決問題的能力。他們學(xué)會了如何利用教學(xué)資源進(jìn)行自我學(xué)習(xí)，為未來的學(xué)習(xí)打下了堅實(shí)的基礎(chǔ)。

具體的學(xué)習(xí)效果如下：

-學(xué)生能夠準(zhǔn)確描述球與平面相切、球與球相切的條件，并在解題過程中靈活運(yùn)用。

-學(xué)生能夠繪制球體與平面、球體與球體相切的幾何圖形，并標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)和線段。

-學(xué)生在解決實(shí)際問題時，能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用切接條件進(jìn)行求解。

-學(xué)生在課堂活動和小組討論中，能夠積極表達(dá)自己的觀點(diǎn)，與同學(xué)進(jìn)行有效的溝通和合作。

-學(xué)生在課后作業(yè)中，能夠獨(dú)立完成與球的切接問題相關(guān)的習(xí)題，且解題過程條理清晰、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。

-學(xué)生通過課后拓展學(xué)習(xí)，對球的切接問題有了更深入的理解，能夠探索其在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。

-學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，逐漸形成了自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，能夠主動查找資料，對所學(xué)知識進(jìn)行拓展和深化。七、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們深入探討了球的切接問題，通過講解和實(shí)例分析，學(xué)生們對球與平面、球與球之間的內(nèi)外切接條件有了清晰的認(rèn)識。我們學(xué)習(xí)了如何判斷兩球是否相切，如何計算球心之間的距離與球半徑之間的關(guān)系，以及如何將這些理論知識應(yīng)用于解決實(shí)際問題。同學(xué)們在課堂上的積極參與和互動討論表現(xiàn)出色，對于空間想象能力和邏輯推理能力的提升有著顯著的效果。

1.球與平面相切的條件：球心到平面的距離等于球的半徑。

2.兩球相切的條件：兩球心之間的距離等于兩球半徑之和（外切）或兩球半徑之差（內(nèi)切）。

3.球的切接問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用：如球的包裝設(shè)計、空間布局等。

當(dāng)堂檢測：

為了檢驗(yàn)同學(xué)們對本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度，下面進(jìn)行當(dāng)堂檢測。請同學(xué)們獨(dú)立完成以下題目，并提交答案。

題目一：判斷題

1.當(dāng)球心到平面的距離大于球的半徑時，球與平面相切。（）

2.兩球外切時，兩球心之間的距離等于兩球半徑之差。（）

題目二：填空題

1.如果一個球的半徑為r，球心到平面的距離為d，當(dāng)d_____（填“大于”、“小于”、“等于”）r時，球與平面相切。

2.兩個半徑分別為r1和r2的球，若它們外切，則兩球心之間的距離為_____。

題目三：解答題

1.兩個半徑分別為4cm和6cm的球，它們的球心之間的距離為10cm。請問這兩個球是內(nèi)切還是外切？請說明理由。

2.一個半徑為5cm的球與平面相切，球心到平面的距離為3cm。請畫出球的切接圖形，并標(biāo)出球心、切點(diǎn)和球面。

題目四：應(yīng)用題

一個包裝箱內(nèi)有一個半徑為10cm的球，包裝箱的內(nèi)徑為60cm。請計算球與包裝箱內(nèi)壁的最小距離，并說明如何放置球才能使球的表面積與包裝箱內(nèi)壁的接觸面積最小。

請同學(xué)們在15分鐘內(nèi)完成上述題目，并提交給老師批改。通過這次檢測，我們可以進(jìn)一步鞏固課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容，并發(fā)現(xiàn)自己在球的切接問題上的不足之處，以便進(jìn)行針對性的復(fù)習(xí)和提高。八、典型例題講解例題一：

一個半徑為R的球體，與水平面相切，球心到水平面的距離為h。求證：球體在水平面上投影的圓的半徑r。

解答：

由球的切接條件知，球心到切點(diǎn)的距離等于球的半徑，即R=h+r。因?yàn)榍蛐拇怪庇谒矫娴木€段就是球心到切點(diǎn)的距離，所以h=√(R^2-r^2)。將h代入R=h+r中，得到R=√(R^2-r^2)+r。解這個方程得到r=R/(2√2)。

例題二：

兩個半徑分別為R和r的球體，球心分別為O1和O2，它們內(nèi)切于一個半徑為R+r的球體。求證：O1O2的長度等于R-r。

解答：

由內(nèi)切條件知，兩球心之間的距離等于兩球半徑之差，即O1O2=R-r。設(shè)O1O2的中點(diǎn)為M，那么OM是內(nèi)切球的半徑，即OM=(R-r)/2。因?yàn)镺1M和O2M分別是兩球體的半徑，所以O(shè)1M=R，O2M=r。根據(jù)勾股定理，有O1O2^2=O1M^2-OM^2=R^2-[(R-r)/2]^2。解這個方程驗(yàn)證O1O2=R-r。

例題三：

一個半徑為R的球體，與另一個半徑為r的球體相切，它們的球心之間的距離為d。求證：d=R+r或d=R-r。

解答：

如果兩球外切，則球心之間的距離等于兩球半徑之和，即d=R+r。如果兩球內(nèi)切，則球心之間的距離等于兩球半徑之差，即d=R-r。這是切接球的基本條件。

例題四：

一個半徑為R的球體，與一個平面相切，平面與球心的距離為h。若在球體的內(nèi)部有一個半徑為r的小球體，它與球體相切且與平面也相切。求小球體的半徑r。

解答：

由題意知，小球體的球心到大球體球心的距離為R-r，同時小球體的球心到平面的距離為h-r。因?yàn)樾∏蝮w與大球體相切，所以R-r=h-r+r，解得r=(R-h